发表机构
Ben-Gurion University of the Negev; Vrije Universiteit Amsterdam; Tiangong University（内盖夫本-古里安大学; 阿姆斯特丹自由大学; 天津工业大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出一种利用 Frobenius 提升和 Poincaré 对偶计算有限域上光滑曲线 zeta 函数的算法，复杂度软三次，并证明分歧至多 p 时晶体 Frobenius 保持第一 de Rham 上同调群。
AI 中文摘要
我们描述了一种算法，用于计算有限域 $k$（特征为 $p$）上真、光滑曲线的 zeta 函数，当曲线与一些辅助数据一起给出时，包括在 $\Q_p$ 的有限扩张中的赋值环上的提升 $C$。如果分歧至多为 $p$，则该算法是无分母的。我们的方法通过 Poincaré 对偶性，利用从全局定义的 Frobenius 提升的局部展开计算的上积，来计算曲线第一 de Rham 上同调群上半线性 Frobenius 作用的矩阵。对于（一般的）光滑平面曲线，其复杂度在域次数上是软三次的，我们对此进行了更详细的估计。我们明确说明了如何在一般情况下以及曲线为光滑平面时，基于具有“局部可积极部分”的 1-形式，计算 $C$ 的第一 de Rham 上同调群的合适基。我们证明了若分歧至多为 $p$，则晶体 Frobenius 保持 $C$ 的第一 de Rham 上同调群，改进了已知结果。在附录中，我们证明了上积的一个著名公式，以及 Serre 的一个公式，用于特征为零的曲线上第一 de Rham 上同调群，对此似乎没有参考文献。
英文摘要
We describe an algorithm for computing the zeta function of a proper, smooth curve over a finite field $k$ of characteristic $p$, when the curve is given together with some auxiliary data, including a lift $C$ to the valuation ring in a finite extension of $\Q_p$. The algorithm is denominator-free if the ramification is at most $p$. Our method computes the matrix of the action of a semilinear Frobenius on the first de Rham cohomology group of the curve by means of Poincaré duality, using cup products that can be computed from local expansions of a globally defined lift of Frobenius. Its complexity is softly cubic in the field degree for (general) smooth, planar curve, for which we work out our general estimates in more detail. We make explicit how to compute a suitable basis of the first de Rham cohomology group of $C$, base on 1-forms with `locally integrable polar parts', in both the general case and when the curve is smooth planar. We show the crystalline Frobenius preserves the first de Rham cohomology group of $C$ if the ramification is at most $p$, improving upon known results. In an appendix we prove a well-known formula for the cup product, and a formula by Serre, on the first de Rham cohomology group for a curve in characteristic zero, for which no reference seems to exist.
