Lacunary formal power series and the Stern-Brocot sequence
设$F(X) = \sum_{n \geq 0} (-1)^{\varepsilon_n} X^{-λ_n}$是实缺项形式幂级数，其中$\varepsilon_n = 0, 1$和$λ_{n+1}/λ_n > 2$ .已知其连分式展开式的收敛式的分解子$Q_n(X)$是系数为$0, \pm 1$的多项式，且$Q_n(X)$中非零项的个数是Stern-Brocot序列的第$n$项.我们表明，取代索引$n$由任何2-adic整数$ω$是有意义的。我们证明了$Q_ω(X)$是多项式当且仅当$ω\in {\mathbb Z}$。在所有其他情况下$Q_ω(X)$是一个无限形式的幂级数，我们讨论的代数性质的特殊情况$λ_n = 2^{n+1} - 1$。
2013-01-29 math.CO math.NT
Arithmetic partition sums and orbits of Z_n^k under the symmetric group S_k
我们研究了{（a_1，.，a_k）\in Z_n^k| a_1+...+ a_k = r（mod n）}。等价地，M（n，k，r）对一个等差数列的分割数求和：M（n，k，r）= sum_{t \geq 0} p（n-1，k，r+nt），其中p（a，b，t）表示将t分割成至多b个部分的次数，每个部分至多为a。我们推导出这种算术分拆和的闭公式和各种身份。这些结果已经出现在Elashvili/Jibladze/Pataraia，项链和“Hermite互惠”的组合学，J. Alg。组合10（1999）173-188，并且主要结果也由Von Sterneck在Sitzber中发表。阿卡德聪明维也纳数学。自然。课111（1902），1567-1601（参见数学中的引理2和参考文献.NT/9909121）。感谢Don Zagier和Robin Chapman让我们注意到这些参考资料。
2001-07-22 math.CO math.NT
Reflections on symmetric polynomials and arithmetic functions
在对称多项式环的同构拷贝中，研究了一类有理权向量指标多项式族。这些族包括众所周知的对称多项式，例如初等、齐次和幂和对称多项式。我们研究了这些族的性质，并着重于在卷积诱导的乘积下构造它们的有理根。后者的一个直接应用是在卷积积下描述某些乘法算术函数（核函数）的根。
2001-06-25 math.CO math.NT
Stanley's conjectures on the Stern poset
Stern偏序集$\mathcal{S}$是一个与Stern三角形自然相关的分次无限偏序集，Stern三角形由Stanley定义，类似于Pascal三角形。对于足够大的$r$，令$P_n$表示从Stern三角形的行$0$的唯一元素到行$r$的第$n$个元素的$\mathcal{S}$的间隔。对于$n\geq 1$，设\begin{align*} L_n(q)&=2\cdot\left(\sum_{k=1}^{2^n-1}A_{P_k}(q)\right)+A_{P_{2^n}}(q), \end{align*}，其中$A_{P}(q)$表示相应的$P$ -欧拉多项式。对于任何$n\geq 1$，Stanley证明$L_n(q)$只有实零，并且$L_{4n+1}(q)$可被$L_{2n}(q)$整除。本文得到了$L_n(q)$满足的一个简单的递推关系式，并肯定地解决了Stanley方程.我们还建立了$L_n(q)$系数的渐近正态性。
2020-05-31 math.CO
Note on partitions into polynomials with number of parts in an arithmetic progression
设$f: \mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$是一个多项式，其性质是对应于每个素数$p$，存在一个整数$\ell$使得$p\nmid f(\ell)$。本文建立了整数$n$的部分取自序列$\{f(\ell)\}_{\ell=1}^{\infty}$的分拆数与这些分拆在某个等差数列中的部分数之间的等分布结果。
2021-03-30 math.CO math.NT
Formulas for coefficients of polynomials assigned to arithmetic functions
我们附加到规范化（非零）算术函数$g$和$h$递归定义的多项式。让$P_0^{g,h}(x):=1$。然后\begin{equation} P_n^{g,h}(x) := \frac{x}{h(n)} \sum_{k=1}^{n} g(k) \, P_{n-k}^{g,h}(x). \end{equation}对于特殊的$g$和$h$，我们得到了Dedekind $η$ -函数的$-z$次幂的系数的D 'Arcais多项式，它也是Nekrasov和Okounkov作为钩长公式给出的.例子有Pochhammer多项式、第二类切比雪夫多项式和相关的Laguerre多项式。我们提出了明确的公式和身份的系数$P_n^{g,h}(x)$分离的影响$g$和$h$。最后，我们提供了几个应用程序。
2020-11-19 math.CO math.NT
On sums of coefficients of Borwein type polynomials over arithmetic progressions
得到了$$\prod_{j=1}^n\prod_{k=1}^{p-1}(1-q^{pj-k})^s,$$型多项式系数在等差数列上求和的渐近公式，其中$p$是奇素数，$n, s$是正整数.让我们用$a_i$表示上述多项式中的$q^i$的系数，并假设$b$是整数。我们证明了$$\Big|\sum_{i\equiv b\ \text{mod}\ 2pn}a_i-\frac{v(b)p^{sn}}{2pn}\Big|\leq p^{sn/2},$$，其中$v(b)=p-1$，如果$b$可被$p$整除，否则$v(b)=-1$。这改进了Goswami和Pantangi最近的结果。
2021-04-06 math.CO math.NT
Graph colorings, flows and arithmetic Tutte polynomial
本文引入了图的算术染色和算术流的概念，推广了图的染色和算术流的概念。我们证明了相应的算术色多项式和算术流多项式给出了适当的特殊化相关联的算术Tutte多项式，推广经典的结果Tutte。
2011-08-29 math.CO
A polynomial bound for the arithmetic $k$-cycle removal lemma in vector spaces
对于每一个$k\geq 3$，Green证明了任意阿贝尔群$G$的算术$k$ -圈去除引理。一般$G$引理中参数的最佳界是塔型的。对于$k>3$，即使在$G=\mathbb{F}_2^n$的情况下，在本文之前也没有更好的界限。这种特殊情况已经受到相当大的关注，因为它与布尔函数的属性测试密切相关。对于每一个$k\geq 3$，我们证明了一个多项式界的参数$G=\mathbb{F}_p^n$，其中$p$是任何固定的素数。这推广了前两位作者对$k=3$的结果。由于大量的问题，推广$k=3$情况下的证明，一个新的策略，以证明$k>3$的结果。
2018-09-04 math.CO math.NT
The sum of digits of polynomial values in arithmetic progressions
令$q, m\geq 2$是整数，其中$(m,q-1)=1$。用$s_q(n)$表示$q$进制数字展开式中$n$的位数之和。进一步令$p(x)\in mathbb{Z}[x]$是具有$p(\mathbb{N})\subset \mathbb{N}$的次数$h\geq 3$的多项式。我们证明了存在$C=C(q,m,p)>0$和$N_0=N_0(q,m,p)\geq 1$，使得对于所有$g\in\mathbb{Z}$和所有$N\geq N_0$，$$#\{0\leq n< N: \quad s_q(p(n))\equiv g \bmod m\}\geq C N^{4/(3h+1)}.$$这是对Dartyge和Tenenbaum（2006）给出的一般下界的改进，该下界是$C N^{2/h!}$。
2011-10-21 math.CO math.NT
Convolution formulas for multivariate arithmetic Tutte polynomials
本研究针对算术拟阵的多元算术Tutte多项式，给出两个算术拟阵乘积及单个算术拟阵对应的卷积公式，可纯组合证明已有相关结论且证明更短，还得到算术拟阵特征多项式的卷积公式。
2023-10-07 math.CO
The arithmetic Tutte polynomials of the classical root systems
超平面排列的许多组合不变量和拓扑不变量可以用它的Tutte多项式来计算。类似地，超环面排列的许多不变量可以根据其算术Tutte多项式来计算。我们计算的算术Tutte多项式的经典根系的类型A，B，C和D，关于他们的整数，根，和重量格。我们以两种方式做到这一点：通过引入算术Tutte多项式的有限域方法，并通过列举关于六个参数的带符号图，
2013-05-28 math.CO
A convolution formula for Tutte polynomials of arithmetic matroids and other combinatorial structures
在这篇文章中，我们将Kook-Reiner-Stanton和Etienne-Las Vergnas的Tutte多项式的卷积公式推广到更一般的设置，包括算术拟阵和δ-拟阵。作为推论，我们得到新的证明的两个积极的结果，伪算术拟阵和算术Tutte多项式在无穷多个点的算术流和着色的组合解释。我们还展示了连接与分解的Dahmen-Micchelli空间和晶格点计数zonotopes。
2017-04-21 math.CO
Arithmetic matroids, Tutte polynomial, and toric arrangements
我们介绍的算术拟阵的概念，其主要的例子是由一个列表的元素的一个生成的阿贝尔群。特别是，我们研究的代表性，其双重，提供了一个扩展的大风对偶设置。由广义复曲面安排的几何形状的指导下，我们提供了一个组合的解释相关的算术Tutte多项式，这可以被看作是一个推广的Crapo的公式为经典的Tutte多项式。
2011-07-24 math.CO
The multivariate arithmetic Tutte polynomial
我们介绍了一个算术版本的多元Tutte多项式，和（可表示的算术拟阵）的准多项式，两者之间的插值。一个广义Fortuin-Kasteleyn表示与算术着色和流的应用程序。我们给出了一个新的和更一般的证明的积极性的系数的算术Tutte多项式，并（在可代表的情况下）的几何解释。
2013-01-16 math.CO math.GR
Algebraic functions with Fermat property, eigenvalues of transfer operator and Riemann zeros, and other open problems
本文列举了数论、组合学和表示论中的若干未解决的问题：具有Fermat性质的代数函数，配分拆函数的生成函数的幂乘积展开式，转移算子的非平凡Riemann零点与特征值的关系，与范数形式有关的函数方程，几何组合学中的两个问题，几何组合学中的两个问题。Minkowski问号函数的矩问题;表示论中的一个问题; Stern双原子序列的矩插值问题;二元复合函数的算术性质。
2016-09-30 math.CO math.NT
Colorings and flows on CW complexes, Tutte quasi-polynomials and arithmetic matroids
在这份说明中，我们提供了一个高维模拟Tutte的著名定理的着色和流动的图，通过表明，理论的算术Tutte多项式和准多项式包括不变量定义的CW复杂的贝克-布鲁尔-Godkin-Martin和Duval-Klivans-Martin。此外，我们回答了一个问题，巴约Burdick Chmutov，关于修改Tutte，Krushkal，Renhardy多项式定义的这些作者：为此，我们证明了产品的两个算术重函数的拟阵再次是一个算术重函数。
2016-05-13 math.AT math.CO
Algebraic combinatorial geometry: the polynomial method in arithmetic combinatorics, incidence combinatorics, and number theory
算术组合学经常关注的问题是，在一个群或环中，关于算术运算（如加法或乘法）的任意有限集的行为的边界。类似地，组合几何通常关注的问题是约束几何对象（如点、线或圆）的任意有限集合相对于几何运算（如关联或距离）的行为。由于这些问题中存在任意有限集，用于攻击这些问题的方法主要是组合的性质。然而，近年来，这些问题中的许多悬而未决的问题已经通过代数手段（更具体地说，使用代数几何和/或代数拓扑的工具）得到解决，从而产生了一套新兴的技术，现在被称为多项式方法。虽然多项式方法的各种实例已经知道了几十年（如Stepanov方法、组合零点定理或Baker定理），这种方法的一般理论尚处于成熟过程中;特别是多项式方法的局限性还没有被很好地理解，并且仍然有相当大的范围来应用来自代数几何或代数拓扑的更深入的结果以进一步加强该方法。在本调查中，我们提出了这些方法的几个已知的应用程序，重点放在最简单的情况下来说明的技术。我们将尽可能少地假设代数几何的先验知识。
2014-03-29 math.AG math.CO math.NT
Arithmetics and combinatorics of tropical Severi varieties of univariate polynomials
本文给出了具有两个二重根的n次一元多项式的热带簇的刻划。作为一个集合，它被给出为n-1维的三种类型的最大锥的并集，其中只有这些类型中的两种锥是{0，.，n}。通过Kapranov定理，这一目标是通过仔细研究具有两个二重根的多项式的根的初等对称函数的可能赋值来实现的。尽管表面上看起来很简单，但热带塞维里变种的计算既有组合的成分，也有算术的成分。
2016-09-11 math.AG math.CO
$G$-Tutte polynomials and abelian Lie group arrangements
我们引入并研究了一个由有限阿贝尔群$Γ$和阿贝尔群$G$组成的元素列表$\mathcal{A}$的$G$-Tutte多项式的概念，其中交换群是通过计算从相关的有限阿贝尔群到$G$的同态的个数而定义的. $G$ -Tutte多项式是可实现（算术）拟阵的（算术）Tutte多项式、积分排列的特征拟多项式、阿贝尔群值Potts模型的分拆函数的Bränden-Moci算术版本以及有限CW-复形的修正Tutte-Krushkal-Renhardy多项式的常见推广。如在经典情况下，$G$ -Tutte多项式携带拓扑和枚举信息（例如，欧拉示性数、点计数和庞加莱多项式）。我们还讨论了算术Tutte和$G$ -Tutte多项式之间的差异有关的公理算术拟阵和（非）积极的系数。
2021-09-02 math.CO math.GT
An improved asymptotic formula for the distribution of irreducible polynomials in arithmetic progressions over Fq
设$\mathbb{F}_{q}$是具有$q$元的有限域，$\mathbb{F}_{q}[x]$是$\mathbb{F}_{q}$上的多项式环.设$l(x), k(x)$是$\mathbb{F}_{q}[x]$中的互质多项式，$Φ(k)$是$\mathbb{F}_{q}[x]$中的欧拉函数。令$π(l, k; n)$是$\mathbb{F}_{q}[x]$中与$l(x)$模块$k(x)$全等的次数$n$的一元不可约多项式的数目。对于任意正整数$n$，我们用$Ω(n)$表示$n$的最小素因子。在本文中，我们表明，$$π(l, k; n)=\frac{1}{Φ(k)}\frac{q^{n}}{n}+O\left(n^α\right)+O\left(\frac{q^{\frac{n}{Ω{(n)}}}}{n}\right),$$，其中$α$只取决于$k(x)\in\Fq$的选择。请注意，上述误差项改进了Weil猜想所暗示的误差项。我们的方法是完全初级的。
2020-02-20 math.CO
Parametric Presburger arithmetic: logic, combinatorics, and quasi-polynomial behavior
参数Presburger算术涉及集合S_t在Z^d中的族，其中t在N中，这些集合是使用加法、不等式、Z中的常数、布尔运算、乘以t和变量范围在Z上的量词来定义的。也就是说，这样的族是使用量词和形式为a（t）x <= b（t）的公式的布尔组合来定义的，其中a（t）在Z[t]^d中，b（t）在Z[t]中。函数g：N -> Z是拟多项式，如果存在周期m和多项式f_0，.，f_{m-1}在Q[t]中，使得g（t）=f_i（t），其中t全等于i（mod m.）Chen、Li、Sam的最新结果; Calegari、Walker; Roune、Woods;和Shen关注参数Presburger算术中表现出准多项式行为的特定族。例如，S_t可能是t的准多项式函数，或者S_t中的元素x（t）可以指定为具有准多项式坐标的函数，对于足够大的t。伍兹指出，所有参数Presburger集都表现出这种准多项式行为。在这里，我们证明这个猜想，使用各种工具，从逻辑和组合。
2017-01-16 math.CO math.LO
Periodic behavior in families of numerical and affine semigroups via parametric Presburger arithmetic
设$f_1(n), \ldots, f_k(n)$是$n$的多项式函数。对于固定的$n\in\mathbb{N}$，设$S_n\subseteq \mathbb{N}$是由$f_1(n),\ldots,f_k(n)$生成的数值半群。随着$n$的变化，我们证明了$S_n$的许多不变量最终在$n$中是拟多项式的，如Frobenius数、类型、亏格和$Δ$ -集的大小.我们使用的工具是参数Presburger算法逻辑系统的可表达性。推广到高维半群族，我们还研究了由其坐标是$n$的多项式函数的向量生成的仿射半群$S_n\subseteq \mathbb{N}^m$，并且我们证明了类似的结果，例如，贝蒂数最终是$n$的拟多项式函数。
2019-11-20 math.CO math.LO
Arithmetic aspects of symmetric edge polytopes
我们研究对称边多面体的算术、几何和组合性质。我们给出了一个完整的组合描述他们的方面。结合Gröbner基技巧、半开分解和交错多项式方法，给出了完全二部图的$h^\ast$ -多项式的一个显式公式.特别地，我们证明了$h^\ast$ -多项式是$γ$ -正的和实根的。这证明了在这种情况下任意旗幺模三角剖分的Gal猜想，除此之外，我们证明了Nevo和Petersen（2011）的一个推论。
2018-07-20 math.AC math.CO math.MG
Polynomial Expressions of Carries in p-ary Arithmetics
已知特征为$p$的有限素域上的任何$n$ -变量函数都可以表示为同一域上至多有$p^n$单项式的多项式。然而，确定给定具体函数的多项式并不明显。本文研究了$p$ -元整数加法和乘法中进位的具体多项式表达式。对于加法情形，我们的结果给出了一个新的对称多项式族，它推广了已知的进位由初等对称多项式给出的二元情形$p = 2$的结果.另一方面，对于$n$的一位整数乘法，我们利用Bernoulli数给出了进位到下一位的多项式表达式的简单公式，并证明了它只有$(n+1)(p-1)/2 + 1$单项式，这比一般函数的单项式的最坏情况数$p^n$要少得多.我们还讨论了应用我们的结果加密数据的密码计算。
2016-02-19 cs.CR cs.IT math.CO
Complexity of short Presburger arithmetic
研究了Presburger算法中短句的复杂性。这里的“短”是指包含有限数量的变量、量词、不等式和布尔运算的句子;输入仅由不等式中涉及的整数组成。我们证明了，假设Kannan的划分可以在多项式时间内找到，短PA句子的可满足性可以在多项式时间内决定。此外，在同样的假设下，我们证明了短Presburger句子的满意分配的数量也可以在多项式时间内计算。
2017-04-28 cs.CC cs.DM cs.LO
Schubert polynomials and Arakelov theory of orthogonal flag varieties
本文提出了一种组合显式Schubert多项式理论，它表示正交旗簇的上同调环的Borel表示中的Schubert类.我们使用这些多项式来描述这些空间上的算术舒伯特演算。给出了自然算术相交数的计算方法，并证明了它们都是有理数。
2013-09-06 math.AG math.CO
Presburger arithmetic, rational generating functions, and quasi-polynomials
Presburger算术是自然数加（但不乘法）的一阶理论。我们刻画了可由Presburger公式定义的集合为其特征函数可由有理生成函数表示的集合，并给出了这类集合的几何刻画.此外，如果p=（p_1，...，p_n）是Presburger公式中自由变元的子集，我们可以定义一个计数函数g（p）为该公式的解的个数，对于给定的p，我们证明了这样得到的每一个计数函数都可以等价地表示为分段拟多项式或有理母函数.最后，我们将已知的计算复杂性结果转化为这种设置，并讨论开放的方向。
2015-01-06 cs.LO math.CO math.LO
Schubert polynomials and Arakelov theory of symplectic flag varieties
设X是辛群的旗簇。本文提出了一个组合显式Schubert多项式理论，它表示X的上同调环的Borel表示中的Schubert类。我们用这些多项式来描述X上的算术Schubert演算。此外，我们还给出了计算X上自然算术Chern数的方法，并证明了它们都是有理数。
2013-09-06 math.AG math.CO
A weak regularity lemma for polynomials
City University of New York（纽约市立大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出一个具有强界的弱正则引理，用于分解多项式为有界数量的近似独立多项式，并应用于算术电路和多项式秩的定量研究。
2026-08-04 cs.CC math.AC math.CO
Betti numbers of holomorphic symplectic quotients via arithmetic Fourier transform
介绍了一种计算有限域上全纯矩映射方程解的个数的傅里叶变换方法。这反过来又给出了关于全纯辛代数的贝蒂数的信息。从而得到了复曲面超Kahler簇的Poincare多项式、点的Hilbert格式的Poincare多项式和C^2上瞬子的扭曲ADHM空间的Poincare多项式以及所有Nakajima超Kahler簇的Poincare多项式公式的简单统一证明。作为应用，给出了Kac关于一个图的绝对不可分解表示数的一个猜想的证明。
2005-12-15 math.AG math.CO math.RT
