流形上的粗糙路径
Rough Paths on Manifolds
摘要：
我们开发了一个基本的框架，并扩展到Lipschitz-伽马流形的粗糙路径理论。
英文摘要：
We develop a fundamental framework for and extend the theory of rough paths to Lipschitz-gamma manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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光滑流形不是试图推广流形上粗糙路径概念的合适背景。事实上，当人们使用光滑映射而不是Lipschitz映射并试图解决一个粗糙的微分方程时，人们失去了控制Picard序列收敛的定量估计。此外，即使在光滑流形中定义了粗糙路径，在这种情况下，普通和粗糙微分方程也只能局部求解。在本文中，我们首先回顾Lipschitz几何的基础，在“Rough Paths on Manifolds”（Cass，T.，利特雷角& Lyons，T.），以及包含巴拿赫空间中粗糙路径的经典理论的主要发现。然后，我们给我们认为是一个最小的框架，定义粗糙路径的流形上，这是刚性比经典的，并强调粗糙路径的局部行为。最后，我们解释了同样的想法如何可以用来定义流形上的任何有色路径的概念。
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几何粗路及其控制路的组合方法
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粗糙路径驱动的微分方程
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流形上的非几何粗糙路径
Non-Geometric Rough Paths on Manifolds
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受控粗糙路径和粗糙微分方程的Lipschitz稳定性
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在受控粗糙路径框架下，给出了粗糙微分方程解的存在唯一性的一个解释。对于$β>1/3$，驱动路径是$β$ -Hölder连续的情况在文献中广泛可用。在其扩展的情况下，当$β\leqslant1/3,$一个主要的挑战和缺失的成分是显示，控制粗糙路径下关闭与Lipschitz变换组合。本文的一个主要目的是精确地建立这样一个具有强代数性质的性质。
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几何粗路径积分
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巴拿赫流形上的粗糙积分
Rough integrators on Banach manifolds
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Rough Path的签名：Uniform
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纯粗路的路展开与签名的尾渐近性
Path Developments and Tail Asymptotics of Signature for Pure Rough Paths
线性控制微分方程的解可以用驱动路径的迭代路径积分来表示。迭代积分的集合基本上编码了关于驱动路径的所有信息。虽然迭代路径积分的上界是众所周知的，但下界的理解要少得多，并且最近才知道$n$阶迭代积分的某些类型的渐近性可以用于恢复路径的某些内在定量性质，例如$C^1$路径的长度。在本文中，我们研究了最简单的粗糙路径类型，（线段的粗糙路径模拟），并根据路径的局部变差建立了迭代积分的尾渐近性的一致上下估计.我们的方法，我们认为这是这个问题的新方法，涉及到将路径发展成复半单李代数，并利用相关的表示论研究李代数发展下李多项式的谱性质。
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$Π$ -粗路驱动微分方程的Taylor估计
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得到了弱几何$Π$ -粗糙路径驱动的微分方程的截断Taylor展开式的余项估计，其中有$Π=\left( p_{1},\cdots ,p_{k}\right) $，$p_{i}\geq 1$ .当存在$ p\geq 1$使得对于某个$k_{i}\in \left\{ 1,\dots , \left[ p\right] \right\} $，$p_{i}=pk_{i}^{-1}\ $成立时，我们得到了一个包含阶乘衰减分量的改进Taylor余项估计.其余的估计是正确的顺序，因为它们与泰勒展开式中的下一项相当。
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几何粗糙路径与非几何粗糙路径
Geometric versus non-geometric rough paths
在这篇文章中，我们考虑粗糙微分方程（RDE）驱动的非几何粗糙路径，使用的概念，在Gubinelli（2004）的分支粗糙路径。我们首先证明了分支粗糙路在某些李群中可以等价地定义为$γ$ -Hölder连续路，类似于几何粗糙路。证明了每条分支粗路都可以编码为几何粗路，更精确地说，对于每条位于路径$X$之上的分支粗路$\mathbf{X}$，都存在一条位于扩展路径$\bar X$之上的几何粗路$\bar{\mathbf{X}}$，使得$\bar{\mathbf{X}}$包含$\mathbf{X}$的所有信息.作为这一结果的推论，我们证明了每一个由非几何粗糙路径$\mathbf{X}$驱动的RDE都可以重写为由几何粗糙路径$\bar{\mathbf{X}}$驱动的扩展RDE。人们可以认为这是伊藤-斯特拉托诺维奇修正公式的推广。
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平面分支粗糙路径的Itô公式
Itô formula for planarly branched rough paths
本文针对包含更多随机过程的平面分支粗糙路径，证明了粗糙度$\frac{1}{4}< α\leq \frac{1}{2}$条件下的Itô公式，扩展了粗糙路径理论。
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约束粗糙路径
Constrained Rough Paths
我们在嵌入子流形上引入了粗糙路的概念，并证明了这类粗糙路是自然的。在这个过程中，我们发展了粗糙积分的概念和流形上的粗糙微分方程（RDES）的有效和内在的理论。然后利用RDE理论构造了沿流形粗糙路径的平行移动。最后，利用该框架证明了d维流形上的粗糙路与d维欧几里得空间上的粗糙路之间存在一一对应的关系.这最后一个结果是一个粗糙的路径模拟嘉当的发展地图和随机版本，这是由鳗鱼和Elworthy和Malliavin。
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流形上的受控粗糙路径I
Controlled Rough Paths on Manifolds I
在本文中，我们建立了流形上的控制粗糙路理论的基础。一些自然的候选人的定义流形值控制粗糙路径的发展和证明是等价的。然后定义了沿着这样一条受控路径的受控粗糙单形理论及其所得积分。这种一般的积分理论确实需要在流形上引入一种额外的几何结构，我们称之为“平行性”。“讨论了平行变换下的变换性质。利用这些变换性质，它表明，沿流形值控制粗糙路径的光滑的一种形式的集成实际上是定义良好的独立于任何额外的几何结构。我们提出了一个理论的推进，并显示它是如何与我们的整合理论兼容。最后，我们给出了一个粗糙微分方程的解被解释为流形上的受控粗糙路径时的一些特征，然后证明了这样的解的存在性和唯一性。
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粗糙微分方程与平面分支通用极限定理
Rough differential equations and planarly branched universal limit theorem
该研究针对粗糙路径理论中通用极限定理的适用范围问题，利用巴拿赫不动点定理，证明了粗糙度在$\frac{1}{4}<α≤\frac{1}{3}$区间的平面分支粗糙路径的通用极限定理，拓展了该定理的适用场景。
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由巴拿赫空间值粗糙路驱动的流
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路径依赖粗糙微分方程
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系数与路径相关的粗糙微分方程
Rough differential equations with path-dependent coefficients
研究了一类非期望系数的路径依赖粗糙微分方程解的存在性。正则性假设的系数制定的水平和垂直导数。
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由多索引粗糙路径驱动的流
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本文提出了一种由多索引粗糙路径驱动的粗糙微分方程的解理论，并利用log-ODE方法进行分析。
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粗糙路径的签名重构
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最近证明了粗糙路径群模树等价通过签名映射S（取迭代路径积分的广义概念）同构于相应的签名群。然而，这个唯一性结果的证明并不包含任何关于如何从其签名“看到”（树缩减）粗糙路径的轨迹的信息，并且对唯一性结果（特别是对S的逆）的建设性理解已经成为一个有趣且重要的问题。本文的目的是以一种显式和通用的方式从粗糙路径的签名中重建粗糙路径。
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关于巴拿赫空间中粗糙路的签名的注记
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粗糙信号驱动的Volterra方程2：高阶展开
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我们将最近开发的Volterra方程的粗糙路径理论（Harang和Tindel，2019）扩展到更粗糙的噪声和/或更奇异的Volterra核的情况。在（Harang和Tindel，2019）中已经观察到，在那里引入的Volterra粗糙路径不满足任何几何关系，与经典粗糙路径理论中观察到的相似。因此，将理论扩展到更不规则的驱动信号需要更深入地理解Volterra粗糙路径中产生的特定代数结构。（Gubinelli，2010）和（Hairer和Kelly，2015年）我们提供了一个简单的描述Volterra粗糙路径和受控Volterra过程的有根树，并且利用该描述，我们能够求解由更不规则的信号驱动的粗糙Volterra方程。
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分支粗路与几何粗路的同构
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我们表现出一个明确的自然之间的同构空间的分支和几何粗糙路径。这提供了Lejay-Victoir（2006）的同构的多层次推广，以及Hairer-Kelly（2015）的Itô-Stratonovich校正公式的规范版本。我们的构造是初等的，并利用Grossman-Larson代数同构于张量代数的性质。我们应用这个同构研究分支粗糙路径的签名。也就是说，我们证明了一个分支粗糙路径的签名是平凡的当且仅当路径是树状的，并构造了一个非交换的傅里叶变换的概率测度签名的分支粗糙路径。我们利用后者提供了随机签名由其期望值确定的充分条件，从而回答了分支粗路的唯一性矩问题。
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粗糙微分方程与约化粗糙路径：李括号特征
Rough differential equations and reduced rough paths: a Lie bracket characterization
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）；Gansu Provincial Research Center for Basic Disciplines of Mathematics and Statistics（甘肃省数学与统计基础学科研究中心）
研究 Hölder 正则性\(\frac13<\alpha\le\frac12\)下粗糙微分方程，从约化粗糙路径角度出发，确定其确定解的障碍，证明在交换向量场情形下反对称 Lévy 面积无关，此为研究粗糙微分方程提供新视角。
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粗糙路径理论
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由 càdlàg 粗糙路径驱动的泛函微分方程
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本文针对由 càdlàg 粗糙路径驱动的路径依赖粗糙微分方程，建立了解的存在唯一性及 Itô-Lyons 映射的局部 Lipschitz 连续性，并将结果应用于受控、带延迟的 RDEs 等，还构造了对应 Itô 积分的联合粗糙路径。
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粗糙路径驱动的微分方程：一种离散逼近方法
Differential equations driven by rough paths: an approach via discrete approximation
由不可微路径驱动的微分方程理论最近由Lyons发展起来。我们开发了一种替代方法，这个理论，使用（修改后的欧拉近似），并探讨其适用性随机微分方程驱动的布朗运动。我们还给出了一些其他的例子，表明主要结果是合理的尖锐。
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由粗糙路径驱动的流
Flows driven by rough paths
本文设计了一种从近似流构造Banach空间上流的简单机制，并证明了它是如何以一种简单的方式从头开始重新证明和推广粗糙微分方程的主要存在性和适定性结果的，在有限维Holder弱几何p-粗糙路径驱动的巴拿赫空间上的动力学背景下，对任意2<p;讨论了向量场线性增长条件下的爆炸问题、Euler估计的Taylor展开和收敛速度。我们通过证明一类平均场随机粗糙微分方程解的存在性和适定性来说明我们的方法。
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分支粗路迭代积分的衰减率
Decay Rate of Iterated Integrals of Branched Rough Paths
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Sobolev 粗糙路径的最优提升
Optimal extension to Sobolev rough paths
该研究证明满足α>1/p>0的Sobolev路径可提升为Lyons意义下的Sobolev粗糙路径，且存在关于严格凸泛函的唯一最优提升，给出了最小范数提升与布朗运动Stratonovich提升的实例，并提及Besov空间推广。
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光滑粗糙路径、其几何与代数重整化
Smooth rough paths, their geometry and algebraic renormalization
本文引入光滑粗糙路径，利用Maurer-Cartan视角实现Lyons延拓定理的纯代数形式及粗糙路径重整化，并扩展至拟几何与Hopf代数框架。
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Besov-Nikolskii型尺度上的粗糙路径度量
Rough path metrics on a Besov--Nikolskii type scale
这是众所周知的，因为开创性的工作[T。Lyons，粗糙信号驱动的微分方程，Rev. Mat. Iberoamericana，14（1998）]，证明了与控制微分方程相关联的解映射分别在$q$ -变分中是局部Lipschitz连续的. $1/q$ -粗糙路径空间上的Hölder型度量，对于任何正则性$1/q \in (0,1]$。我们将其扩展到一类新的Besov-Nikolskii型度量，具有任意正则性$1/q\in (0,1]$和可积性$p\in [ q,\infty ]$，其中$p\in \{ q,\infty \} $的情况对应于已知的情况。有趣的是，该结果是作为已知的$q$变化粗糙路径估计的结果而获得的。
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一种通向 Föllmer 式路径随机积分的粗糙路径方法
A rough path approach to pathwise stochastic integration à la Föllmer
本文用粗糙路径扩展 Föllmer 路径积分框架，在二次变差与 Lévy area 存在时统一刻画 Itô、Stratonovich 和后向 Itô 积分，并给出分割不变性的充要条件。
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Weierstrass 函数之上的粗糙路径
Rough Paths above Weierstrass Functions
针对多元 Weierstrass 函数缺乏显式粗糙路径提升的问题，本文构造其迭代积分，并据此给出由该确定性不规则信号驱动的微分方程解及示例。
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用流近似构造一般粗糙微分方程
Constructing general rough differential equations through flow approximations
非线性缝纫引理从称为几乎流的一类近似中构造粗糙微分方程流。考虑一类几乎流，它可以近似为常微分方程的解，在向后误差分析的精神。展开式分析是代数与分析的结合，其核心是一个带余项的泰勒公式和一个复合公式。通过对待积分的非光滑向量场构造一个合适的代数结构，我们在一个框架内得到了几个关于各种驱动路径的高阶展开式的结果。我们还扩展了驱动粗糙路的概念，并引入了一类新的分支粗糙路，称为芳香粗糙路。
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粗糙信号驱动的Volterra方程
Volterra Equations Driven by Rough Signals
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受控粗糙路径的几何学
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受控粗糙路径：一种一般的 Hopf 代数框架
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本文在涵盖 shuffle、Butcher–Connes–Kreimer 等组合 Hopf 代数的一般框架下建立受控粗糙路径理论，用不动点方法证明提升初值问题解的存在唯一性，并给出关于参数与初值的普适稳健极限定理。
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基于离散粗糙路径的深度神经网络的稳定性
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Weierstrass Institute（魏尔斯特拉斯研究所）；TU Berlin（柏林工业大学）
使用粗糙路径技术，我们提供了一个先验估计深度残差神经网络的输出方面的输入数据和（训练）的网络权重。由于训练的网络权重通常非常粗糙，当被视为层的函数时，我们建议根据总$p$ -任何$p\in[1,3]$的训练权重的变化来推导稳定性界限。与神经ODE文献中的$C^1$理论不同，我们的估计即使在像布朗运动那样的权重的极限情况下也是有界的，如[arXiv：2105.12245]中所建议的。在数学上，我们将残差神经网络解释为（粗糙）差分方程的解，并根据离散时间签名和粗糙路径理论的最新结果对其进行分析。
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几何粗糙流的整体存在性
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本文考虑光滑流形$\left( M\right) .$上的粗糙微分方程，主要结果给出了驱动向量场使粗糙常微分方程有整体解的充分条件.充分条件涉及到存在一个完整的黎曼度量$\left( g\right) $上的$M$，使共变导数的驱动场和它们的导数到一定的顺序（取决于粗糙度的驱动路径）是有界的。本文的许多结果是\cite{Bailleul2015a}中基本结果在流形上的推广。
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