Very large cliques in a scale-free random graph
Universitá degli studi di Torino, Dipartimento di Matematica Giuseppe Peano（都灵大学，朱塞佩·佩亚诺数学系）；National University of Singapore, Department of Mathematics（新加坡国立大学，数学系）
研究带边步的优先连接随机图模型，证明团数下界为Ω(t^{(1-p)/(2-p)} (log^{1/(2-p)}(t) f(t))^{-1})，改进了已有结果。
2026-06-18 cs.DM math.CO math.PR
Tight asymptotics of clique-chromatic numbers of dense random graphs
图的团色数是指图的顶点集所需的最小颜色数，使得包含的最大团都不是单色的。McDiarmid，Mitsche和Prahanat证明了二项随机图$G\left(n,\frac{1}{2}\right) $的团色数以高概率至多为$\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)\log_2n$. Alon和Krivelevich证明了它以很高的概率大于$\frac{1}{2000}\log_2n$，并建议对数前的右常数是$\frac{1}{2}.$。我们证明了他们的猜想，并得到了一个紧浓度结果：whp $χ_c\left(G\left(n,1/2\right)\right) = \frac{1}{2}\log_2 n - Θ\left(\ln\ln n\right).$
2022-12-02 math.CO
On the existence of $δ$-temporal cliques in random simple temporal graphs
该研究针对随机简单时间图模型，利用概率方法证明了最大$\delta$-团大小的尖锐阈值，揭示其与Erdos-Renyi随机图最大团规模相近，并据此推测$\delta$-时间团问题的多项式时间算法难以实现高成功率。
2024-04-10 cs.DM math.CO
Finding a planted clique by adaptive probing
我们考虑种植集团问题的一个变种，我们被允许无限的计算时间，但只能调查一小部分的自适应边缘查询的图形。我们确定（对数因子）的查询数量都需要检测种植集团的存在，并找到种植集团。具体来说，令$G \sim G(n,1/2,k)$是$n$顶点上的随机图，其种植团大小为$k$。我们发现，没有算法，使最多$q = o(n^2 / k^2 + n)$自适应查询的邻接矩阵的$G$是可能找到种植集团。另一方面，当$k \geq (2+ε) \log_2 n$时，存在通过进行$q = O( (n^2 / k^2) \log^2 n + n \log n)$自适应查询以高概率找到种植集团的简单算法（具有无限的计算能力）。对于检测，添加的$n$项不是必需的：检测种植的团的存在所需的查询的数量是$n^2 / k^2$（直到对数因子）。
2020-07-24 cs.DM cs.DS math.CO
Exponential random graph models with soft clique constraints
Uppsala University（乌普萨拉大学）
该研究提出带软团约束的指数随机图模型，证明当$n$趋于无穷时，几乎必然从该模型抽取的随机图具有特定渐近结构，且该结构与正权重无关，还将结果推广到多团规模带权重的场景。
2026-09-01 cs.AI math.CO math.PR
Sharp Threshold for Cliques in Random 0/1 Polytope Graphs
本文研究随机0/1多面体图的图论性质，证明边密度阈值、强边扩张性，并确定成为团的阈值，方法结合组合刻画与Kim-Vu多项式集中不等式。
2025-07-03 cs.DM math.CO
On Emergence of Dominating Cliques in Random Graphs
研究了Erdös-Rényi随机图模型${\bbbg(n,p)}$中控制团的出现问题.结果表明，这种现象具有相变。也就是说，我们证明了，给定一个常数概率$p$，一个来自${\bbbg(n,p)}$的$n$ -节点随机图$G$，以及对于具有$1 \leq c \leq 2$的$r= c \log_{1/p} n$，它成立：（1）如果$p > 1/2$，那么一个$r$ -节点团几乎必然在$G$中占优势，（2）如果$p \leq (3 - \sqrt{5})/2$，那么一个$r$ -节点团几乎必然在$G$中不占优势.对概率$p$的剩余范围进行了讨论。详细的研究表明，通过检查$r$在$n$上的亚对数生长来回答这个问题。
2008-05-14 cs.IT math.CO math.IT
Covering the edges of a random graph by cliques
图G的团覆盖数是指覆盖图G的边所需的最小团数。本文考虑随机图G（n，p），其中p是常数.证明了在概率为1-o（1）的情况下，G（n，p）的团数为Theta（n^2/ \log^2 n）.
2011-03-24 math.CO
Maximum Cliques in Graphs with Small Intersection Number and Random Intersection Graphs
在本文中，我们将寻找最大团的问题与输入图的交集数（即边缘覆盖图所需的最小团数）联系起来。特别地，我们考虑了具有小交叉数的图和随机交叉图的最大团问题（在该模型中，每个$m$标签被每个$n$顶点以概率$p$独立地选择，并且在所选择的标签中具有重叠的任何顶点之间存在边）。我们首先提出一个简单的算法，该算法在输入$G$时查找$O(2^{2^m + O(m)} + n^2 \min\{2^m, n\})$时间步中的最大团，其中$m$是交集数的上界，而$n$是顶点数。因此，当$m \leq \ln{\ln{n}}$时，该算法的运行时间是多项式的。然后，我们考虑随机交叉图模型的随机实例作为输入图。作为我们的主要贡献，我们证明了，当标签的数量不是太大（$m=n^α, 0< α<1$），我们可以使用的标签选择的顶点找到一个最大团在多项式时间whp。该算法的正确性证明依赖于我们的单标签集团定理，该定理粗略地指出，一个“足够大”的集团不能由多个标签形成。这个定理推广和加强了现有技术中的其他相关结果，同时也拓宽了所考虑的值的范围。作为单标号团定理的一个重要结果，我们证明了从随机交图（即\emph{label representation of the graph}）中推断每个顶点标号选择的完全信息的问题是\emph{solvable} whp.寻找有效的算法来构建这样的标签表示是一个有趣的开放问题，为未来…
2012-04-18 cs.DM math.CO math.PR
Clique packings in random graphs
本文研究了稠密 Erdős-Rényi 随机图中边不相交近最大团的数量，通过随机图过程和微分方程法证明了其最大团填充规模的上下界均为 $Θ(n^2/(\log{n})^3)$。
2025-10-14 math.CO math.PR
Asymptotic degree distribution of a duplication-deletion random graph model
研究了离散时间复制删除随机图模型，分析了其渐近度分布。随机图由不相交的团组成。在每个时间步中，或者以概率$0<p<1$引入一个新顶点并将其连接到一个现有的团，以与团大小成比例的概率选择，或者以概率$1-p$删除随机顶点的所有边。我们证明了几乎必然收敛的渐近程度分布，并找到其确切值的超几何积分，表示在参数$p$。在制度$0<p<\frac{1}{2}$，我们表明，度序列的指数衰减率$\frac{p}{1-p}$，而它满足幂律指数$\frac{p}{2p-1}$，如果$\frac{1}{2}<p<1$。在阈值$p=\frac{1}{2}$处，度序列位于幂律和指数衰减之间。
2014-08-19 math.CO math.PR
The threshold for fractional clique decompositions of random hypergraphs, via matrix scaling
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文通过概率矩阵缩放方法，证明了在最小余度条件下，随机保留边的超图以高概率存在分数团分解，并确认了最优阈值阶。
2026-10-02 math.CO math.PR
Cliques, Chromatic Number, and Independent Sets in the Semi-random Process
本文研究半随机图过程中玩家如何尽快迫使图满足三类单调性质，分别涉及 $k$ 阶完全图、色数至少为 $k$ 和不存在大小至少为 $k$ 的独立集。
2024-05-13 cs.DM math.CO math.PR
Asymptotic Structure for the Clique Density Theorem
著名的Erdens-Rademacher问题要求在给定的顶点数和边数的图中最小数目的$r$ -团。尽管几十年的积极尝试，这个极值函数的渐近值为所有$r$确定最近，由Reiher [数学年鉴，184（2016）683- 707]。在这里，我们描述了所有几乎极值图的渐近结构。$r=3$的这项任务以前由Pikhurko和Razborov完成[Combinatorics，Probability and Computing，26（2017）138- 160]。
2020-12-28 math.CO
The Erdős-Rényi Random Graph Conditioned on Every Component Being a Clique
本文研究全分量为团的条件 Erdős–Rényi 随机图，建立其与社区检测 Bayesian 先验的等价性，并用解析组合数学刻画团数、边数与度分布的相变。
2025-03-18 math.CO math.PR
Quasi-cliques in inhomogeneous random graphs
给定一个图$G$和一个常数$γ\in [0,1]$，设$ω^{(γ)}(G)$是最大整数$r$，使得存在$G$的一个至少包含$γ\binom{r}{2}$边的$r$ -顶点子图.最近的研究表明，当$G$是Erdens-Rényi随机图时，$ω^{(γ)}(G)$是高度集中的（Balister，Bollobás，Sahasrabudhe，Veremyev，2019）。本文提供了一个简单的方法来扩展该结果的一组非齐次随机图，表明$ω^{(γ)}(G)$仍然集中在一个小值域，即使$G$是一个非齐次随机图。此外，我们给出了一个明确的表达式$ω^{(γ)}(G)$，并表明它主要取决于图$G$的最大边概率。
2020-09-10 math.CO math.PR
Lower Bounds for the Probability of a Union via Chordal Graphs
Mittweida University of Applied Sciences（米特维达应用科技大学）
本文通过弦图的团复杂度方法，提出新的并集概率下界计算方法。
2013-07-01 math.CO math.PR
Finding cliques and dense subgraphs using edge queries
该研究针对Erdős–Rényi随机图中有限边查询下找大团的问题，改进了多轮查询场景下团规模系数的上界，同时拓展到稠密子图查找问题并证明了对应不可能性结果。
2024-07-11 cs.DM math.CO
Large cliques in sparse random intersection graphs
给定正整数n和m，以及{0，1，.，m}是顶点集V = {1，2，.上的随机交图G（n，m，P）n}且具有属性集合W = {w_1，w_2，.，w_m}定义如下。设S_1，S_2，.，S_n是W的独立随机子集，使得对于任何v \in V和任何S \subseteq W，我们有\pr（S_v = S）= P（|S|）/ \binom（m，|S|）。G（n，m，P）的边集由S_u和S_v相交的对{u，v} V组成。研究了期望度有界的随机交图的团数ω（G（n，m，P））的渐近阶.例如，在m = Θ（n）的情形下，如果顶点的度分布是指数为α \in（1;2）的幂律分布，则最大团的大小为多项式，而如果度的方差有界，则最大团的顶点数为（ln n）/（ln ln n）（1 + o_P（1））.在每种情况下，都有一个多项式算法，它可以找到一个大小为ω（G（n，m，P））（1-o_P（1））的团。
2013-09-29 math.CO math.PR
Clique colourings of geometric graphs
一个图的团着色是顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最少的颜色数是团色数。给定平面中的点$n$和阈值$r>0$，对应的几何图具有顶点集$\{v_1,\ldots,v_n\}$，并且当$x_i$和$x_j$之间的欧氏距离至多为$r$时，不同的$v_i$和$v_j$相邻。我们研究了这类图的团色数。我们首先证明了平面上任意几何图的团色数至多为9，并简要地考虑了高维几何图。然后研究了平面上随机几何图$RG$的团色数的渐近性质，其中$n$随机点独立均匀分布在一个适当的正方形中.我们看到，随着$r$从0开始增加，对于非常小的$r$，团色数很可能是1，然后对于小的$r$，团色数是2，然后对于较大的$r$，团色数至少是3，最后降回2。
2018-12-02 math.CO
Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound: A Separation of Cut Versus Spectral Sparsification
我们证明了随机$d$ -正则图，有很高的概率，是近似误差至多为$\left(2\sqrt{\frac 2 π} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt d$的团的割稀疏子，其中$2\sqrt{\frac 2 π} = 1.595\ldots$和$o_{n,d}(1)$表示依赖于$n$和$d$的误差项，如果我们先取极限$n\rightarrow \infty$，然后取极限$d \rightarrow \infty$，则该误差项趋于零.这是通过使用Jagannath和Sen从统计物理学思想中获得的技术分析线性大小切割，并通过鞅不等式分析小切割来建立的。我们还证明了新的下界谱稀疏的集团。若$G$是该团的谱稀疏子，且$G$具有平均度$d$，则只要$G$的加权邻接矩阵是一个双随机矩阵（的倍数），或者$G$满足一定的高“奇伪围长”性质，我们证明了逼近误差至少是$d$ -正则Ramanujan图所满足的“Ramanujan界”$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.第一种情况可以被看作是“对称双随机矩阵的阿隆-博帕纳定理”，表明具有$dn$非零元素的对称双随机矩阵具有至少$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$大小的非平凡特征值;第二种情况推广了Srivastava和Trevisan的下界，这需要大围长假设。总之，这些结果意味着频谱稀疏化和切割稀疏化之间的分离。如果…
2021-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
Maximal persistence in random clique complexes
本文研究了Erdens-Rényi随机团复滤子在$n$顶点上的持久同调.这里，每个边$e$在间隔中随机均匀选择的时间$p_e \in [0,1]$出现，并且周期$σ$的\emph{persistence}被定义为$p_2 / p_1$，其中$p_1$和$p_2$分别是周期的出生和死亡时间。我们发现，对于固定的$k \ge 1$，具有高概率的最大持久性的$k$ -循环的顺序大致为$n^{1/k(k+1)}$。这些结果是在鲜明的对比与随机几何设置Bobrowski，Kahle和Skraba早期的工作表明，随机Čech和Vietoris-里普斯过滤，最大持久性的$k$ -周期要小得多，顺序$\left(\log n / \log \log n \right)^{1/k}$。
2022-09-13 math.AT math.CO math.PR
Sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机图中寻找团以及与之密切相关的“种植”团变体，即在一个随机G（n，1/2）图中种植一个大小为k的团，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管做了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决k ~ sqrt（n）的问题。在本文中，我们研究的复杂性种植集团问题的算法从平方和层次。我们证明了这个模型的第一个平均情况下界：对于G（n，1/2）中的几乎所有图，SOS层次的r轮不能找到一个种植k-团，除非k > n^{1/2 r}（直到对数因子）。因此，对于任何常数轮数，大小为n^{o（1）}的种植集团不能通过这类强大的算法找到。这是通过SOS和Lasserre层次结构的随机图上的最大团问题的自然公式化的可积性间隙来显示的，这反过来又遵循Positivestelleniance证明系统的度下界。我们遵循这种证明的通常方法。首先，我们引入一个自然的“对偶证书”（也称为“向量解”或“伪期望”）的给定系统的多项式方程表示的问题，为每个固定的输入图。然后我们证明了与这个对偶证书相关联的矩阵是PSD（半正定），并且在输入图的选择上具有很高的概率，这需要使用某些工具。一个是理论的结合计划，特别是本征空间和本征值的约翰逊计划。另一个是一个组合的方法，我们开发的计算（通过痕迹）范数界的某些随机矩阵的条目是高度依赖的，我们希望这种方法将是有用的。
2015-03-22 cs.CC cs.DS math.CO
The Lovász Theta Function for Recovering Planted Clique Covers and Graph Colorings
University of Southern California（南加州大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）；Archimedes/Athena RC, Greece（希腊阿基米德/雅典研究中心）；Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore（新加坡国立大学量子技术中心）
本文研究了洛瓦兹θ函数在随机图中恢复嵌入clique覆盖结构的能力，证明了其在特定模型下的有效性。
2026-02-04 cs.DS cs.IT math.CO
On the clique number of random Cayley graphs and related topics
本文用纯组合方法证明随机凯莱图的团数高概率为 O(log N log log N)，改进了 Alon 的上界，并据此证明 Alon 关于凯莱图团数与独立数均为 O(log N) 的猜想对几乎所有阿贝尔群成立，还构造了自补凯莱图以强形式解决 Alon–Orlitsky 问题。
2024-12-30 cs.DM math.CO math.NT
Random cliques in random graphs revisited
研究随机图 $G(n,p)$ 中给定图拷贝的分布，捕捉其与独立超图模型差异的主导项，并在更一般设定下证明结果，得出 $K_r$-因子数量的新上界。
2025-04-01 math.CO math.PR
Association schemes, non-commutative polynomial concentration, and sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机G（n，1/2）图中发现团以及与之密切相关的“种植”团变体，其中一个大小为t的团被种植在一个随机G（n，1/2）图中，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管付出了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决t = Theta（sqrt（n））的问题。在这里，我们证明了击败sqrt（n）将需要大量新的算法思想，通过证明平方和（或Lasserre）层次中问题的下界，这是我们所知道的最强大的一类半定规划算法：平方和层次的r轮只能解决t > sqrt（n）/（C log n）^（r^2）的种植集团。以前，没有非平凡的下限是已知的。我们的证明是制定为一个度下界的Positivstellenestrant代数证明系统，这是相当于平方和层次。我们（平均情况）下界的核心是证明从输入图导出的某个随机矩阵是（高概率）半正定的。在这个证明中，有两个因素起着重要的作用。第一个是经典的理论的关联计划，适用于平均和方差的随机矩阵。第二个是矩阵值多项式的一个新的大偏差不等式。我们的新的尾部估计似乎是独立的兴趣，并可能找到其他的应用，因为它推广了实值多项式和独立随机矩阵的总和的估计。
2013-11-13 cs.CC cs.DS math.CO
The complete picture for clique factors in randomly perturbed graphs
Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学）；University of Zagreb（萨格勒布大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）
研究随机扰动图中团因子的存在概率，确定阈值p，完成对α>1/2情况的分析，证明了极端结果的稳定性版本。
2026-03-23 math.CO
Computing the partition function for cliques in a graph
给出了一个确定性算法，给定一个n阶图G，给定一个整数1<m < n，在n^{O（ln m）}时间内计算G的顶点集的所有m-子集S上的权重w（S）之和，其中w（S）=exp{gamma t m +O（1/m）}，条件是S的t{mchoose 2}对顶点恰好跨越G的一条边，其中0 << 1. Here gamma >t0是一个绝对常数：我们可以选择gamma=0.06，如果n > 4 m且m > 10，我们可以选择gamma=0.18.这使我们能够区分没有高密度的m-子集的图和有足够多的高密度的m-子集的图，即使随机命中这样一个子集的概率在m中是指数小的。
2014-10-13 math-ph math.CO math.MP
An algorithmic framework for obtaining lower bounds for random Ramsey problems
在本文中，我们介绍了一个一般的框架，证明下界的各种拉姆齐型问题的随机设置。主要的想法是从算法的角度来看问题：我们的目标是提供一个算法，找到所需的着色与高概率。我们的框架允许减少随机（超）图的边缘概率$p$是否存在一个有限的图形，形成一个障碍的确定性问题，是否拉姆齐属性在手持有的概率问题。在本文的第二部分，我们应用这个框架来处理和解决各种开放的问题。特别地，我们将Bohman，Frieze，Pikhurko和Smyth（2010）关于随机图中有界反Ramsey问题的结果扩展到$2$颜色和超图团的情况。作为推论，这证明了Friedgut，Rödl和Schacht（2010）的结果的匹配下界，并且独立地，Conlon和Gowers（2014+）对于团的超图的经典Ramsey问题。最后，我们给出了Kohayakawa，Konstadinyang和Mota~（2014）在团和圈的情况下引入的反Ramsey问题的适当着色版本的匹配下界。
2014-08-22 math.CO
Spectral pseudorandomness and the road to improved clique number bounds for Paley graphs
研究了素数阶Paley图的子图$p$，它是由给定的大小为$a$的独立集的顶点集扩展到一个更大的独立集而得到的.利用作者在最近的相关工作中证明的一个充分条件，我们证明了一族特征和估计将意味着，作为$p \to \infty$，任何序列的这类子图的邻接矩阵的经验谱分布具有相同的弱极限（在重新缩放之后）作为在包括每个顶点的随机集合上以概率$2^{-a}$独立地导出的子图的那些，即，a Kesten-McKay定律，参数为$2^a$。我们证明了$a = 1$的必要估计，在这个过程中得到了Xi（2022）的特征和等分布结果的另一个证明，并为$a \geq 2$的弱收敛性提供了数值证据.我们还推测，任何这样的序列的最小特征值收敛（重新缩放后）到相应的Kesten-McKay定律的左边缘，并提供这种收敛的数值证据。最后，我们表明，一旦$a \geq 3$，最小特征值的这种（自然）收敛将意味着Paley图的团数的界限，由于Hanson和Petridis（2021）的当前技术水平的改进，并且这种对所有$a \geq 1$的收敛将意味着团数是$o(\sqrt{p})$。
2023-03-29 math.CO math.NT
Clique factors in randomly perturbed graphs: the transition points
本文确定了随机扰动图在$\alpha=1-\frac{s}{r}$处包含$K_r$-因子的最小概率阈值，并发现该阈值在临界点呈现多项式跳跃，其极值示例包含伪随机诱导子图。
2024-11-18 math.CO
Weak saturation stability
本文研究了$G$的弱$H$ -饱和子图的最小边数wsat $(G,H)$.我们证明，wsat $(K_n,H)$是“稳定的”-保持不变的独立删除后的每一个边缘的$K_n$具有恒定的概率-对于所有的模式图$H$，使存在一个“本地”的边缘集在$K_n$中的扩展。例如，对于团和完全二部图，这是正确的。我们还发现了弱$K_{1,t}$饱和稳定性的阈值概率。
2022-07-29 math.CO
Hidden low-discrepancy structures in random point sets
The University of Tokyo（东京大学）
研究随机点集中(0, m, d)-网性质的概率存在性，推导几何模式数量上界并确定N与m的缩放关系。
2026-02-18 math.CO
A new algebraic approach to the graph isomorphism and clique problems
从哥德尔的不完备性定理可以看出，任何公理和推理规则的一致形式系统都应该包含一个真正的不可证明的陈述。实际上，这一基本原理可以有效地应用于计算数学和复杂性理论中，涉及NP类问题的计算复杂性，特别是NP完全问题。虽然有一个广泛的算法，这些问题，我们称之为启发式，正确性或/和复杂性，每个具体的算法，（或其正确和多项式时间工作的概率）通常太难确定，虽然我们也可以假设存在各种NP完全问题的算法，这些算法既正确又多项式-给定类的所有实例上的时间（其中给定的问题仍然是NP完全的），但其正确性或/和多项式时间复杂度在类上是不可能证明的，作为哥德尔定理的例子。然而，据推测，这样的算法应该具有一定的处理输入数据的复杂性，并以某种代数“纠缠”的方式处理它。同样的算法分析实际上涉及NP的所有其他重要问题和子类，例如图同构问题及其相关的复杂性类GI。下面的短文提供了几个代数纠缠的多项式时间算法，用于图同构和团问题，其正确性还有待经验或通过尝试找到证明来确定。作者感谢Anuj Dawar教授（剑桥大学）对本文发表在arXiv上的支持。
2020-11-24 cs.DS math.CO
The structure of typical eye-free graphs and a Turan-type result for two weighted colours
$(a,b)$ -眼是通过从大小为$a+b$的团中删除大小为$b$的团的边而获得的图$I_{a,b} = K_{a+b}-K_b$。我们发现，对于任何$a,b \ge 2$和$p \in (0,1)$，如果我们的条件下，随机图$G \sim G(n,p)$上没有诱导的副本$I_{a,b}$，那么以很高的概率$G$是接近于一个$a$ -particular图或补充的$(b-1)$ -particular图。我们的证明使用最近开发的超图容器理论，和两个加权颜色的极值问题的稳定性结果。我们还应用稳定性方法得到一个精确的Turán型结果这个极值问题。
2016-08-31 math.CO
