Ramsey numbers of quadrilateral versus books
书$B_n$是由共享公共边的$n$三角形组成的图。本文研究了四边形与书本的Ramsey数。先前的结果给出了$1\le n\le 14$的$r(C_4,B_n)$的精确值。我们的目标是显示的确切值$r(C_4,B_n)$无限多$n$。为了实现这一目标，我们首先证明了$m\ge4$和$0 \leq t \leq m-1$的$r(C_4,B_{(m-1)^2+(t-2)})\le m^2+t$。这改进了Faudree，Rousseau和Sheehan（1978）的一个结果，该结果指出\begin{align*} r(C_4,B_n)\le g(g(n)), \;\;\text{where}\;\;g(n)=n+\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor+2. \end{align*}结合新的上界和无$C_4$图的构造，我们能够对无穷多个$n$确定$r(C_4,B_n)$的精确值。作为一个特例，我们证明了对所有素数幂$q\ge4$都有$r(C_4,B_{q^2-q-2}) = q^2+q-1$.
2021-08-25 math.CO
Partitioning a Graph into Disjoint Cliques and a Triangle-free Graph
图$G = (V, E)$是\emph{partitionable}，如果存在$V$的划分$\{A, B\}$，使得$A$诱导团的不相交并，并且$B$诱导无三角形图。在本文中，我们研究的计算复杂性，决定是否一个图是可划分的。已知该问题在任意图上是$\NP$ -完全的。本文证明了如果图$G$是无牛图、平面图、完美图、$K_4$ -free图或不含某些洞图，则判定$G$是否可分是$\NP$ -完全的.这就回答了Dassass、Trotignon和Vuškovi提出的一个悬而未决的问题。相比之下，对于可划分的上图，给出了一个有限的禁止诱导子图列表。
2015-01-04 cs.CC cs.DM math.CO
Fine Mixed Subdivisions of a Dilated Triangle
MIT Math Department（麻省理工学院数学系）
本文研究了扩张三角形的细分问题，提出判断唯一划分的标准，并探讨了不同排列间的划分连接操作。
2026-02-03 math.CO
Some results on triangle partitions
我们证明了着色置换图、完全多部图、距离遗传图、k-模置换图和k-部图的补图（当k固定时）中的三角形填充问题存在有效的算法。我们证明了二部置换图上C_4-packing的一个有效算法，并证明了二部图上C_4-packing是NP-完全的。我们刻画了具有三角形划分的偶图。
2011-04-20 math.CO
Empty Rainbow Triangles in $k$-colored Point Sets
设$S$是平面中一般位置上的一组$n$点。假设$S$的每个点都被分配了一种$k \ge 3$可能的颜色，并且每个颜色类的点的数量相同，即$m$。顶点在$S$上的多边形，如果其内部不包含$S$的点，则该多边形为空;如果其所有顶点具有不同的颜色，则该多边形为彩虹。令$f(k,m)$为由$S$确定的空彩虹三角形的最小数目。本文给出了该函数的渐近紧界。此外，我们表明，$S$可能不会确定一个空的彩虹四边形的$k$和$m$一些任意大的值。
2020-07-15 cs.CG math.CO
Partitioning triangle-free planar graphs into a forest and a linear forest
本文改进了无三角形平面图的划分结果，证明其可划分为森林和线性森林。
2025-11-24 math.CO
New relations for the vertex polynomial
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；University of Memphis（孟菲斯大学）
该研究将顶点多项式扩展到任意度的图，证明了图含二边形等时的局部关系，丰富了顶点多项式的相关理论。
2026-07-31 math.CO math.GT
The Fibonacci partition triangles
在以前的两篇论文中，我们已经提出了划分公式的斐波那契数的动机出现在表示论的3-克罗内克图和它的普遍覆盖，3-正则树。在这里，我们表明，基本信息可以重新排列在两个三角形。它们非常类似于二项式系数的帕斯卡三角形，但与杨辉三角形的可加性规则相反，我们现在处理沿着钩子的可加性，或者等价地，处理有值平移箭图的可加函数。至于杨辉三角形，我们看到这些斐波那契分割三角形中的数字是通过计算多项式给出的。我们表明，这两个三角形可以从对方通过寻找数字的差异，这是足够的差异沿箭头和骑士的举动。
2011-09-13 math.CO math.RT
10 Problems for Partitions of Triangle-free Graphs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
该研究针对三角自由图提出10个问题，解决其中部分问题，证明了关于图划分的结论，并探讨了K₄自由图中的类似问题。
2022-03-29 math.CO
On the H-triangle of generalised nonnesting partitions
对于一个晶体学根系Φ和一个正整数k，有两个相关的Fuss-Catalan对象，非嵌套划分集NN ^（k）（Φ）和簇复形Δ ^（k）（Φ）。这些拥有许多枚举的巧合，其中许多被捕获在一个令人惊讶的身份，首先由Chapoton为k = 1，后来由Armstrong推广到k> 1。我们证明了这个猜想，在NN ^（k）（Φ）上得到了一些结构和计数结果，包括Fomin和Reading早先提出的一个猜想，它给出了一个用Fuel-Narayana数精确计数的结果。
2013-10-31 math.CO
On the Harborth Conjecture. Part I
研究哈博思猜想及克莱伯加强猜想，将克莱伯猜想归结为至多五个顶点特殊多边形的局部有理距离陈述，证明非退化四边形在所有情况下内部整数对角线上存在有理距离点。
2026-07-15 math.CO
Refining Blecher and Knopfmacher's Integer Partition Fixed Points
本文按固定值细化整数分拆不动点，分析所得整数三角形，证明对角、行及反对角和恒等式与四项递推，并给出组合解释。
2023-11-19 math.CO
Combinatorial description of the principal congruence subgroup $γ$(2) in SL(2, z)
我们刻画了正整数序列（c1，c2，.，cn），其中（2 × 2）-矩阵c1 - 1 1 0 $\times$ $\times$ $\times$ cn -1 1 0属于SL（2，Z）中水平2的主同余子群。答案是在一个凸的n边形到三角形和四边形的混合物的解剖方面。
2022-02-21 math.CO
Non-monochromatic Triangles in a 2-Edge-Coloured Graph
设$G = (V,E)$是一个单图，$\{R,B\}$是$E$的一个划分.证明了只要$|E| + \min\{ |R|, |B| \} > { |V| \choose 2 }$，就存在一个同构于$K_3$的$G$的子图，该子图包含来自$R$和$B$的边.我们猜想一个自然的推广分区更多的块。
2018-09-26 math.CO
The $M$-triangle of generalised non-crossing partitions for the types $E_7$ and $E_8$
排序局部有限偏序集$P$的$M$ -三角形是生成函数$\sum_{u,w\in P} ^{}μ(u,w) x^{\rk u}y^{\rk w}$，其中$μ(.,.)$是$P$的莫比乌斯函数。本文计算了$E_7$和$E_8$型根系的$m$ -可除非交叉划分的Armstrong偏序集的$M$ -三角形。对于除$D_n$之外的其他类型，这已经在早期的论文“广义簇复合物的$F$ -三角形”中完成。“总之，这几乎解决了阿姆斯特朗的$F=M$猜想，该猜想预测了$m$ -可分分区偏序集的$M$ -三角形与Fomin和Reading的广义簇复合体的$F$ -三角形（某种精确的面数）之间令人惊讶的关系，这是$D_n$类型中唯一剩下的差距。此外，我们证明了一个互惠的结果，这个$M$ -三角形，再次与类型$D_n$可能的例外。我们的研究结果是基于计算的某些分解数的反射群类型$E_7$和$E_8$，实际上进行更精细的信息比$M$ -三角形。其他特殊反射群的分解数在前面的论文中已经计算过了。给出了$A_n$型分解数的一个简化公式.
2006-10-25 math.CO math.GR
Supplemental material to the article "Partitions of the triangles of the cross polytope into surfaces''
给出了一个构造性的证明，证明了k维交叉多面体β^k的2-骨架分解为亏格\leq 1的闭曲面，每个闭曲面具有一个传递自同构群，该群由β^k上的点传递Z_{2k} -作用给出.此外，我们还证明了对于每个k \equiv 1，5（6），（k-1）-单形的2-骨架是高度对称环面和默比乌斯带的并集.
2010-09-14 math.CO math.GT
Partitions with Durfee triangles of fixed size
本文研究具有固定大小 Durfee 三角形的整数分拆计数，确定其与 Durfee 平方情形形式相似的有理生成函数，并给出 R_k(n) 的主导渐近。
2025-07-25 math.CO math.NT
Triangle decompositions of PG(n-1,2)
本文在射影空间 PG(n-1,2) 中构造平衡三角形设计，并证明 Singer 循环群不变设计与特殊 18 元子集划分等价，为 n=7,13,19 给出实例。
2025-07-08 math.CO
On the Spectrum of Locally Linear Graphs
本文研究了由三角形构建的局部线性图$G$及其导出图$G^*$，证明了$G^*$的谱由$G$唯一确定，两者在四边形和五边形数量等结构上具有相似性，且$G$可从$G^*$重构。
2024-09-23 math.CO
A generalization of Stiebitz-type results on graph decomposition
本文研究了最小度约束下重图的分解问题，给出了几个结果的统一推广。设$G$是一个多重图，其中没有四边形与三角形和其他四边形共享边，设$μ_G(v)=\max\{μ_G(u,v):u\in V(G)\setminus\{v\}\}$，其中$μ_G(u,v)$是$G$中连接$u$和$v$的边数.证明了对于任意两个函数$a,b:V(G)\rightarrow\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$，如果每个$v\in V(G)$有$d_G(v)\ge a(v)+b(v)+2μ_G(v)-3$，则存在$V(G)$的一个分区$(X,Y)$，使得每个$x\in X$有$d_X(x)\geq a(x)$，每个$y\in Y$有$d_Y(y)\geq b(y)$.这将Diwan [3]，Liu和Xu [7]，Ma和Yang [10]关于简单图的相关结果推广到了多重图的情形.
2020-09-04 math.CO
Signed circulants at the Ramanujan bound
研究了具有拉马努金界限的符号循环图，证明了特定签名的谱半径低于凯斯滕界，并探讨了四边形系统与磁通量的关系。
2026-09-24 cs.DM math.CO math.SP
Exchangeable Gibbs partitions and Stirling triangles
对于两个非负且适当归一化的权重$\W=(\W_j)$和$\V=(\V_{n,k})$的集合，通过向通用分区$\{A_j, j\leq k\}$分配概率$\V_{n,k} \W_{|A_1|}... \W_{|A_k|}$来定义集合$\{1,...,n\}$的分区集合上的概率分布，其中$|A_j|$是$A_j$的元素数量。我们通过假设$[n]$的随机分区$Π_n$随着$n$的变化而一致来对权重施加约束，这意味着它们定义了所有自然数的集合的可交换分区。这意味着权重$\W$必须具有取决于单个参数$α\in [-\infty,1]$的非常特殊的形式。$α=1$的情况是平凡的，并且对于$α\neq 1$的每个值，可能的$\V$ -权重的集合是无限维的单纯形。我们确定的极值点的单纯形解决边界问题的广义斯特林三角形。特别是，我们表明，边界是离散的$-\infty\leqα<0$和连续的$0\leqα<1$。对于$α\leq 0$，极值对应于由$(α,θ)$索引的随机分区的Ewens-Pitman家族的成员，而对于$0<α<1$，极值是通过将$(α,θ)$ -分区以$Π_n$的区组数的渐近性为条件而获得的，因为$n$趋于无穷大。
2004-12-25 math.CO math.PR
The Rank Enumeration of Certain Parabolic Non-Crossing Partitions
我们考虑$m$ -可分的非交叉分区的$\{1,2,\ldots,mn\}$的性质，对于一些$t\leq n$没有块包含一个以上的第一个$t$整数。我们给出了一个闭公式，计算了具有给定块数的非交叉分拆的多链个数。在此基础上，我们计算Chapoton的$M$ -三角形在此设置和猜想的组合解释的$H$ -三角形。本文对$m=1$证明了这一猜想。
2022-01-11 math.CO
Notes on higher-dimensional partitions
我们展示了一系列的转换，捕获几个结构，基于高维分区的存在。这些变换导致一系列的三角形，其条目被赋予组合解释为特定类型的斜费勒斯图的数量。我们分析的最终结果是存在一个三角形，我们用F表示，这意味着计算给定正整数的分区数所需的数据减少了一半。在三角形F中的一个条目族中，跨越有根森林的数量显得很有趣。使用由于Bratley-McKay的算法的修改，我们能够直接枚举一些三角形中的条目。因此，我们已经能够计算在任何维度上正整数<= 25的分区的数量。
2012-03-20 cond-mat.stat-mech hep-th math.CO
Monochromatic triangles in two-colored plane
我们证明了，对于任何分区的平面成一个闭集$C$和一个开集$O$和任何配置$T$的三个点，有一个平移和旋转的副本$T$包含在$C$或在$O$。除此之外，我们考虑分区的平面分为两组，其共同边界是一个联盟的分段线性曲线。我们表明，对于任何这样的分区和任何配置$T$这是一个顶点集的一个非等边三角形有一个副本的$T$包含在内部的两个分区类。此外，我们给出了这些“多边形”分区，避免一个给定的等边三重副本的特征。这些结果支持了Erdos、Graham、Montgomery、Rothschild、Spencer和Straus的猜想，该猜想指出平面的每一个二色都包含一个非等边点三元组的单色副本;另一方面，我们通过提供避免给定等边点三元组的二色的非平凡例子，反驳了同一作者的一个更强的猜想。
2007-01-31 math.CO math.MG
Rook decomposition of the Partition function
本文利用 Ferrers 棋盘的最大车数与 Durfee 三角形的联系，提出分拆函数的新车分解，并给出相关生成函数、模周期性、奇偶性及增长渐近结果。
2025-07-27 math.CO math.NT
Spectral radius of graphs of given size with forbidden subgraphs
设$ρ(G)$是具有$m$边的图$G$的谱半径。设$S_{m-k+1}^{k}$是由$K_{1,m-k}$通过在其独立集内添加$k$不相交边而得到的图。Nosal定理指出，如果$ρ(G)>\sqrt{m}$，则$G$包含一个三角形。Zhai和Shu证明了任何具有$m\geq26$和$ρ(G)\geqρ(S_{m}^{1})>\sqrt{m-1}$的非二部图$G$包含四边形，除非$G\cong S_{m}^{1}$ [M. Q. Zhai，J.L. 345（2022）112630]。Wang证明了：如果对于一个大小为$m\geq27$的图$G$，有$ρ(G)\geq\sqrt{m-1}$，则$G$包含四边形，除非$G$是四个例外图之一[Z.W. Wang，Discrete Math.345（2022）112973]。本文证明了任何大小为$m\geq51$和$ρ(G)\geqρ(S_{m-1}^{2})>\sqrt{m-2}$的非二部图$G$包含四边形，除非$G$是三个例外图之一.此外，我们证明了，如果$ρ(G)\geqρ(S_{\frac{m+4}{2},2}^{-})$对于一个图$G$具有偶数大小$m\geq74$，则$G$包含一个$C_{5}^{+}$，除非$G\cong S_{\frac{m+4}{2},2}^{-}$，其中$C_{t}^{+}$表示通过识别边从$C_{t}$和…
2022-11-02 math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
Generating New Partition Identities via a Generalized Continued Fraction Algorithm
使用慢三角形映射（一种多维连分数算法），我们展示了一种方法，用于生成任何数量的新的身份的整数分区的子集。
2022-12-05 math.CO math.NT
Triangle Decompositions of Planar Graphs
一个多重图G是三角可分解的，如果它的边集可以被划分成子集，每个子集导出G的一个三角形，并且如果它的三角形可以被分配有理权重，使得对于G的每个边e，包含e的三角形的权重之和等于1，则它是有理三角可分解的。给出了平面重图是三角可分解的一个充要条件。我们还证明了如果一个简单的可平面图是有理三角可分解的，那么它有这样一个分解，只使用权0，1和1/2。这一结果给出了有理三角可分解简单可平面图的一个刻划。最后，如果G是一个以4阶完全图为基础图的多重图，我们给出了G是三角形图和有理三角可分解图的边重数的充要条件.
2015-04-02 math.CO
Fractional triangle decompositions in graphs with large minimum degree
图的三角形分解是将图的边划分成三角形。图的分数三角形分解是将非负权重分配给其每个三角形，使得包含任何给定边的三角形的权重之和为1。证明了对所有的$ε> 0$，$n$顶点上的最小度至少为$(0.9 + ε)n$的所有足够大的图都有一个分数三角分解.这改进了Garaschuk的一个结果，即对于最小度至少为$0.956n$的图，同样的结果也成立。结合Barber，Kühn，Lo和Osthus最近的一个结果，这意味着对于所有的$ε> 0$，$n$顶点上的每一个足够大的三角形可分图，其最小度至少为$(0.9 + ε)n$，都允许一个三角形分解.
2015-07-21 math.CO
Progress towards Nash-Williams' Conjecture on Triangle Decompositions
将图的边划分成边不相交的三角形，形成图的三角形分解。Nash-Williams在1970年提出了一个著名的猜想：任何一个在$n$顶点上的三角形可分图，只要它的最小度至少为$0.75 n$，它就允许一个三角形分解。根据最近的结果，这个问题的分数版本是至关重要的。分数三角形分解是将非负权重分配给图中的每个三角形，使得沿着每条边的权重之和精确地为1。我们证明了，对于$n$顶点上的任何图，至少$0.827327 n$允许一个分数三角分解。结合Barber，Kühn，Lo，和Osthus的结果，这意味着对于$n$顶点上的每一个具有最小度的足够大的三角形可分图，至少$0.82733 n$允许一个三角形分解.
2020-10-01 math.CO
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
A bijective proof of the ASM theorem, Part I: the operator formula
已知交替符号矩阵与降平面划分、全对称自补平面划分和交替符号三角形是等数的，但迄今为止还没有找到这些等价性的双射证明。在本文中，我们提供了第一个双射证明的单调三角形，这一直是主要的工具，几个非组合证明等等价的算子公式。在这个证明中，符号集和符号双射（signed bijections）起着重要的作用。
2019-10-09 math.CO
