NP-completeness Proof: RBCDN Reduction Problem
Sujogya Banerjee, Shahrzad Shirazipourazad, Pavel Ghosh, Arunabha Sen
以区域分解数（RBCDN）为目标值的网络设计问题的计算复杂性已被证明是NP完全的。
Computational complexity of the design problem for a network with a target value of Region-Based Component Decomposition Number (RBCDN) has been proven to be NP-complete.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Nonuniform Reductions and NP-Completeness
非均匀性是计算复杂性的核心概念，与电路复杂性和随机性有着密切的联系。非一致约简已经被用来研究NP的同构猜想和更大复杂性类的完备性。我们研究了NP完全性的非一致约简的幂，得到了NP中非一致完全性与一致完全性的分离和上界。在各种假设下，我们得到了以下分离：1。NP在非一致多-一约化下有一个完备集，但在一致多-一约化下没有完备集。即使有一点点不统一的建议，这也是真的。2. NP在非一致的多-一约简下有一个完备集，但在一致的图灵约简下没有。也就是说，多项式非均匀性比多项式数量的查询更强。3.对于任何固定的多项式p（n），在一致的2-真值表归约下，NP有一个完备的集合，但在使用p（n）建议的非一致的多-一归约下则没有。也就是说，在第二个查询中给出统一约简比使用固定多项式建议的非统一约简更强大。4. NP问题在多项式咨询的非一致多1约简下存在完备集，但在对数咨询的非一致多1约简下不存在完备集。这个层次定理也适用于其他可归约性，如真值表和图灵。我们还考虑了非一致完备性的一致上界。Hirahara（2015）证明了在使用对数建议的非一致真值表约简下，无条件地每个NP完备的集合也是一致图灵完备的。我们表明，在去随机化假设下，真值表约简和真值表完备性的相同陈述也成立。
A note on VNP-completeness and border complexity
在1979年Valiant介绍了复杂性类VNP的p-可定义的家庭的多项式，他定义了减少的概念被称为p-投影，他证明了永久多项式和哈密尔顿循环多项式是VNP完全下p-投影。2001年，Mulmuley和Sohoni（以及独立的Bürgisser）将边界复杂性的概念引入到多项式的代数复杂性的研究中。在这个代数机器模型中，允许近似，而不是坚持精确计算。这给了VNP拓扑空间的结构。本文研究VNP-完全多项式的集合VNPC。我们发现，补充VNP \ VNPC位于密集的VNP。令人惊讶的是，我们还证明了VNPC在VNP中是稠密的。我们证明了复杂性类VF、VBP和VP的类似陈述。VNP \ VNPC的密度适用于几种不同的约简概念：p-投影、边界p-投影、c-约简和边界c-约简。我们比较了这些减少下的完整性概念的关系，并分离出大多数相应的集合。Bringmann，Ikenmeyer和Zuiddam（JACM 2018）引入了边界缩小概念。我们的论文是第一个结构化的研究边界减少的概念。
Parameterized-NL Completeness of Combinatorial Problems by Short Logarithmic-Space Reductions and Immediate Consequences of the Linear Space Hypothesis
空间有限的可计算性的概念在处理存储器有限的计算设备上的大量数据集已经变得非常重要。为了补充现有的短列表NL-完全问题的实例大小是由日志空间大小参数，我们提出了新的补充直接从自然参数化的三个典型的NP-完全问题-顶点覆盖问题，精确覆盖3-集问题，和3维匹配问题。通过对实例进行适当的限制，证明了所提出的决策问题在计算复杂性上等价于参数化$3$ -有界2CNF布尔公式可满足性问题或参数化度- $3$有向$s$- $t$连通性问题.此外，在线性空间假设的前提下，如果存储器的使用被限制在次线性空间，则所提出的问题都不能在多项式时间内被解决。
On NP-completeness of the cell formation problem
在本文中，我们提供了一个证明的NP完全性的CFP问题的分数分组功效目标。为此，我们首先考虑CFP的线性目标最小化的例外和空隙的总数。遵循Pinheiro等人的想法。（2016）我们证明了它等价于Bicluster Graph Editing Problem（BGEP），BGEP是NP完全的（Amit，2004）。然后，我们建议减少CFP问题的线性目标函数的CFP与分组功效目标。
Required-edge Cycle Cover Problem: an ASP-Completeness Framework for Graph Problems and Puzzles
本文提出必需边环覆盖问题，通过ASP-完备性框架证明了多个谜题的复杂性，解决了CGS的开放问题并加强了Kakuro的复杂性分类。
Descriptive Complexity in Lean: Completeness by First-Order Reductions
本文构建 Lean 库，以描述复杂性为基础，通过逻辑刻画和归约形式化计算复杂性，证明 73 个完备性结果及类间关系和无条件下界。
Gap-preserving reductions and RE-completeness of independent set games
本文提出量子保间隙归约框架，证明恒定问题规模的独立集博弈带间隙承诺问题具有 MIP$^*$ 完全性且不可判定，并借助新的 PVM 稳定性定理完成构造。
NP-Completeness Proofs of All or Nothing, Water Walk, and Remembered Length Using the T-Metacell Framework
本文使用T-元胞框架证明了所有或nothing、水走和记忆长度谜题的NP完全性，通过将其归约到哈密顿回路问题。
Parameterized Valiant's Classes
我们定义了一个参数化的代数复杂性类的理论，类似于参数化的布尔计数类。我们定义类VFPT和VW[t]，它们反映布尔计数类#FPT和#W[t]，并定义适当的约简和完备性概念。我们的主要贡献是参数化团族的VW[1]-完全性证明。这个证明比布尔世界中的复杂得多。它需要一些新的概念，如有界指数和的合成定理和布尔算术公式。此外，我们还研究了两个多项式链接到永久的参数化的复杂性有很大不同。
EXPSPACE-Completeness of the Logics K4xS5 and S4xS5 and the Logic of Subset Spaces, Part 2: EXPSPACE-Hardness
已知乘积逻辑K4 xS 5和S4 xS 5的可满足性问题是NEXPTIME-困难的，子集空间的逻辑SSL的可满足性问题是PSPACE-困难的。我们提高这些问题的复杂性的下限，表明这三个问题是EXPSPACE-硬下的对数空间减少。在另一篇论文中，我们表明，这些问题是在ESPACE。这表明这三个问题都是EXPSPACE完备的。
Exploring the Reductions Between SSP-NP-complete Problems and Developing a Compendium Website Displaying the Results
本文探索SSP归约，收集SSP-NP完全问题，发现19个新归约和8个新完全性证明，并开发了以图展示问题关系的可扩展纲要网站。
$\exists\mathbb{R}$-Completeness of Tensor Degeneracy and a Derandomization Barrier for Hyperdeterminants
研究多线性映射的奇异性和超行列式的计算复杂性，证明张量退化在$\exists\mathbb{R}$理论中是完备的，并指出超行列式消失的确定性复杂性与代数复杂性中的去随机化问题相关。
Completeness in the Polynomial Hierarchy and PSPACE for many natural problems derived from NP
本文提出了一种通用框架，证明了源自NP的多级优化问题在多项式层次和PSPACE中的完备性，并展示了其在多级扩展中的计算复杂性特征。
Space-Efficient Error Reduction for Unitary Quantum Computations
本文发展了一般的节省空间的方法来减少幺正量子计算的误差。考虑具有完备性$c$和可靠性$s$的多项式时间量子计算，有或没有见证者（分别对应于QMA和BQP）。为了将该计算转换为误差最大为$2^{-p}$的新计算，已知的最节省空间的方法需要额外的${O \bigl( p \log \frac{1}{c-s} \bigr)}$量子位工作空间。这种空间要求对于像量子空间量子计算这样的场景来说太大了。本文提出了用于幺正量子计算的误差减少方法（即，无需中间测量的计算），其仅需要${O \bigl( \log \frac{p}{c-s} \bigr)}$量子位的额外工作空间。这特别给出了第一种强放大方法，用于具有双侧有界误差的量子空间幺正量子计算。这也导致了复杂性理论中的一些后果，例如在有界误差的量子空间幺正量子计算中量子见证的无用性，具有指数小的完备性-可靠性间隙的QMA的PSPACE上界，以及匹配门计算的强放大。
NP-Hardness and Additive Inapproximability of Deterministic Communication Complexity
本文证明在标准协议树深度模型下，给定布尔函数真值表计算其确定性通信复杂度是NP完全问题，通过放松交错框架实现，解决了Yao在1979年提出的核心问题。
Complexity theory of orbit closure intersection for tensors: reductions, completeness, and graph isomorphism hardness
本文从复杂性理论角度研究轨道闭包交集问题，定义了 TOCI 复杂性类，并证明图同构问题可约简至该类，揭示了张量问题的计算难度。
NP-Completeness and Physical Zero-Knowledge Proofs for Zeiger
本文通过从NAE3SAT+问题归约证明了Zeiger谜题的可解性判定是NP完全的，并为其构建了基于卡片的物理零知识证明协议以在不泄露解的情况下证明解的存在性。
CLS: New Problems and Completeness
复杂性类CLS是由Daskalakis和Papadimitriou引入的，目的是捕获PPAD $~\cap~$ PLS中一些众所周知的问题的复杂性，这些问题在某些情况下几十年来一直抵制将它们放在多项式时间中的尝试。没有完整的问题是已知的CLS，并在以前的工作中，问题ContractionMap，即，寻找压缩映射的近似不动点的问题，以及PLCP，即，解决P-矩阵线性互补问题的问题，被确定为主要候选人。首先，我们提出了一个新的CLS-完全问题MetaMetricContractionMap，这是密切相关的ContractionMap。其次，我们介绍EndOfPotentialLine，它通过单调有向路径直接捕获PPAD和PLS的各个方面，并表明EndOfPotentialLine通过双向减少EndOfMeteredLine在CLS中。后者被定义为通过限制势函数跟踪顶点在PPAD路径上的距离。第三，我们将PLCP减少到EndOfPotentialLine，从而使EndOfPotentialLine和EndOfMeteredLine至少与PLCP一样可能对CLS很难。最后一个结果利用了PLCP问题的Lemke路径的单调结构，使得EndOfPotentialLine成为捕获PLCP精确复杂性的可能候选者;我们注意到，在两人游戏中找到纳什均衡的Lemke-Howson路径的结构非常直接地激发了…
Completeness in Polylogarithmic Time and Space
复杂性理论可以被看作是对计算和应用之间关系的研究，将前者理解为复杂性类，后者理解为问题。完整性结果显然是这一观点的核心。当前应用程序产生的许多自然算法具有多对数时间（PolylogTime）或空间复杂度（PolylogSpace）。然而，经典的卡普完全问题概念并不能很好地处理这些复杂性类。众所周知，多对数空间在对数空间多1约简下不存在完全问题。在本文中，我们显示了类似的结果，确定性和非确定性的PolylogTime以及其他级别的polylogarithmic时间层次。我们通过遵循不同的策略来实现这一点，该策略基于证明每个类内部存在适当的问题层次。然后，我们开发了另一种概念的完整性的启发一致性的概念，从电路复杂性，并证明了一个（一致）完整的问题的存在下，这个新的概念。由于这一结果，我们得到的完整的问题仍然可以发挥重要作用，在研究之间的相互关系polylogarithmic和其他经典的复杂性类。
PSPACE-Completeness of Sliding-Block Puzzles and Other Problems through the Nondeterministic Constraint Logic Model of Computation
我们提出了一个不确定性计算模型的基础上扭转边方向的加权有向图的最小流入限制的顶点。决定这个简单的图形模型是否可以被操纵，以扭转一个特定的边缘的方向被证明是PSPACE完全的减少量化布尔公式。我们证明了这一结果在各种特殊情况下，包括平面图和高度限制的顶点配置，其中一些对应于一种被动约束逻辑。我们的框架的灵感来自（实际上是一个概括）的“广义尖峰时刻逻辑”开发的弗莱克和鲍姆。我们说明了我们的计算模型的重要性，给出简单的减少，以表明几个运动规划问题是PSPACE硬。我们的主要结果是，经典的无限制滑块拼图是PSPACE困难的，即使棋子被限制为所有多米诺骨牌（1x2块），目标只是移动一个特定的棋子。之前没有关于这些谜题的复杂性结果。这一结果可以看作是对已有的限制性尖峰时间问题是PSPACE完全问题的一个加强，并给出了一个简单的证明。最后，我们加强了现有的结果，推块推箱子是PSPACE完全的，通过显示，它是PSPACE完全的，即使没有障碍是允许的。
Isomorphism problems for tensors, groups, and cubic forms: completeness and reductions
本文证明张量、$p$-群、三次型等同构问题多项式时间等价，构成TI-完备类，还得到群同构的两项首创归约结果，核心技术为线性代数版经典图着色构件。
Sublinear-time Reductions for Big Data Computing
随着大数据的快速普及，大数据计算中易处理和难处理问题之间的二分法已经发生了变化。次线性时间，而不是多项式时间，最近被认为是大数据计算中易处理性的新标准。这种变化带来了对大数据背景下计算复杂性理论新方法的需求。在前人对次线性时间复杂度类\cite{DBLP:journals/tcs/GaoLML20}研究的基础上，本文重点研究了大数据计算中的次线性时间约简问题。首先，提出了伪次线性时间约简，证明了复杂性类\Pproblem和\PsT在伪次线性时间约简下是封闭的，为了证明\Pproblem中某些问题的\PsT -难解性，我们找到了$\Pproblem \setminus \PsT$中的第一个问题.利用伪次线性时间约简，我们证明了最近边查询是在\PsT，但代数方程根问题是不是。然后，引入伪多对数时间约简，证明了复杂性类\PsPL在伪多对数时间约简下是封闭的，并证明了在伪多对数时间约简下的\PsT完全性，证明了某些问题在多项式时间预处理后不能在多对数时间内求解，除非\PsT = \PsPL .我们证明了所有的\PsT -完全问题也是\Pproblem -完全的，这为识别\PsT -完全问题提供了进一步的方向.
Fine-Grained Completeness for Optimization in P
我们开始研究细粒度的完整性定理的精确和近似优化的多项式时间制度。受P中决策问题的第一个完全性结果的启发，（Gao，Impagliazzo，Kolokolova，Williams，TALG 2019）以及NP优化问题的经典类MaxSNP和MaxSNP-完备性（Papadimitriou，Yannakakis，JCSS 1991），我们定义了多项式时间类似物MaxSP和MinSP，它们包含P中的许多自然优化问题，包括最大内积，最近邻搜索的一般形式和$k$ -XOR问题的优化变体。具体来说，我们定义MaxSP作为一类问题定义为$\max_{x_1,\dots,x_k} \#\{ (y_1,\dots,y_\ell) : ϕ(x_1,\dots,x_k, y_1,\dots,y_\ell) \}$，其中$ϕ$是一个量化器自由的一阶属性在一个给定的关系结构（与MinSP类似定义）。在$m$大小的结构上，我们可以在$O(m^{k+\ell-1})$中及时解决每个这样的问题.我们的结果是：- 我们确定最大/最小内积问题（的稀疏变体）在 * 确定性 * 细粒度约简下是完整的：最大/最小内积的强次二次算法将通过多项式因子击败$O(m^{k+\ell-1})$的基线运行时间。- 这种完整性转移到近似：最大/最小内积也是完整的，在这个意义上，一个强次二次$c$ -近似将给出一个$(c+\varepsil…
On planar variants of the monotone satisfiability problem with bounded variable appearances
我们证明了具有有界变量外观的单调可满足性问题的几个平面变体的NP-完全性。除了一个例外，所提出的变种有一个相关的二分图的顶点度是有界的最多四个。因此，可以有效地计算这些图的平面和正交图，这可能在使用这些变体作为起点来证明某些决策问题是NP难的减少中是有用的。
NP-Completeness of the Combinatorial Distance Matrix Realisation Problem
本文研究$k$-CombDMR问题，证明$k=1$、$k=2$时可通过求解2-SAT实例在多项式时间内求解，$k\geq3$时为NP完全问题，还讨论了距离矩阵树可实现性的多项式时间问题。
Computational Complexity and Integer Programming Formulation of the Oredango Puzzle
本文证明了Oredango谜题的NP完全性与ASP完全性，并将其建模为0-1整数规划问题，通过优化求解器在Nikoli和PuzzleSquare JP实例上验证了求解效果。
PPP-Completeness with Connections to Cryptography
多项式鸽子洞原理（Polynomial Pigeonhole Principle，PPP）是TFNP的一个重要子类，与基本密码原语的复杂性有着深刻的联系：抗冲突哈希函数和单向排列。与TFNP的大多数其他子类相比，PPP没有完整的问题。我们的工作确定了第一个PPP完全问题，没有任何电路或图灵机明确给出的输入，因此，我们回答了一个长期悬而未决的问题[Papadimitriou 1994]。具体来说，我们表明，约束SIS（cSIS），一个广义的版本，著名的短解问题（SIS）从基于格的密码学，是PPP完全的。为了给我们的约束SIS减少背后的直觉，我们确定了另一个PPP完全问题的输入电路，但密切相关的格问题。我们把这个问题称为BLICHFELDT，它是与格理论中的Blichfeldt基本定理相关的计算问题。基于PPP与抗碰撞哈希函数的内在联系，我们使用我们的完整性结果来构建第一个自然哈希函数族，该函数族在最坏情况下捕获所有抗碰撞哈希函数的硬度，即在最坏情况下它是自然和通用的。我们的散列函数家族与SIS非常相似，这使我们得到了第一个候选的抗碰撞散列函数，它在平均情况下既自然又通用。最后，我们的研究结果丰富了我们对PPP，格问题和其他具体的密码学假设，如一般群上的离散对数问题之间的联系的理解。
Closing the Complexity Gap for Exact Domatic Number at Three and Four
研究固定整数k下给定图G的精确支配数问题，通过从3SAT进行多项式时间归约，结合更简单归约，证明了对于k≥3，Exact-k-DNP是DP完全的，弥合了k = 3和4时的分类差距，完成固定值分类。
On Basing One-way Permutations on NP-hard Problems under Quantum Reductions
复杂性理论的一个基本追求是将最坏情况的问题简化为平均情况的问题。存在诸如PSPACE之类的复杂性类，它们允许从最坏情况到平均情况的简化。然而，对于许多其他类，如NP，到目前为止的证据通常是否定的，在这个意义上，这种减少的存在将导致多项式层次（PH）的崩溃。基于密码原语，例如，逆单向置换在NP完全性上的平均情况困难性是一个特别有趣的例子。由于有证据表明，从NP难问题到打破这些原语的经典约简导致PH崩溃，因此似乎不太可能将密码原语建立在NP难问题上。然而，这些结果并不排除量子约化存在的可能性。在这项工作中，我们开始研究这些问题的量子类似物。除了形式化量子约化的基本概念和通过分离的例子展示量子约化的能力之外，我们的主要结果表明，如果NP完全问题使用某些类型的量子约化约化为逆单向排列，则coNP $\subseteq$ QIP（2）。
The Complexity of Recognizing SDP Exactness for the Maximum Cut Problem
本文解决最大割问题SDP精确性的计算复杂性，证明加权图的SDP精确性判定为强NP难，还将该难解性扩展到简单无权图，所用几何锁定机制解耦了连续界与组合难解性。
Some Complete and Intermediate Polynomials in Algebraic Complexity Theory
我们提供了一个新的自然$\mathsf{VNP}$ -中间多项式家族的基础上，基本（组合）的$\mathsf{NP}$ -完全的问题，是完全的简约减少。在有限域上，这些族在$\mathsf{VNP}$中，并且在似然假设$\mathsf{Mod}_p\mathsf{P} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$下，既不是$\mathsf{VNP}$ -硬的（即使在神谕电路约化下），也不是$\mathsf{VP}$。在此之前，只有割枚举多项式已知是$\mathsf{VNP}$ -中间的，如Bürgisser在2000年所示。我们接下来表明，在有理数和实数，我们的两个中间多项式，可满足性和哈密顿循环的基础上，是不是单调的仿射多项式大小的投影的永久。这增强了最近的结果沿着这条线由于格罗肖。最后，我们描述了一个（有点自然）的多项式定义独立的计算模型，并表明，它是$\mathsf{VP}$ -多项式大小的投影下完成。这补充了Durand等人（2014）的最新结果，该结果建立了$\mathsf{VP}$ -相关多项式的完整性，但在恒定深度的oracle电路约简下。这两个多项式都是基于图同态的。一个简单的限制产生了一个类似的$\mathsf{VBP}$完全族。
Completeness Theorems for k-SUM and Geometric Friends: Deciding Fragments of Integer Linear Arithmetic
在过去的三十年里，$k$ -SUM假说已经成为各种算法问题长期存在的时间障碍的令人满意的解释。然而，直到今天，文献只知道很少的证明结果的反驳这一假设。以描述性的复杂性的观点，我们问：什么是最大的逻辑定义类的问题\emph{captured}的$k$ -SUM问题？为此，我们介绍了一类$\mathsf{FOP}_{\mathbb{Z}}$的问题，相应的决定在Presburger算术/线性整数算术有限整数子集的句子。我们建立了两个大片段的$k$ -SUM问题是细粒度减少下完成：1。$k$ -SUM问题是判定含有$k$存在量词的句子的完全问题。2. $3$ -SUM问题对于$\mathsf{FOP}_{\mathbb{Z}}$的所有$3$ -量词语句都是完备的，最多可以用$3$线性不等式表示.具体地，用于$k$-SUM的快于$n^{\lceil k/2 \rceil \pm o(1)}$算法（或分别用于$3$-SUM的快于$n^{2 \pm o(1)}$算法）直接转换为用于相应片段中的\emph{all}语句的通用算法的多项式加速比。观察一个障碍，证明完整性$3$ -SUM为整个类$\mathsf{FOP}_{\mathbb{Z}}$，我们转向的问题，其他-似乎更一般-问题是完整的$\mathsf{FOP}_{\mathbb{Z}}$。在这个方向上，我们建立了$\mathbb{Z}^d$…
Quantum State Synthesis: Relation with Decision Complexity Classes and Impossibility of Synthesis Error Reduction
本文研究量子态合成复杂性类与决策复杂性类的关系，证明高误差下合成类坍缩导致决策类坍缩，并揭示合成误差在任意计算能力下均不可缩减。
Framework for $\exists \mathbb{R}$-Completeness of Two-Dimensional Packing Problems
本文建立了一个证明二维装箱问题 $\exists \mathbb{R}$-完全性的通用框架，并证明允许旋转时最多7个角的凸多边形装入正方形、以及仅平移时由线段和双曲曲线围成的物体装入正方形等问题均为 $\exists \mathbb{R}$-完全。
Structural Origin and the Minimal Syntax of NP-Hardness: Analysis of SAT from Syntactic Generativity and Compositional Collapse
本文提出SAT（尤其3SAT）的句法结构本身是NP难性之源，而非仅作归约基准，从而将P对NP问题关联到问题句法的生成原则与组合坍缩。
Reducibility Among Fractional Stability Problems
在本文中，我们解决了计算复杂性的一些突出的开放问题与实际应用。以下是我们证明为PPAD完备的问题列表，以及具有实际意义的领域：分数稳定路径问题（FSPP）[21] -互联网路由;平衡博弈的核心[41] -经济学和博弈论; Scarf引理[41] -组合学;超图匹配[1]-社会选择和偏好系统;分数有界预算连接游戏（FBBC）[30] -社交网络;和强分数核[2]-图论。事实上，我们表明，没有完全多项式时间近似方案存在（除非PPAD是在FP）。本文完全是一系列的减少，建立在非平凡的方式在以前的工作中建立的框架。在推导这些简化的过程中，我们创造了两个新的概念-偏好博弈和个性化均衡。整个新的约简集可以表示为一个格子，上面的问题夹在偏好博弈（在“容易”端）和个性化均衡（在“困难”端）之间。我们的完整性结果扩展到自然的近似版本的大多数这些问题。在一个技术说明，我们希望强调我们的新的“连续到离散”减少从精确的个性化平衡到近似个性化的平衡使用线性规划增加了一个特定形式的指数数量的“最小”约束。除了提高我们的剧目PPAD完全的问题，我们希望本文中的概念和技术，找到未来的使用在算法博弈论。
On Search Complexity of Discrete Logarithm
在这项工作中，我们研究了离散对数问题的背景下，TFNP -搜索问题的复杂性类的语法保证存在一个解决方案的所有情况。我们的主要结果建立了离散对数问题的合适的变体对于复杂性类PPP是完全的，分别是PWPP，即，TFNP的子类捕获总搜索问题的解决方案，分别由鸽子洞原则，弱鸽子洞原则保证。除了回答Sotiraki，Zampetakis和Zirdelis（FOCS'18）最近的工作中的一个开放问题外，我们对PPP和PWPP的完整性结果对最近的工作有影响，证明了加密假设下TFNP问题的条件下界。特别是，他们强调，任何试图将TFNP子类（除了PWPP和PPP）的平均情况硬度建立在离散对数问题的平均情况硬度上的尝试，都必须利用其结构特性，而不仅仅是构造抗碰撞哈希函数所必需的。此外，我们的减少提供了新的结构的见解类PWPP建立两个新的PWPP完全的问题。首先，问题DOVE，一个松弛的PPP-完全问题PIGEON。DOVE是第一个没有用显式收缩函数定义的PWPP完全问题。第二，问题爪，一个总的搜索问题捕获的计算复杂性打破无爪排列。在TFNP的上下文中，CLAW的PWPP-完全性匹配在密码学文献中建立的抗碰撞哈希函数和无爪排列之间的已知内在关系。
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