Occupation Times for Jump Processes
Brian M. Whitehead
考虑了$\rr^d$中一类纯跳马氏过程，其跳核与对称稳定过程的跳核具有可比性。我们证明了一个支持定理，一个下界的占有时间的集合，并表明，我们可以近似解使用光滑函数。
We consider a class of pure jump Markov processes in $\rr^d$ whose jump kernels are comparable to those of symmetric stable processes. We prove a support theorem, a lower bound on the occupation times of sets, and show that we can approximate resolvents using smooth functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Occupation times of generalized Ornstein-Uhlenbeck processes with two-sided exponential jumps
对于双指数跳扩散过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程，我们得到了它的联合拉普拉斯变换及其占据时间的公式.所使用的方法是显着的，并可以扩展到调查占领时间的Ornstein-Uhlenbeck过程驱动的一个更一般的Levy过程。
Occupation times of refracted Levy processes with jumps having rational Laplace transforms
研究了由跳跃扩散过程驱动的折射Levy过程，其跳跃具有有理拉普拉斯变换.对于这样一个随机过程，推导出了其占有时间的拉普拉斯变换公式。为了得到主要结果，我们以前的方法进行了一些修改。此外，我们还得到了一个非常有趣的恒等式，证明了它对一般折射Levy过程成立。
Pricing occupation-time options in a mixed-exponential jump-diffusion model
为了给双障碍阶跃期权和分位数期权等占用时间期权定价，本文推导了混合指数跳跃-扩散过程及其占用时间区间的各种联合分布.
Occupation densities of Ensembles of Branching Random Walks
研究了大量临界无漂移分枝随机游动的极限占据密度过程。我们证明了$\lfloor sN\rfloor$分支随机游动的重标度占据密度，作为一个函数值的，增过程$\{g_{s}^{N}\}_{s\ge 0}$，弱收敛到一个纯跳跃过程中的Skorohod空间$\mathbb D([0, +\infty), \mathcal C_{0}(\mathbb R))$，作为$N\to\infty$。此外，极限过程的跳跃由i.i.d.一个集成的超布朗漂移（ISE）密度的副本，重新缩放和加权的跳跃大小在一个实值稳定的1/2从属。
Laws of the iterated logarithm for occupation times of Markov processes
本文讨论了一般度量测度空间中马氏过程$Y$在零附近和无穷大附近的占有时的重对数律.我们首先建立LILs（截断）占用时间的球$B(x,r)$的半径$r$的功能$Φ(r)$，这是一个迭代对数的平均退出时间的$Y$，通过显示功能$Φ$是最佳的。我们的第一个结果的LILs的占领时间涵盖了近零和近无穷大的过程，无论是瞬态和复发。我们的假设是真正的本地，特别是在零和功能$Φ$在我们截断的占领时间$r \mapsto\int_0^{ Φ(x,r)} {\bf 1}_{B(x,r)}(Y_s)ds$依赖于空间变量$x$了。我们还证明了一个类似的LIL的总占用时间$r \mapsto\int_0^\infty {\bf 1}_{B(x,r)}(Y_s)ds$持有时，该过程是瞬态的。然后，我们建立了LIL的占用时间$t \mapsto \int_0^t {\bf 1}_{A}(Y_s)ds$的大时间行为的一个额外的条件下，保证该过程的复发。我们的结果涵盖了一大类Feller（Levy样）过程，随机电导模型与长程跳跃，跳跃过程与混合多项式局部增长和跳跃过程与奇异跳跃核。
Beyond the Arcsine Law: Exact Two-Time Statistics of the Occupation Time in Jump Processes
针对一维跳跃过程双时间停留统计难以精确刻画的问题，采用广义Wiener-Hopf方法得到联合分布、老化定律与自相关函数，发现连续时间标度极限下的普适特征，为复杂环境老化输运研究提供基础。
Occupation BAsed Propagation of Chaos for MacKean Vlasov Forward Backward Systems with Jumps and Monotone Sources
针对带跳的McKean-Vlasov正倒向系统，提出结合混沌传播与占据估计的方法，克服最小选择不连续性，获得改进的收敛速率并验证多个跳模型条件。
Fluctuation scaling limits for positive recurrent jumping-in diffusions with small jumps
对于具有小跳跃的正常返跳跃扩散，我们建立了逆局部时和占据时涨落的分布极限。为此，我们引入和利用本征函数与修改的Neumann边界条件和应用Krein-Kotani对应。
Weakly self-interacting velocity jump processes for bacterial chemotaxis and adaptive algorithms
引入了一个自相互作用速度跳跃过程，该过程在大时间内的行为与相应的自相互作用扩散过程相似，即其归一化占据测度的演化接近于确定性流.
Path Results for Symmetric Jump Processes
考虑了欧几里得空间中的一类跳过程，它们与某个非局部对称Dirichlet型相关联.我们证明了一个下界的占领时间的集合，并支持定理持有这些过程。
Fluctuation scaling limits for positive recurrent jumping-in diffusions with large jumps
对于具有大跳跃的正常返跳跃扩散，我们研究了逆局域时和占据时涨落的标度极限。本文将前人研究中引入的具有修正的Neumann边界条件的特征函数推广到一类具有较强奇异性的扩散方程。
Occupation times of spectrally negative Lévy processes with applications
本文计算了谱负Lévy过程（负半直线）占有时的拉普拉斯变换.我们的结果是标准布朗运动和跳跃扩散过程的已知结果的推广。结果用谱负Lévy过程的标度函数及其Laplace指数表示。保险风险模型的应用。
Occupation Times at a Moving Interface and Sharp Yosida Rates for MacKean-Vlasov BSDE with Jumps and Fuzzy Selections
该研究针对带跳的McKean-Vlasov BSDE，分析移动界面处的占有时矩界，证明一阶Yosida误差速率是精确的，还得到模糊解集截集的稳定性与逼近速率，结果适用于波动率不确定性场景。
Occupation times of exclusion processes with conductances
我们得到了具有速度变化的一维对称排斥过程的占据时间的涨落，其中跃迁速率（电导）由一般函数W驱动。该方法不需要对系统的谱隙进行严格的限制，也不需要从上或下对跳跃率进行限制。我们提出了一些例子，其中之一，我们观察到，目前的波动是微不足道的，但占领时间的波动是由一个分数布朗运动。这表明，一般来说，电流的涨落和占有时间的涨落不是同一量级的。
On weighted occupation times for refracted spectrally negative Lévy processes
对于折射谱负Lévy过程，我们确定了几个与拉普拉斯变换有关的量关于它们的加权占有时间直到第一次离开时间的表达式.这样的数量表示的唯一解决方案的积分方程涉及权函数和规模的功能，相关的频谱负Lévy过程。恢复了以前关于折射Lévy过程的结果。
Limit laws for occupation times of stable processes
本文用矩量法证明了一维对称1-稳定过程泛函的两个极限律，并对Rosen的论文\cite{Rosen}作了一个注记.
Occupation times of general Lévy processes
对于一个非复合泊松过程的任意Lévy过程$X$，我们关心的是它的占有时间.我们使用一个相当新颖和有用的方法来推导公式的拉普拉斯变换的联合分布的$X$和它的占领时间。我们的公式是紧凑的，更重要的是，公式的形式清楚地表明了计算$X$的占用时间的基本量。我们的结果不仅对随机过程的研究有重要意义，而且对金融应用也有重要意义。
The joint distribution of occupation times of skip-free Markov processes and a class of multivariate exponential distributions
对于一个非负整数上的无跳马尔可夫过程，我们计算了其在到达状态n（从0开始）之前的占用时间的联合拉普拉斯变换。这种拉普拉斯变换具有非常直接和熟悉的表达式。我们研究了这种拉普拉斯变换的性质，特别是占据时间形成马尔可夫链的条件。
Occupation times of intervals until first passage times for spectrally negative Lévy processes
本文证明了谱负Lévy过程在首达时间之前的区间占有时间的拉普拉斯变换.新的解析恒等式的尺度函数的推导，因此，结果明确表示的尺度函数的过程。应用期权定价和保险风险模型。
Occupation times of intervals until last passage times for spectrally negative Levy processes
本文导出了占有时间到最后通过时间的联合拉普拉斯变换及其位置。受Baurdoux [2]的启发，研究了独立指数变量前的最后时刻.通过应用对偶参数，根据Loeffen等人[12]的新分析恒等式导出了显式公式。
On Occupation Time for On-Off Processes with Multiple Off-States
在经济学、物理学和工程学等许多应用中，需要对具有多个关态的马尔可夫更新开关过程进行建模。表征一个特定的关断状态或两个关断状态的占用时间是至关重要的理解这样的过程。我们推导出精确的边缘和联合分布的关态占领时间。在模拟研究中的理论结果证实了数值。考虑了所有等待时间服从Levy分布的特殊情况，使公式有可能简化。
Excursion-dependent inverse-subordinator time changes of regenerative processes: Excursion structure and multiscale occupation-time limits
本文通过将不同独立子序分配给可测游程类，构造状态依赖逆子序时间变换的再生过程，并证明变换后的游程点过程仍为泊松过程，进而推导出多尺度联合占据时间极限定理。
Optimal L2 -approximation of occupation and local times for symmetric stable processes
研究了对称$α$ -稳定L{é}vy过程在高频离散时间观测下的占位和局部时的L2-逼近.当0 < $α$ $\le$ 1时，标准黎曼和估计是渐近有效的，但仅当1 < $α$ $\le$ 2时是速率最优的.为此，证明了L2逼近误差的精确收敛性与显式常数。
Long-time limits and occupation times for stable Fleming-Viot processes with decaying sampling rates
引入并分析了一类具有衰减采样率和$α$ -稳定运动的Fleming-Viot过程，该过程对应于种群增长的分布.几乎必然的是，这些过程的长期标度限制的发展，解决问题的长期总体分布的人口增长。高阶渐近性进行了研究。粒子的位置，占领和居住时间过程的收敛也被处理和相关的历史过程的方式。的基本结果和技术允许一般Feller运动/突变，并可能适用于其他测量值马尔可夫过程。
Occupation densities for certain processes related to fractional Brownian motion
本文证明了两类随机过程的平方可积〔的〕的存在性。首先考虑具有绝对连续随机漂移的高斯过程，其次考虑具有Hurst参数$H>\frac 12$的分数阶布朗运动的（Skorohod）积分.这些结果的证明使用了基于Malliavin演算技巧的平方可积〔的〕存在性的一般判据。
Fluctuations of the occupation times for branching system starting from infinitely divisible point processes
研究了一类经验系统的重标占有时间涨落过程。该系统是由在R^d中按α稳定运动独立演化的粒子组成的，α<d<2α.粒子按照二元临界分支定律分裂，强度V>0。我们研究如何限制行为的波动的占领时间取决于\emph{initial particle configuration}。本文对一类无穷可分分布得到了一个泛函中心极限定理。我们的研究结果扩展并将以前似乎是断开的结果放在一个统一的设置中。极限过程形成一维长程相依中心高斯过程族。
Occupation times of alternating renewal processes with Lévy applications
本文给出了一组与进程$X(\cdot)$的占用时间$α(t)$有关的结果。第一组结果涉及$t\geq0$的$α(t)$的精确表征，例如，根据它的变换到指数分布的时期。此外，我们建立了一个中心极限定理（需要一个中心化和规范化版本的$α(t)/t$收敛到一个零均值正态随机变量$t\rightarrow\infty$）和尾部渐近的$P(α(t)/t\geq q)$。我们将我们的研究结果应用于反映在下确界的谱正Lévy过程，并为相应的模型建立了各种新的占用时间结果。
A sharp upper bound for the expected occupation density of Itô processes with bounded irregular drift and diffusion coefficients
本文在系数有界和椭圆性条件下，找到了漂移和扩散系数未知的Itô过程期望占用密度的显式最优上界，并据此得到了路径积分均值的显式上界。
Superdiffusivity of occupation-time variance in 2-dimensional asymmetric processes with density 1/2
我们计算出，对于密度为1/2的非对称简单排斥平衡，在d=2维中，原点占据-时间方差到时间t的增长在某种意义上对于一般速率至少为t（log（log t）），对于仅在一个轴方向上不对称的速率至少为t（log t）^{1/2}。这些估计是一致的，相对于转移函数和方差的“第二类”粒子的示意图。
Occupation Times for Time-changed Processes with Applications to Parisian Options
被逆从属子随时间变化的随机过程被认为是一种建模非流动性市场中资产价格的方法，其中从属子的跳跃对应于人们无法出售资产的时间段。本文建立了时变反射布朗运动的漂移理论，并利用该理论将具有巴黎障碍条件的欧式期权的价格表示为时间分数偏微分方程的解.我们提供了一个一般性的描述的占领措施的时间变化的过程，并使用此证明一个Ray-Knight定理的占领措施的时间变化的布朗运动负漂移。当反射布朗运动由逆稳定从属子时变时，我们还证明了在有限时间区间上的漂移的持续时间服从Poisson-Dirichlet分布。
Central limit theorems of occupation times of high-dimensional normalized binary contact path processes
Griffeath（1983）引入的二元接触路径过程（BCPP）描述了传染病在图上的传播，是研究接触过程临界值上界改进的辅助模型。本文研究了格上规范化的BCPP（NBCPP）的占据时间的中心极限定理。我们证明了当模型的格子维数和感染率足够大且NBCPP的初态服从一个特定的不变分布时，NBCPP的中心占据时间过程在有限维分布中收敛于一个布朗运动.
Joint distribution of a spectrally negative Lévy process and its occupation time, with step option pricing in view
对于谱负的Lévy过程$X$，我们研究了如下分布：$$ \mathbb{E}_x \left[ \mathrm{e}^{- q \int_0^t \mathbf{1}_{(a,b)} (X_s) \mathrm{d}s } ; X_t \in \mathrm{d}y \right], $$其中$-\infty \leq a < b < \infty$，以及其中$q,t>0$和$x \in \mathbb{R}$ .更确切地说，我们确定拉普拉斯变换相对于$t$的这种措施的尺度函数的基础上的过程。然后，我们的结果被用来定价步骤选项和特殊情况下的指数谱负Lévy跳扩散模型进行了讨论。
Regular occupation measures of Volterra processes
本文研究Volterra过程的正则occupation测度，通过结合随机缝合引理和Euler近似，证明了其occupation测度、自交测度和时间边缘的时空正则性，并构建了非高斯Volterra过程类。
Convergence rate of the occupation measure of classes of ergodic processes toward their invariant distribution in mean Wasserstein distance
本文扩展了Fournier和Guillin的方法，为更广泛的平稳混合过程类提供了保持相同收敛速度的通用准则，并应用于非平稳或非马尔可夫的遍历过程的occupation measure。
Occupation densities in solving exit problems for Markov additive processes and their reflections
本文解决了谱负马氏可加过程及其反射的退出问题。所谓的尺度矩阵是谱负\levy过程尺度函数的推广，在出口问题的研究中起着核心作用。在Thm中证明了尺度矩阵的存在性。Kyprianou和Palmowski（2008年）的3。我们提供了一个概率结构的尺度矩阵，并确定变换。此外，我们推广到MAP设置的尺度函数和偏移（高度）措施之间的关系。主要的技术是基于占领密度公式，甚至在波动的范围内的频谱负Lévy过程这一想法似乎是新的。我们表示的尺度矩阵$W(x)=e^{-Λx}\eL(x)$在漂亮的概率对象开辟了进一步调查其属性的可能性。
Analysis of jump processes with nondegenerate jumping kernels
我们证明了正则性估计的功能，这是谐波相对于某些跳跃过程。本文的目的是将Bass-Levin[BL 02]和Bogdan-Sztonyk[BS 05]的方法推广到更一般的过程。此外，我们建立了一个新的版本的Harnack不等式，其中包含相应的调和函数的正则性估计。
Markov processes with spatial delay: path space characterization, occupation time and properties
本文研究了具有空间时滞的一维马氏过程。由于Feller的开创性工作，我们知道，几乎任何一维，强，齐次，连续马尔可夫过程可以通过其无穷小生成元和生成元的定义域唯一地表征。与布朗运动等标准扩散不同，具有空间延迟的过程在空间的单个点花费正时间。有趣的是，一个延迟过程在其延迟点所花费的时间集合在任何地方都不是稠密的，并且形成了一个正测度康托尔集。生成器的定义定义域具有涉及二阶导数的限制。在这篇文章中，我们提供了一个路径方面的延迟过程的一个指标和占用时间公式涉及对称当地时间的表征。这个特征提供了一个明确的Doob-Meyer分解，证明了这样的过程是半鞅，所有的随机分析，包括伊藤公式和Girsanov公式适用。我们还建立了一个占用时间公式连接的时间，该过程花费在一个延迟点的对称本地时间。最后给出了一个具有时滞的随机动力系统的物理例子并进行了分析。
Convergence of space-time occupation measures of stochastic processes and its application to collisions
本文提出时空占据测度（STOMs）新框架，统一研究马尔可夫过程正连续加性泛函的收敛性，并应用于独立随机过程碰撞，证明碰撞测度收敛定理，导出临界随机图上随机游走碰撞测度的缩放极限。
Estimates of densities for Lévy processes with lower intensity of large jumps
我们得到了跳Lévy过程转移密度的一般下估计。我们使用它们的过程与Lévy措施有界的支持，指数衰减的Lévy措施的大的时间和高强度的小跳跃的小时间的过程。
Large deviations for occupation times of Markov processes with $L_{\mathbf{2}}$ semigroups
我们的目标是在状态空间和过程轨迹上的最小条件下，统一和推广具有$L_2$半群的马尔可夫过程的占有时间的大偏差上下界，例如，不需要强马尔可夫性.这里使用的方法适用于连续和离散时间。我们提出的连续时间的证明，只是因为在这种情况下固有的技术困难，证明可以适用于离散时间在一个简单的方式。
A martingale representation theorem for a class of jump processes
我们给出了一个徒手的方法来鞅表示定理的整数值随机措施，它允许广泛的一类无限活动的跳跃过程，以及所有的过程，有序跳跃。
Heat kernels of non-symmetric jump processes with exponentially decaying jumping kernel
本文研究了一类跳跃核指数或次指数衰减的非对称马氏过程的转移密度。我们得到了它们的上界，它也以与跳跃核相同的速率衰减。当跳跃核的下界满足零处的弱上标度条件时，我们还建立了跃迁密度的下界，这些下界是尖锐的。
Poissonian occupation times of spectrally negative Lévy processes with applications
在本文中，我们在谱负Lévy过程的级别$0$之下引入了\emph{Poissonian occupation times}的概念。在这种情况下，仅当在独立泊松过程的到达时期观察到该过程为负时，才累积占用时间。我们的结果推广了一些著名的连续观测量，涉及占用时间的谱负Lévy过程。作为一个应用程序，我们建立了泊松占领时间和保险风险模型与巴黎实施延迟之间的联系。
Heat kernel lower bound estimates for symmetric pure jump processes via averaged jump kernels
利用平均跳跃核，在一般体积加倍度量测度空间上推导对称纯跳过程的热核下界估计，并应用于Sierpinski垫片底部布朗运动迹的转移密度函数下界。
Itô's formula for jump processes in $L_p$-spaces
本文给出了$L_p$ -空间中具有随机微分的跳过程的$L_p$ -范数的伊藤公式.主要结果将Krylov的著名定理推广到带跳过程的情形，并可用于证明Lévy过程驱动的SPDE在$L_p$ -空间中的存在唯一性定理.
The viability property of jump diffusion processes on Riemannian manifolds
本文讨论了$R^{m}$闭子流形上带跳扩散过程生存性的充要条件，并给出了具体的例子。
Symmetric jump processes: localization, heat kernels, and convergence
我们考虑纯跳型对称过程。我们证明了当地的估计退出球的概率，Hölder连续性的调和函数和热核，和收敛的一系列这样的过程。
Occupation Time Fluctuations of Weakly Degenerate Branching Systems
建立了具有各向异性空间运动和弱退化分裂能力的$\R^d$中分支粒子系统重标度占据时间涨落的极限定理。在大尺寸的情况下，我们的极限过程导致一类新的运营商标度高斯随机场与非平稳增量。在中间和临界维度中，极限过程的空间结构类似于Bojdecki等人所考虑的没有退化的临界分支粒子系统的空间结构（但更复杂）。{ \it随机过程。Appl.2006）。由于弱退化分支能力，在所有三种情况下的极限过程的时间结构是不同的Bojdecki等人。{ \it随机过程。Appl.2006）。
Prediction of Gaussian Volterra Processes with Compound Poisson Jumps
该研究针对带复合泊松跳的高斯Volterra过程，推导得到了其预测规律。
Captive Jump Processes
我们显式地构造了所谓的俘获跳跃过程。这些是连续时间中的随机过程，其动力学被时间非齐次有界域所限制。捕获进程的漂移和波动取决于域的边界，域的边界反过来又限制了进程的状态空间。我们展示了如何一个不可逾越的壳可能包含的俘虏跳过程，而该过程可能会跳转的限制域。在进一步的发展中，我们还展示了如何-在一个封闭的域-内部的时间依赖性走廊可以引入，其中一个俘虏跳跃过程可能只会离开，如果跳跃达到足够远，而仍然无法穿透外部的限制壳。俘获跳跃过程是近年来发展起来的俘获扩散过程的推广。当捕获跳跃扩散过程是连续鞅或纯跳跃过程时，最上边界非减，最下边界非增。俘获跳跃过程可以被认为是对诸如电子从一个轨道（价壳层）过渡到另一个轨道的现象进行建模，以及随机波函数可以“穿透”边界（即，墙）的势能。我们提供了具体的，制定的例子和模拟的动态俘虏跳跃过程中的几何形状与圆形边界，演示。
The maximal jump and local convergence of continuous-state branching processes
研究了连续状态分支过程的最大跳的分布。得到了局部最大跳和全局最大跳的几个精确表达式和显式渐近性。我们还比较了最大跳的分布和Lévy测度的分布，得到了几个绝对连续的结果。然后我们研究了连续状态分支过程在各种条件下的局部收敛。在最大跳跃较大的条件下得到了完整的结果，在另外两个条件下得到了部分的结果，这两个条件是：大宽度条件和大总质量条件.
On the comparison between jump processes and subordinated diffusions
给定一个对称扩散过程和一个跳跃过程在同一个基空间上，是否存在一个从属过程使得跳跃过程和从属扩散过程是可比的？我们解决这个问题时，扩散满足亚高斯热核估计和跳跃过程满足多项式型跳跃核的界限。在这些假设下，我们得到了跳核估计存在的充要条件。作为我们的结果和Chen，Kumagai，Wang最近的稳定性结果的应用，我们得到了一个大的跳跃过程族的抛物Harnack不等式.特别地，我们证明了在这样的空间上任何具有多项式型跳跃核界的跳跃过程都满足抛物Harnack不等式。
Markov branching processes with disasters: extinction, survival and duality to p-jump processes
本文通过建立 p-跳跃过程在单位区间上的极限定理，并利用概率生成函数对偶性，研究带二项灾难的分支过程的生存概率极限，进而推广到时间非齐次生灭过程和带 p-跳跃的连续状态分支过程。
The unified form of Pollaczek--Khinchine formula for Lévy processes with matrix-exponential negative jumps
对于具有矩阵指数负跳的Lévy过程，建立了Pollaczek-Khinchine公式的统一形式.
A limit theorem for occupation measures of Lévy processes in compact groups
给出了可度量化紧群中Lévy过程的正规占据测度以概率1渐近一致的一个充要条件的一个简短证明.
Generalized scale functions of standard processes with no positive jumps
作为谱负Lévy过程标度函数的推广，我们定义了一般标准过程的无正跳标度函数。为此，我们采用了偏移措施。利用我们的新尺度函数，我们研究了首中时，潜在的措施和对偶的拉普拉斯变换。
Occupation time fluctuations of Poisson and equilibrium branching systems in critical and large dimensions
本文给出了$\mathbb{R}^{d}$中临界有限方差分支粒子系统重标占据时间涨落过程的极限定理，该系统具有对称的$α$ -稳定运动，从标准Poisson随机场或临界$d=2α$和大$d>2α$维数的平衡分布出发.极限过程是广义Wiener过程。所得到的收敛性是在时空、有限维分布意义下的。在分支律的附加假设下，得到了泛函收敛性.
Martingale Nature and Laws of the Iterated Logarithm for Markov Processes of Pure-Jump Type
利用跳核给出了两大类纯跳型保守马氏过程为有限二阶矩纯间断鞅的充分条件。作为应用，我们建立了相关过程样本路径的重对数律。
Stationary distributions for jump processes with memory
我们分析了一个跳跃过程$Z$与跳跃措施所确定的“记忆”过程$S$。$(Z,S)$的状态空间是单位圆与实直线的笛卡儿积。我们证明了$(Z,S)$的平稳分布是均匀概率测度和高斯分布的乘积。
On Jump Measures of Optional Processes with Regulated Trajectories
从一个迭代的，因此数值上容易实现的表示cadlag适应随机过程$X$的薄集出发，（包括对关于$X$的跳跃测量的积分的一些应用），我们发展了类似的表示技术来描述具有调节轨迹的可选过程的跳跃集，并引入了它们的诱导跳跃测度，金融数学中的放大过滤
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