Geodesics in Conical Manifolds
Marco G. Ghimenti
本文的目的是将测地线的定义推广到圆锥流形，定义为$\R^n$的子流形，其中有有限个奇点。我们寻找一种既适合于局部测地线问题又适合于大范围变分法的方法。
The aim of this paper is to extend the definition of geodesics to conical manifolds, defined as submanifolds of $\R^n$ with a finite number of singularities. We look for an approach suitable both for the local geodesic problem and for the calculus of variation in the large
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Prescribing Gaussian curvature on surfaces with conical singularities and geodesic boundary
研究了超临界区域中具有圆锥奇点和测地线边界的曲面上具有预定高斯曲率的共形度量。利用变分的论点，我们得到一个一般存在的结果，至少有两个边界组件的表面。这似乎是该设置的第一个结果。此外，我们允许具有正阶和负阶的圆锥形奇点，即锥角比$2π$更小和更大。
Morse Theory for Geodesics in Conical Manifolds
本文的目的是将测地线的莫尔斯理论推广到锥流形。我们将这些流形定义为具有有限个圆锥奇点的$\R^n$的子流形。为了建立一个好的莫尔斯理论，我们必须使用一个适当的测地线定义。本文的主要定理是，虽然能量是非光滑的，但在没有临界点的情况下，我们可以发现它的子能级的连续收缩。这样，我们就可以很好地定义孤立临界值和孤立临界点的指数。证明了Morse关系成立，并给出了测地线重数的几何意义。
The asymptotic behaviour of $p$-capacitary potentials in Asymptotically Conical manifolds
本文研究了具有渐近非负里奇曲率的渐近圆锥黎曼流形端点上有界集的$p$ -容势和弱反中曲率流的渐近性态.
The conical Kähler-Ricci flow with weak initial data on Fano manifold
本文证明了Fano流形上具有弱初值的锥Kähler-里奇流的长时间存在性和唯一性，其中对于某些$p>1$，锥Kähler-$L^{p}$是稠密的.此外，我们还研究了这类流的收敛性。
Perelman's Entropies for Manifolds with conical Singularities
本文讨论了一类具有孤立锥奇点的流形上的Perelman λ-泛函、Perelman Ricci收缩熵和Ricci展开熵。在这样的流形上，我们的工作证明了一个保持孤立锥奇点的奇异Ricci de Turck流的存在。证明了奇异Ricci de Turck流的熵是单调的。我们利用这些熵表明，在奇异的设置，里奇孤子是梯度和稳定的或扩展的里奇孤子是爱因斯坦。
Stability of the conical Kähler-Ricci flows on Fano manifolds
本文研究了Fano流形上锥Kähler-里奇流的稳定性。也就是说，如果存在一个圆锥形凯勒-爱因斯坦度规，其锥角$2πβ$沿着除数，那么对于任何充分接近$β$的$β'$，相应的圆锥形凯勒-里奇流收敛到圆锥形凯勒-爱因斯坦度规，其锥角$2πβ'$沿着除数。在这里，我们只使用Log Mabuchi能量从下面有界的条件。这是一个比我们以前研究收敛性所采用的适当性条件更弱的条件。作为推论，我们给出了Donaldson开性定理的抛物证明和关于具有正里奇曲率的圆锥Kähler-Einstein度量的存在性猜想.
$G_2$-Laplacian flow on complete asymptotically conical manifolds
本文证明了完备流形上闭的渐近锥形$G_2$-结构的$G_2$-拉普拉斯流的短时间存在性与闭解中的唯一性，给出了依赖初始几何的存在时间下界。
An Isomorphism Theorem for Some Linear Elliptic Differential Operators on Quasi-Asymptotically Conical Manifolds
该研究针对拟渐近锥形流形，探究了一类带无界$b$-向量场的线性椭圆微分算子，为相关几何分析问题提供算子层面的理论支撑。
Desingularization of G_2 manifolds with isolated conical singularities
本文提出了一种对具有孤立锥奇点的紧致G_2流形进行去奇异化的方法，即通过切掉每个奇点的邻域，并将其粘在渐近锥G_2流形上。通过控制重叠粘合区域上的误差，我们可以利用Joyce的一个结果，得到紧致光滑7-流形具有无挠的G_2结构，并且具有完全的G_2完整性。由于渐近锥G_2流形的3次和4次上同调在每个锥奇点处都是粘在一起的，所以这一过程存在拓扑上的障碍。当具有孤立锥奇点的流形满足一定的必要拓扑条件时，我们可以在胶合过程中引入修正项，以保证胶合过程仍然有效。在4度障碍的情况下，这些校正项是平凡的构造，但在3度障碍的情况下，我们需要解决一个非紧流形上的椭圆型方程。为此，我们使用Lockhart-McOwen理论的加权索伯列夫空间流形的结束。在适当的规范固定条件下，利用该理论得到了渐近圆锥G_2流形上G_2结构的一个良好的渐近展开，这是使胶合程序工作所必需的.
Capacity inequalities and rigidity of cornered/conical manifolds
证明了包含边界在凸锥内的超曲面的总中曲率和包含非紧边界的渐近平坦流形的质量的容量不等式。然后，我们给出了类似的Pölia-Szegö，Alexandrov-Fenchel和Penrose型不等式在此设置。在本文中使用的技术是反中曲率流的超曲面与边界。
Min-max theory and Yamabe metrics on conical four-manifolds
该研究首次在奇异情形下采用极小极大方案，结合锥形正质量定理分析共形爆破质量发散规律，证明了带有限$\u2124_2$群锥形点的四维流形上Yamabe度量的存在性。
Yamabe metrics on conical manifolds
本文在具有锥点和Einstein型锥链的奇异流形上证明了一般类型Yamabe度量的存在性，通过向标准气泡添加隐式低阶修正项并利用对称二张量场分解与Fourier分析推导Yamabe商的渐近展开，得到了Aubin经典结果的奇异对应版本。
On the Cauchy problem for the heat equation on Riemannian manifolds with conical singularities
研究了紧致黎曼流形上具有锥奇点的非齐次热方程Cauchy问题解的存在性和正则性。引入了具有离散渐近性的加权Hölder空间和索伯列夫空间，证明了当自由项位于具有离散渐近性的加权抛物Hölder空间或索伯列夫空间中时，非齐次热方程Cauchy问题解的存在性和极大正则性.这推广了Coriasco，Schrohe和Seiler（Thm. 7.2在数学Z. 244（2003），235- 269）。
Prescribing $Q$-curvature on even-dimensional manifolds with conical singularities
该研究针对带锥形奇点的$2m$维闭流形的指定$Q$-曲率问题，通过爆破分析与极小极大变分论证，得到超临界情形下的存在性与多重性结果，是$m>1$时非球面超临界锥形流形的首个相关存在性结论。
On the $L^p$ index of spin Dirac operators on conical manifolds
我们计算了具有锥奇点的自旋黎曼流形上Dirac算子的指数，从$L^p(Σ^+)$作用到$L^q(Σ^-)$，其中有$p,q>1$ .当$1+\frac{n}{p}-\frac{n}{q}>0$时，我们得到通常的Atiyah-Patodi-Singer公式，但在eta不变量的定义中，谱截在$\frac{n+1}{2}-\frac{n}{q}$而不是0。特别地，我们重新证明了周的$L^2$指数公式.对于$1+\frac{n}{p}-\frac{n}{q}\leq 0$，索引公式包含与Calderón投影仪相关的额外项。
Prescribing curvatures on surfaces with conical singularities and corners
本文研究了带锥奇点和角点的带边界紧致曲面上的高斯曲率与测地曲率预定问题，通过将新变分公式推广至奇异情形求得解，是该奇异曲面预定曲率问题的首个结果。
Bounded $H_{\infty}$-calculus for Boundary Value Problems on Manifolds with Conical Singularities
证明了在适当的$L_{p}$ -索伯列夫空间中，满足锥奇点流形上微分边界条件的微分算子的实现具有有界的$H_{\infty}$ -演算，只要满足适当的参数椭圆性条件.应用程序涉及狄利克雷和诺依曼拉普拉斯算子和多孔介质方程。
Existence and maximal $L^{p}$-regularity of solutions for the porous medium equation on manifolds with conical singularities
研究了流形上的多孔介质方程的锥奇点问题，证明了其短时解的存在唯一性和极大$L^{p}$ -正则性。特别是，我们得到的信息，在锥点附近的解决方案的短时间渐近。我们的方法是基于索伯列夫空间上锥微分算子的有界虚幂的结果和$R$ -扇形扰动技术。
The conical complex Monge-Ampère equations on Kähler manifolds
本文通过对一列逼近方程给出一致梯度估计，证明了具有弱初值的锥抛物型复蒙日-安培方程解的存在性、唯一性和正则性.作为应用，我们证明了一个正则性估计，即圆锥复蒙日-安培方程的任何$L^{\infty}$ -解都是$C^{2,α,β}$ -正则的.
Existence of global attractors and convergence of solutions for the Cahn-Hilliard equation on manifolds with conical singularities
本文研究了带锥奇点的流形上的Cahn-Hilliard方程，证明了在带渐近性的高阶Mellin-Sobolev空间中全局吸引子的存在性及解向平衡点的收敛性，并给出了平衡点在锥尖附近的渐近行为。
Quasi-asymptotically conical Calabi-Yau manifolds
我们构造了新的例子，拟渐近锥（QAC）卡-丘流形不是拟渐近局部欧几里德（QALE）。我们这样做，首先提供了一个自然的紧化的QAC-空间的流形与adhered角，并给出了一个定义的QAC-度量的相关李代数光滑向量场的紧化。由于这种紧化和由第二作者和Mazzeo发展的QAC-空间上椭圆算子的Fredholm理论，我们可以在许多情况下获得具有Ricci势在无穷远处衰减得足够快的Kähler QAC-度量。这使得我们能够通过求解相应的复蒙日-安培方程来获得这些度量的Kähler类中的QAC Calabi-Yau度量。
Complex powers for cone differential operators and the heat equation on manifolds with conical singularities
得到了扇形$\mathbb{B}$ -椭圆锥微分算子复幂域上的左、右连续嵌入.我们把这个结果应用到具有锥奇点的流形上的热方程，并给出了锥点附近唯一解的渐近展开。我们进一步表明，分解的解决方案的渐近空间，即有限维空间，描述的领域的整数幂的拉普拉斯算子和确定的局部几何周围的奇异性，是保存下的演变。
Mean curvature flow of Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities
本文研究了（几乎）Calabi-Yau流形中的（广义）Lagrange中曲率流的短时存在性问题，当初始Lagrange子流形具有以稳定的特殊Lagrange锥为模型的孤立锥奇点时.给定一个几乎Calabi-Yau流形$M$中的拉格朗日子流形$F_0:L\rightarrow M$，在$\mathbb{C}^m$中的稳定的特殊拉格朗日锥$C_1,...,C_n$上模化的$x_1,...,x_n\in M$处具有孤立的圆锥奇点，我们证明了在短时间内存在单参数点族$x_1(t),... x_n(t)\in M$和在$C_1,...,C_n$上模化的在$x_1(t),...,x_n(t)\in M$处具有孤立的圆锥奇点的单参数拉格朗日子流形$F(t,\cdot):L\rightarrow M$，该方程由初始条件为$F_0:L\rightarrow M$的（广义）拉格朗日中曲率流演化而来。
A Note on Closed Geodesics for a Class of non-compact Riemannian Manifolds
证明了非紧柱面流形上多重闭测地线的存在性。
Decay for the wave and Schroedinger evolutions on manifolds with conical ends, Part II
在具有圆锥形端点的流形上得到了薛定谔方程和波演化的时间色散估计，其Hamilton流具有捕获。本文讨论了具有固定的“非零角动量”的初始数据的情况。
Spectral Invariance of Pseudodifferential Boundary Value Problems on Manifolds with Conical Singularities
在Lp-条件下，证明了具有锥奇点的流形上的经典伪微分边值问题代数的谱不变性。作为结果，我们还得到了经典的带参数的零级算子Boutet de Monvel代数的谱不变性。为了建立这些结果，我们证明了这两种情况下的Fredholm性质和椭圆性的等价性。
Smoothness and long time existence for solutions of the porous medium equation on manifolds with conical singularities
研究了具有锥奇点流形上的多孔介质方程。在给定严格正的初值条件下，证明了该解始终存在于极大$L^{q}$ -正则空间中，并且在空间和时间上是瞬时光滑的，其中极大$L^{q}$ -正则性是在Mellin-索伯列夫空间意义下得到的.此外，我们得到精确的信息，了解接近奇点的渐近行为。最后，我们证明了非负初值下广义解的存在性。
The Cahn-Hilliard Equation and the Allen-Cahn Equation on Manifolds with Conical Singularities
本文研究了具有锥奇点流形上的 Cahn-Hilliard 与 Allen-Cahn 方程，通过证明双调和算子闭扩张的有界虚幂存在性，结合奇异分析在 Lp-Mellin-Sobolev 空间中确立了方程的短时可解性，并刻画了解在锥点附近的渐近行为与奇异性局限。
Smoothness and long time existence for solutions of the Cahn-Hilliard equation on manifolds with conical singularities
本文研究了锥奇点流形上的 Cahn-Hilliard 方程，证明了解在极大 $L^q$-正则性空间中的长时间存在性与瞬时光滑性，并刻画了解在锥尖附近的渐近行为。
Geodesic nets on non-compact Riemannian manifolds
测地线花是基于相同点$p$的测地线环路的有限集合，其满足以下平衡条件：在$p$处相交的所有测地线弧的所有单位切向量之和等于零向量。特别地，测地线花是固定测地线网。证明了在每一个具有局部凸端点的完备非紧流形中存在非平凡测地花。
Bounded Imaginary Powers of Differential Operators on Manifolds with Conical Singularities
研究了具有锥奇点的流形B上的微分算子A的极小和极大闭扩张，当A是B上加权L^p-空间上的无界算子，1 < p < \infty .在适当的椭圆性假设下，我们可以定义一族复幂A^z。我们还获得了足够的信息，显示的纯虚功率的有界性的预解式A。例子涉及唯一的可解性和最大正则性的解决方案的柯西问题的拉普拉斯算子的锥形流形以及某些准线性扩散方程。
Desingularizing isolated conical singularities: Uniform estimates via weighted Sobolev spaces
我们定义了一个非常一般的“参数连通和”构造，它可以用来消除黎曼流形的孤立锥奇点。然后，我们表明，各种重要的分析和椭圆估计，制定加权索伯列夫空间，可以得到独立的参数中使用的建设。具体地说，我们证明了与（i）Sobolev嵌入定理，（ii）拉普拉斯算子的可逆性和（iii）Poincare'和Gagliardo-Nirenberg-Sobolev型不等式有关的一致估计。我们的主要工具是著名的理论加权索伯列夫空间和椭圆算子的“锥”。我们提供了一个概述，连同前一般黎曼流形的延伸。对于我们的结果的几何应用，我们请读者参考我们的论文“特殊拉格朗日锥，II：胶合结构在C^m”。
Conic manifolds under the Yamabe flow
本文研究了锥奇点流形上的非正规Yamabe流。在对初始截面作一定的几何假设下，我们证明了在$L^q$ -背景下短时解的适定性。此外，我们给出了一个图片下的流动通过提供一个渐近展开的演变度量接近边界的初始局部几何形状的锥形尖端的变形。由于在奇点附近数量曲率的爆破，我们对锥退化算子使用极大$L^q$ -正则性理论。
Evolution Equations on Manifolds with Conical Singularities
本文探讨了通过最大正则性技术分析带锥形奇点流形上的非线性演化方程，重点讨论了奇点带来的挑战及锥形拉普拉斯算子的扩展选择，主要应用包括孔隙介质方程、分数孔隙介质方程、 Yamabe 流和 Cahn-Hilliard 方程。
A Short Introduction to the Analysis on Manifolds with Conical Singularities
本文是锥演算入门讲义，介绍带锥形奇点流形、Mellin 变换、锥 Sobolev 空间及椭圆性符号判据，并概述完整锥演算。
Decay for the wave and Schroedinger evolutions on manifolds with conical ends, Part I
在具有圆锥形端点的流形上得到了薛定谔方程和波演化的时间色散估计，其Hamilton流具有捕获。本文讨论了初始数据角动量为零的情况。
The fractional porous medium equation on manifolds with conical singularities I
这是第一个系列的两篇论文研究分数多孔介质方程的黎曼流形孤立的锥形奇点。在这篇文章中，我们证明了$R$ -扇形可能不可逆的$R$ -扇形算子的分数幂的扇形性。应用关注的存在性，唯一性和最大$L^{q}$ -正则性结果的分数多孔介质方程的解决方案的锥奇点流形。给出了奇点附近解的空间渐近性态，并建立了它与局部几何的关系。我们的方法扩展的冻结系数的方法的情况下，非本地运营商表示为线性组合的形式的产品的功能和一个局部运营商的分数功率的条款。
Sharp low frequency resolvent estimates on asymptotically conical manifolds
在一类渐近锥流形上，证明了Laplace-Beltrami算子的预解式的两类低频估计。第一个结果是当$ \mbox{Re}(z) $很小时，具有最佳权重$ \langle r \rangle^{-1} $的$ \langle r \rangle^{-1} (- Δ_G - z)^{-1} \langle r \rangle^{-1} $的均匀$ L^2 \rightarrow L^2 $界。第二个是关于预解式的幂。对于任意整数$N$，当$ \mbox{Re}(Z) $属于$ (0,+\infty) $和$ 0 < ε\ll 1 $的紧致子集时，我们证明了$ \langle εr \rangle^{-N} (-ε^{-2} Δ_G - Z)^{-N} \langle εr \rangle^{-N} $的一致$ L^2 \rightarrow L^2 $界.这些结果是通过证明一个纯锥上的度量在无穷远处的长程扰动类似的估计。
Localization of critical points in annular conical sets via the method of Nehari manifold
本文利用 Nehari 流形方法给出光滑泛函在闭锥环形区域内存在基态的充分条件，并通过两点边值问题验证定位与多重性结果。
Blow up property for viscoelastic evolution equations on manifolds with conical degeneration
本文研究了由\[u_{tt} - Δ_{\mathbb{B}}u + \int_{0}^{t}g(t-τ)Δ_{\mathbb{B}}u(τ)dτ+ f(x)u_{t}|u_{t}|^{m-2} = h(x)|u|^{p-2}u , \hspace{1 cm} x\in int\mathbb{B}, t > 0,\]描述的具有强阻尼项和源项的非线性粘弹性发展方程，其中$\mathbb{B}$是拉伸流形.首先证明了问题{1.1}在锥索伯列夫空间$\mathcal{H}^{1,\frac{n}{2}}_{2,0}(\mathbb{B}),$中的解在有限时间内对$p > m$和正的初始能量允许爆破。然后，我们构造了一个下界的爆破时间在适当的假设下的数据。
Laplace's equation on n-dimensional singular manifolds
我们证明了Sobolev嵌入在锥奇点的穿孔流形上是紧的。另一方面，我们发现Sobolev不等式在具有Poincaré型度量的穿孔流形上不成立，在穿孔流形上存在Poincaré不等式。将所得结果应用于奇异流形上的Laplace方程，得到了这两种情况下解的存在性。在锥奇异情形下，进一步证明了该解可以推广到奇点，并且是Hölder连续的.然而，在Poincaré度量情形下，该解不能连续地推广到奇点.在具有锥奇点的奇异流形上，得到了具有次临界指数的半线性椭圆型方程非平凡非负解的存在性和正则性结果。
The fractional porous medium equation on manifolds with conical singularities II
本文研究具有孤立锥奇点的黎曼流形上的分数阶多孔介质方程，推导了Mellin-Sobolev空间的性质，研究了锥拉普拉斯算子的马尔可夫扩张，并证明了全局强解的存在唯一性及解的多种性质。
Well-posedness for the semilinear wave equations with nonlinear damping on manifolds with conical degeneration
本文研究带锥形奇点流形上的半线性波动方程，通过半群方法证局部解存在唯一性，利用势阱证亚临界与临界初始能量下解的整体存在、能量衰减或有限时间爆破，还给出有限时间爆破的充要条件。
Conformal Laplacian and Conical Singularities
本文研究了共形拉普拉斯算子$Ł_g$在具有\emph{tame conical singularities}的流形上的一个行为：当每个奇点是标准球面乘积上的一个锥时.我们研究了这类流形上算子$Ł_g$的谱性质。本文讨论了方程$Ł_g u = Q u^α$在每个奇点附近具有$1\leq α\leq \frac{n+2}{n-2}$的通解的渐近性.特别地，我们得到了Yamabe度量在奇点附近的渐近性。
Conical square functionals on Riemannian manifolds
设$L = Δ+ V$是完备黎曼流形$M$上具有非负位势的Schr{<$}dinger算子.在不同的假设下，证明了与$L$相关的锥平方泛函在$L^p$上是有界的.对于$$ \mathcal{G}_L (f) (x) = \left( \int_0^\infty \int_{B(x,t^{1/2})} |\nabla e^{-tL} f(y)|^2 + V |e^{-tL} f(y)|^2 \frac{\mathrm{d}t \mathrm{d}y}{Vol(y,t^{1/2})} \right)^{1/2}.$$，我们证明了假设流形具有体积加倍性质是足够的，而对于$p \in (1,2)$，我们需要额外的$L^p-L^2$的对角估计的假设。给定某个角扇区上的有界全纯函数$ \{ \sqrt{t} \sqrt{V} e^{-tL} , t \geq 0\}$，引入了广义锥垂直平方泛函$$\mathcal{G}_L^F (f) (x) = \left( \int_0^\infty \int_{B(x,t^{1/2})} |\nabla F(tL) f(y)|^2 + V |F(tL) f(y)|^2 \frac{\mathrm{d}t \mathrm{d}y}{Vol(y,t^{1/2})} \right)^{1/2}$$，并证明了它在$L^p$上的有界性.我们还考虑了与泊松半群，下界…
Asymptotics of solutions to the porous medium equation near conical singularities
本文研究了具有锥奇点流形上多孔介质方程的渐近行为，证明其在锥点附近的解由锥截面Laplacian的谱决定，核心贡献在于精确描述了锥Laplacian的极大域。
$L^p$-estimates for the wave equation with critical magnetic potential on conical manifolds
本文研究锥流形上具标度临界磁场势的磁 Schrödinger 算子，通过构造 Hadamard 参数表示证明了正弦波传播子在 $L^p(Σ)$ 上的有界性，推广了已有结论。
Bochner-Riesz means on a conical singular manifold
该研究证明了平锥上Bochner-Riesz乘子的精确L^p有界性判据，给出了算子有界的充要条件，且结果可推广至带Dirichlet或Neumann边界的无限扇形域，解决了楔形情形的临界指数问题。
The spectrum of the Laplacian on closed manifolds and the heat asymptotics near conical points
研究在具有锥形度量的紧流形上，通过热方程解的渐近展开，建立了闭流形上拉普拉斯算子谱与锥点附近热核展开之间的显式对应关系。
Phase transitions and minimal interfaces on manifolds with conical singularities
该研究用Γ-收敛分析带锥形奇点流形上的Cahn-Hilliard相变，证明ε→0时能量极小元收敛到体积约束下的极小面积界面，结合数值与理论揭示了有限ε下锥顶极小元随ε减小转为鞍点的分岔规律。
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