Singular tropical hypersurfaces
Alicia Dickenstein, Luis F. Tabera
研究了任意维奇异热带超曲面的概念。我们用热带欧拉导数刻画了这些奇点，并给出了计算所有奇点的算法。我们还描述了平面热带曲线的非横截交点。
We study the notion of singular tropical hypersurfaces of any dimension. We characterize the singular points in terms of tropical Euler derivatives and we give an algorithm to compute all singular points. We also describe non-transversal intersection points of planar tropical curves.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On intersections and stable intersections of tropical hypersurfaces
我们证明了热带超曲面的交的每个连通分支都包含它们的稳定交的一个点，除非它们的稳定交是空的。这是通过研究代数超曲面的热带化，他们和他们的交集热带化。
Tropical Chow Hypersurfaces
给定一个在$\mathbb{P}^n$中余维为$k+1$的射影簇$X$，Chow超曲面$Z_X$是格拉斯曼$\operatorname{Gr}(k, n)$的超曲面，参数化与$X$相交的射影线性空间。引入了热带Chow超曲面$\operatorname{Trop}(Z_X)$。这个对象只依赖于热带品种$\operatorname{Trop}(X)$，我们提供了一个明确的方式来获得$\operatorname{Trop}(Z_X)$从$\operatorname{Trop}(X)$。我们还给出了$\operatorname{Trop}(Z_X)$的几何描述。我们猜想，在经典的情况下，$\operatorname{Trop}(X)$可以重建从$\operatorname{Trop}(Z_X)$和证明的情况下，当$X$是一个曲线在$\mathbb{P}^3$。这表明热带Chow超曲面可以用来构造热带Chow簇。
Mirror symmetry for tropical hypersurfaces and patchworking
本文研究了镜像对称性在热带超曲面中的应用，证明了通过补丁工作构造实卡拉比-丘超曲面的条件与镜像上除子类非零相关。
Projective duals to algebraic and tropical hypersurfaces
我们研究了超曲面的投射对偶簇的一个热带类似物。当$X$是$\mathbb{P}^2$中的曲线或$\mathbb{P}^3$中的曲面时，只要$\text{Trop}(X)$是光滑的且满足温和的泛型条件，我们就可以用$\text{Trop}(X)$来描述$\text{Trop}(X^*)$.因此，当$X$是一条曲线时，我们描述了牛顿多边形在射影对偶下的变换，并恢复了经典的对偶平面曲线的度数公式。对于高维超曲面$X$，我们给出了$\text{Trop}(X^*)$的部分描述.
Geometry and a natural symplectic structure of phase tropical hypersurfaces
首先，我们根据$(\mathbb{C}^*)^n$中光滑复代数超曲面的退化数据定义了相位热带超曲面。其次，我们证明了复超平面是退化的复超平面，称为相热带超平面。更一般地说，使用Mikhalkin的分解成对裤子的光滑代数超曲面，我们表明，相位热带超曲面光滑热带化，自然具有光滑的可微结构。此外，我们证明了相热带超曲面具有自然的辛结构。
Projective hypersurfaces in tropical scheme theory I: the Macaulay ideal
本文提出基于横截拟阵的Macaulay热带理想构造，将主理想典范扩展为热带理想，具有普适性质，并生成不可实现的超曲面方案，与Maclagan-Rincón的直线构造在特定情形一致。
Phase tropical hypersurfaces
证明了复环面中的一般光滑复超曲面与相应的相热带超曲面同胚。
Rank of tropical curves and tropical hypersurfaces
本文主要研究热带曲线和超曲面变形空间的定界和维数计算。这一特点是有趣的，因为它往往符合尺寸的equisingular（等属等）。代数曲线和超曲面的变形空间。本文给出了计算各类热带曲线和超曲面变形空间维数的一系列精确公式、上、下界和算法。
Tropical complete intersection curves
R^（n+1）中的热带完全交曲线C是n个光滑热带超曲面的横截交。我们给出了一个由热带超曲面的度给出的C的顶点数的公式。当C是光滑连通的时，我们还计算了C的亏格（定义为C的独立圈数）。
Rational curves in Fano hypersurfaces and tropical curves
利用热带曲线和退化理论的思想，我们证明了任何Fano超曲面（更一般的Fano完全相交）是由最多的二次有理曲线扫描。
Lefschetz section theorems for tropical hypersurfaces
本文建立环面簇热带超曲面的 Lefschetz 超平面截面定理，证明整系数热带同调群在紧致或 $\mathbb{R}^n$ 情形下无挠，并建立其与复超曲面 Hodge 数及 Hodge-Deligne 数的联系。
Euler Characteristic of real nondegenerate tropical complete intersections
我们模仿复代数几何中的相应定义，定义了非退化热带完全交。在复杂的情况下，所有非零的交重数之间的热带超曲面定义一个非退化的热带完全相交等于1。我们使用的交重数是与热带超曲面胞腔对偶的多面体的混合体积之和。证明了实非退化热带完全交的欧拉示性数仅依赖于定义该交的热带多项式的牛顿多面体。基本上，它等于一个复杂的完全相交相同的牛顿多面体的通常签名，当这个签名被定义。证明减少到环面超曲面的情况下，并使用的概念$E$ -多项式的复杂品种。
On the total curvature of tropical hypersurfaces
本文研究了变形虫和实变形虫的曲率（即实代数超曲面的复部和实部实部的对数曲率）以及热带和实热带超曲面的曲率。若V是定义在实Pui-x级数域上的热带超曲面，则V有一个实部RV，RV是一个多面体复形。我们定义V的全曲率（分别为RV），通过使用变形虫的全曲率并传递到极限。我们还定义了“多面体全曲率“的实部RV的一般热带超曲面。我们证明的主要结果如下：-实非奇异热带超曲面的全曲率与多面体的全曲率一致。- V和RV的全曲率与实代数超曲面的实部分和复部分的对数曲率之间的一个普遍不等式。- 这个不等式在非奇异情形下是尖锐的。
Complex tropical localization, coamoebas, and mirror tropical hypersurfaces
本文引入了热带镜像超曲面的概念，并证明了一个复热带局部化定理，它是热带几何中Kapranov定理\cite{K-00}的一个版本。给出了由极大稀疏多项式定义的复代数超曲面的簇变形虫与极大稀疏复热带超曲面的簇变形虫之间的几何等价性和拓扑等价。
Krull-tropical hypersurfaces
将热带半环和热带超曲面的概念推广到任意序群上。然后，我们定义了一个多项式的热带化系数的Krull值的字段。在仔细研究了算子“热带化”的性质之后，我们得出结论，将Kapranov定理推广到代数闭域，并在序群上赋值。
Lifts of cycles in tropical hypersurfaces and the Gamma conjecture
本文研究了热带超曲面中环的提升，并通过热带交理论计算其交数，进而推导了与镜像对称Gamma猜想相关的周期积分渐进行为。
Determining Tropical Hypersurfaces
我们考虑的问题时，在热带仿射空间的点唯一确定一个热带超曲面。我们引入了点的多重性的概念，这样即使某些点重合，这个问题也可能是有意义的。我们给出了一个几何/组合的方法和热带线性代数的方法来处理这个问题。首先，给定一个固定的超曲面，我们展示了如何通过观察对偶复形的相应标记来确定超曲面上的点是否确定它。在对偶复形的正则性条件下，当点的个数最小时，我们证明了我们的条件等价于一个适当的子复形的连通性。其次，我们引入热带矩阵和热带线性方程，考虑到我们的概念的多重性和解决方案的非奇异性的概念证明了克拉姆法则型定理与他们有关。
The tropical discriminant in positive characteristic
研究了由正特征域上的赋值定义的热带超曲面的奇点。给出了一种计算正特征和p-adic情形下热带超曲面的奇点集的方法。该计算被应用于确定具有固定二重根的次数为$n$和特征$p$的一元多项式的热带线性空间的所有最大锥以及具有独立于特征的二重根的$0$的所有热带多项式的扇。我们还计算，由纯热带的手段，顶点，边和2-面的牛顿多面体的判别式的次数$p$在特征$p$的多项式。
Poincaré duality for singular tropical hypersurfaces
本文研究了非原始三角剖分下热带超曲面的Poincaré二重性，提出了原始程度的概念并推广了完全Poincaré二重性定理。
Bounding the Betti numbers of real hypersurfaces near the tropical limit
证明了Itenberg关于实代数超曲面的贝蒂数在非奇异热带极限附近的一个界.这些界限是根据霍奇数的复杂化。为了证明这个猜想，我们引入了一个真正的变体的热带同源性，并定义了相应的链复形的Kalinin的过滤启发过滤。与此相关的过滤谱序列收敛到同调群的真正的代数品种，我们表明，第一页的条款是热带同调群与$\mathbb{Z}_2$ -系数。这些同调群的维数对应于复射影超曲面的Hodge数。实部的贝蒂数的界限如下，以及一个标准，以获得一个最大的品种。我们还推广了一个已知的公式有关的签名的复杂的超曲面和欧拉示性数的真正的代数超曲面，以及哈斯的组合准则的极大值附近的热带极限的平面曲线。
Tropical geometry, the motivic nearby fiber and limit mixed Hodge numbers of hypersurfaces
动机邻近纤维是通过在圆盘上退化一个复杂簇而得到的不变量。它专门针对原始变种的欧拉示性数，但也包含与退化相关的Hodge结构的变化的信息，其被编码为极限混合Hodge结构。然而，这个不变量在实际中很难计算。利用热带几何的技巧，我们提出了一个新的附近纤维的motivic公式。此外，由于有一系列可用的软件实现热带几何的主要算法，我们的公式可以在实践中计算。我们专门的情况下，家庭的schön复杂的超曲面的环面，我们提供明确的公式描述行动的单值的单幂部分的分等级件（相对于德利涅重量过滤）的上同调与紧支持。这些家庭的组合描述的多面体细分相关联的牛顿多面体。我们开发了新的混合霍奇理论启发的组合不变量，这样的细分，其中的“精制极限混合$h^*$ -多项式”。这些不变量是有关斯坦利的组合研究细分：在同伴的组合文件，其结果适用于这里，我们将不变量在斯坦利的理论，他们成为多变量扩展他的不变量。我们的结果推广了Danilov和Khovanski{ \u}以及Batyrev和Borisov关于超曲面的Hodge数的工作.我们还提出了类似的公式描述的单值的单幂部分的作用在一个家庭的投影复曲面簇的Schön超曲面的交集上同调群。
Enumeration of algebraic and tropical singular hypersurfaces
我们开发了一个版本的Mikhalkin的格路径算法的任意度和维数的射影超曲面，它列举了奇异热带超曲面通过适当的配置点。通过证明一个对应定理并结合格路算法，构造了一个$δ$维的$ d $次实超曲面线性空间，其中包含以$ δ$为实结点的$\frac{1}{δ!} (γ_nd^n)^δ+ O(d^{nδ-1})$超曲面，其中$ γ_n $是正的，由递归公式给出.这与在$ δ$维线性空间中具有$ δ$节点的复超曲面的数量$ \frac{1}{δ!} \left( (n+1)(d-1)^n \right)^δ+O\left(d^{n(δ-1)} \right) $是渐近可比的。在$ δ=1 $的情况下，我们给出一个稍微好一点的首项。
Tropical Lagrangian Hypersurfaces are Unobstructed
我们为每个热带超曲面$V(ϕ)\subset Q=\mathbb{R}^n$生成拉格朗日量$L(ϕ)\subset (\mathbb{C}^*)^n$，其矩映射投影是$V(ϕ)$的热带变形虫。当这些拉格朗日量是容许的，在Escheraya-赛德尔范畴，我们表明，他们是通畅的对象Escheraya范畴，并镜像层支持复曲面复曲面镜。
Real tropical hyperfaces by patchworking in $\texttt{polymake}$
我们报告最近实施的拼接和真正的热带超曲面在$\texttt{polymake}$。作为一个新的数学贡献，我们提供了真正的热带表面的贝蒂数普查。
Real phase structures on tropical manifolds and patchworks in higher codimension
本文用热带几何将Viro组合补丁构造推广到任意余维，证明热带非奇异补丁为拓扑流形，并推广谱序列得到贝蒂数上界。
Lagrangian submanifolds from tropical hypersurfaces
证明了$\mathbb{R}^3$中的光滑热带超曲面可以提升为$(\mathbb{C}^*)^3$中的光滑嵌入拉格朗日子流形。这完成了“拉格朗日裤子”arXiv：1802.02993文章中宣布的结果的证明。证明的想法是使用拉格朗日裤子作为主要的构建块。
On real tropical bases and real tropical discriminants
我们探讨了实Puixix级数域中理想的实热带基的概念。我们展示了零维实根理想，线性理想和超曲面的显式热带基地来自组合拼接。但我们也表明，存在真正的激进的理想，不承认热带的基础。作为应用，我们展示了如何计算一个真正的热带超曲面的奇点的集合。即，我们计算真实的热带判别式。
A criterion of containment for tropical hypersurfaces
本文利用 Newton 多面体的位似与平移，给出热带 n 变量多项式对应热带超曲面之间包含关系的充要判据。
Tropical surface singularities
本文研究复曲面三重中奇异曲面的热带化问题。本文对极大维奇异热带曲面进行了完全分类，证明了它们一般只能有100多个奇点，并描述了所有可能的奇点位置。更精确地说，我们证明了奇点必须是顶点，或广义中点和重心的奇异热带曲面的某些面，在某些情况下，可能有额外的度量限制奇异热带曲面的面。
Hyperbolic plane curves near the non-singular tropical limit
我们确定的充要条件实代数曲线附近的非奇异热带极限是双曲的一个点，从而推广了Speyer的分类热带极限附近的稳定曲线。为了获得这些条件，我们开发了真实热带相交理论的工具。引入实代数曲线在非奇异热带极限附近的热带双曲轨迹和符号热带双曲轨迹。在蜂窝的情况下，我们将热带双曲轨迹的热带极限的扭曲边缘的集合。
Tropical Periods for Calabi-Yau Hypersurfaces in non--Fano Toric Varieties
本文利用多面体描述非-Fano环面簇及其反典范Calabi-Yau超曲面，通过广义Duistermaat-Heckman测度从镜像流形周期证明$\widehatΓ$-猜想适用于非-Fano环境空间，扩展了早期工作。
Real Tropical Singularities and Bergman Fans
本文利用牛顿多面体的剖分方法对奇异实平面热带曲线进行了分类。首先，我们引入了描述实线性空间的实热带化的符号Bergman扇（[AKW 06]中的正Bergman扇的推广）（[表15]）。然后，我们建立了实平面热带曲线和牛顿多面体的符号正则剖分的对偶，并探讨了组合数学。我们定义了一个有符号的二次风扇，参数化真正的热带劳伦多项式和研究的子集提供奇异的真正的平面热带曲线。带符号二次扇的锥是最大维数类型的，如果其相应的细分只包含标记点（[MMS12a]）。这些圆锥参数化真实的平面热带曲线。对最大维型奇异实平面热带曲线进行了分类。
Period integrals of hypersurfaces via tropical geometry
本文利用热带几何方法计算环面簇中一参数复超曲面的周期积分渐近，并给出 d=1 时极限处的极化对数 Hodge 结构。
Tropical curves with a singularity in a fixed point
本文研究了在不动点上具有奇点的曲线族的热带化问题。这一科的热带化是一个线形热带变种。我们描述了它的最大维锥使用的结果线性热带品种从Ardila和Klivans和Feichtner和Sturmfels。我们表明，一个奇点tropicalises要么一个顶点的更高的价或更高的多重性，或一个边缘的更高的重量。然后，我们分类奇异热带曲线的最大维类型。对于那些，奇点要么是两条边的交叉，要么是一个重数为3的3价顶点，要么是一个权为2的边上的一个点，它到相邻顶点的距离满足一定的度量条件。我们还研究了奇异热带曲线的代数原像。
Tropical and non-Archimedean Monge-Ampère equations for a class of Calabi-Yau hypersurfaces
本文研究了复射影空间中极大退化Calabi-Yau超曲面族的Berkovich空间及其骨架上的非阿基米德与tropical Monge-Ampère方程，证明了方程解的唯一性及导出关系，并结合Yang Li的工作支持了弱度量SYZ猜想。
Periods of tropical Calabi--Yau hypersurfaces
本文考虑穿孔圆盘$D \setminus \{ 0\}$上由复曲面族Calabi-Yau超曲面定义的Iritani的Hodge结构的剩余B-模型变差.它自然地扩展到整个磁盘$D$上的极化Hodge结构的对数变化。通过将其限制到原点，我们得到了标准对数点上的极化对数Hodge结构（PLH）。在本文中，我们描述的PLH的整体仿射结构的对偶交叉复杂的环面退化的Gros-Siebert计划。
Tropical second main theorem and the Nevanlinna inverse problem
本文在无增长条件下推广了热带Nevanlinna理论的第二主定理，提出更直接的证明方法，并求解了热带亚纯函数与超曲面的Nevanlinna逆问题。
Numerical Software to Compute Newton Polytopes and Tropical Membership
我们提出了一个算法，它的功能作为一个数值预言的超曲面的牛顿多面体在Macaulay2包NumericalNP.m2的实现。我们提出了一个热带成员的测试，依靠这个算法，更高的余维品种的基础上，从Hept和Theobald的想法。为了展示这个软件，我们研究了牛顿多面体的超曲面来自代数视觉和Luroth不变量。
Well-Poised Hypersurfaces
一个理想$I$被称为“平衡良好”的，如果从热带变种$Trop(I)$中的点得到的所有初始理想都是素的。这一条件首先由Nathan Ilten和第三作者定义。我们对代数闭域上的所有平衡超曲面进行了分类。我们还研究了这些超曲面的热带变种和相关的牛顿-奥肯科夫体。
Obstructions to approximating tropical curves in surfaces via intersection theory
我们提供了一些新的局部障碍，逼近光滑热带曲面上的热带曲线。这些障碍是基于热带和复杂的相交理论之间的关系，这也是建立在这里。我们给出了本文中开发的方法的两个应用。首先，我们分类所有的局部不可约近似3-瓣扇热带曲线在一个非奇异的扇热带平面。其次，我们证明了热带射影3-空间中的一般非奇异热带曲面，如果它是3次的，则包含200多条可逼近的热带线，如果它是4次或更高次的，则不包含可逼近的热带线。
Geometric Monodromy around the Tropical Limit
设$\{V_q\}_{q}$是复复曲面簇中的单参数光滑超曲面族。本文从热带几何的角度给出了$\{V_q\}_q$围绕$q=\infty$的单值变换的具体描述。主要工具是Mikhalkin介绍的热带本地化。
Degenerations in tropical compactifications and tropical intersection theory of $\overline{M}_{0,n}$
本文提出热带紧化中子簇极限环的公式，扩展了Dickenstein-Feichtner-Sturmfels和Katz的结果，并应用于$\overline{M}_{0,n}$的热带化研究，引入了新的热带$ψ$-超曲面。
Tropical singular intersection homology
本文引入了带有热带系数的热带奇异交同调（非GM和GM），研究其基本性质，并在某些情况下计算了同调。
Tropical resolutions of configuration hypersurfaces
本文通过两步法构造任意不可约配置超曲面的奇点分解，首先将其与Bloch引入的关联簇等同，然后利用Tevelev的热带紧化方法，基于Ardila、Denham和Huh的双置换拟阵组合显式构造光滑紧化及态射。
Geometric and Combinatorial Structure of Hypersurface Coamoebas
设$V$是由多项式$f$与牛顿多面体$Δ$定义的复代数超曲面.众所周知，其变形虫的棘具有热带超曲面的结构。本文证明了存在复热带超曲面$V_{\infty, f}$，使得它的coamoeba与$V$的coamoeba的实环面中的闭包同胚.此外，$V_{\infty, f}$的coamoeba包含$(n-1)$ -环面的排列，仅取决于$Δ$的几何形状和$f$的系数。此外，我们可以考虑这种安排，作为一个加权的余对偶超平面安排的实环面的普遍覆盖，并满足平衡条件（类似于热带超曲面）。这种余偶超平面排列被称为复杂变形虫的{ \em壳}（复杂变形虫脊椎的表亲）。%（或复合体coamoeba的{ \em平均轮廓}）。利用这种组合的变形虫结构，我们证明了由最大稀疏多项式定义的复代数超曲面的变形虫是实心的。更确切地说，我们刻画了Forsberg，Passare和Tsikh定义的序映射的图像。
Topology of real algebraic curves near the non-singular tropical limit
在20世纪90年代，Itenberg和Haas研究了Viro拼接中的组合数据与所得到的射影平面中的非奇异实代数曲线的拓扑之间的关系。利用最近的结果Renaudineau和肖真正的代数曲线附近的非奇异热带极限，我们继续研究Itenberg和哈斯内的任何非奇异的投影复曲面。利用非奇异热带曲线上的扭边，给出了具有给定连通分支数的非奇异实代数曲线拼接的新Haas准则.得到了非奇异实代数曲线的实部为椭圆的拼接的几个充分条件。这些充分条件之一并不依赖于环境复曲面。在这种情况下，我们根据对偶剖分计算了这些曲线的奇偶椭圆的个数，并构造了Ragsdale猜想的一些新反例。
On the Singular Structure of Graph Hypersurfaces
我们证明了图超曲面的奇异轨迹与它们的秩轨迹在集合理论上是对应的。该证明对所有构形超曲面都成立，并且只依赖于线性代数。为了对第二类图超曲面作出结论，我们证明了第二类图多项式是一个构形多项式。结果表明，目前图超曲面的研究与分层莫尔斯理论之间可能存在着富有成效的相互作用。
Enumeration of Complex and Real Surfaces via Tropical Geometry
证明了实三维空间中奇异热带曲面的一个对应定理，该定理将奇异代数曲面以适当的复曲面三重形式恢复为给定的奇异热带曲面.此外，我们开发了一个三维版本的Mikhalkin的晶格路径算法，枚举奇异热带表面通过一个适当的配置点在真正的三个空间。作为应用，我们证明了在射影空间中存在至少包含$(3/2)d^3+O(d^2)$奇异曲面的次数为$d$的实曲面束，它与束中所有复奇异曲面的个数$4(d-1)^3$渐近可比.我们的结果依赖于奇异热带曲面的分类（arXiv：1106.2676）。
On the Tropical Discs Counting on Elliptic K3 Surfaces with General Singular Fibres
利用LagrangianFloer理论研究了具有一般奇异纤维的K3曲面的热带几何。特别地，我们给出了Kodaira分类中$I_n$，$II$，$III$和$IV$奇异纤维的局部模型，并推广了Gromov-Witten不变量/热带圆盘计数之间的对应定理.
Metric Estimates and Membership Complexity for Archimedean Amoebae and Tropical Hypersurfaces
给定任何复洛朗多项式$f$，$\mathrm{Amoeba}(f)$是其复零点集在坐标式对数绝对值映射下的图像。我们给出了一个有效的可构造的多面体近似，$\mathrm{ArchtTrop}(f)$，$\mathrm{Amoeba}(f)$，并推导出明确的上限和下界，仅作为一个函数的单项式项的数目$f$，这两个集之间的Hausdorff距离。我们还表明，决定一个给定的点是否位于$\mathrm{ArchTrop}(f)$是可行的多项式时间，对于任何固定的尺寸，不像相应的问题$\mathrm{Amoeba}(f)$，这是$\mathbf{NP}$ -硬已经在一个变量。因此，$\mathrm{ArchTrop}(f)$可以用作规范低阶近似，以启动任何高阶迭代多项式系统求解算法，例如同伦延拓。$\mathrm{ArchTrop}(f)$还提供了一个阿基米德类似Kapranov的非阿基米德变形虫定理和一个高维扩展的早期估计Mikhalkin和Ostrowski。
Tropicalization of 1-tacnodal curves on toric surfaces
E.舒斯汀他分类退化的1尖曲线使用多面体复合称为热带曲线。本文定义了1-tacnodal曲线的一种热带形式，即具有一个奇点的曲线，其拓扑型为$A_3$，并应用热带化方法，对与1-tacnodal曲线对应的热带曲线进行了分类。
Tropical (1, 1)-homology for floor decomposed surfaces
Itenberg，Katzarkov，Mikhalkin和Zharkov的热带（p，q）-同调群是复代数簇上同调的Hodge分解的热带类似物。在紧致非奇异热带曲面的热带（1，1）类上存在一个定义明确的交对。本文直接计算了热带射影空间中非奇异地板分解热带曲面的（1，1）-同调，以及相交形式。
Birational rigidity of singular Fano hypersurfaces
建立了一类指数为1的奇异射影Fano超曲面的双有理超刚性。在孤立奇点的特殊情况下，我们的结果例如适用于：（1）具有多重半齐次奇点的超曲面渐近有界于超曲面维数的平方根的两倍，（2）具有孤立奇点的超曲面其Tyurina数满足类似的界，（3）具有孤立奇点的超曲面，其对偶簇是次数足够接近期望次数的超曲面。
A Poincaré-Lefschetz Theorem for Cellular Cosheaves and an Application to the Tropical Homology of Orbifold Toric Varieties
本文证明特定 CW 细分上胞腔余层的 Poincaré-Lefschetz 型定理，并据此将热带 Lefschetz 超平面截面定理推广至奇异热带环面簇与超曲面。
Unstable singular del Pezzo hypersurfaces with lower index
我们给出了K-不稳定奇异del Pezzo曲面的例子，这些曲面是指数为2的加权超曲面。
Some criteria to check if a projective hypersurfaces is smooth or singular
本文给出了光滑和奇异的射影超曲面的一些性质作为判别准则。为了根据这些标准做出决定，我们包含了用Singular语言编写的过程。
Noether--Lefschetz theorem for hypersurface sections of singular threefolds
本文证明了一类具有孤立奇点的射影三重空间上的线性系组的Noether-Lefschetz型结果。
Geometry of Hypersurfaces with Isolated Singularities
本文研究具有孤立奇点的超曲面中直线的Fano簇，证明过奇点的直线簇的不可约性，并研究多奇点三次超曲面的直线Fano簇。
Singularities of generic projection hypersurfaces
线性投影光滑射影簇提供了一种获得关于原簇的双有理超曲面的方法。我们证明了在低维情况下，所得到的超曲面只有杜波依斯奇点。此外，我们得出结论，这些杜波依斯奇点实际上是半对数正则。然而，我们证明了存在的反例在高维-一般的线性投影的某些品种的尺寸30或更高的既不是半对数正则也杜波依斯。
Lê modules and hypersurfaces with one-dimensional singular sets
本文利用Lê模块和上界定理，研究具有单维奇异性集和小Lê数的超曲面的Milnor纤维上同调及消失环局部系统。
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