A 4/3-approximation for TSP on cubic 3-edge-connected graphs
Nishita Aggarwal, Naveen Garg, Swati Gupta
我们提供了一个多项式时间的4/3近似算法TSP的度量所产生的三次3-边连通图的度量完成。
We provide a polynomial time 4/3 approximation algorithm for TSP on metrics arising from the metric completion of cubic 3-edge connected graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Improved Approximations for Cubic and Cubic Bipartite TSP
我们改进的近似保证旅行推销员问题的三次图，三次二分图。对于具有n个节点的三次二部图，我们通过给出一个简单的“局部改进”算法来改进Karp和Ravi（2014）的最近结果，该算法找到长度至多为5/4 n - 2的巡回。对于2-连通三次图，我们证明了Moemke和Svensson（2011）的技术可以与Correa，Larre和Soto（2012）的技术相结合，以获得长度至多为（4/3-1/8754）n的巡回赛。
A 9/7-Approximation Algorithm for Graphic TSP in Cubic Bipartite Graphs
我们证明了新的结果近似图形TSP。具体来说，我们给出了三次二部图的多项式时间\frac{9}{7} -近似算法和k-正则二部图的（\frac{9}{7} + \frac{1}{21(k-2)}）-近似算法，这两个算法都是改进的近似因子.我们的方法涉及到找到一个周期相对较少的周期覆盖，我们能够做到这一点，利用的事实是，所有的周期在二分图的长度是均匀的，随着我们的知识结构的三次图。
Graphic TSP in cubic graphs
本文提出了一种多项式时间的9/7-近似算法，改进了2-连通三次图的最佳近似因子1.3，同时降低了对2-连通度的要求.为了设计我们的算法，我们证明了每个简单的2-连通立方n-顶点图包含一个长度至多为9 n/7-1的生成闭行走，并且这样的行走可以在多项式时间内找到。
Approximation Hardness of Graphic TSP on Cubic Graphs
我们证明了显式的近似硬度的结果，图形TSP上的三次和次三次图，以及新的不可逼近性界相应的情况下（1，2）-TSP。证明技术使用新的模块化结构的模拟小工具的限制立方和subcubic实例。本文中使用的模块化结构也可能具有独立的意义。
TSP Tours in Cubic Graphs: Beyond 4/3
经过一系列改进，Boyd、Sitters、van der Ster和Stougie证明了任何n个顶点的度为3的2连通图，即，一个3次2-连通图，有一个长度不超过（4/3）n的Hamilton回路，特别地，建立了3次2-连通图的子回路LP的完整性间隙不超过4/3，并匹配著名的4/3猜想的证明值。在本文中，我们改进了这一结果，设计了一个算法，找到一个旅游的长度（4/3 - 1/61236）n，这意味着立方2-连通图是少数有趣的类图的子旅游LP的完整性差距是严格小于4/3。与以前的结果，并考虑一个更小的k，我们表明，TSP松弛的完整性差距是最多4/3 -k，即使该图不是2-连通的（即立方连通图），这意味着在立方图的TSP的逼近阈值严格低于4/3。最后，使用类似的技术，我们表明，作为一个额外的结果，每个巴内特图承认旅游的长度最多（4/3 - 1/18）n。
The traveling salesman problem on cubic and subcubic graphs
研究了三次图和次三次图的度量完备化问题，该问题是NP-难的。这个问题是有趣的，因为它与著名的度量TSP的4/3猜想有关，该猜想说，完整性间隙，即，TSP的最优值与其线性规划松弛（subtour elimination relaxation）之间的最差情况比为4/3。我们提出了近似比为4/3的三次图的第一个算法。证明使用多面体技术在一个令人惊讶的方式，这是独立的利益。事实上，我们建设性地证明了，对于任何三次图的$n$顶点的旅游长度为4n/3 - 2存在，这也意味着4/3猜想，作为一个上界，这类图TSP。最近，Mömke和Svensson提出了一个随机算法，给出了一般图上图-TSP的1.461-近似，并作为副结果给出了次三次图上图-TSP的4/3-近似算法，解决了这类图-TSP的4/3猜想.我们将提出一种方法去随机化他们的算法，导致一个更小的运行时间比明显的去随机化。所有后者也适用于多重图。
Approximating TSP walks in subcubic graphs
证明了$n_2$顶点数为2的$n$顶点上的简单2连通次立方图的TSP行走长度至多为$\frac{5n+n_2}{4}-1$，从而证实了Dvotelák，Král '和Mohar的一个猜想.这个界限是最好的可能;存在无穷多个次三次图和三次图，它们的最小TSP行走分别具有长度$\frac{5n+n_2}{4}-1$和$\frac{5n}{4} - 2$。我们刻画了极值次立方的例子满足这个界限。我们还给出了一个二次时间组合算法找到这样的TSP行走。特别是，我们得到了一个$\frac{5}{4}$ -近似算法的简单三次图上的图形TSP，提高了以前最好的已知的近似比$\frac{9}{7}$。
Shorter tours and longer detours: Uniform covers and a bit beyond
基于旅行商问题（TSP）的三分之四猜想，研究了{ \em一致覆盖}问题.一个图$G=(V,E)$对TSP（2 EC）有$α$ -一致覆盖，如果处处$α$向量（即$\{α\}^{E}$）支配一个旅游（2-边连通生成多重图）的关联向量的凸组合. Christofides算法的多面体分析直接暗示了一个3-边连通的三次图对TSP有一个1-一致覆盖。SebIgn问，如果这样的图有$(1-ε)$ -均匀覆盖的TSP的某些$ε> 0$。事实上，三分之四猜想意味着这样的图有8/9-一致覆盖。我们证明了这些图具有TSP的18/19-一致覆盖。我们还研究了2 EC的一致覆盖，并证明了无处不在的15/17向量可以有效地写成2-边连通生成重图的凸组合。对于一个加权的3边连通的三次图，我们的结果表明，如果处处2/3向量是子环线性规划松弛的最优解，则可以有效地找到一个最优环的权重至多为27/19倍的环。节点加权的、3边连通的三次图就属于这一类。在这种特殊情况下，我们可以应用我们的工具来获得更好的近似保证。为了将我们的方法扩展到2-边连接的输入图，我们提出了一个过程来分解TSP的子图松弛的最优解，使其覆盖每个2-边切割偶数次的连通多重图。利用这种分解，我们得到了次立方结点赋权图上最小权2-边连通生成子图的一个17/12-近似算法。
Approximability of Connected Factors
图的d-正则生成子图（或d-因子）的求法很容易通过Tutte对匹配问题的约化而得到。通过同样的约简，很容易找到一个图的最小或最大d-因子。然而，如果我们要求d-因子是连通的，这些问题就变成了NP-难的--找到一个最小连通的2-因子就是旅行商问题（TSP）。给定一个边权满足三角不等式的完全图，考虑求最小连通$d$ -因子的问题。我们给出了所有$d$的3-近似，并将其改进为偶数d的（r+1）-近似，其中r是TSP的近似比。这产生了偶数d的2.5近似。同样的算法产生一个（r+1）-近似的有向版本的问题，其中r是近似比的非对称TSP。我们还表明，没有这些最小化问题可以近似比相应的TSP。最后，对于判定给定图是否包含连通d-因子的判定问题，我们推广了已知的硬度结果。
Shorter Tours by Nicer Ears: 7/5-approximation for graphic TSP, 3/2 for the path version, and 4/3 for two-edge-connected subgraphs
我们证明了新的结果近似的图形TSP和一些相关的问题。我们得到改进的近似保证多项式时间算法。对于图形TSP本身，我们将近似比提高到7/5。对于一个推广，连接- $T$ -连接问题，我们得到了第一个非平凡的近似算法，比例为3/2。其中包含图形$s$ - $t$ -path-TSP作为特例。我们改进了求最小2-边连通生成子图的近似保证为4/3。我们所有算法的关键新成分是一种特殊的耳朵分解优化使用森林超图表示。同样的方法也提供了我们用来推导近似比的下界（由LP松弛引起）。
A New Upper Bound for the Traveling Salesman Problem in Cubic Graphs
本文给出了三次图（最大顶点度为3的图）中旅行商问题（TSP）的一个新的上界，并证明了$n$ -顶点图的TSP问题可以在$O(1.2553^n)$时间和线性空间中求解.我们表明，确切的TSP算法的Eppstein，与一些小的修改，产生所述的结果。Iwama和Nakashima [Proc. COCOON 2007]提出了之前最知名的上限$O(1.251^n)$。不幸的是，他们的分析包含了几个错误，使得上界的证明无效。
TSP integrality gap via 2-edge-connected multisubgraph problem under coincident IP optima
本文通过2-edge-connected multisubgraph问题的唯一整数最优解和半整数LP解，证明TSP的积分间隙不超过4/3。
4/3-Approximation of Graphic TSP
本文提出了一种针对图旅行商问题的4/3近似算法，通过寻找生成子图的奇度顶点的最小成本完美匹配来解决该问题。
Approximating Minimum-Cost Connected T-Joins
我们设计并分析了最小代价连通T-连接问题的近似算法：给定一个无向图G =（V;E），G的边都是非负代价的，且G是一个节点子集T，找到（如果存在）一个最小代价的生成连通子图H，使得T中的每个节点都是奇数度，不在T中的每个节点都是偶数度; H可以有G的任意边的多个副本.两个著名的特例是TSP（|T| = 0）和s-t路径TSP（|T| = 2）。最近，An，Kleinberg和Shmoys [STOC 2012]改进了后一个问题的长期5/3近似保证，并提出了一种基于LP舍入的算法，该算法实现了（1+sqrt（5））/2 < 1.6181的近似保证。我们证明了安等人的方法。扩展到最小成本连接的T-连接问题。他们提出了一个新的证明，保证了s-t路径TSP的5/3近似;他们的证明很容易扩展到最小成本连接T-join问题。接下来，我们通过扩展他们的LP舍入算法来改进5/3的近似保证，以获得对于所有|T| >= 4的13/8 = 1.625的近似保证。最后，我们专注于奖品收集版本的问题，并提出了一个原始-对偶算法，是“拉格朗日乘子保持”，并实现了近似保证3 - 2/（|T| -1）时，|T| >= 4。我们的原始-对偶算法是一个推广已知的原始-对偶2-近似的奖品收集的s-t路径TSP。此外，我们表明，我们的分析是紧密的，提出的实例与|T| >= 4，这样的算法找到的解决方案的成本正好是3 - 2…
Sublinear Algorithms and Lower Bounds for Metric TSP Cost Estimation
我们考虑的问题，设计次线性时间算法估计成本的最小度量旅行商（TSP）旅游。具体地，给定对指定$n$点之间的成对距离的$n \times n$距离矩阵$D$的访问，目标是通过仅执行次线性（以$D$的大小）查询来估计TSP成本。对于估计度量最小生成树（MST）的权重的密切相关的问题，已知对于任何$\varepsilon > 0$，存在返回MST成本的$(1 + \varepsilon)$近似估计的$\tilde{O}(n/\varepsilon^{O(1)})$时间算法。该结果立即暗示了$\tilde{O}(n/\varepsilon^{O(1)})$时间算法，以将TSP成本估计到任何$\varepsilon > 0$的$(2 + \varepsilon)$因子内。然而，没有$o(n^2)$时间算法是已知的近似度量TSP的一个因素，严格优于$2$。另一方面，也没有已知的障碍，排除存在的$(1 + \varepsilon)$ -近似估计算法的度量TSP与$\tilde{O}(n)$时间为任何固定的$\varepsilon > 0$。在本文中，我们取得了进展的算法和下界估计度量TSP成本。我们还表明，估计度量TSP成本的问题是密切相关的问题，估计在一个图中的最大匹配的大小。
Graph-TSP from Steiner Cycles
提出了一种基于Steiner圈的图度量旅行商问题的求解方法。斯坦纳圈是一个需要包含一些指定的顶点子集的圈。对于一个图$G$，如果我们能找到一个生成树$T$和一个包含$T$中奇度顶点的简单圈，那么我们给出了如何将经典的“双生成树”算法与Christofides算法相结合，得到一个长度至多为$\frac{4n}{3}$的TSP之旅.我们使用这种方法表明，一个图包含一个哈密尔顿路径有一个TSP旅游的长度最多$4n/3$。由于哈密尔顿路径是一个有两片叶子的生成树，这就引出了一个问题：一个包含很少叶子的生成树的图是否有一个短的TSP之旅。Mömke和Svensson最近的技术意味着一个包含$k$叶子的深度优先搜索树的图有一个长度为$4n/3 + O(k)$的TSP之旅。使用我们的方法，我们可以证明，一个$2(k-1)$ -顶点连通图，包含一个生成树，最多$k$叶有一个TSP旅游的长度$4n/3$。我们还探讨了其他条件下，我们的方法在短期内的结果。
On the Parameterized Complexity of the Connected Flow and Many Visits TSP Problem
我们研究了最小成本流的一个变种，其中的流需要连接。具体地，在连接流问题中，给出有向图$G$，以及具有需求$\mathsf{dem}: D \rightarrow \mathbb{N}$的需求顶点$D \subseteq V(G)$的集合，以及每个边的成本和容量。其目标是找到一个最小的成本流，满足需求，尊重的能力，并导致一个（强）连接的子图。这概括了以前研究的问题，如（多次访问）TSP。我们研究了由$|D|$、树宽$tw$和$G$的顶点覆盖大小$k$参数化的连通流的参数化复杂性，并提供：（i）$\mathsf{NP}$ -对于仅具有单位需求和容量并且没有边缘成本的情况$|D|=2$已经是完全的，并且如果没有容量则具有固定参数易处理性，（ii）对于一般情况的固定参数易处理$\mathcal{O}^{\star}(k^{\mathcal{O}(k)})$时间算法，和一个核的大小多项式的$k$的特殊情况下，许多访问TSP，（iii）一个$|V(G)|^{\mathcal{O}(tw)}$时间算法和匹配$|V(G)|^{o(tw)}$的时间条件下界条件下的指数时间假设。为了实现我们的一些结果，我们显着扩展了Kowalik等人的方法。[ESA'20]。
Efficient PTAS for the Maximum Traveling Salesman Problem in a Metric Space of Fixed Doubling Dimension
最大旅行商问题（MaxTSP）是在给定的完全赋权图中寻找一个边总权最大的哈密尔顿圈。这个问题是APX硬在一般度量的情况下，但承认多项式时间的近似计划的几何设置，当边的权重是由一个向量范数在固定维的实空间。在固定双维的任意度量空间中，我们提出了MaxTSP的一次近似方案。该算法实现了一个有效的PTAS，对于任何固定的$\varepsilon\in(0,1)$，计算一个$(1-\varepsilon)$ -近似解决方案的问题在立方时间。此外，我们提出了一个半时算法，发现渐近最优解的度量最大TSP在固定和sublogarithmic倍的尺寸。
Effective-Resistance-Reducing Flows, Spectrally Thin Trees, and Asymmetric TSP
我们证明了非对称旅行商问题的自然LP松弛的完整性间隙是$\text{polyloglog}(n)$。换句话说，存在一种多项式时间算法，其在因子$\text{polyloglog}(n)$内近似最优行程的值，其中$\text{polyloglog}(n)$是$\log\log(n)$的有界次数多项式。我们证明了这一点，表明任何$k$ -边连接的赋权图有一个$\text{polyloglog}(n)/k$ -薄生成树。我们的主要新成分是一个程序，虽然是一个指数大小的凸计划，“变换”的图形，不承认任何频谱薄树到那些证明有频谱薄树。更确切地说，给定一个$k$ -边连通图$G=(V,E)$，其中$k\geq 7\log(n)$，我们表明，有一个矩阵$D$，“保留”的结构的所有切割的$G$，使一组$F\subseteq E$，诱导一个$Ω(k)$ -边连通图，有效电阻$F$ w.r.t. $D$至多为$\text{polylog}(k)/k$。然后，我们使用Marcus，Spielman和Srivastava [MSS 13]的开创性工作的最近扩展[AO 14]来证明关于$D$的$\text{polylog}(k)/k$ -谱瘦树的存在性。这样的树是$\text{polylog}(k)/k$ -相对于$G$组合地薄的，因为$D$保留了$G$的切割的结构。
An Exact Algorithm for TSP in Degree-3 Graphs via Circuit Procedure and Amortization on Connectivity Structure
本文给出了求解最大度为3的n顶点图中旅行商问题的一个O^*（1.2312^n）-时间和多项式-空间算法。这改进了之前Iwama和Nakashima的O^*（1.251^n）和Eppstein的O^*（1.260^n）的时间界限。我们的算法是一个简单的分支搜索算法。唯一分支规则是针对由未加工边诱导的图的割路结构而设计的。为了通过对测度和征服的简单分析来改进时间限制，我们在割回路结构上引入了一种摊销方案，将实例的测度定义为导出图的顶点权值和连通分量权值之和.
A 5/4 bound for graphic $s$-$t$ path TSP on subcubic graphs
该研究针对次立方图上的图论s-t路径旅行商问题，消除了s、t需为边端点的限制，得到5/4的最优渐近界，还提出了O(n²)算法，为立方图路径旅行商问题提供了首个直接证明的5/4界。
Approximation algorithms for TSP with neighborhoods in the plane
在具有邻域的欧几里德TSP（TSPN）中，我们给出了n个区域（邻域）的集合，我们寻求访问每个区域的最短行程。TSPN作为经典的欧几里德TSP的推广，也是NP难的。在本文中，我们提出了新的近似结果的TSPN，包括（1）一个常数因子的近似算法的情况下，任意连接的邻域具有可比的直径;和（2）PTAS的重要特殊情况下，不相交的单位盘邻域（或几乎不相交，近单位盘）。我们的方法也产生改进的近似比的各种特殊类的邻域，这是以前已经研究过的。此外，我们给出了一个线性时间O（1）-近似算法的邻域的情况下，是（无限）直线。
Subtour Elimination Constraints Imply a Matrix-Tree Theorem SDP Constraint for the TSP
De Klerk、Pasechnik和Sotirov基于矩阵树定理给出了旅行商问题（TSP）的一个半定规划约束。这个约束说，在TSP松弛的解决方案中，所有生成树的总权重至少是一个循环图的总权重。在这篇文章中，我们证明了半定约束对任何加权2-边连通图都成立，特别是，它是由子环消去线性规划的子环消去约束所隐含的。因此，这个半定约束是由一个有限的线性不等式约束。
Towards Improving Christofides Algorithm on Fundamental Classes by Gluing Convex Combinations of Tours
我们提出了一种新的方法，胶合旅游超过一定的紧张，3边削减。3-边割上的胶合已被用于特殊图类中寻找Hamilton圈的算法以及2-边连通子图问题的界证明，但在这方面对胶合连通重图的研究还不多。我们将这种方法应用于旅行商问题（TSP）的情况下，当目标函数的subtour消除松弛最小化的$θ$ -循环点：$x_e \in \{0,θ, 1-θ, 1\}$，其中的支持图是次立方和每个顶点是事件的至少一个边缘与$x$ -值1。这些点一般足以解决TSP问题。对于这些点，我们构造了一个凸组合的旅游，其中我们可以减少使用的边缘与$x$ -值为1从$\frac{3}{2}$的Christofides算法到$\frac{3}{2}-\fracθ{10}$，而保持使用的边缘与分数$x$ -值相同的Christofides算法。这一结果的一个直接结果是TSP的一致覆盖问题：当子环消除松弛的目标函数被$\frac{2}{3}$ -一致点：$x_e \in \{0, \frac{2}{3}\}$最小化时，我们给出了TSP的一个$\frac{17}{12}$ -近似算法.对于这样的点，这使我们在Christofides算法的$\frac{3}{2}$和著名的“三分之四猜想”所暗示的$\frac{4}{3}$的近似比之间的一半。
A Unified PTAS for Prize Collecting TSP and Steiner Tree Problem in Doubling Metrics
本文对奖金收集旅行商问题（PCTSP）和奖金收集Steiner树问题（PCSTP）提出了一个统一的多项式时间近似格式（PTAS）。给定一个度量空间和一个罚函数，一个解是度量空间中点的一个子图，其代价是它的边的权重加上由于子图没有覆盖终端而产生的罚函数。在我们的统一框架下，PCTSP的解子图需要是欧拉的，而PCSTP的解子图需要是连通的。在我们的工作之前，即使是一个QPTAS加倍度量的问题是未知的。我们的统一PTAS是基于[Talwar STOC 2004]和[Bartal，Gottlieb，Krauthgamer STOC 2012]中提出的先前动态规划框架。然而，由于它是未知的最佳成本的哪一部分是由于边缘长度，哪一部分是由于处罚的未覆盖的终端，我们需要开发新的技术，以适用于以前的分治策略和稀疏实例分解。
A 3/2-Approximation for the Metric Many-visits Path TSP
在多访问路径TSP中，我们给出了一组$n$城市及其成对距离（或成本）$c(uv)$，而且每个城市$v$都有一个相关的正整数请求$r(v)$。目标是找到一条最小成本路径，从城市$s$开始，到城市$t$结束，访问每个城市$v$的次数正好是$r(v)$。我们提出了一个$\frac32$ -近似算法的度量多访问路径TSP，在$n$中运行的时间多项式和多对数的请求$r(v)$。我们的算法可以被视为Zenklusen（SODA 2019）的路径TSP的$\frac32$ -近似算法的深远推广，该算法通过提供与1976年Christofides算法的近似保证相匹配的有效算法来回答长期存在的开放问题。我们的方法的关键组成部分之一是一个多项式时间算法来计算一个连接，度有界的最小成本的多重图。我们通过推广Király，Lau和Singh（Combinatorica，2012）关于最小有界度拟阵基问题的基本结果来解决这个问题，并为一般的多拟阵设计这样一个算法，甚至允许元素多重性。我们的结果直接产生一个$\frac32$ -近似的度量多访问TSP，以及$\frac32$ -近似的调度类的工件与序列相关的安装时间在一台机器上，以尽量减少完工时间的问题。
Semi-Streaming Estimation of the Held--Karp Bound and Graph-Metric TSP Cost
该研究针对图度量 TSP 的 Held–Karp 界，提出多趟仅插入流式算法实现 (1+ε) 倍上近似，可推导出 TSP 代价估计，且证明单趟近似需二次空间。
A (Slightly) Improved Bound on the Integrality Gap of the Subtour LP for TSP
本文证明了度量TSP中subtour LP的整数间隙至多为3/2-ε（ε>10^-36），并基于最大熵算法分析为2-edge-connected multi-subgraph问题提供了优于Christofides算法的随机近似。
Approximating the Held-Karp Bound for Metric TSP in Nearly Linear Work and Polylogarithmic Depth
本文提出近线性工作量和多对数深度的并行算法，近似度量TSP的Held-Karp界，并引入核心序列加速MWU框架，改进kECSS问题的求解复杂度。
Circulant TSP: Vertices of the Edge-Length Polytope and Superpolynomial Lower Bounds
本研究围绕循环旅行商问题的边长多面体展开，揭示其顶点数与n的因式分解的关联，给出相关组合序列的超多项式下界，为该问题的算法求解提供新路径。
Approximation Schemes for Subset TSP and Steiner Tree on Geometric Intersection Graphs
本文研究了几何交图上子集TSP和Steiner树问题的近似方案，通过构造特定子图实现近似解，并展示了结果对平面图的推广意义。
Approximation Algorithms for Generalized MST and TSP in Grid Clusters
我们考虑一个特殊的情况下，广义最小生成树问题（GMST）和广义旅行商问题（GTSP），我们给一组点内的整数网格（在欧几里德平面），其中每个网格单元是$1 \times 1$。在这个问题的MST版本中，目标是找到一个最小树，它只包含来自每个非空网格单元（簇）的一个点。类似地，在TSP版本的问题中，目标是从每个非空网格单元中找到包含一个点的最小权重循环。我们给出了一个$(1+4\sqrt{2}+ε)$和$(1.5+8\sqrt{2}+ε)$ -近似算法这两个问题在所描述的设置，分别。我们的动机是基于[7]中提出的常数近似算法的问题。作者设计了一个PTAS的更特殊的情况下，非空的细胞连接端足够密集的GMST。然而，他们的算法严重依赖于这种连接限制，是不切实际的。我们的研究结果进一步发展了这一主题。
Eight-Fifth Approximation for TSP Paths
我们证明了近似比8/5的度量$\{s,t\}$ -路径TSP问题，更一般的最短连接$T$ -加入。实现该比率的算法是由An、Kleinberg和Shmoys（2012）提出的Christofides算法（1976）的简单“Best of Many”版本，其包括从具有由分数松弛的最优解$x^*$支配的凸组合的树族$\Fscr_{>0}$构建的那些树中确定最佳Christofides $\{s,t\}$ -tour。他们给出了这种$\{s,t\}$ -环的近似保证$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，这是Hoogeveen的Christofides型算法（1991）的5/3保证之后的第一个改进. Cheriyan，Friggstad and Gao（2012）将该结果扩展到$|T|\ge 4$的最短连接$T$ -连接的13/8近似。通过简化和改进An，Kleinberg和Shmoys的方法证明了8/5的比率，该方法包括完成$x^*/2$以控制生成树的“奇偶校正”成本。我们将$\Fscr_{>0}$中每个生成树的边集划分为一个$\{s,t\}$ -路径（或者更一般地说，划分为一个$T$ -连接）及其补集，从而导致了$x^*$的分解.这种分解可以被细化，然后有效地用于完成$x^*/2$，而不使用线性编程或$T$的特定属性，而是通过向$x^*$中固有的、单独定制的显式给定向量添加对于…
Decomposing Cubic Graphs into Connected Subgraphs of Size Three
令$S=\{K_{1,3},K_3,P_4\}$是大小为3的连通图的集合。研究了图$G$的边集的划分问题，将图$G$的边集划分为任意非空$S'\subseteq S$的边集.对于一般图中任何可能的$S'$选择，该问题都是NP完全的.本文假设输入图是三次图，研究了任意选择$S'$的边集划分问题的计算复杂性。我们确定了该环境中的所有多项式和NP完全问题，并给出了某些情况下$S'$可分解三次图的图论特征。
Max-Leaves Spanning Tree is APX-hard for Cubic Graphs
我们考虑的问题，找到一个生成树的最大数量的叶子（MaxLeaf）。对于这个问题，已知2-近似算法，并且当限制于每个顶点具有3度的图（三次图）时，已知3/2-近似算法。MaxLeaf通常是APX-困难的，而对于三次图是NP-困难的。我们证明了这个问题对于三次图也是APX困难的。三次图的最小连通支配集的相关问题的APX-硬度如下。
On the time complexity of finding a well-spread perfect matching in bridgeless cubic graphs
本文提出一种O(n log^4 n)时间算法，用于在3-边连通三次图中寻找与每个3-边割恰好交于一条边的完美匹配，并应用于奇异边受限的图嵌入计算，支持Cycle Double Cover猜想研究。
A Near-Linear-Time Algorithm for Finding a Well-Spread Perfect Matching in Bridgeless Cubic Graphs
本文提出一种近线性时间算法，用于在无桥立方图中找到完美匹配，该匹配与每个3边割恰好相交一次，改进了Boyd等人和之前算法的效率。
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