Jacob's ladders and new orthogonal systems generated by Jacobi polynomials
Jan Moser
本文证明了黎曼ζ函数$\zf$与经典的Jacobi多项式，即勒让德多项式、第一类和第二类切比雪夫多项式、第一类和第二类Jacobi多项式之间存在着联系。
Is is shown in this paper that there is a connection between the Riemann zeta-function $\zf$ and the classical Jacobi's polynomials, i.e. the Legendre polynomials, Chebyshev polynomials of the first and the second kind,...
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Jacob's ladders, the iterations of Jacob's ladder $ϕ^k_1(t)$ and asymptotic formulae for the integrals of the products ... for arbitrary fixed $n\in\mbb{N}$
在本文中，我们介绍了迭代$ϕ^k_1(t)$的雅各布阶梯。例如，证明了在$[T,T+U]$上的乘积$$Z^2[ϕ^n_1(t)]Z^2[ϕ^{n-1}(t)]... Z^2[ϕ^0_1(t)]$$的平均值渐近等于$\ln^{n+1}T$。在Balasubramanian、Heath-Brown和Ivic的已知理论中也不能得到$n=1$的情况。
Jacob's ladders, Gram's sequence and some nonlinear integral equations connected with the functions $J_ν(x)$ and $|\zf|^4$
本文证明了雅克布阶梯是对应于函数$J_ν(x)$和$|\zf|^4$的新的非线性积分方程的渐近解。
Jacob's ladders and the tangent law for short parts of the Hardy-Littlewood integral
Jacob阶梯\cite{7}的初等几何性质导出了Hardy-Littlewood积分短部分的一类新公式。这类公式不能用Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的方法得到。
Jacob's ladders, $ζ$-factorization and infinite set of metamorphosis of a multiform
本文利用Jacob阶梯和Hardy-Littlewood基本公式（1921）证明了临界线上的所谓$ζ$ -因子分解公式。同时，我们得到了一组与Riemann-Siegel公式相联系的多形变态的控制参数。
Jacob's ladders, interactions between $ζ$-oscillating systems and $ζ$-analogue of an elementary trigonometric identity
在我们以前的论文中，我们已经介绍了在理论的黎曼ζ函数以下概念：雅各布的梯子，振荡系统，$ζ$ -因式分解，变态，\dots在本文中，我们得到$ζ$ -模拟的一个基本三角恒等式和其他相互作用的振荡系统。
Jacob's ladders and the multiplicative asymptotic formula for short and microscopic parts of the Hardy-Littlewood integral
雅各布阶梯的基本几何性质导致一类新的渐近公式的短期和微观部分的Hardy-Littlewood积分。这类渐近公式不能用Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的方法得到。
Jacob's ladders and the quantization of the Hardy-Littlewood integral
我们使用雅克布阶梯来解决如何将Hardy-Littlewood积分等分的精细问题，例如大小为$h=6.6\times 10^{-27}$（基本普朗克量子的数值）。本文的结果在Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的已知理论中是不能得到的。
Jacob's ladders and some new consequences from A. Selberg's formula
本文证明了雅克布阶梯与A. Selberg的经典公式（1942）导出了一类新的短三角和公式.这些公式在A.塞尔伯格，所有的少，在理论的Balasubramanian，希斯布朗和伊维克。
Jacob's ladders and the asymptotic formula for short and microscopic parts of the Hardy-Littlewood integral of the function $|ζ(1/2+it)|^4$
利用二阶Jacob阶梯的基本几何性质，导出了$|ζ(1/2+it)|^4$的Hardy-Littlewood积分的短部分和微观部分的一类新的渐近公式.这些公式不能用Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的方法得到。
Jacob's ladders, new properties of the function $\arg\zf$ and corresponding metamorphoses
本文利用Jacob阶梯、迭代积分和$ζ$ -因子分解的概念，在函数$\arg\zf$的研究中得到了一些新的结果。也就是说，我们得到了函数$|\zf|$和$\arg\zf$的非定域非线性相互作用的新公式，以及振荡Q系统的一组变态。
Jacob's ladders and some generalizations of certain Ramachandra's inequality
本文得到了一类Ramachandra不等式的一些基本推广，即e.对临界线上的黎曼ζ函数产生的复杂信号的能量给出了新的下界估计。
Jacob's ladders and completely new exact synergetic formula for Jacobi's elliptic functions together with Bessel's functions excited by the function $|ζ(1/2+it)|^2$
本文给出了母公式的一组五个新的变形。此外，我们获得了第二组的十个确切的亚函数方程杂交育种上的每两个元素的前一组。最后一组的元素表示一种协同公式，描述基本经典函数的值的相应集合之间的合作相互作用。
Jacob's ladders and some nonlinear integral equations connected with the Poisson-Lobachevsky integral
本文得到了由黎曼ζ函数产生的信号的一些新性质。也就是说，我们展示了函数$\zf$和一个与Poisson-Lobachevsky积分有关的非线性积分方程之间的联系。
Jacob's ladders and new families of $ζ$-kindred real continuous functions
本文通过对某些$ζ$ -因子分解公式集的杂交繁殖，得到了相应的完全杂交公式。这些起着选择新的$ζ$族实连续函数族的标准的作用。
Jacob's ladders, $\mathcal{Z}_{ζ,Q^2}$-transformation of real elementary functions and telegraphic signals generated by the power functions
本文证明了每个无界信号基于增幂函数的$\mathcal{Z}_{ζ,Q^2}$变换都是电报信号，即单位矩形信号。
Jacob's ladders, Bessel's functions and the asymptotic solutions of a new class of nonlinear integral equations
本文证明了黎曼ζ函数$\zf$与Bessel函数之间的联系。在此基础上，引入了一类新的非线性积分方程。
Jacob's ladders and certain asymptotic multiplicative formula for the function $|\zf|^2$
本文证明了某些因子的乘积的平均值$|ζ|^2$渐进地等于$ζ|^2$的平均值的乘积，并且对于每个固定数量的因子都成立。
Jacob's ladders and the $\tilde{Z}^2$-transformation of the orthogonal system of trigonometric functions
本文证明了存在一个关于权函数$\tilde{Z}^2(t)$的正交系的连续集。在Balasubramanian、Heath-Brown和Ivic的已知理论中无法得到相应的积分。
Jacob's ladders and new class of integrals containing product of factors $ζ^2$
本文得到了临界线上黎曼ζ函数产生的信号的新性质。同时得到了与黎曼ζ函数有关的一类新的超越积分的渐近公式。
Jacob's ladders, their iterations and the new class of integrals connected with parts of the Hardy-Littlewood integral of the function $|ζ(1/2+it)|^2$
本文介绍了雅各布阶梯的迭代和包含与临界线的某个不连通集的分量相对应的因子$|ζ|^2$的某个乘积的新型积分。接下来，我们得到这个积分的渐近公式，它的因式分解，例如，两个Selberg公式（1946）的基本推广。
Jacob's ladders and the asymptotic formula for the integral of the eight order expression $|ζ(1/2+i\vp_2(t))|^4|ζ(1/2+it)|^4$
本文证明了$|ζ(1/2+i\vp_2(t))|^4$和$|ζ(1/2+it)|^4$的值之间有很好的相关性，其中$\vp_2(t)$表示二阶雅各布阶梯。这个新的渐近公式不能在已知的理论Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic。
Jacob's ladders and multiplicative algebra of reversely iterated integrals (energies) on the critical line
本文证明了一组可积迭代积分（能量）的完全对数公式。也就是说，在这种情况下，我们有$\ln T$的积分幂包含在相应积分（能量）的输入和输出上。
Jacob's ladders and the $\tilde{Z}^2$-transformation of a polynomials in $\ln \vp_1(t)$
本文证明了函数$Z^4(t)$在积分意义下存在非局部渐近分裂为两个因子。在Balasubramanian、Heath-Brown和Ivic的已知理论中不能得到相应的公式。
Jacob's ladder as generator of new class of iterated $L_2$-orthogonal systems and their dependence on the Riemann's function
本文构造了一类新的$L_2$ -正交函数作为迭代$L_2$ -正交系.为了做到这一点，我们使用理论的黎曼zeta函数以及我们的理论雅各布的梯子。主要结果是Riemann zeta函数理论中的新结果，同时也是$L_2$ -正交系理论中的新结果。
Jacob's ladders, conjugate integrals, external mean-values and other properties of a multiply $π(T)$-autocorrelation of the function $|\zf|^2$
本文给出了一类新的积分变换公式（不需要导数的显式存在），该公式适用于含有因子$|\zf|^2$乘积的积分关于临界线上不连通集的两个分支的积分。
Jacob's ladders and properties of complete additivity and complete multiplicativity in the set of reverse iterated integrals (energies)
本文引入了一类新的积分恒等式，它涉及到对临界线上Riemann zeta函数行为的约束。即在反向迭代积分（能量）类中得到了新的$σ$ -可加性和$σ$ -可乘性.
Jacob's ladders and $|ζ|^{-2}$-representation of some functionals generated by a new class of transcendental integrals
本文引入一个新的超越积分无限集。它们中的每一个都由函数$|\zf|^{-2}$的相应值表示。这一性质是纯粹数学领域关于黎曼ζ函数$\zf$普适性的又一论证。
Jacob's ladders and grafting of the complete hybrid formulas into $ζ$-synergetic meta-functional equation for Riemann's zeta-function
本文证明了在Meta函数方程上存在完全杂交公式的嫁接。这个协同公式给出了临界带上不同黎曼ζ函数值集合之间的$ζ$ -化学反应的结果。
Jacob's ladders and laws that control chaotic behavior of the measures of reversely iterated segments
本文的主要研究内容是迭代线段序列的性质。特别是，我们将研究相应的部分的措施序列的混沌行为的性质。我们的结果是用现有的黎曼ζ函数理论方法所不能达到的。
Jacob's ladders, crossbreeding and new synergetic formulas for the class of more complicated external parts of $ζ$-factorization formulas
本文得到了一个新的正则协同公式，即下一个初等三角公式的$ζ$ -模拟。本文描述了临界线上一类不连通集上相应的初等函数类与黎曼ζ函数类之间的协同作用。
Jacob's ladders and the asymptotically approximate solutions of a nonlinear diophantine equation
研究了与$ζ^2(1/2+it)$的Hardy-Littlewood公式主项有关的非线性方程。在这个方向上，我得到的罚款结果不能达到出版的方法Balasubramanian，希斯布朗和Ivic领域的Hardy-Littlewood积分。
Discrete diffusion semigroups associated with Dunkl-Jacobi and exceptional Jacobi polynomials
本文给出了极大算子关于例外Jacobi和Dunkl-雅可比多项式的离散扩散半群的加权不等式。这种设置允许扩展相应的结果最近得到的离散热半群更丰富的类的微分-差分算子。
Jacob's ladders, existence of almost linear increments of the Hardy-Littlewood integral and new types of multiplicative laws
本文证明了哈代-利特尔伍德积分存在具有极小结构的连续统增量集合，并由此得到该积分的若干新性质与新型乘法律。
Jacob's ladders and vector operator producing new generations of $L_2$-orthogonal systems connected with the Riemann's $ζ(\frac 12+it)$ function
本文提出一种生成向量算子，可在任意固定区间上构造无限多个新一代L2正交系，且每个元素均依赖于黎曼ζ函数与雅可比阶梯。
Jacob's ladders and the three-points interaction of the Riemann zeta-function with itself
证明了在每一条固定线$σ=σ_0>1$上的$|ζ(σ_0+i\vp_1(t))|^2$的某个值集合生成在临界线$σ=\frac 12$上的$|ζ(\frac 12+it)|^2$的相应值集合（即我们有法拉第定律的类似物）。
Jacob's ladders and some unbounded decomposition of the $ζ$-oscillating systems on products of other $ζ$-oscillating systems as an $ζ$-analogue of the prime decomposition
本文引入一类由幂函数子集生成的$ζ$ -振荡系统的新的乘性相互作用。得到的主要结果表示一个类似的素数分解（没有唯一性的性质）。致力于召回尼古拉·特斯拉的振荡器
Jacob's ladders, Riemann's oscillators, quotient of two oscillating multiforms and set of metamorphoses of this system
本文介绍了一个复杂的振动系统，即基于Riemann-Siegel公式的两个多形的商。证明了该系统（=蛹）在临界线$σ=\frac 12$上有无限集个变形为蝴蝶（=绝对收敛区域$σ>1$内M”obius函数的无穷级数）.
Jacob's ladders, crossbreeding and infinite sets of meta-functional equations as new species generated by the mother formula
本文得到了一组Meta函数方程，作为经典数学分析中的一类新公式。所述物种是通过杂交产生的完全杂种配方作为母体配方。也就是说，它们是由一个具有一个中性因子的Meta函数方程的一个子无限集上的一个无限集的交叉算子生成的。
Jacob's ladders and infinite set of transmutations of asymptotic complete hybrid formula on level curves in Gauss' plane
本文得到了如下新现象：每个固定的渐近完全杂交公式（我们称之为母公式）生成无限集的新公式（变换），使得每个新公式表示$\{|ζ(s)|\}$的某个子集与某个积分函数和亚纯函数的模子集之间的紧密联系.
Jacob's ladders, nonlinear interactions between $ζ$-oscillating systems and corresponding constraints
本文引入一类新的$ζ$ -振荡系统的非线性相互作用。主公式由三角函数集合的相应子集生成。接下来，主公式生成一组由两部分组成的表单。对于这个集合，以下成立：两部分形式的立方体渐近等于其他两部分形式--短泛函代数。
Jacob's ladders and exact meta-functional equations on level curves as global quantitative characteristics of synergetic phenomenons excited by the function $|ζ({1\over2}+it)|^2$
本文利用杂交育种的方法，对前一文献中相应的渐近完全杂交公式的六个变换的集合进行了研究。结果得到了一组十五个精确的Meta函数方程.每一个都代表了黎曼ζ函数理论中的新公式。
Jacob's ladders and new synergetic formula generating infinite set of $ζ$-cooperative three-parametric invariants
本文得到了一个新的$ζ$ -协同公式，即一个精确的次完全杂交公式.这是由一些三角函数和幂函数的集合以及临界线上的黎曼ζ函数的模的平方生成的。通过这个新公式，我们定义了一个三参数不变量的两参数连续集。
Jacob's ladders, factorization and metamorphoses as an appendix to the Riemann functional equation for $ζ(s)$ on the critical line
本文利用欧拉积分得到了振荡Q系统的一组新的变态。我们将上述变形的最终状态分为三个不同的部分：信号，噪声和最后适当的误差项。我们还证明了这个类的不同变态的集合是无限的。
Jacob's ladders, the structure of the Hardy-Littlewood integral and some new class of nonlinear integral equations
本文给出了Hardy-Littlewood积分的短项和微观项的新公式，以及六阶表达式$|ζ(\frac{1}{2}+i\vp_1(t))|^4|\zf|^2$的第一渐近公式。这些公式不能在Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的理论中得到。献给Anatolii Alekseevich Karatsuba的第75任总统。
Jacob's ladders and the oscillations of the function $|ζ(1/2+it)|^2$ around its mean-value; law of the almost exact equality of corresponding areas
本文研究了函数$Z^2(t),\ t\in [0,T]$围绕其均值的主要部分$σ(T)$的振动性。证明了相应面积的几乎相等性成立。这个结果不能用Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的方法得到。
Jacob's ladders and the nonlocal interaction of the function $|ζ(1/2+it)|$ with the function $\argζ(1/2+it)$ on the distance $\sim(1-c)π(t)$
本文给出了连接函数$|ζ(1/2+it)|$和$\argζ(1/2+it)$的一个新公式--\emph{a mixed formula}。这个公式在A.塞尔伯格，而且，更少的是，在巴拉苏布拉马尼安，希斯布朗和伊维克的理论。
Jacob's ladders, class of crossbreeding conserving certain cell of meta-functional equations and existence of cancerous growth of that cell
本文得到了一组48个Meta函数方程的保元胞交叉解。在反方向上，我们给出了一个例子，虽然它是由内部交叉序列生成的，但在基本单元中并没有得到非常复杂的Meta函数方程。这样的公式在基本单元格上称为\emph{cancerous growth}。
Jacob's ladders and invariant set of constraints for the reversely iterated integrals (energies) in the theory of the Riemann zeta-function
在本文中，我们得到了一个扩展的非局部等式的集合，通过添加到它的新的一组局部等式。也就是说，我们得到了一个不变的集合上的一个不变的等式集的迭代积分（能量）。换句话说，我们得到了一个新的连续集约束的功能$\zf,\ t\to\infty$的行为。
Bispectral Jacobi type polynomials
本文研究了Jacobi型多项式的双谱性。Jacobi型多项式是高阶微分算子的本征函数，可以通过取固定数目的连续雅可比多项式的适当线性组合来定义。作为特定情况，雅可比型多项式包括克拉尔-雅可比多项式。作为主要结果，我们证明了Jacobi型多项式总是满足高阶递推关系（即，它们是双频谱的）。我们还证明了Krall-Jacobi族是唯一的Jacobi型多项式是正交的关于一个措施的实线。
Jacob's ladders and the set of elementary meta-functional equations giving new kind of interactions of $ζ(s)$ with itself
本文给出了由12个初等函数在12个临界带上的嫁接集。我们利用这一点直接嫁接相应的一组$ζ$-因式分解公式的元素。这个过程给出了一组基本的元函数方程，它代表了黎曼ζ函数与自身的基本相互作用。
Jacob's ladders, crossbreeding in the set of $ζ$-factorization formulas and selection of families of $ζ$-kindred real continuous functions
本文在一组$ζ$ -因子分解公式中引入了$ζ$ -杂交的概念，并将完全杂交公式作为该杂交的最终结果。最后一个公式被用来作为实连续函数类中$ζ$类元族的选择准则。致力于回忆孟德尔的豌豆杂交。
Jacob's ladders and the nonlocal interaction of the function $Z(t)$ with the function $\tilde{Z}^2(t)$ on the distance $\sim (1-c)π(t)$ for a collection of disconnected sets
本文证明了对应于两个不连通集集合的函数$Z[\vp_1(t)]$和$\tilde{Z}^2(t)$的值之间存在三阶精细相关性。在Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的已知理论中不能得到相应的新的渐近公式。
Jacob's ladders and the nonlocal interaction of the function $Z^2(t)$ with the function $\tilde{Z}^2(t)$ on the distance $\sim (1-c)π(t)$ for the collections of disconnected sets
本文证明了函数$Z^2[\vp_1(t)]$与函数$\tilde{Z}^2(t)$之间存在四阶的精细相关性。这种相关性是关于两个不连通集的集合。相应的新的渐近公式不能在已知的理论Balasubramanian，希斯布朗和Ivic。
A Riemann--Lebesgue lemma for Jacobi expansions
本文导出了Fourier Jacobi系数的Riemann-Lebesgue型引理。通过雅可比多项式的Dirichlet-Mehler型的整表示，其证明直接归结为傅里叶系数的经典Riemann-Lebesgue引理。其他的证据也被勾画出来。拉盖尔展开式和雅可比变换也得到类似的结果。
Jacob's ladders and the first asymptotic formula for the expression of the sixth order $|ζ(1/2+iφ(t)/2)|^4|ζ(1/2+it)|^2$
本文证明了两个相距甚远的线段所对应的$|ζ(1/2+iφ(t)/2)|^4$和$|ζ(1/2+it)|^2$的值之间具有良好的相关性。这个新的渐近公式不能在已知的理论Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic。
Jacob's ladders and the first asymptotic formula for the expression of the fifth order $Z^3[...]\hat{Z}^2(t)$ for the collection of disconnected sets
本文证明了对应于两个不连通集集合的值$Z[ϕ(t)/2+ρ_1]Z[ϕ(t)/2+ρ_2]Z[ϕ(t)/2+ρ_3]$和$\hat{Z}^2(t)$之间存在五阶精细相关性。这个新的渐近公式不能在已知的理论Balasubramanian，希斯布朗和Ivic。
Asymptotic expansions of Jacobi polynomials and of the nodes and weights of Gauss-Jacobi quadrature for large degree and parameters in terms of elementary functions
给出了雅可比多项式在大次数$n$和参数$α$、$β$下的初等函数形式的渐近逼近.从这些新结果出发，导出了零点的渐近展开，并给出了求展开式中系数的方法。这些近似值可作为迭代法的初值，用于计算大次数和参数的Gauss-Jacobi求积的节点。计算这些高斯求积的节点和权重的渐近近似的性能与数值例子说明。
Jacob's ladders and the almost exact asymptotic representation of the Hardy-Littlewood integral
本文引入了一个非线性积分方程，使得该方程的整体解表示一类在$T\to\infty$（激光束的一种模拟）上的非常窄的光束，并且这一层解导致Hardy-Littlewood积分的几乎精确表示。结果的精度比Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的相关结果的精度有本质的提高.
Properties of the sequence $\{Z[t_ν(τ)]\}$, Jacob's ladders and new kind of infinite set of metamorphosis of main multiform
本文研究了序列$\{Z[t_ν(τ)]\}$的某些成员和的性质。我们的结果表示在声明中证明的Lindel\”的假设相应的公式的本质影响。在本文中：第1 - 6部分是我们的论文\cite{6}的英文版，而这篇工作的第7部分包含了当前的结果，即我们的论文\cite{7}的主要多形式的新的变态集。
Sharp Hardy's inequality for Jacobi and symmetrized Jacobi trigonometric expansions
在Hardy不等式的背景下考虑了四种Jacobi设置：三角多项式和函数，以及相应的对称化系统。在多项式情形下证明了型参数$α,β\in(-1,\infty)^d$的sharp Hardy不等式，而在函数系统中证明了$α,β\in[-1/2,\infty)^d$的sharp Hardy不等式.当相应的规范正交基由有界函数组成时，这些参数的取值范围最宽。此外，在对参数$α$和$β$进行相同限制的情况下，获得了Hardy不等式的尖锐的$L^1$类似物。
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