Partitions of primitive Boolean spaces
本文研究原始布尔空间上的 trim 分拆类，通过细化关系将其构造成拟序集，并建立与扩展 PO 系统的拟序同构；同时定义秩分拆作为 trim 分拆的理想完备化，将相关结果推广到局部紧致布尔空间。
2025-02-06 math.GN math.LO math.RA
A non-commutative Priestley duality
证明了具有零和真同态的左手强分配斜格范畴对偶等价于局部Priestley空间上的一类层。我们的结果为分配格提供了经典Priestley对偶的一个非交换版本，并推广了斜布尔代数的Stone对偶的最新发展。从斜格的角度来看，利奇表明早期的任何强分配斜格可以嵌入斜格的部分职能的一些设置与业务被给予限制和所谓的覆盖。我们的对偶性表明，这种嵌入存在一个规范选择。相反，从布尔空间上的层的角度来看，我们的结果表明，斜格对应于这些空间上的Priestley序，斜格结构自然适合于Priestley空间上的层。
2013-05-17 math.GN math.RA
De Vries powers: a generalization of Boolean powers for compact Hausdorff spaces
我们将布尔幂构造推广到紧T2空间的情形。这是通过将布尔代数替换为de Vries代数（富含邻近性的完全布尔代数）和将Stone对偶替换为de Vries对偶来实现的。对于紧Hausdorff空间$X$和全序代数$A$，我们引入了一个赋值正规函数$f:X\to A$的概念.我们证明了$A$的运算提升到所有n值正规函数的集合$FN(X,A)$，并且在$FN(X,A)$上存在一个典范的邻近关系$\prec$.这就产生了de Vries幂构造，当限制到Stone空间时，产生布尔幂构造。证明了全序整环$A$的de Vries幂公理化为邻近Baer Specker $A$ -代数，即由其幂等元生成的无挠$A$ -代数对$(S,\prec)$，其中$S$是由其幂等元生成的Baer环，而$\prec$是$S$上的邻近关系.引入了邻近Baer Specker $A$ -代数范畴及它们之间的邻近态射，证明了这一范畴与紧T2空间和连续映射范畴对偶等价.这为邻近Baer Specker $A$ -代数提供了de Vries对偶的类似物。
2013-11-19 math.GN math.LO math.RA
Free skew Boolean intersection algebras and set partitions
本文建立自由左斜布尔交代数原子与集合划分的双射，描述有限结构并用贝尔数和斯特林数表达组合特征，同时推广到无限情形。
2016-02-04 math.CO math.RA
The Nearly Boolean Nature of Core Regular Double Sone Algebras, CRDSA (Ternary Set Partitions, CRDSA, Embeddings and Dual Equivalences)
在“中心核正则双斯通代数”（CRDSA）中，许多有用的结果表明，开始表明我们在这里集中的CRDSA的近布尔性质。我们定义的节点集格通过众所周知的二元运算的三元集划分，并显示所得到的格同构于C3 ^J，其中C3是3元素链CRDSA。与布尔代数和C2的情形类似，我们得到每个CRDSA都是C3的次直积。我们利用这些结果证明了每个布尔代数都是某个CRDSA的中心。接下来我们证明了C3是原始的，这意味着由它生成的簇对偶等价于布尔代数的范畴。从某种意义上说，这是我们实现将CRDSA建立为接近布尔值的目标的最后一步，但让我们有点不满意。因此，我们继续通过建立一个对偶的范畴之间的CRDSA和专门制作的双拓扑空间。为此目的，我们首先建立充要条件和充分条件对成对零维空间，使它将有一个CRDSA基地B1。我们注意到，这些条件表明CRDSA接近布尔值的程度。例如，如果B1中的u不是开闭/补的，则Cl（u）在B1中并且是开闭/补的。然后我们建立了双连续映射有一个逆是CRDSA同态的充要条件，再次表明CRDSA是布尔的，这些逆必须遵守B1的非闭元边界上的适当条件。在顶点，我们证明了核正则双斯通代数的范畴是对偶等价于我们所说的核正则双成对斯通空间的范畴。我们注意到，这种对偶的条件可以很容易地放松，以产生一个比CRDSA刚性较低的类格的对偶，例如有界分配伪补格。
2018-09-23 math.RA
Stone pseudovarieties
本文将profinite代数理论扩展至Stone拓扑代数，引入Stone伪簇概念，通过对偶理论证明其剩余闭包性质并建立Birkhoff型定理。
2023-05-17 math.GN math.LO math.RA
Codensity, profiniteness and algebras of semiring-valued measures
证明了：如果S是有限半环，则Stone空间X上的自由前有限S-半模同构于X上的所有S-值测度的代数，这些测度是X的闭闭圈的布尔代数到S的可加映射.这些代数自然地出现在形式语言的逻辑方法以及幂等分析中。当S是（亲）有限幂等半环时，S-值测度都由连续密度函数唯一给出。这将布尔Stone空间的Vietoris超空间的经典表示用连续函数推广到Sierpinski空间。我们采用一种基于profinite单子的范畴方法来研究profinite代数。后者首先由Adamek等人引入，作为余密度单子概念的特例。
2019-05-01 math.CT math.GN math.RA
Idempotent generated algebras and Boolean powers of commutative rings
交换环R的布尔幂S具有交换R-代数的结构，并且关于该结构，S的每个元素可以唯一地写为正交幂等元的R-线性组合，使得幂等元的和为1并且它们的系数是不同的。为了形式化这一分解性质，我们引入了Specker R-代数的概念，并证明了R的布尔幂幂与Specker R-代数同构.我们还表明，这些代数的特点是在一个函子建设有根源的伯格曼和罗塔的工作。当R是不可分解的时，证明了S是SpeckerR-代数当且仅当S是投射R-模，从而加强了Bergman的一个定理;当R是整环时，证明了S是SpeckerR-代数当且仅当S是挠自由R-模.对于不可分解的R，我们证明了Specker R-代数范畴等价于布尔代数范畴，从而对偶等价于Stone空间范畴.另外，当R是整环时，我们证明了Baer Specker R-代数范畴等价于完备布尔代数范畴，从而对偶等价于极不连通紧T2空间范畴.对全序R，证明了R上的Specker R-代数S是f-代数时，S上存在唯一的偏序，并证明了S等价于从Stone空间X到R上的分段常数连续函数的R-代数，该函数具有区间拓扑.
2013-06-13 math.GN math.LO math.RA
On Skew Heyting Algebras
本文将Heyting代数的概念推广到非交换的情形，从而引入我们认为是斜格蕴涵的适当概念。给出了几个斜Heyting代数的例子，包括Heyting代数、对偶斜布尔代数、余正规斜链和偏序集整环部分映射代数。
2016-04-08 math.RA
Exploring Core Regular Double Stone Algebras, CRDSA, II. Moving Towards Duality
这是第二次在一系列的三个说明调查核心定期双斯通代数，CRDSA，这是为了阅读的顺序。本文开始研究双拓扑空间中CRDSA的对偶性.更简洁地说，对偶是通过细化成对Stone空间和有界分配格的预先建立的对偶来实现的.本文建立了两两零维空间有核正则双Stone代数基的充要条件。我们注意到，这些条件可以很容易地放宽到两两零维空间所必需的条件，以具有不像CRDSA那样刚性的基，例如有界分配伪补格。此外，这些条件给出了一个拓扑表示，表明CRDSA是多么“接近布尔”，非开闭/补基元素的闭包是开闭/补基元素。仅为了说明的目的，我们将任何具有核正则双Stone代数基的成对零维空间称为核正则双成对零维空间。从这个结果中，我们获得了信心，声称核正则双Stone代数范畴对偶等价于我们在本说明中所指的核正则双成对Stone空间范畴。我们在下一个注释中验证了这一说法，探索核心正则双石代数，CRDSA，III。建立二元性。
2018-06-23 math.RA
Exploring Core Regular Double Stone Algebras, CRDSA, III. Establishing Duality
这是最后一个系列的三个说明的调查核心定期双斯通代数，CRDSA，这是为了阅读的顺序。本文结束了我们在双拓扑空间上对CRDSA对偶性的初步研究。更简洁地说，对偶通过细化成对Stone空间和有界分配格的预先建立的对偶。本文证明了从CRDSA L导出的两两Stone有一个基是同构于L的CRDSA。仅为了说明的目的，我们将任何这样的成对零维空间称为核正则双成对零维空间，并且对于相应的成对Stone空间也是类似的。然后，我们建立了双连续映射有一个逆是CRDSA同态的充要条件。这些结果与CRDSA的“接近布尔”程度无关，这些逆必须满足双拓扑空间的基的非闭元边界上的适当条件。从这个结果中，我们验证了我们早先的主张，即核正则双Stone代数范畴对偶等价于核正则双成对Stone空间范畴。我们注意到，这种对偶的条件应该能够很容易地放松，以产生比CRDSA更不严格的有界分配格子类的对偶，例如有界分配伪补格。
2018-06-07 math.RA
A Note on Rough Set Algebra and Core Regular Double Stone Algebras
U.S. DoD - Laboratory for Advanced Cybersecurity Research（美国国防部高级网络安全研究实验室）
粗糙集理论（Rough Set Theory，缩写为Rough Set）是由Pawlak于1982年首次提出的一种用于处理知识不确定或不完整的信息系统的方法。\cite{Pawlak}它在人工智能和认知科学的许多子领域都具有根本的重要性。给定一个具有等价关系$θ$的论域$U$，对$\langle U,θ\rangle$被称为信息系统，我们表示它的粗糙集集合$R_θ$。在我们的主要定理中，我们证明了$R_θ$与$|θ_u| > 1\ \forall\ u \in U$同构于核正则双Stone代数CRDSA，CRDSA是完备的和原子的，并且清晰的或可定义的集合形成完备的原子布尔代数。这些保证的下确界/上确界的任意子集和公式的基本元素是可能有用的，如果处理等价关系与无限数量的分区，如投影希尔伯特空间。我们进一步得到，每个CRDSA是同构的主粗糙集代数，$R_θ$的一个子代数，对某些近似空间$\langle U,θ\rangle$。在我们的主要推论中，我们明确地展示了如何将$R_θ$嵌入到CRDSA中，并首先通过扩展\cite{RCRDSA}的最终有限示例来演示。作为我们的顶点，我们考虑的射影希尔伯特空间的复数，$\mathbb{C}$和显示，除其他事项外，功率集的一组纯状态是一个完整的，原子布尔代数。最后，我们提出了其他可能有用的量子相关应用，如希尔伯特空间的运营商
2022-02-01 cs.LG math.RA
Noncommutative Pierce Duality between Steinberg Rings and Ample Ringoid Bundles
Pierce和Dauns-Hofmann的经典工作证明了Stone空间上的双正则环与单环丛是对偶的。我们将这种对偶性推广到Steinberg环，一个纯粹的代数推广的Steinberg代数，和环丛在充足的群胚。我们的基础，这在很大程度上是一个更一般的扩展劳森的非交换石对偶，特别是斯坦伯格半群之间，广义的布尔逆半群，并在丰富的群胚类束。
2023-03-23 math.CT math.OA math.RA
Relative Generalized Boolean Dynamical System Algebras
本文研究广义布尔动力系统代数的代数类比，证明其为 Cuntz-Pimsner 代数和部分斜群环，建立并推广分次唯一性定理，刻画分次理想，并证明其与无奇点系统代数 Morita 等价，同时给出基于 Stone 对偶的图结构刻画。
2025-07-02 math.OA math.RA
Topological Representation of Double Boolean Algebras
在形式概念分析中，任何上下文的原概念的集合形成完全上下文的双布尔代数（dBa）。上下文的半概念形成纯dBa。本文是一个研究的拓扑表示结果的dBAs，特别是那些完全上下文和纯dBAs。在这项工作中，上下文拓扑空间（CTS）被认为是，重点是在一种特殊的CTS，其中的关系定义的上下文以及逆的关系是连续的拓扑。这样的CTS被表示为CTSCR。据观察，封闭式面向对象的原型概念的CTSCR形成一个完全上下文的dBa，而封闭式面向对象的概念形成一个纯粹的dBa。每个dBa被证明是准嵌入到dBa的一个特定的CTSCR的面向对象的原型概念的Clopen。在上下文dBa的情况下，准嵌入变成嵌入，并且当dBa是完全上下文的时，准嵌入变成同构。对于纯dBas，人们获得了与CTSCR的面向对象的闭包代数的同构。有限dBas和布尔代数的表示也在这个过程中解决。这个CTSCR的属性的抽象导致Stone上下文的定义。Stone上下文和CTSCR-同胚被看作形成一个范畴，记为Scxt。此外，dBa同构和CTSCR-同胚之间的对应关系。这激发了对dBas的范畴二元性的研究，构成了文章的第二部分。纯dBas和完全上下文dBas以及dBa同构形成类别，分别表示为PDBA和FCDBA。建立了PDBA等价于FCDBA，而FCDBA和PDBA双重等价于Scxt。
2021-11-28 math.LO math.RA
Stone space partitions indexed by a poset
本文研究由偏序集或PO系统索引的Stone空间修剪划分理论，分析序性质与拓扑性质的关联、划分的扩张完备性、存在充要条件及同胚唯一性，得到Cantor集上满足特定闭包条件的实索引划分推论。
2022-05-21 math.GN math.LO math.RA
Groupoids on a skew lattice of objects
受布尔代数的经典逻辑模型的一些替代方法的启发，本文研究了用局部可逆元扩充斜格的代数结构。根据Ehresmann-Schein-Nambooripad定理的模因，我们考虑一个群胚（同构的小范畴），其中对象的集合具有斜格的结构。对象通过态射的左、右限制和扩张映射作用于态射，模仿归纳广群的情形。条件被放置在动作上，由此可以定义伪积。这给出了一个签名代数（2，2，1），其中每个二元运算都具有纯正半群的结构。在相反的方向上，所描述的那种广群可以从代数中重构。
2018-10-13 math.GR math.RA
On selected developments in the theory of natural dualities
这是一个关于自然二元性理论的选择性发展的综述，作者有机会与他的外国同事一起取得了一些突破，并推动了理论的发展。它的目的是作为作者的反思他的作品自然对偶在牛津和墨尔本在二十年期间1993年至2012年（之前他的注意力与同事在泛代数和格理论已完全集中在理论的典型扩展和理论的bilattices）。这也意味着，作为一个剩余的主要问题的理论的自然对偶性，对偶性问题和决定性问题的对偶性，仍然是开放的。自然对偶理论（Theory of natural dualities）是代数拟簇的一般理论，它推广了“经典”对偶，如布尔代数的Stone对偶、阿贝尔群的Pontryagin对偶、分配格的Priestley对偶和半格的Hofmann-Mislove-Stralka对偶。我们介绍了该理论的背景，然后说明它的应用，我们的研究蕴涵问题，问题的Endodualisability与Endoprimality，然后一个著名的充分与强问题的相关发展。
2019-12-30 math.CT math.RA
Realization of spaces of commutative rings
University of Cagliari（卡利亚里大学）；New Mexico State University（新墨西哥州立大学）
本研究受整环与商域间环族的拓扑研究启发，引入patch丛、patch预层、patch代数三个概念研究交换环的子环空间，实现子环为patch代数的商环或局部化环，为相关研究提供几何框架与新工具。
2025-05-02 math.AC math.RA
