组合距离矩阵实现问题的NP完全性
NP-Completeness of the Combinatorial Distance Matrix Realisation Problem
AI总结：
本文研究$k$-CombDMR问题，证明$k=1$、$k=2$时可通过求解2-SAT实例在多项式时间内求解，$k\geq3$时为NP完全问题，还讨论了距离矩阵树可实现性的多项式时间问题。
摘要：
$k$-CombDMR问题是判断一个$n \times n$距离矩阵能否由某个含$n+k$个顶点的无向图中的$n$个顶点来实现的问题。该问题在$k=0$时存在简单解法。本文证明，当$k=1$和$k=2$时，该问题可在多项式时间内求解，且我们通过求解相应的2-SAT（2-可满足性）实例，给出了构造此类图实现的算法。当$k \geq 3$时，该问题是NP完全的，我们通过将$k$-着色问题归约到$k$-CombDMR问题证明了这一点。最后，我们讨论了更简单的、给定距离矩阵的树可实现性多项式时间可解问题。
英文摘要：
The $k$-CombDMR problem is that of determining whether an $n \times n$ distance matrix can be realised by $n$ vertices in some undirected graph with $n + k$ vertices. This problem has a simple solution in the case $k=0$. In this paper we show that this problem is polynomial time solvable for $k=1$ and $k=2$. Moreover, we provide algorithms to construct such graph realisations by solving appropriate 2-SAT instances. In the case where $k \geq 3$, this problem is NP-complete. We show this by a reduction of the $k$-colourability problem to the $k$-CombDMR problem. Finally, we discuss the simpler polynomial time solvable problem of tree realisability for a given distance matrix.
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