Intersecting Families of Separated Sets
证明了Holroyd和Johnson的一个猜想，即Erdos-Ko-Rado定理的一个类似定理对k-分离集成立.特别是，这决定了由Schrijver确定的Kneser图的顶点临界子图的独立数，即分离集的集合。
2002-11-20 math.CO
Generation of Union Closed Sets and Moore families
在这篇文章中，我们将描述一个算法，建设性地枚举非同构的并闭集和摩尔集。本文确定了其他作者提出的n ≤ 6元并闭集与Moore集同构类的个数，并给出了7元并闭集与Moore集同构类的个数。由于同构类数量的巨大增长，在可预见的未来，8个或更多元素的构造性枚举似乎不太可能。
2017-01-13 math.CO
Supersaturation in union-closed families of sets
该数学研究证明了特定大小并族中k-链数量的极小化条件，明确了极小化族的唯一存在范围，为并族理论提供了关键结论。
2026-07-30 math.CO
Non-disjoint strong external difference families can have any number of sets
本文通过将不相交性条件替换为非不相交性，构造出具有任意数量集合的阿贝尔强外部差族，从而绕过了经典SEDF关于多于2个集合的唯一性猜想，并揭示了其与经典SEDF的差异、联系及新的编码应用来源。
2023-05-29 math.CO
New Partial Geometric Difference Sets and Partial Geometric Difference Families
Olmez在“Symmetric $1\frac{1}{2}$ -Designs and $1\frac{1}{2}$ -Difference Sets”（2014）中介绍了部分几何差集（也称为$1\frac{1}{2}$ -design）的概念，并表明部分几何差集给出了部分几何设计。Nowak等人，在“Partial Geometric Difference Families”（2014）中，引入了偏差族的概念，并证明了这些也给出了偏几何设计。Brouwer等人在“Directed strongly regular graphs from $1\frac{1}{2}$ -designs”（2012）中指出，有向强正则图可以从部分几何设计中获得。在这一通信中，我们构造了几个部分几何差集族和带新参数的部分几何差族，从而给出了带新参数的有向强正则图.我们还讨论了部分平衡设计、$2$ -a设计（最近由丁存生在“Codes from Difference Sets”（2015）中提出）和部分几何设计之间的一些联系，并研究了$2$ -a设计何时是部分几何设计。
2015-12-17 math.CO
Small Sets in Union-Closed Families
本文的目的是证明，对于任何$ε>0$，存在一个具有（唯一）最小集合$S$的并闭族$\mathcal F$，使得$S$中没有元素属于$\mathcal F$中集合的一个以上的分数$ε$。更准确地说，我们给出了一个例子，一个并闭的家庭，最小的集的大小$k$，使没有这个集合的元素属于超过一个分数$(1+o(1))\frac{\log_2 k}{2k}$的集合在$\mathcal F$。我们还给出了明确的例子，工会封闭家庭包含“小”集，我们一直无法验证工会封闭猜想。
2023-01-23 math.CO
Large non-trivial $t$-intersecting families for signed sets
对于具有$n\ge r$和$k\ge2$的正整数$n,r,k$，如果$x_1,\dots,x_r$是$[n]$和$y_1\dots,y_r\in[k]$的不同元素，则集合$\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_r,y_r)\}$称为$[n]$上的$k$-带符号$r$-集合。我们说一个由$[n]$上的$k$-带符号的$r$-集组成的$t$-相交族是平凡的，如果这个族的每个成员都包含一个固定的$k$-带符号的$t$-集.本文确定了极大非平凡PDMATHAMV-交族的结构。特别是，我们刻画了非平凡的$t$-相交家庭的最大尺寸为$t\ge2$，扩展了Hilton-Milner型的结果，由Borg给出的有符号集。
2021-04-27 math.CO
On generating sets of left-compressed intersecting families
本文构造由生成集生成的左压缩族，给出其为相交族的条件，提供构造方法，并与Bond定理比较，最后研究极大左压缩相交族的生成元。
2025-10-27 math.CO
Equivalence and automorphism groups of two families of maximum scattered linear sets
有限域上的射影空间中的线性集在块集、半域、秩度量码等的研究中起着重要的作用。尽管经过二十年的研究，在射影直线中只有少数已知的最大离散线性集，包括Csajbók，Marino，Polverino和Zanella 2018构造的族，以及Csajbók，Marino，Zullo 2018构造的族（也包括Marino，Montanucci和Zullo 2020）。本文的目的是解决每个族中线性集的等价问题，并确定它们的自同构群。
2022-12-26 math.CO
The $(2,2)$ and $(4,3)$ properties in families of fat sets in the plane
一个集合族满足$(p,q)$性质，如果在它的每个$p$成员中有一些$q$相交。给定一个数$0<r\le 1$，如果存在一个点$c\in S$使得$B(c,r) \subseteq S\subseteq B(c,1)$，其中$B(c,r)\subset \mathbb{R}^2$是半径为$r$且中心点为$c$的圆盘，则集合$S\subset \mathbb{R}^2$称为$r$ -fat。证明了$\mathbb{R}^2$中的$r$ -胖集族中满足$(2,2)$或$(4,3)$性质的穿孔数的上界$C=C(r)$为常数.这推广了Danzer和Karasev关于平面中相交圆盘族的穿透数的结果，以及Kynčl和Tancer关于满足$(4,3)$性质的平面中单位圆盘族的穿透数的结果。
2017-11-14 math.CO
Union-Closed vs Upward-Closed Families of Finite Sets
当$f,g\in\mathrsfs{F}$蕴涵$f\cup g\in\mathrsfs{F}$时，有限集$X$的子集的有限族$\mathrsfs{F}$是并闭的。这些家庭是众所周知的，因为弗兰克尔的猜想。本文利用上升算子进一步发展了Reimer（2003）提出的并闭族与上闭族之间的联系。利用这些技巧，我们能够得到$\mathrsfs{F}$的元素平均长度的严格下界，并证明$\mathrsfs{F}$的联合不可约元的个数不能超过$2{n\choose \lfloor n/2\rfloor}+{n\choose \lfloor n/2\rfloor+1}$，其中$|X| = n$ .
2012-10-13 math.CO
Nontrivial independent sets of bipartite graphs and cross-intersecting families
设$G(X,Y)$是一个连通的、不完全的二部图，其图的顶点为$|X|\leq |Y|$ .如果$A\subseteq X$或$A\subseteq Y$，则称$G(X,Y)$的独立集$A$是平凡的。否则，$A$是非平凡的。用$α(X,Y)$表示$G(X,Y)$的最大非平凡独立集的大小。证明了若$G(X,Y)$的自同构群在$X$和$Y$上可迁，则有$α(X,Y)=|Y|-d(X)+1$，其中$d(X)$是$X$中顶点的公共度.给出了$G(X,Y)$的最大非平凡独立集的结构。作为这一结果的应用，我们给出了两个交叉- $t$ -相交的有限集族、有限向量空间族和置换族的大小的上界。
2011-01-12 math.CO
Graph generated union-closed families of sets
设G是一个顶点为V，边为E的图.设F是由E生成的并闭集族。则F是V的没有孤立点的子集族。定理：有一条边e属于E，使得|{U属于F|属于你的|=< 1/2 |F|。这等价于下面的断言：如果H是由最大度为2的集合族生成的并闭族，则存在一个$x$，使得|（属于H）|x属于u|> 1/2 |H|。这是并闭集猜想的一个特例。为了正确理解这一结果，本文对并闭集猜想的研究进行了简要的概述。给出了图生成集族定理的一个强证明。这个证明依赖于F的局部性质的分析和Kleitman引理的应用。许多证明适用于任意的并闭族，并且可以用来获得|{U属于F|属于你的|/ |F|。
1994-09-16 math.CO
Cyclotomic skew partial difference sets and partial difference families
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）；Institut für Mathematik, Alpen-Adria-Universität Klagenfurt（克拉根福阿尔卑斯-亚得里亚大学数学研究所）
本文研究了循环理论在构造斜部分差集中的应用，提出了新的构造方法，并探讨了斜部分差集与部分差族之间的关系。
2026-05-19 math.CO
Closed Intersecting Families of finite sets and their applications
Paul Erdés和László Lovász确定任何\emph{maximal intersecting family of $k-$sets}最多有$k^{k}$块。他们提出了在这样的族中找到最大可能块数的问题。他们还表明，存在一个最大的交叉家庭的$k-$集近似$(e-1)k!$块。后来，彼得·弗兰克尔、太田克弘和德重则秀使用了一个非凡的构造来证明至少有$(\frac{k}{2})^{k-1}$块的$k-$集的极大交族的存在性。在这篇文章中，我们介绍了\emph{closed intersecting family of $k-$sets}的概念，并表明，这样的家庭总是可以嵌入在一个最大的交叉家庭的$k-$集。利用这一结果，我们给出了两个反证Frankl等人的一个定理的两个特例的例子，并给出了至少含有$(\frac{k}{2})^{k-1}$块的$k-$集的极大交族的较简单的构造.
2014-12-06 math.CO
Chain Conditions and Optimal Elements in Generalized Union-Closed Families of Sets
Washington and Lee University（华盛顿与李大学）
本文通过引入链条件和最优元素，证明在特定条件下并集闭猜想对有限和无限家族均成立，并给出了非并集闭的家族示例。
2025-12-02 math.CO
Line transversals in families of connected sets the plane
证明了如果平面上的一个紧连通集族具有每三个成员被一条直线包围的性质，则存在三条直线与该族中的所有集合相交。这回答了Eckhoff在1993年提出的一个问题，他证明了在相同的条件下，有四条线与所有的集合相交。事实上，我们证明了这个结果的一个丰富多彩的版本，在削弱的条件下的集合。一个三元组$A,B,C$在平面上说是一个{ \em紧}，如果$\textrm{conv}(A\cup B)\cap \textrm{conv}(A\cup C)\cap \textrm{conv}(B\cap C)\neq \emptyset.$这一概念首先介绍了霍姆森，他表明，如果$\mathcal{F}$是一个家庭的紧凑凸集在平面上的每三个集形成一个紧三元组，然后有一条线相交至少$\frac{1}{8}|\mathcal{F}|$成员的$\mathcal{F}$。本文证明了：如果$\mathcal{F}_1,\dots,\mathcal{F}_6$是平面上的紧连通集族，使得从三个不同的族$\mathcal{F}_i$中选出的每三个集合构成一个紧三元组，则存在$1\le j\le 6$和与$\mathcal{F}_j$的每个成员相交的三条直线.特别地，这将Holmsen结果中的$\frac{1}{8}$改进为$\frac{1}{3}$。
2021-08-01 math.CO
Intersecting families of sets are typically trivial
本文改进Frankl-Kupavskii等人的结果，证明当n≥2k+100 ln k时几乎所有k-均匀相交族都是星形族，将阈值从c√(k ln k)优化为100 ln k。
2024-10-22 math.CO
Schur-Positive sets
该研究证明了特定图族的Schur正性，并探索了多类Schur正集合上循环下降扩张的存在性，推进了组合数学中Schur正性相关问题的研究。
2023-08-27 math.CO
Improvement on line transversals of families of connected sets in the plane
本文研究平面紧连通集族的直线横截问题，证明任意三集可被一直线刺穿时存在三条共点直线刺穿全族，并给出从6族改进到5族的彩色版本及平行直线推广。
2025-08-29 math.CO
Three-Layer Intersecting Temperate Families
本文证明了一个关于三层相交温和族的猜想：最大族必包含所有含固定元素的k-集、所有(k+1)-集及不含该元素的(k+2)-集。
2026-09-22 math.CO
$s$-almost cross-$t$-intersecting families for finite sets
本文研究了有限集的 $s$-almost cross-$t$-intersecting 族，刻画了大小乘积最大的此类族，并针对非 cross-$t$-intersecting 的情形给出了相应的稳定性结果。
2025-06-27 math.CO
Comparable pairs in families of sets
给定$[n]$的子集的族$\mathcal{F}$，如果$A \subset B$或$B \subset A$，我们说两个集合$A, B \in \mathcal{F}$是可比较的。Sperner的著名定理给出了没有任何可比对的最大家庭的规模。这个结果后来被Kleitman推广，他给出了在给定规模的家庭中出现的可比较对的最小数量。在本文中，我们研究了一个互补的问题提出的Erdens和Daykin和Frankl在80年代初。他们要求在$[n]$的$m$子集家族中可以出现的可比较对的最大数量，我们用$c(n,m)$表示这个数量。我们首先解决了一个老猜想的阿隆和弗兰克尔，表明$c(n,m) = o(m^2)$时，$m = n^{ω(1)} 2^{n/2}$。我们还得到了$c(n,m)$在稀疏族和稠密族下的更精确的界，证明了$m$在某些值下的极值结构，并改进了其他一些已知的结果.
2014-11-15 math.CO
On Mubayi's Conjecture and conditionally intersecting sets
Mubayi猜想指出，如果$\mathcal{F}$是$[n] = \{1,\ldots,n\}$的$k$大小的子集的族，对于$k \geq d \geq 2$，满足$A_1 \cap\cdots\cap A_d \neq \emptyset$，只要$|A_1 \cup\cdots\cup A_d| \leq 2k$对于所有不同的集合$A_1,\ldots,A_d \in\mathcal{F}$，则$|\mathcal{F}|\leq \binom{n-1}{k-1}$，等式仅在$\mathcal{F}$是包含某个固定元素的所有$k$大小的子集的族时发生。本文证明了Mubayi猜想对所有关于移位不变的族都是成立的;事实上，这些族满足Mubayi猜想的更强版本。与此猜想相关，我们证明了$(i,j)$ -不稳定族和$(j,i)$ -不稳定族之间的基本双射对偶.推广以前的相交条件，我们介绍了$(d,s,t)$ -条件相交条件的家庭集，并证明了一般结果。我们猜想家庭$\mathcal{F}\in\binom{[n]}{k}$的规模和极值结构的$(d,2k)$ -条件相交，但不相交，并证明与此猜想有关的结果。我们证明基本定理的两个$(d,s)$ -条件相交的家庭，推广以前的相交家庭，我们提出了一个扩展以前的猜想由Frankl和Füredi的$(3,2k-1)$ -条件相交的家庭。最后，我们概…
2018-10-31 math.CO
On splitting and splittable families
一个集合$A$被称为分裂一个有限集$B$，如果正好有一半的$B$元素（直到舍入）包含在$A$中。我们研究了双重概念：（1）分裂族，其是集合的集合，使得$\{1,\ldots,k\}$的任何子集被族中的集合分裂，以及（2）可分裂族，其是集合的集合，使得存在分裂族中的每个集合的单个集合$A$。本文研究了$\{1,\ldots,k\}$上分裂族的最小尺寸，以及最小尺寸分裂族的结构。我们使用计算和理论技术的混合。我们还研究了$\mathord{\leq}4$ -分裂族和$4$ -分裂族的相关概念，并给出了此类族的最小尺寸的下界。接下来，我们研究在几种意义上都处于不可分裂边缘的可分裂族。首先，我们研究具有最少分裂器的可分裂族。在两个集合的情况下，我们给出了一个完整的特征，并在三个集合的情况下的计算结果。其次，我们定义了一个分裂的游戏，并研究可分裂的家庭，一个分裂器不能在对抗条件下找到。
2022-02-28 math.CO
Separating families of convex sets
如果集合$S$恰好包含$x$和$y$中的一个，则两个元素$x$和$y$由集合$S$分隔。证明了平面上任意位置的$n$点集都可以用$O(n\log\log n/\log n)$凸集分离，并且对某些点集$Ω(n/\log n)$凸集是必要的.
2012-11-13 math.CO math.MG
On k-wise intersecting families of vertex sets in perfect matchings
我们考虑以下推广的开创性Erdens-Ko-Rado定理，由于弗兰克尔。对于k>= 2，设F是n元集合X的r-子集的k-交族，即F中的任意k个集合都有非空交。如果r<=（k-1/k）n，则|F| <={n-1 \choose r-1}。我们在图论的方向上推广了Frankl定理。对于图G，且r ≥ 1，设P^r（G）是G的顶点集的所有r-子集的族，使得每个r-子集要么是独立集，要么包含最大独立集.我们将考虑图M_n的这个族的k-交子族，这里M_n是2n个顶点上的完美匹配，并证明类似于Frankl定理的一个定理。这个结果也可以看作是Bollobás和Leader关于M_n中独立顶点集相交族的一个定理的推广。
2013-03-31 math.CO
Minimum saturated families of sets
我们称$[n]$的子集的家族$\mathcal{F}$为$s$饱和的，如果它不包含$s$成对不相交的集合，而且没有集合可以添加到$\mathcal{F}$而保持这个属性（这里是$[n] = \{1,\ldots,n\}$）。40多年前，Erdibs和Kleitman证实$[n]$子集的$s$饱和家族的大小至少为$(1 - 2^{-(s-1)})2^n$ .很容易证明每个$s$饱和族的大小至少为$\frac{1}{2}\cdot 2^n$，但是，正如Frankl和Tokushige所提到的，对于某些固定的$\varepsilon > 0$，即使获得$(1/2 + \varepsilon)2^n$的稍微更好的界也似乎很困难。本文证明了这样一个结果，证明了$[n]$的子集的每个$s$饱和族的大小至少为$(1 - 1/s)2^n$。这个下界是一个多部版本的问题，在其中，我们寻求一个下界$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}_s|$，其中$\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_s$是家庭的子集$[n]$，这样就没有$s$成对不相交的集，一个从每个家庭$\mathcal{F}_i$，而且没有一套可以添加到任何家庭，同时保持这一属性。我们表明，$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}…
2018-04-24 math.CO
A Cubical Perspective on Complements of Union-Closed Families of Sets
本文从立方集视角研究简单根集族，为有限集子集族构造自然立方集，证明包含空集的简单根集族对应的立方集无环，并利用 Euler-Poincarè 公式导出满足该族的一个公式及初等证明。
2024-09-25 math.AT math.CO
Partition-free families of sets
令$m(n)$表示不包含两个不相交集合及其并集的子集族的最大大小。1968年，Kleitman证明了$m(n) = {n\choose m+1}+\ldots +{n\choose 2m+1}$如果$n=3m+1$。证明了Kleitman的猜想，对$n=3m$和$n=3m+2$建立了同样的等式，并确定了所有的极值族.与$n=3m+1$的情形不同，极值族不是唯一的。这是我们的证明相对困难的一个貌似合理的原因。我们也彻底解决了几个家庭的问题。
2017-06-01 cs.DM math.CO
Inertia Sets For Families of Graphs
本文由东俄勒冈大学研究小组2012-2013年发现和证明的一些结果组成。惯性表是给定图的可能惯性的直观表示。图的惯量是指图的邻接矩阵的实正负特征值的个数。研究惯性表的问题与逆本征值问题直接相关，可以作为求解最小秩问题的工具。本文介绍了逆本征值问题，以及所使用的工具。我们描述了各种简单无向图的许多新的通用公式，并改进了惯性表的既定符号。
2015-11-08 math.CO
Balanced Sperner families via the topological Tverberg theorem
Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University（山东大学数学交叉科学研究中心）；Frontiers Science Center for Nonlinear Expectations, Ministry of Education（教育部非线性期望前沿科学中心）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学科学学院）
本文证明对于任意素数幂r≥2，任何大小为至少(r-1)n+1的Sperner族包含r个两两不交的非空子族，其并集和交集分别相等；对r=2证实了Hegedüs猜想，阈值n+1为最优。证明结合了多重线性多项式方法、连续性论证和拓扑Tverberg定理。
2026-06-12 math.CO
On the number of union-free families
一个集合族是无并集的，如果族中没有三个不同的集合使得其中两个集合的并集等于第三个集合。Kleitman证明了每一个无并集的族的规模至多为$(1+o(1))\binom{n}{n/2}$。后来，Burosch-Demetrovics-Katona-Kleitman-Sapozhenko要求的数字$α(n)$这样的家庭，他们证明，$2^{\binom{n}{n/2}}\leq α(n) \leq 2^{2\sqrt{2}\binom{n}{n/2}(1+o(1))}$。他们证明，常数$2\sqrt{2}$可以从右手边的指数中删除。我们证明了他们的猜想制定一个新的容器型定理的根超图。
2016-01-14 math.CO
Stabilities for non-uniform $t$-intersecting families
本文在极值组合学的集合相交问题领域，进一步拓展$s$-并族的极值结果，确定了既不包含于Katona族也不包含于Frankl族的$s$-并族的最大规模，并刻画了所有达到上界的极值族。
2024-10-07 math.CO
On cross-intersecting families of independent sets in graphs
令A_1，.，A_k是n元集合的子集族的集合。我们说这个集合是交叉相交的，如果对于任何i，j在[k]中，i不等于j，A在A_i中，B在A_j中，意味着A和B的交集是非空的。本文考虑Hilton的一个定理，它给出了均匀相交子族基数和的一个最佳可能的上界.我们制定一个图论模拟希尔顿的交叉定理，类似于一个开发的Holroyd，斯宾塞和塔尔博特的埃尔多斯-科-拉多定理。特别是，我们建立在Borg和领导者的结果，签署集和证明一个定理的一致交叉相交的子族的独立顶点子集的不相交的联合完全图。我们继续得到一个结果，一类更大的图，即弦图，并提出一个猜想，所有的图。最后，我们证明了这个猜想的循环的n个顶点。
2010-10-05 math.CO
Non-trivially intersecting multi-part families
我们说一个集合族是相交的，如果它的任何两个集合相交，我们说它是平凡相交的，如果有一个元素出现在这个族的每个集合中。在本文中，我们研究了一个非平凡相交的家庭在一个自然的“多部分”设置的最大尺寸。在这里，地面集被划分为部分，并考虑家庭的集合，其交叉与每个部分是一个规定的大小。我们的工作的动机是经典的结果，在单部分设置由于Erdenses，Ko和Rado，希尔顿和米尔纳，并由一个定理的Frankl关于相交的家庭在这个多部分设置。在部分尺寸足够大的情况下，我们确定了一个非平凡相交的多部分家庭的最大尺寸，反驳了阿隆和卡托纳的猜想。
2019-06-27 math.CO
Lower bounds on the minimal dispersion of point sets via cover-free families
本文通过覆盖自由族与空轴平行盒体积的联系，应用Michel和Scott的新结果，为点集最小分散性导出了一系列新的下界，并发现各下界在不同参数下各有优势。
2025-09-08 math.CO
Intersecting families of sets are usually trivial for $n\ge 2k+3$
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文证明当 $n\ge 2k+3$ 时，几乎所有 $k$ 元均匀相交族都是平凡的，验证了Balogh等人的相关猜想，改进了此前的相交族研究结论。
2026-08-04 math.CO
Cross-intersection theorems for uniform partitions of finite sets
本文研究有限集 c-均匀划分中的交叉 t-相交族，证明乘积型极值结果，并刻画规模和最大的族，由此得到均匀集合划分的 EKR 与 Hilton-Milner 型定理。
2025-09-26 math.CO
Linear nonbinary covering codes and saturating sets in projective spaces
设A_{R,q}表示一类覆盖码，其中覆盖半径R和基域的大小q是固定的，而码长趋于无穷大.本文考虑了A_{R,q}族的无限集，其中R是固定的，但q在一个无限素幂集上，并研究了A_{R,q}族的渐近覆盖密度对q的依赖性.证明了对于A_{R,q}的覆盖密度的上极限，最佳可能性为O（q）.本文的主要成果是对任意覆盖半径R >= 2构造了族A_{R,q}的渐近最优无限集。我们首先证明了，对于给定的R，为了得到族的最优无限集，构造R个无限族A_{R,q} ^{（0）}，A_{R,q} ^{（1）}，.，A_{R,q} ^{（R-1）}，使得对于所有u >= u_{0}，族A_{R,q} ^{（v）}包含余维r_{u} =Ru+v和长度f_{q} ^{v}（r_{u}）的码，其中f_{q} ^{v}（r）=O（q^{（r-R）/R），并且u_{0}是常数。然后，我们能够为任何覆盖半径R >= 2构造所需的族A_{R,q} ^{（v）}，其中q的范围在R次幂的（无限）集合上。对于这些族A_{R,q} ^{（v）}中的每一个，覆盖密度的下极限由与q无关的常数从上限定。
2009-04-24 math.CO
New results on non-disjoint and classical strong external difference families
本文提出了基于序列框架的经典与非相交强外部差族（SEDFs）的构造方法，涵盖了所有已知的非分圆示例及新示例，并引入了可变集合大小和多重集的新外部差结构，展示了其在通信应用中的潜力。
2024-03-24 math.CO
FC-families, and improved bounds for Frankl's Conjecture
一个集合族F称为并闭的，如果对F中的每个A和B，A \cup B在F中。弗兰克尔猜想指出，给定任何有限并闭集合族，不全是空的，至少有一半的集合中包含一个元素。在这里，我们证明了猜想持有家庭包含3个3-子集的5-集，4个3-子集的6-集，或8个4-子集的6-集，扩展工作Poonen和Vaughan。作为应用，我们证明了最大集合至多有9个元素的猜想，推广了Gao和Yu的一个结果。我们还提出了几个悬而未决的问题。
2007-02-13 math.CO
Universal Sets and Cover-Free Families
我们提出了一个多项式时间构造的$(n,d)$ -全集在字母表$Σ=\{0,1\}$，大小为$d\cdot 2^{d+o(d)}\cdot\log n$。这是对由Bshouty构造的$(n,d)$ -全集的大小$d^{5}2^{2.66d}\log n$的改进，\cite{BshoutyTesters}，在字母表$Σ=\{0,1\}$上。
2016-06-04 cs.DM math.CO
An asymptotic version of the union-closed sets conjecture
我们证明了并闭族$A \subset 2^{\{1,2, \ldots, n\}}$的补数$2^{\{1,2,\ldots, n\}} \setminus A$的最大可能平均集大小是$\tfrac{n+1}{2}$。利用同样的证明，我们得到了并闭族补的平均频率的一个精确的上界。这意味着一个渐近版本的联合闭集猜想，制定补充的联合闭家庭。
2020-04-30 math.CO
The structure of large intersecting families
一个集合是{ \em相交}的，如果每两个成员有非空交集。本文描述了$n$ -集的$r$ -集的相交族的结构，该$n$ -集的大小比Erd \H os-Ko-Rado定理给出的最大值${n-1 \choose r-1}$小得多.特别是，这扩展了Hilton-Milner定理的非平凡相交的家庭，并回答了最近的问题，韩和Kohayakawa大$n$。在$r=3$的情况下，我们描述的结构，所有相交的家庭超过10个边缘。我们还证明了鄂尔多斯匹配问题的稳定性结果。我们的简短证明是简单的应用程序的三角洲系统的方法介绍和广泛使用的弗兰克尔自1977年以来。
2016-02-05 math.CO
Saturating Sperner families
如果$\cF$满足$\cP$，则族$\cF \subseteq 2^{[n]}$饱和单调递减性质$\cP$，并且不能向$\cF$添加任何集合，使得所得族仍然满足性质$\cP$。我们解决的问题，找到一个家庭的最小尺寸饱和的$k$ -Sperner属性和一个家庭的最小尺寸饱和的Sperner属性，只包括$l$ -集和$(l+1)$ -集。
2011-05-23 math.CO
Characterizing 3-sets in Union-Closed Families
一个集合族是并闭的（UC），如果族中任意两个集合的并也在族中。Frankl的UC集合猜想指出，对于任何非空UC族$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，使得$\mathcal{F} \neq \left\{\emptyset\right\}$，存在至少一半的$\mathcal{F}$集合中包含的元素$i \in [n]$。莫里斯的3-集猜想指出，对于任何包含它们的UC族，确保Frankl猜想满足的最小数量的不同3-集（其并集是$n$ -集）是对所有$n \geq 4$的$ \lfloor{n/2\rfloor} + 1$。对于UC族$\mathcal{A} \subseteq 2^{[n]}$，Poonen定理表征了$[n]$上的权重的存在性，该权重确保包含$\mathcal{A}$的所有UC族满足Frankl猜想，然而，即使对于小$n$，针对特定$\mathcal{A}$确定这样的权重也是不平凡的。我们分类家庭的3-集$n \leq 9$使用多面体的解释Poonen定理和精确的合理整数规划。这就给出了3-集猜想的一个证明。
2019-03-06 cs.DM math.CO
$s$-almost $t$-intersecting families for finite sets
Beijing Normal University（北京师范大学）；Henan Institute of Science and Technology（河南科技大学）
本文研究有限集的s-几乎t-相交族，证明其规模最大时由包含固定t元子集的所有k元子集构成，并完整刻画了交规模小于t时除Hilton-Milner定理覆盖情形外的最大族特征。
2026-01-12 math.CO
On Crossing-Families in Planar Point Sets
一般位置的点集$S$中的$k$交叉族是由$S$的点跨越的$k$段的集合，使得所有$k$段相互交叉。在这篇短文中，我们给出了两个关于基于小基数集合的交叉族的陈述：（1）任何至少15个点的集合都包含一个大小为4的交叉族。(2)存在不包含大于$8\lceil \frac{n}{41} \rceil$的交叉族的$n$点集。这两个结果都改进了以前最好的已知界限。
2022-05-26 cs.CG math.CO
An upper bound on the size of diamond-free families of sets
令$La(n,P)$是不包含$P$作为（弱）子集的$[n]=\{1,2,...,n\}$的子集族的最大大小。表示为$B_{2}$的菱形偏序集定义在四个元素$x,y,z,w$上，关系为$x<y,z$和$y,z<w$。$La(n,P)$已经被研究了许多偏序集，其中一个主要的开放问题是确定$La(n,B_{2})$。研究布尔格$2^{[n]}$中极大链上$[n]$子集族的平均集合数是一种富有成效的方法。我们使用的最大链的划分，并介绍了一种诱导方法，以表明$La(n,B_{2})\leq(2.20711+o(1))\binom{n}{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$，改进早期界的$(2.25+o(1))\binom{n}{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$的克莱默，马丁和年轻。
2017-11-23 math.CO
Bounds on piercing and line-piercing numbers in families of convex sets in the plane
本文研究平面紧凸集族的穿刺问题，利用拓扑 KKM 定理给出 (p+1,2) 性质下直线穿刺数及结合交族性质的点穿刺数界，并证明多彩版本。
2023-08-17 math.CO
Combinatorial transfer: a new method for constructing infinite families of nonabelian difference sets, partial difference sets, and relative difference sets
本文提出组合转移法构造组合对象的非交换自同构群，发现了多个非交换差集、偏差集和相对差集的无限族，并证明了Dillon二面体技巧的逆定理。
2024-07-25 math.CO math.GR
Splitting families of sets in ZFC
米勒的1937年分裂定理被证明为基数对$(\n,ρ)$，其中$n$是有限的，$ρ$是无限的。本文证明了Miller定理在ZFC中对基数对$(ν,ρ)$（其中$ν$是任意的）和$ρ\ge \beth_\om(ν)$的推广.证明使用了一种新的一般方法，该方法基于Shelah的修正的广义连续统假设定理。集合族的无冲突色数的上界和一般比较定理作为主要定理的推论。其他推论消除使用额外的公理从分裂定理由于鄂尔多斯，Hajnal，Komjath，Juhasz和Shelah。
2013-05-16 math.CO math.LO
Separation with restricted families of sets
给定一个有限的$n$ -元素集$X$，如果$X$的任意两个元素被$\mathcal F$的至少一个成员分隔开，则称子集族${\mathcal F}\subset 2^X$分隔$X$.它表明，如果$|\mathcal F|>2^{n-1}$，那么可以选择$X$分开的$\mathcal F$的$\lceil\log n\rceil+1$成员。如果$|\mathcal F|\ge α2^n$为某个$0<α<1/2$，则$\mathcal F$的$\log n+O(\log\frac1α\log\log\frac1α)$成员总是足以分隔被$\mathcal F$的某个成员分隔的$X$的所有元素对。这个结果被推广到多个集合的同时分离。类似的问题也被认为是由有界Vapnik-Chervonenkis维数的家庭分离和分离的点集在${\mathbb{R}}^d$凸集。
2015-08-22 math.CO math.MG
