A short proof of Rudnev's point-plane incidence bound
本文给出了Rudnev定理的一个简化证明，该定理限定了任意域上点与平面之间的关联数。鲁德涅夫的证明使用了一个通过四维克莱因二次曲面到三维空间的映射，在三维空间中，它将Guth和Katz的边界应用于线的交点。我们描述了一个简单的几何地图，直接发送点平面的发病率在空间中的线线相交，使我们能够重新证明鲁德涅夫定理与较少的技术细节。
2016-12-08 math.CO
Incidences with curves in three dimensions
研究了$R^3$中涉及点和曲线的关联问题。目前（事实上只有可行的）办法，这样的问题，开创了古斯和卡茨，需要各种工具，从代数几何，最显着的是（一）多项式分割技术，以及（二）研究代数曲面的规定线，或在最近的研究，由代数曲线的一些恒定的程度。通过利用和完善这些工具，我们得到了新的和改进的边界点曲线的关联问题的$R^3$。这类事件在以前的几项研究中已经被考虑过，从Guth和Katz关于点和线的工作开始。我们的结果，这是基于工作的Guth和Zahl关于曲面的双重规则的曲线，提供了一个大的推广，以前的结果。我们重建的点和线的界限，并改善，在某些重要的方式，最近的界限涉及点和圆（在Sharir，谢弗和Zahl），点和任意常数度代数曲线（在Sharir，谢弗和所罗门）。虽然在后一种情况下，我们并不知道（也强烈怀疑）边界是紧的，但在某种意义上，我们的边界是用这种方法可以得到的最好的，考虑到目前的知识状态。作为点-曲线关联界的应用，我们证明了$R^3$中$n$点集所跨越的与给定三角形相似的三角形的个数为$O(n^{15/7})$，改进了Agarwal等人的界，我们的结果也与Guth等人的研究有关。(work正在进行中），并已在Sharir，Solomon和Zlydenko最近应用于三维相关的发病率问题。
2020-07-07 cs.CG math.CO
Incidence bounds for complex algebraic curves on Cartesian products
证明了$\mathbb{C}^2$中的一组代数曲线与有限集$A,B\subset \mathbb{C}$的笛卡儿积$A\times B$之间的关联数的界。类似的界限是已知的各种条件下，但我们表明，笛卡儿积假设导致一个更简单的证明。这个假设在许多有趣的应用中成立，并且通过我们的边界，这些应用可以从$\mathbb{R}$扩展到$\mathbb{C}$。证明是一个新的应用多项式分区技术介绍了古斯和卡茨。
2015-10-31 math.CO
An incidence conjecture of Bourgain over fields of positive characteristic
本文将Guth和Katz关于$3$ -空间中点与线之间的关联性的一个新定理从特征$0$推广到特征$p$，并解释了特征$p$中代数几何的某些特殊性质如何在关联几何问题中表现出来。
2013-11-06 math.AG math.CO math.NT
Incidences of lines in $P^3$ and the arithmetic genus of curves
Guth和Katz证明了，正如Elekes和Sharir所证明的那样，除了一些明显的反例之外，3-空间中的$m$线最多有常数倍的$ m^{3/2}$交点。我们给出了一个明确的界限，常数，使用算术亏格的工会线。
2014-05-08 math.AG math.CO
Incidence bounds on multijoints and generic joints
如果在$\mathfrak{L}$到$x$中至少存在跨越$\mathbb{F}^n$的$n$线，则点$x \in \mathbb{F}^n$是由$\mathbb{F}^n$中的线的有限集合$\mathfrak{L}$形成的接合点。已知存在由$\mathfrak{L}$形成的$\lesssim_n |\mathfrak{L}|^{\frac{n}{n-1}}$关节。我们说点$x \in \mathbb{F}^n$是由$\mathbb{F}^n$中的线的有限集合$\mathfrak{L}_1,\ldots,\mathfrak{L}_n$形成的多关节，如果至少存在通过$x$的$n$线，每个集合中有一个，跨越$\mathbb{F}^n$。我们证明了对于任何域$\mathbb{F}$和$n=3$，以及对于$\mathbb{F}=\mathbb{R}$和任何$n \geq 3$，都存在$\lesssim_n (|\mathfrak{L}_1|\cdots |\mathfrak{L}_n|)^{\frac{1}{n-1}}$这样的点。此外，我们说点$x \in \mathbb{F}^n$是由$\mathbb{F}^n$中的线的有限集合$\mathfrak{L}$形成的通用联合，如果$\mathfrak{L}$到$x$的每个$n$线在那里形成联合。我们表明，对于$\mathbb{F}=\mathb…
2015-07-06 math.CO
Incidences between points and lines in three dimensions
我们给出了一个相当基本和简单的证明，表明$m$点和$n$线在${\mathbb R}^3$之间的关联数，使得没有平面包含超过$s$线，是$$ O\left(m^{1/2}n^{3/4}+ m^{2/3}n^{1/3}s^{1/3} + m + n\right) $$（在精确的陈述中，第一项和第三项的比例常数以相当弱的方式依赖于$m$和$n$之间的关系）。这个界限最初是由Guth和Katz~ \cite{GK2}在解决Erd{ \H o}s的不同距离问题时迈出的重要一步得到的，它也是入射几何中的一个重要的新结果，在过去的六年里，这一领域取得了相当大的进展。它的原始证明使用了代数和微分几何中相当复杂的机器，因此非常希望简化证明，以便更好地理解问题的几何结构，并为解决类似问题提供新的工具。Guth~ \cite{Gu14}最近已承担了这项工作。本文提出了一个不同的和更简单的推导，更好的界限比\cite{Gu14}，没有限制性的假设。我们的结果具有潜在的应用程序在更高的维度的其他发病率问题。
2015-01-12 math.CO
Asymptotic estimate on the distance energy of lattices
Shenzhen MSU-BIT University（深圳北理莫斯科大学）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Johannes Kepler University Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学）
针对Guth与Katz解决平面Erdos不同距离问题所用Elekes-Sharir框架下的矩方法效率问题，本文证明更高阶矩无法达到预期，且二阶矩在高维下可给出最优估计。
2022-11-23 math.CO
The Additive Structure of Cartesian Products Spanning Few Distinct Distances
Guth和Katz证明了平面上的任何点集$\mathcal P$决定了$Ω(|\mathcal P|/\log|\mathcal P|)$不同的距离。我们证明了当接近这个下界时，形式为$A\times A$的点集$\mathcal P$必须满足$|A-A|\ll |A|^{2-1/8}$。
2016-11-14 math.CO math.MG math.NT
Polynomial partitioning on varieties of codimension two and point-hypersurface incidences in four dimensions
本文对余维至多为2的不可约复代数簇的实轨迹上的有限点集给出了一个多项式分割定理。这一结果推广了Guth和Katz在欧几里得空间上的多项式分割定理，以及Zahl和Kaplan、Matoušek、Sharir和Safernová在超曲面上的推广。我们还给出了四维欧几里得空间中点与超曲面的关联数的一个界。它是我们的分割定理的应用，以及由Barone和Basu的半代数集的连通分量数的精确界。
2015-09-20 cs.CG math.AC math.AG
Distinct distance estimates and low degree polynomial partitioning
我们给一个较短的证明稍弱版本的定理网卡茨和作者。证明了在任何低次代数曲面上，若$\mathbb{R}^3$中的$L$线集至多包含$L^{1/2}$线，则$r$富点的个数至多为$C_εL^{(3/2) + ε} r^{-2}$ . Nets和我用这个估计证明了平面上点的距离估计。利用本文的弱定理，得到了弱的相异距离估计：$\mathbb{R}^2$中的任何$N$点集至少确定$c_εN^{1 - ε}$相异距离.
2014-11-11 math.CO
On the number of classes of triangles determined by $N$ points in $\R^2$
设$P$是欧几里得平面中的一组$N$点，其中正比例的点位于单个直线之外。本文指出了$P$确定的三角形等价类个数的两个事实，即（i）$P$确定$Ω(N^2)$全等三角形的不同等价类，（ii）$P$确定$Ω(\frac{N^2}{\log N})$相似三角形的不同等价类。第一个事实来自最近Guth-Katz关于$\R^3$中点-线关联的定理。第二个，也许不是那么有名，是由于Solymosi和Tardos。
2012-05-26 math.CO math.NT
On the structure of extremal point-line arrangements
本文证明达到 Szemerédi-Trotter 极值关联数的点线排列具有刚性：仅固定依赖常数 C 的少量点，即可确定排列的正比例部分。
2024-09-09 math.CO
On the use of Klein quadric for geometric incidence problems in two dimensions
本文讨论了在$2D$中一类Erdös距离型几何组合学关联问题的统一解法。目标是获得二阶矩估计，即给定有限点集$S$和$S\times S$上的函数$f$，$$ f(p,p') = f(q,q')\neq 0,\qquad (p,p',q,q')\in S\times S\times S\times S. \qquad(*) $$的解的数目的上界，例如，$f$是平面、球面或双叶双曲面片中的欧几里得距离。我们的工具是$\mathbb{RP}^3$中直线的Guth-Katz关联定理，但我们专注于如何使原始的$2D$问题服从它。然而，对称性考虑可以被绕过或隐含。经典的Plücker-Klein线性几何形式使得人们能够直接将$(*)$的解解释为$\mathbb{RP}^3$中两条直线的交点。这使得一个非常简短的论点扩展欧几里德平面距离的论点，球面和双曲距离。我们还发现了问题$(*)$的实例没有潜在的对称群。三维空间中的直线空间，即克莱因二次曲面$\mathcal K$，是四维的。我们从一个单射映射$\mathfrak F:\,S\times S\to\mathcal K$开始，从$2D$中的一对点到$3D$中的一条线，并寻求一个形式为$(*)$的组合问题，可以通过将Guth-Katz定理应用于所讨论的线的集合来解决。我们确定了一些新的这样的问题，并概括现有的。
2016-09-04 math.CO math.MG
Joints tightened
本文针对 d 维空间中直线形成关节的最大数量问题，提出一个新的上界，在 1+o(1) 因子内匹配 Guth 猜想的最优构造，方法基于多项式方法的扩展与变分问题。
2022-12-18 math.CA math.CO
New bounds on curve tangencies and orthogonalities
我们建立了新的界限上的切线和正交相交的安排所确定的曲线的数量。首先，给定一组$n$代数平面曲线，证明了存在两条或多条曲线相切的$O(n^{3/2})$点。特别地，如果没有三条曲线在公共点处相切，则存在$O(n^{3/2})$曲线-曲线相切。其次，给出了代数平面曲线族和该族中的$n$曲线集，证明了要么存在两条或多条曲线正交的$O(n^{3/2})$点，要么该曲线族具有某些特殊性质。我们通过将平面曲线的排列变换为空间曲线的排列，使得原始平面曲线的相切（或正交）对应于空间曲线的相交来获得这些界限。然后，我们约束相应的空间曲线的交叉点的数量。对于曲线-曲线相切的情况，我们使用多项式方法技术，这让人想起Guth和Katz的关节定理的证明。对于正交曲线相交的情形，我们采用Guth和第三作者的一个界来控制空间曲线排列中两富点的数目。
2016-11-03 cs.CG math.CO
Incidences between points and lines on a two-dimensional variety
我们提出了一个直接的和相当简单的证明以下的关联界：让$P$是一组$m$点和$L$一组$n$线在${\mathbb R}^d$，$d\ge 3$，这是在一个共同的代数二维曲面的程度$D$不包含任何2-平坦，使没有2-平坦包含超过$L$的$s \le D$线。则$P$和$L$之间的关联数为$$ I(P,L)=O\left(m^{1/2}n^{1/2}D^{1/2} + m^{2/3}\min\{n,D^{2}\}^{1/3}s^{1/3} + m + n\right). $$。当$d=3$时，这改进了Guth和Katz在$D$不太大时针对这种特殊情况的~ \cite{GK2}的界。这项工作的一个补充功能是审查，详细的证据，几个基本的（和民间传说）性质的直纹曲面在三维空间。
2015-01-13 math.AG math.CO
Multilevel polynomial partitioning and semialgebraic hypergraphs: regularity, Turán, and Zarankiewicz results
本研究提出多层多项式划分方案，改进了半代数超图的正则引理、Turán型与Zarankiewicz型结果，并给出多个相关领域应用。
2024-11-04 math.CO
Tight Bound and Structural Theorem for Joints
本文通过精细的多项式方法证明了关节问题中 Guth-Katz 构造的最优性及唯一性，给出首个紧界与结构定理，并强化了重数定义及证明相关猜想。
2023-12-22 math.CO
Incidences with curves and surfaces in three dimensions, with applications to distinct and repeated distances
我们研究了广泛的关联问题，涉及点和曲线或点和曲面在$\mathbb R^3$。Guth和Katz [2010，2015]开创的当前（实际上是唯一可行的）解决此类问题的方法需要代数几何中的各种工具，最值得注意的是（i）多项式分割技术，以及（ii）研究由直线或在最近的研究中[Guth-Zahl 2016]，由一定次数的代数曲线控制的代数曲面。通过利用和完善这些工具，我们获得了新的和改进的界限众多的发病率问题$\mathbb R^3$。在广义上，我们考虑两类问题，那些涉及点和常数度代数\emph{curves}，和那些涉及点和常数度代数\emph{surfaces}。在某些变体中，我们假设点位于某个固定的常次数代数簇上，而在另一些变体中，我们考虑3-空间中的任意点集。我们的结果提供了一个“大推广”的大多数以前的研究（特殊情况）以前的作品曲线和曲面。作为点曲线关联界的应用，我们考虑了$\mathbb R^3$中$n$点集所跨越的相似三角形个数的界问题，得到了该界$O(n^{15/7}),$，从而改进了Agarwal等人[2007]的界.作为我们的点-面关联界的应用，我们考虑了组合几何中两个最著名的公开问题$\mathbb R^3$中由$n$点集确定的不同重复距离问题.我们得到了两种特殊情况下，一个是点躺在一些代数簇的常度，和一个涉及之间的发生率在$P_1\times P_2$，其中$P_1…
2017-04-28 math.AG math.CO
On the number of incidences between points and planes in three dimensions
本文证明了域$\mathbb F$上射影空间$\mathbb P^3$中点与平面的一个关联定理，其特征是$p\neq 2.$。克莱因二次曲面可以被一个一般的超平面遍历，在三次曲面中产生一个线-线关联问题，即正则线复形的克莱因像。可以选择该超平面，使得至多两条线相交。因此，可以应用Guth和Katz的代数定理，并带有涉及$p$（如果$p>0$）的约束。这产生了$\mathbb P^3$中$m$点和$n$平面之间的关联数的界限，其中$m\geq n$为$$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$，其中$k$是共线平面的最大数，前提是如果$p>0$为$n=O(p^2)$。实例表明，如果没有额外的假设，这个界限不能得到改善。这给了一个工具，建立几何发病率估计时，$p>0$。对于非共线点集$S\subseteq \mathbb F^2$和非退化对称或反对称双线性形式$ω$，$S$的点对上的$ω$的不同值的数目是$Ω\left[\min\left(|S|^{\frac{2}{3}},p\right)\right]$。这也是$\mathbb R$上最著名的界，它由Szemerédi-Trotter定理得出。此外，在单个半各向同性平面中不支持的集合$S\subseteq \mathbb F^3$包含一个点，从该点获得到$S$的其他点的$Ω\left[\min\left(|S|…
2015-12-04 math.CO
Partitioning Theorems for Sets of Semi-Pfaffian Sets, with Applications
University of Warwick（华威大学）；University of Bath（巴斯大学）；St. Petersburg Department of V. A. Steklov Institute of Mathematics of the Russian Academy of Sciences (PDMI RAS)（俄罗斯科学院数学研究所圣彼得堡分部）
本文提出对半皮夫金集合族的多项式划分定理，并应用该定理推导了皮夫金版本的Szemerédi-Trotter定理及皮夫金曲线的关节数量界。
2026-01-16 math.AG math.CO math.LO
On the Erdős-Purdy problem and the Zarankiewitz problem for semialgebraic graphs
Erdans和Purdy，以及后来的Agarwal和Sharir，证明了$\mathbb R^{d}$中的任何$n$点集最多确定了对于偶数$d$的$Cn^{d/2}$全等$k$ -单形。我们获得了这个猜想的第一个重要进展，证明了这个数对于$k<d$至多是$C n^{3d/4}$。因此，我们得到了$C n^{3d/4+2}$的上界的$k$ -单纯形的$n$点在$\mathbb R^d$，这改善了Agarwal，Apfelbaum，Purdy和Sharir的结果所确定的相似的$k$ -单纯形的数量。这个问题是由精确模式匹配问题引起的。我们还解决Zarankiewicz型的问题，找到最大数量的边缘在半代数图没有$K_{u,u}$。在这里，我们改进了Fox、Pach、Sheffer、Suk和Zahl以及Do对$d\le 4$以及任何$d$和中等大小的$u$的先前结果。对单位距离图的任意$d$和$u$，我们得到了他们的结果的改进，这是他们结果的主要应用之一。从更一般的角度来看，我们的结果证明了使用经典的切割技术。近年来，随着Guth和Katz的突破性成果，多项式分割方法在关联几何中得到了很大的发展。这一发展的一个后果是，研究人员在关联几何中的注意力在多项式技术中摇摆。在本文中，我们认为，有一些开放的问题，经典技术的工作更好。
2021-12-19 cs.DM math.CO
Incidence Theorems and Their Applications
我们调查最近（不那么最近）的结果有关安排的线，点和其他几何对象和应用这些结果在理论计算机科学和组合学。我们将讨论的三种主要类型的问题是：（1）计数发生率：给定一组（或几组）几何对象（线，点等），不同集合中的元素之间可以存在的最大关联（或交叉）数量是多少？我们将看到几个这类结果，如Szemeredi-Trotter定理，在实数和有限域上，并讨论它们在组合学中的应用（例如，最近Guth和Katz对Erdos距离问题的解决方案）和计算机科学（多源提取器的显式构造）。(2)Kakeya类型问题：这些问题处理指向不同方向的线的排列。我们的目标是试图了解这些线可以在多大程度上相互重叠。我们将在实数域和有限域上讨论这些问题，看看它们是如何出现在随机抽取器理论中的。(3)Sylvester-Gallai型问题：在这种类型的问题中，人们提出了一个包含许多“局部”依赖关系的点的配置（例如，一条线上的三个点），并被要求导出所有点的跨度的维度上的界限。我们将讨论几个最近的结果，这种类型的，在不同的领域，并看到他们的连接到理论的局部可纠正的纠错码。在整个调查的不同部分，两种类型的技术将经常出现。一种是多项式方法，它使用多项式插值对手头的问题施加代数结构。其他经常性的技术将来自加法组合学领域。
2013-08-27 cs.CC math.CO
On the number of rich lines in truly high dimensional sets
我们证明了一个新的上限的$r$丰富的线（线至少$r$点）在一个“真正的”$d$维配置的点$v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{C}^d$。更正式地说，我们表明，如果$r$丰富的线的数量显着大于$n^2/r^d$，那么必须存在一个大的子集的点包含在一个超平面。我们推测因子$r^d$可以用紧的$r^{d+1}$来代替。如果是真的，这将推广经典的Szemerédi-Trotter定理，该定理给出了平面构型中富含$r$的线的数量上的$n^2/r^3$的界。这个猜想在Guth和Katz \cite{GK10}的开创性工作中被证明在$\mathbb{R}^3$中成立，最近也在$\mathbb{R}^4$（在一些附加限制下）\cite{SS14}上得到了证明。对于特殊情况下的算术级数（$r$共线点是均匀的距离），我们给出了一个界限，是紧到低阶项，表明$d$维网格实现了最大数量的$r$长期进展。证明中的主要成分是一种新的方法来找到一个低次多项式，在许多丰富的线消失。与以前的应用程序的多项式方法，我们不找到这个多项式的插值。开始观察是$r-2$ Veronese嵌入的程度将$r$ -共线点带到$r$线性相关图像。因此，每个共线的点的$r$ -元组，给我们一个依赖的$r$ -元组的图像。然后，我们使用的设计矩阵方法的\cite{BDWY12}转换这些“本地”的线性依赖关系到一个全球性…
2014-12-02 cs.CG math.CO
Improved bounds for incidences between points and circles
我们建立了一个改进的上界之间的关联数m点和n个圆在三维空间。先前最著名的界限，最初建立的平面的情况下，后来扩展到任何维$\ge 2$，是$O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}+m+n)$，其中$O*(\cdot)$符号隐藏子多项式因子。因为所有的点和圆都可能位于一个公共平面（或球面）上，所以如果不先在平面上改进它，就不可能改进R^3中的界。然而，我们表明，如果一组圆需要是“真正三维的”，在这个意义上，没有球体或平面包含超过$q$的圆，对于一些$q << n$，那么界限可以改进为\[O*(m^{3/7}n^{6/7} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m^{6/11}n^{15/22}q^{3/22} + m + n). \]。当$m=Θ(n)$和$q = o(n^{7/9})$）时，该界限小于下限$Ω*(m^{2/3}n^{2/3}+m+n)$，该下限在二维中成立。我们给出了新界的几个推广和应用：（i）对于所有圆具有相同半径的特殊情况，我们得到了改进的界$O*(m^{5/11}n^{9/11} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m + n$。(ii)我们提出了一种改进的分析，删除了子多项式的因素，从绑定时，$m=O(n^{3/2-\eps})$的任何固定的$\varepsilon >0$。(iii)我们利用我们…
2014-06-16 cs.CG math.CO
Incidences between points and lines on two- and three-dimensional varieties
设$P$是$\mathbb R^4$中的$m$点的集合，$L$是$n$线的集合，使得$P$的点位于不包含超平面或二次分量的$D$次代数三维曲面上，并且没有2-平坦包含多于$L$的$s$线。我们表明，$P$和$L$之间的发病率是$$ I(P,L) = O\left(m^{1/2}n^{1/2}D + m^{2/3}n^{1/3}s^{1/3} + nD + m\right) , $$的一些绝对比例常数。当$D$不太大时，这显著地提高了作者对于$\mathbb R^4$中任意点和线集合的界。当三维表面嵌入任何高维空间时，同样的界限也成立。为了证明这个界限，我们重新审视了[Sharir-Solomon16]的某些部分，并结合了以下新的关联界限。令$P$是一组$m$点，$L$是$\mathbb R^d$中的一组$n$线，对于$d\ge 3$，它们位于一个不包含任何2-平面的公共二维代数曲面$D$（假设为$\ll n^{1/2}$）中，因此没有2-平面包含多于$L$的$s$线（这里我们要求$L$的线也包含在曲面中）。则$P$和$L$之间的关联数为$$ I(P,L) = O\left(m^{1/2}n^{1/2}D^{1/2} + m^{2/3}D^{2/3}s^{1/3} + m + n\right). $$当$d=3$时，这改进了Guth和Katz在此特殊情况下的界，当$D \ll n^{…
2016-09-28 math.AG math.CO
