Improvements to the deformation method for counting points on smooth projective hypersurfaces
我们提出了各种改进的变形方法计算zeta函数的光滑射影超曲面有限域上使用$p$ -adic上同调。这包括获得可证明正确的结果所需的$p$ -adic和$t$ -adic精度的新界限，以及该方法各个步骤的效率增益。因此，我们得到的算法具有较低的时间和空间复杂度比现有的方法。此外，我们的实现是更实用，可以应用更广泛，我们说明了五次曲线和四次曲面的例子。
2014-09-10 math.AG math.NT
A Combinatorial Method for Counting Smooth Numbers in Sets of Integers
在本文中，我们提出了一种方法，生产的渐近估计的整数在一个给定的S只有“小”素因子的数量。需要验证的条件比其他方法所需的条件简单，我们应用我们的结果给出了一个结果的简单证明，即{1，2，. x}总是渐近地产生x^r -光滑和a+b的期望个数，其中a在A中，b在B中。回想一下，如果一个数n的所有素除子都至多是y，则称它是y-光滑的。
2003-11-26 math.CO math.NT
On smooth elements in arithmetic semigroups
Lancaster University（兰卡斯特大学）
本文研究算术半群中的光滑元素，在满足公理A时给出计数函数的显式渐近式，推广了整数情形结果，并应用于有限阿贝尔群和半单环的光滑族计数。
2026-09-25 math.NT
Frobenius lifts and point counting for smooth curves
本文描述了一种计算有限域上一条适当的平滑曲线的zeta函数的算法，当曲线与一些辅助数据一起给出时。我们的方法是基于计算矩阵的作用的半线性Frobenius的第一个上同调群的曲线通过Serre对偶。所涉及的上积可以在局部计算，首先计算Frobenius的全局定义的提升的局部展开。由此产生的算法的复杂度是软立方的领域度，这也是与超椭圆情况下的Kedlaya的算法的情况。
2013-06-21 math.AG math.NT
Counting solvable $S$-unit equations
我们得到的上界有限集$\mathcal S$的素数低于一个给定的界限，其中各种$2$变量$\mathcal S$ -单位方程有一个解决方案。
2020-07-30 math.NT
Counting $2\times2$ integer matrices with fixed trace and determinant
该研究利用二次根的Weyl和的和的界，对带固定特征多项式的2×2整数矩阵数目做带光滑权的计数，给出主项与误差项。
2024-10-06 math.NT
Counting integral points on indefinite ternary quadratic equations over number fields
研究了数域上非退化不定积分三元二次型$f$所定义的方程的积分点的渐近计数公式，该形式表示一个非零整数$a$，使得$-a\cdot det(f)$在数域上是平方的.特别地，我们证明了这个渐近公式的有限部分是由局部密度乘以$1-p^{-1}$在所有有限素数$p$在$\Bbb Z$上的乘积给出的.
2021-03-19 math.NT
Counting in hyperbolic spikes: the diophantine analysis of multihomogeneous diagonal equations
本文给出了一种求多维算术函数在双曲求和条件下的和的方法，只要在矩形盒中的渐近公式是可用的。与圆方法相结合，新方法是计算由多个齐次对角方程定义的代数簇上的有理点的通用工具。
2014-02-05 math.NT
Counting points on smooth plane quartics
本文提出了在素数p模下对光滑平面四次曲线X进行点计数的高效算法，涵盖两种定义场景，提供两种不同时空复杂度的方法且实践中更快，还首次实现非$\mathbb P^1$循环覆盖曲线的平均多项式时间算法，可覆盖亏格$g\le3$的曲线。
2022-08-21 math.NT
Counting fundamental solutions to the Pell equation with prescribed size
研究了Pell方程的基本解$t^2-Du^2=1$小于$D^{\frac{1}{2}+α}$ with $α\in[\frac{1}{2},1]$的$D\leqslant x$集合的基数，得到了一定的下界，通过将van der Corput方法的$q$ -模拟引入光滑模代数指数和，改进了Fouvry的已有结果.
2018-02-16 math.NT
Counting solvable $\mathcal S$-unit equations and linear recurrence sequences with zeros
本文基于模技巧与Erdős的经典思想，证明了数域乘法群固定有限生成子群中可解线性方程比例极小，并给出了取零值的线性递推序列数量的紧致上界。
2025-03-06 math.NT
Power savings for counting solutions to polynomial-factorial equations
令$P$是具有整数系数且次数至少为2的多项式。我们证明了整数解$n\leq N$到$n! = P(x)$的数量上界，这产生了在平凡界上的功率节省。特别是，这适用于布罗卡和拉马努金的一个世纪之久的问题。之前的最佳结果是解的个数为$o(N)$。证明使用丢番图和Padé近似技术。
2022-04-18 math.NT
Counting the number of solutions to certain infinite Diophantine equations
设$r, v, n$为正整数。本文研究了无穷丢番图方程的解的个数$s_{r,v}(n)$，其中解的个数为${\bf k}=(k_1,k_2,k_3,\dots)\in\mathbb{Z}^{\infty}$的解$$ n=1^{r}\cdot |k_{1}|^{v}+2^{r}\cdot |k_{2}|^{v}+3^{r}\cdot |k_{3}|^{v}+\ldots, $$.对于每个$(r,v)\in\mathbb{N}\times\{1,2\}$，建立了$s_{r,v}(n)$的母函数和一些渐近公式.
2021-04-03 math.NT
Counting algebraic points of bounded degree on curves
本文研究数域上光滑射影曲线中满足次数为ν、函数域与基域经gonality态射一致且高度不超过T的代数点数量的增长速率。
2025-05-08 math.NT
Progress Towards Counting D_5 Quintic Fields
设$N(5,D_5,X)$是Galois闭包具有伽罗瓦群$D_5$且判别式以$X$为界的五次数域的个数.根据Malle的一个猜想，我们期望对于某个常数$C$，$N(5,D_5,X) \sim C X^{1/2}$.最有名的上限是$N(5,D_5,X)\ll X^{3/4 + ε}$，我们表明，这可以提高计数点上的一定品种定义的规范方程，计算机计算给出了有力的证据，这个数字是$\ll X^{2/3}$。最后，我们展示了如何这样的范数方程可以是有益的，通过重新解释早期的证明黄上界$A_4$四次领域在一个类似的范数方程。
2011-11-06 math.NT
Counting Square-full Solutions to $x+y=z$
Mathematical Institute, Oxford（牛津大学数学研究所）
该研究改进了计数满足x+y=z的完全平方整数解的上界，引入了新的工具用于处理三次方程的计数问题。
2026-01-12 math.NT
Counting Polynomial-type Exceptional Units on Algebraic Varieties over Number Fields
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文研究了代数数域上代数簇上的多项式型例外单位的计数问题，通过中国剩余定理和Hensel提升技术，推导出在良好降解条件下精确计数公式，并利用Lang-Weil不等式建立渐进行为估计，特别是对二次度数以下的簇改进了误差项。
2026-01-06 math.NT
New bounds for $ψ(x)$
本文给出了素数计数函数$ψ(x)$的新的显式切比雪夫界。证明依赖于两个新的参数：平滑的素数计数函数，允许推广以前的方法，和一个新的明确的零密度估计的黎曼ζ函数的零点。
2013-10-23 math.NT
An Algorithm for Ennola's Second Theorem and Counting Smooth Numbers in Practice
令$Ψ(x,y)$计算正整数$n\le x$的个数，使得$n$的每个素因子至多为$y$。给定输入$x$和$y$，估计$Ψ(x,y)$的最佳方法是什么？我们解决这个问题，在三个方面：一个新的算法来估计$Ψ(x,y)$，与一个既定的算法的性能改进，并与经验为基础的建议，如何选择一个算法来估计$Ψ$给定的输入。我们估计$Ψ(x,y)$的新算法基于Ennola第二定理[Ennola 69]，该定理适用于$y< (\log x)^{3/4-ε}$对$ε>0$。它在每次评估$Ψ$时进行预计算的$O(y^2/\log y)$算术运算和$O(y\log y)$运算。本文介绍了如何以一种新的方式应用牛顿法，使基于Hildebrand和Tenenbaum [1986]鞍点法的HT算法的速度提高一个正比于$\log\log x$的因子。最后，我们给出了我们的经验建议的基础上的五个算法来计算估计$Ψ(x,y)$。这里的挑战是，适用范围的边界，在定理中给出的，往往包括未知的常数或小值的$ε>0$，例如，不能直接编程。
2022-08-02 cs.DS math.NT
Counting primitive integral solutions to spherical generalized Fermat equations
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
本文使用Fermat下降法，改进了Beukers关于球面广义Fermat方程本原整数解无限性的结果，给出了有界高度下本原整数解数量的渐近计数。
2026-05-27 math.NT
Counting monochromatic solutions to diagonal Diophantine equations
我们展示了如何适应Hardy-Littlewood圆的方法来计数单色解对角丢番图方程。这提供了一个下界，这是最佳的绝对常数。该方法在通过将对角二次型设置为等于线性型获得的方程上进行说明。因此，我们确定了一个代数准则时，这样的方程是分区定期。我们的方法涉及离散调和分析，并需要一些“混合”的限制估计，这可能是独立的利益。
2021-09-14 math.CO math.NT
Frobenius lifts and point counting for smooth curves
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Vrije Universiteit Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）；Tiangong University（天津工业大学）
本文提出一种利用 Frobenius 提升和 Poincaré 对偶计算有限域上光滑曲线 zeta 函数的算法，复杂度软三次，并证明分歧至多 p 时晶体 Frobenius 保持第一 de Rham 上同调群。
2026-09-25 math.AG math.NT
Riemannian structures and point-counting
设$(X_n)$是$\mathbb{F}_q$上的正维光滑射影完全交序列，其维数有界，特征零提升$(\tilde{X}_n)$光滑射影几何连通簇.假设每一个复簇$\tilde{X}^{an}_n$都有一个截面曲率至少为$-κ_n^2$，$κ_n\geq 0$，直径至多为$D_n$的黎曼度量$g_n$（底层实流形配备有）.本文证明了如果\[\lim_{n\rightarrow\infty}\min\{d:X_n(\mathbb{F}_{q^d})\neq\emptyset\}=+\infty,\]，则$κ_nD_n\rightarrow+\infty$。我们推导出这个定理，证明了一个更一般的定理，估计上述品种的有限域上的点的数量在截面曲率和直径的黎曼结构的特征零升降机的分析。我们还证明了一个版本的非投射品种配备完整的度量非负截面曲率的估计。最后，我们证明了上述估计的特征零模拟有关的不动点的代数自同态光滑射影复完全相交的黎曼结构。
2019-10-09 math.AG math.DG math.NT
Counting Solutions to Discrete Non-Algebraic Equations Modulo Prime Powers
随着社会越来越依赖计算机，密码安全变得越来越重要。当前的加密方案包括ElGamal签名方案，其依赖于离散对数问题的复杂性。人们认为，这些方案使用的函数具有计算上难以处理的逆。关于这一点，我们感兴趣的是计数的解决方案，以推广的离散对数问题模一个素数的权力。这是通过内插到p-adic函数，并使用亨塞尔引理，或其他方法的情况下奇异提升，和孙子剩余定理。
2016-08-21 cs.CR math.NT
Effective count of integer points on ternary affine quadrics and effective equidistribution
College of Mathematics and Statistics, Center of Mathematics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院，数学中心）
通过混合性研究数字段上特定无限均匀测度的等分布及计数问题，获得Oh-Shah和后续Kelmer-Kontorovich研究的平滑版本。
2026-03-22 math.DS math.NT
Zero counting and invariant sets of differential equations
考虑具有代数系数的$\mathbb{C}^n$中的多项式向量场$ξ$，并且$K$是轨迹的紧凑段。令$N(K,d)$表示$K$与次数为$d$的代数超曲面之间的最大孤立相交数。我们在$ξ$上引入了一个条件，称为\emph{constructible orbits}，并证明了在这个条件下，$N(K,d)$随$d$多项式增长.建立了$\mathbb{C}(t)$上线性微分方程、平面多项式微分方程和与自守$j$ -函数有关的某些微分方程的可构造轨道条件.作为主要结果的应用，我们证明了$K$平面投影中给定高度的有理点个数的多项式上界.
2017-08-02 math.CA math.NT
Counting Models of Genus One Curves
设C是Henselian离散赋值域上的可解光滑亏格单曲线.存在唯一的极小Weierstrass方程定义C直到同构。在本文中，我们认为属一个方程的度n定义C，即（广义）二元四次当n = 2，三元三次当n = 3，和一对四元二次当n = 4。一般来说，极小亏格1的n次方程在同构下不是唯一的。我们解释了最小亏格为1的n次方程的数目如何根据C的雅可比矩阵的Kodaira符号而变化。然后，我们把这些方程计算到在类数为1的数域上的同构。
2010-02-02 math.AG math.NT
Counting solutions to invariant equations in dense sets
本研究给出了稠密集中不变方程解数的下界与凸方程解数的Behrend型上界构造，并改进了无长方程非平凡解的集合规模上界结果。
2023-06-14 math.CO math.NT
Riemann-Type Functional Equations -- Julia Line and Counting Formulae --
本文研究Riemann型函数方程，针对Selberg类函数，证明了a-点的Riemann-von Mangoldt公式及Landau公式类比，得出纵坐标均匀分布，并证明均值存在。
2021-10-13 math.CV math.NT
