Dirac optimal reduction
Tudor S. Ratiu, Madeleine Jotz
本文的目的是将正则最优约化定理推广到一般的真Dirac作用，用点约化和轨道约化两种形式表示。与一般标准奇异狄拉克约化的比较，强调了最优约化所起的去奇异化作用。
The purpose of this paper is to generalize the regular Optimal Reduction Theorem to general proper Dirac actions, formulated both in terms of point and orbit reduction. A comparison to general standard singular Dirac reduction is given emphasizing the desingularization role played by optimal reduction.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Dirac structures, nonholonomic systems and reduction
非完整系统的约化是用狄拉克约化表示的。给出了一类非完整系统的最优降阶方法。几个例子进行了详细研究。
Induced Dirac structure on isotropy type manifolds
将一种新的奇异约化方法从Poisson流形推广到Dirac流形。然后证明了商层上的狄拉克结构与唯一已知的另一种奇异狄拉克约化方法的狄拉克结构一致。
Symplectic reduction and a weighted multiplicity formula for twisted Spin$^c$-Dirac operators
我们在[TZ 1]中扩展了我们早期的工作，其中开发了Guillemin-Sternberg猜想[GS]的分析方法，考虑中的自旋$^c$ -复合物被允许进一步扭曲某些自然外部功率束的情况。主要结果是存在交换哈密顿作用量时的加权量子化公式。在全纯情形下建立了相应的Morse型不等式.
Singular reduction of Dirac structures
将李群自由适当作用在Dirac流形上的正则约化推广到非自由作用。为此，几个事实有关$G$不变向量场和一形式显示。
Stokes-Dirac Structures through Reduction of Infinite-Dimensional Dirac Structures
我们考虑van der Schaft和Maschke提出的边界控制理论中的Stokes-Dirac结构的概念。我们介绍泊松约化在这方面，并显示如何斯托克斯狄拉克结构可以通过对称性约化从一个典型的狄拉克结构上的未约化相空间。这样，我们不仅恢复了Stokes-Dirac结构的标准结构矩阵，而且恢复了（例如）Euler方程中典型的非正则平流项。
Reduction of Jacobi manifolds via Dirac structures theory
我们首先回顾了Jacobi流形，广义李双代数胚，广义Courant代数胚和Dirac结构的一些基本定义和事实。建立了Jacobi流形$(M,Λ,E)$（其中1是容许函数）的广义李双代数胚的可约Dirac结构与$M$的Jacobi商流形之间的一一对应关系.本文从Dirac结构理论的角度研究了Jacobi约化，并给出了一些例子和应用。
Dirac structures and reduction of optimal control problems with symmetries
我们讨论使用狄拉克结构，以获得更好的理解的几何形状的一类最优控制问题和他们的减少对称性。特别地，我们将展示如何扩展最近由Yoshimura和Marsden [Yo09]提出的Dirac结构的约化来描述具有对称性的李群的一类最优控制问题的约化。我们将证明，在隐式哈密顿或拉格朗日系统的情况下，减少的变分原理和减少狄拉克结构描述庞特里亚金最大值原理一阶微分条件相一致。此外，它们还将复制E.对称最优控制系统的Martínez李代数体约化方法[Mr04]。作为海森堡群上的一个最优控制问题，我们将讨论测地次黎曼问题，作为说明这些结果的一个简单例子。
Reduction of Dirac structures along isotropic subbundles
给定一个柯朗代数胚的Dirac子丛和一个迷向子丛，我们给出了一个正则方法来得到一个新的Dirac子丛。当原始Dirac子丛是对合的（即，一个狄拉克结构），这种建设有有趣的应用，例如狄拉克的理论的约束和马斯登比约化泊松几何。
Optimal eigenvalues estimate for the Dirac operator on domains with boundary
在$\MIT$袋边界条件下，给出了黎曼自旋流形紧致区域上Dirac算子本征值的一个下界.极限情况的特征在于存在一个假想的Killing旋量。
Integrability and Reduction of Hamiltonian Actions on Dirac Manifolds
对于李群$G$在Dirac流形$(M,L)$上的哈密顿量、真自由作用量和正则矩映射$μ:M\to \mathfrak{g}^*$，流形$M/G$、$μ^{-1}(0)$和$μ^{-1}(0)/G$都具有自然的诱导Dirac结构.如果$(M,L)$是一个可积的Dirac结构，我们证明了$M/G$总是可积的，但$μ^{-1}(0)$和$μ^{-1}(0)/G$可能是不可积的，我们描述了他们的可积性的障碍。
Optimal eigenvalue estimate for the Dirac-Witten operator on bounded domains with smooth boundary
在四种自然边界条件（MIT、APS、修正的APS和手征性条件）下，给出了类空超曲面的有界域（具有光滑边界）上Dirac-Witten算子的特征值估计.这个结果是弗里德里希不等式对于通常的狄拉克算子的推广。极限情况也进行了研究。
Reduction along strong Dirac maps
本文提出沿强Dirac映射的通用约简方法，恢复了泊松几何中的多种构造，并引入了新的泊松、准泊松和Dirac约简结构。
Reduction of Stokes-Dirac structures and gauge symmetry in port-Hamiltonian systems
Stokes-Dirac结构是在具有边界的光滑流形上用微分形式定义的无限维Dirac结构。这些狄拉克结构奠定了一个几何框架制定的哈密顿系统与非零边界能量流。底层流形的单纯三角剖分导致了所谓的单纯狄拉克结构，斯托克斯-狄拉克结构的离散类似物，从而提供了一个自然的框架，用于导出模拟无限维对应物的有限维端口哈密顿系统。端口哈密顿系统相对于斯托克斯狄拉克和单纯狄拉克结构定义的规范和离散规范对称性，分别。本文利用Poisson约化给出了一种统一的方法，将广义正则无穷维Dirac结构约化为与Stokes-Dirac结构相关的Poisson结构，将细维Dirac结构约化为单纯Dirac结构.我们证明了这种泊松计划的振动弦的物理例子。
A K-homological approach to the quantization commutes with reduction problem
卡斯帕罗夫定义了一个著名的K-同调基本类，称为狄拉克元。证明了C^{*}-代数的交叉积的K-同调中Dirac元的一个局部化公式。然后，我们定义的量子化的哈密顿G-空间作为一个推进的狄拉克元素。在此基础上，利用约化定理，给出了量子交换的K-同调方法。
Projective differential geometry of higher reductions of the two-dimensional Dirac equation
我们研究了二维Dirac方程的约化问题，该方程的约化条件是存在$n$阶的微分算子$D_n$，该算子将其本征函数映射到伴随本征函数上.对于一阶算子，这些约简（及其多分量类似物）导致描述正交坐标系的拉梅方程。我们的主要观察是，$n$-阶约化与射影几何的"Gauss-Codazzi"方程一致，该方程控制射影空间$P^{2n-1}$中的特殊类线同余，该射影空间是$D_n$的射影化核。在第二阶的情况下，这导致理论的$W$-同余在$P^3$属于一个线性复杂的，而第三阶的情况下，对应于各向同性同余在$P^5$。更高的约简与Davey-Stewartson层次的奇阶流相容。所有这些流保持内核$D_n$，从而定义线同余的非平凡几何演化。还讨论了多分量的推广。建立了几何图像与可积系统理论的对应关系，给出了多分量KP族的归约类和所有几何对象的定义。构造了任意阶约简的生成形式。
$W$-algebras and the equivalence of bihamiltonian, Drinfeld-Sokolov and Dirac reductions
证明了与简单李代数中的幂零轨道相关联的经典$W$ -代数可以通过预化为双哈密顿量、Drinfeld-Sokolov约化或Dirac约化来构造.我们得出结论：经典的$W$ -代数只依赖于幂零轨道，而不依赖于好的分次或迷向子空间的选择.此外，利用这个结果，我们再次证明了幂零轨道的横向Poisson结构是多项式的，我们更好地阐明了经典和有限$W$ -代数之间的关系。
Dirac brackets and reduction of invariant bi-Poisson structures
设$X$是一个具有双Poisson结构$\{η^t\}$的流形，该双Poisson结构由一对$G$不变的辛结构$ω_1$和$ω_2$生成，其中李群$G$适当地作用在$X$上.设$H$是表示主轨道类型的该作用量的某个各向同性子群，$X^r_\mathfrak{h}$是$X$的子流形，由$X$中的点组成，其稳定子代数等于$H$的李代数$\mathfrak{h}$，且其稳定子群共轭于$G$中的$H$.证明了一对辛结构$ω_1|_{X^r_\mathfrak{h}}$和$ω_2|_{X^r_\mathfrak{h}}$在$X^r_\mathfrak{h}$上生成一个$N(H^0)/H^0$不变的双Poisson结构，其中$N(H^0)$是$H$的单位分量$H^0$在$G$中的正规化子. $\widetilde G=N(H^0)/H^0$对$X^r_\mathfrak{h}$的作用是局部自由和适当的，而且，$X$上的$G$不变函数的$A^G$和$X^r_\mathfrak{h}$上的$\widetilde G$不变函数的$A^{\widetilde G}$可以被正则地识别，因此在$A^G\simeq A^{\widetilde G}$上诱导的双Poisson结构$\{(η^t)'\}$可以被视为关于{ \em局部自由}的约化李群的作用，这基本上简化了$\{(η^t)'\}$的研究。
Implicit Lagrange-Routh Equations and Dirac Reduction
本文将具有对称性的拉格朗日系统的Routh约化方法推广到不对拉格朗日量施加任何正则性条件的情形。首先，我们展示了如何隐式拉格朗日-劳斯方程可以得到从汉密尔顿庞特里亚金原则，利用非完整框架，以及如何这些方程可以减少。要做到这一点，我们始终保持隐含的动量约束，我们利用Routhian函数定义的庞特里亚金束的某个子流形。然后，我们展示了如何减少隐式拉格朗日-劳斯方程可以描述的背景下，与狄拉克结构的动力系统，在其中，我们充分利用了对称性的隐式哈密顿系统的对称性约化过程。
Symmetries and reduction of multiplicative 2-forms
本文研究李群胚上的闭乘2-形式及其无穷小对应形式的对称性。我们用它们来研究李群作用在狄拉克流形上的狄拉克同态和他们的提升到前辛群胚，建立在最近的工作Fernandes-Ortega-Ratiu \cite{FOR}的泊松行动。
Eigenvalues of the basic Dirac operator on quaternion-Kahler foliations
本文给出了四元数Kahler叶上基本Dirac算子特征值的一个最优下界。极限情况的特征在于存在四元数Kahler Killing旋量。最后，我们给出了一些例子。
Dirac structures on tangent bundles: a geometric framework for variational principles, constrained dynamics, and symmetry reduction
提出切丛上的拉格朗日-狄拉克结构，统一描述非完整、退化拉格朗日和对称系统，并建立拉格朗日-达朗贝尔-狄拉克变分原理及李群对称约化理论。
Conformally critical metrics and optimal bounds for Dirac eigenvalues on spin surfaces
本文研究了在固定共形类下Dirac算子本征值的极小化问题，推导了闭合流形上极小解存在的条件，并推导了二维球面上Dirac算子的等周不等式及其共形谱特征。
Dirac geometry, deformation theory and shifted symplectic geometry
该研究发展狄拉克变形理论，在扭曲狄拉克几何与泊松几何间插值，证明其与狄拉克几何结构运算兼容，以紧致李群相关结构变形为例，还得到统一变形理论及约化空间的光滑变形。
Equivariant indices of Spin$^c$-Dirac operators for proper moment maps
本文定义了可能非紧流形上的Spin $^c$ -Dirac算子的等变指数，该算子作用于紧的连通李群.本文的主要结果是，根据量子化与约化交换原理，指数分解为不可约表示。
Eigenvalue estimate for the Dirac-Witten operator on locally reducible Riemannian manifolds
本文研究局部可约类空子流形上Dirac-Witten算子的特征值问题，利用内蕴与外蕴表达式给出最优下界，并分析了极限情形。
Lower bounds for the eigenvalue estimates of the submanifold Dirac operator
利用内禀和外禀表达式得到了局部可约黎曼流形上子流形Dirac算子特征值的最优下界.极限情况也进行了研究。作为推论，人们在这个方向上得到几个已知的结果。
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