Singular reduction of Dirac structures
Madeleine Jotz, Tudor S. Ratiu, Jedrzej Sniatycki
将李群自由适当作用在Dirac流形上的正则约化推广到非自由作用。为此，几个事实有关$G$不变向量场和一形式显示。
The regular reduction of a Dirac manifold acted upon freely and properly by a Lie group is generalized to a nonfree action. For this, several facts about $G$-invariant vector fields and one-forms are shown.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A note on pullbacks and blowups of Lie algebroids, singular foliations, and Dirac structures
本文研究了李代数胚、奇异叶状结构和狄拉克结构在常秩或横截性映射下的拉回关系，特别分析了爆破映射的情况，并建立了李代数胚爆破与其奇异叶状结构的关系。
Reduction of Jacobi manifolds via Dirac structures theory
我们首先回顾了Jacobi流形，广义李双代数胚，广义Courant代数胚和Dirac结构的一些基本定义和事实。建立了Jacobi流形$(M,Λ,E)$（其中1是容许函数）的广义李双代数胚的可约Dirac结构与$M$的Jacobi商流形之间的一一对应关系.本文从Dirac结构理论的角度研究了Jacobi约化，并给出了一些例子和应用。
Integrability and Reduction of Hamiltonian Actions on Dirac Manifolds
对于李群$G$在Dirac流形$(M,L)$上的哈密顿量、真自由作用量和正则矩映射$μ:M\to \mathfrak{g}^*$，流形$M/G$、$μ^{-1}(0)$和$μ^{-1}(0)/G$都具有自然的诱导Dirac结构.如果$(M,L)$是一个可积的Dirac结构，我们证明了$M/G$总是可积的，但$μ^{-1}(0)$和$μ^{-1}(0)/G$可能是不可积的，我们描述了他们的可积性的障碍。
Scalar curvature and Dirac operator for some singular spaces
本文研究了具有奇异黎曼度量的流形上标量曲率和狄拉克算子的存在条件。
Dirac optimal reduction
本文的目的是将正则最优约化定理推广到一般的真Dirac作用，用点约化和轨道约化两种形式表示。与一般标准奇异狄拉克约化的比较，强调了最优约化所起的去奇异化作用。
Dirac structures, nonholonomic systems and reduction
非完整系统的约化是用狄拉克约化表示的。给出了一类非完整系统的最优降阶方法。几个例子进行了详细研究。
Singular Solutions for the Conformal Dirac-Einstein Problem on the Sphere
本文研究了共形 Dirac-Einstein 系统的奇异解存在性，利用其共形不变性，在三维球面上构造了一族恰好有两个奇点的奇异解。
A K-homological approach to the quantization commutes with reduction problem
卡斯帕罗夫定义了一个著名的K-同调基本类，称为狄拉克元。证明了C^{*}-代数的交叉积的K-同调中Dirac元的一个局部化公式。然后，我们定义的量子化的哈密顿G-空间作为一个推进的狄拉克元素。在此基础上，利用约化定理，给出了量子交换的K-同调方法。
A Kobayashi-Hitchin correspondence between Dirac-type singular mini-holomorphic bundles and HE-monopoles
本文证明了紧连通3-folds上的Kobayashi-Hitchin对应的一个类似，它是在orbifold Riemann曲面上纤维化的，并且满足可积性条件，其中包含紧连通Sasakian 3-folds.定义了3重上的mini-holomorphic丛和mini-holomorphic丛上的代数Dirac型奇点，并证明了当Dirac型奇点mini-holomorphic丛满足斜率稳定性时，存在一个特殊的Hermitian度量（容许BHE度量）.
Removable presymplectic singularities and the local splitting of Dirac structures
我们称一个前辛形式$ω$的奇点在它的图中是可去的，如果它的图在奇点上扩张到光滑Dirac结构.这方面的一个例子是磁偶极子的辛形式。用纯旋量的正则化函数给出了奇点可移性的一个判据。在$ω$的范数不是局部有界的意义下，所有可去奇点都是极点。出现可去奇点的点是Dirac结构的非正则点，我们证明了一个一般的分裂定理：局部地，每个Dirac结构是切丛和Poisson结构的图的乘积的规范变换。这意味着在可去奇点的邻域中，$ω$可以被分裂成非奇异的前辛形式和奇异的前辛形式，奇异的前辛形式是在奇点处消失的Poisson双向量的部分逆。一类有趣的例子是由对数狄拉克结构，推广对数辛结构。本文还研究了Poisson结构的可去奇点的类似概念。
Reduction along strong Dirac maps
本文提出沿强Dirac映射的通用约简方法，恢复了泊松几何中的多种构造，并引入了新的泊松、准泊松和Dirac约简结构。
On two-dimensional finite-gap potential Schrodinger and Dirac operators with singular spectral curves
我们描述了二维势场薛定谔和狄拉克算符，它们在一个能级上是有限能隙的，具有奇异谱曲线。看起来奇点可能相当复杂。这种狄拉克算子表现为浸入三维空间的环面的谱曲线。
Generalized Dirac operators on Lorentzian manifolds and propagation of singularities
本文综述了时空上广义Dirac算子的正确定义和关于奇性传播的经典结果。它说光沿着光传播--就像测地线一样。最后，我们证明这也是真实的广义Dirac算子。
Induced Dirac structure on isotropy type manifolds
将一种新的奇异约化方法从Poisson流形推广到Dirac流形。然后证明了商层上的狄拉克结构与唯一已知的另一种奇异狄拉克约化方法的狄拉克结构一致。
Stokes-Dirac Structures through Reduction of Infinite-Dimensional Dirac Structures
我们考虑van der Schaft和Maschke提出的边界控制理论中的Stokes-Dirac结构的概念。我们介绍泊松约化在这方面，并显示如何斯托克斯狄拉克结构可以通过对称性约化从一个典型的狄拉克结构上的未约化相空间。这样，我们不仅恢复了Stokes-Dirac结构的标准结构矩阵，而且恢复了（例如）Euler方程中典型的非正则平流项。
Some characterizations of Dirac type singularity of monopoles
研究了$3$维欧几里得空间中开子集上的奇异单极子.给出了Dirac型奇点的两个刻画。一个是给出的增长顺序的范数的部分是不变的散射映射。另一个是根据希格斯场的范数的增长顺序给出的。
A'Campo curvature bumps and the Dirac phenomenon near a singular point
解析函数芽的水平曲线几乎总是在奇点附近的意外点处有凸起。N.本文利用Newton-Puixix无穷小量和梯度谷的概念，对$f(z,w)\in \C\{z,w\}$的A 'Campo进行了充分的研究.同样出乎意料的是狄拉克现象：作为$c\ra 0$，$f(z,w)=c$的总高斯曲率在梯度峡谷中积累。
Symmetries and reduction of multiplicative 2-forms
本文研究李群胚上的闭乘2-形式及其无穷小对应形式的对称性。我们用它们来研究李群作用在狄拉克流形上的狄拉克同态和他们的提升到前辛群胚，建立在最近的工作Fernandes-Ortega-Ratiu \cite{FOR}的泊松行动。
Reduction of Dirac structures along isotropic subbundles
给定一个柯朗代数胚的Dirac子丛和一个迷向子丛，我们给出了一个正则方法来得到一个新的Dirac子丛。当原始Dirac子丛是对合的（即，一个狄拉克结构），这种建设有有趣的应用，例如狄拉克的理论的约束和马斯登比约化泊松几何。
Dirac structures and reduction of optimal control problems with symmetries
我们讨论使用狄拉克结构，以获得更好的理解的几何形状的一类最优控制问题和他们的减少对称性。特别地，我们将展示如何扩展最近由Yoshimura和Marsden [Yo09]提出的Dirac结构的约化来描述具有对称性的李群的一类最优控制问题的约化。我们将证明，在隐式哈密顿或拉格朗日系统的情况下，减少的变分原理和减少狄拉克结构描述庞特里亚金最大值原理一阶微分条件相一致。此外，它们还将复制E.对称最优控制系统的Martínez李代数体约化方法[Mr04]。作为海森堡群上的一个最优控制问题，我们将讨论测地次黎曼问题，作为说明这些结果的一个简单例子。
Symplectic reduction and a weighted multiplicity formula for twisted Spin$^c$-Dirac operators
我们在[TZ 1]中扩展了我们早期的工作，其中开发了Guillemin-Sternberg猜想[GS]的分析方法，考虑中的自旋$^c$ -复合物被允许进一步扭曲某些自然外部功率束的情况。主要结果是存在交换哈密顿作用量时的加权量子化公式。在全纯情形下建立了相应的Morse型不等式.
$W$-algebras and the equivalence of bihamiltonian, Drinfeld-Sokolov and Dirac reductions
证明了与简单李代数中的幂零轨道相关联的经典$W$ -代数可以通过预化为双哈密顿量、Drinfeld-Sokolov约化或Dirac约化来构造.我们得出结论：经典的$W$ -代数只依赖于幂零轨道，而不依赖于好的分次或迷向子空间的选择.此外，利用这个结果，我们再次证明了幂零轨道的横向Poisson结构是多项式的，我们更好地阐明了经典和有限$W$ -代数之间的关系。
Reduction of Stokes-Dirac structures and gauge symmetry in port-Hamiltonian systems
Stokes-Dirac结构是在具有边界的光滑流形上用微分形式定义的无限维Dirac结构。这些狄拉克结构奠定了一个几何框架制定的哈密顿系统与非零边界能量流。底层流形的单纯三角剖分导致了所谓的单纯狄拉克结构，斯托克斯-狄拉克结构的离散类似物，从而提供了一个自然的框架，用于导出模拟无限维对应物的有限维端口哈密顿系统。端口哈密顿系统相对于斯托克斯狄拉克和单纯狄拉克结构定义的规范和离散规范对称性，分别。本文利用Poisson约化给出了一种统一的方法，将广义正则无穷维Dirac结构约化为与Stokes-Dirac结构相关的Poisson结构，将细维Dirac结构约化为单纯Dirac结构.我们证明了这种泊松计划的振动弦的物理例子。
A scalar-mean curvature comparison theorem for manifolds with iterated conical singularities
本文利用 Dirac 算子方法与指标理论研究带有迭代锥奇异的 spin 流形，证明了标量-平均曲率比较定理，并推导出欧几里得区域的刚性定理与渐近平坦流形的 spin 正质量定理。
Dirac Operators on Orbifold Resolutions: Uniform Elliptic Theory
本文通过将轨形视为锥纤维奇异空间并用渐近锥纤维化进行消解，发展了一致椭圆理论，从而得到轨形消解上狄拉克算子的Fredholm性质、一致有界性及指标分解公式。
Projective differential geometry of higher reductions of the two-dimensional Dirac equation
我们研究了二维Dirac方程的约化问题，该方程的约化条件是存在$n$阶的微分算子$D_n$，该算子将其本征函数映射到伴随本征函数上.对于一阶算子，这些约简（及其多分量类似物）导致描述正交坐标系的拉梅方程。我们的主要观察是，$n$-阶约化与射影几何的"Gauss-Codazzi"方程一致，该方程控制射影空间$P^{2n-1}$中的特殊类线同余，该射影空间是$D_n$的射影化核。在第二阶的情况下，这导致理论的$W$-同余在$P^3$属于一个线性复杂的，而第三阶的情况下，对应于各向同性同余在$P^5$。更高的约简与Davey-Stewartson层次的奇阶流相容。所有这些流保持内核$D_n$，从而定义线同余的非平凡几何演化。还讨论了多分量的推广。建立了几何图像与可积系统理论的对应关系，给出了多分量KP族的归约类和所有几何对象的定义。构造了任意阶约简的生成形式。
Dirac geometry, deformation theory and shifted symplectic geometry
该研究发展狄拉克变形理论，在扭曲狄拉克几何与泊松几何间插值，证明其与狄拉克几何结构运算兼容，以紧致李群相关结构变形为例，还得到统一变形理论及约化空间的光滑变形。
Implicit Lagrange-Routh Equations and Dirac Reduction
本文将具有对称性的拉格朗日系统的Routh约化方法推广到不对拉格朗日量施加任何正则性条件的情形。首先，我们展示了如何隐式拉格朗日-劳斯方程可以得到从汉密尔顿庞特里亚金原则，利用非完整框架，以及如何这些方程可以减少。要做到这一点，我们始终保持隐含的动量约束，我们利用Routhian函数定义的庞特里亚金束的某个子流形。然后，我们展示了如何减少隐式拉格朗日-劳斯方程可以描述的背景下，与狄拉克结构的动力系统，在其中，我们充分利用了对称性的隐式哈密顿系统的对称性约化过程。
Singular Monopoles from Cheshire Bows
奇异单极子是具有指定的Dirac-type奇点的非交换单极子。所有这些都是由南的建设交付。然而，在实践中，后者的有效性仅限于一个或两个奇点的情况。我们提出了一种替代建设的奇单极制定的柴郡弓。为了说明我们的弓结构的优点，我们得到了一个U（2）规范群的一个明确的表达式，它具有任意给定的狄拉克型奇点数。
Singular symplectic cotangent bundle reduction of gauge field theory
我们证明了一个定理奇异辛余切丛约化的Fréchet设置，并将其应用到杨米尔斯希格斯理论，特别强调的希格斯部门的格拉肖-温伯格-萨拉姆模型。对于后一种模型，我们给出了详细的描述，减少相空间，并表明，奇异结构编码在有限维李群作用。
Quantization formula for singular reductions
本文证明了奇异约化的一个量子化公式。主要结果是作为[TZ2]中证明的扩展量化公式的简单应用而得到的。
Dirac structures on tangent bundles: a geometric framework for variational principles, constrained dynamics, and symmetry reduction
提出切丛上的拉格朗日-狄拉克结构，统一描述非完整、退化拉格朗日和对称系统，并建立拉格朗日-达朗贝尔-狄拉克变分原理及李群对称约化理论。
Singular Yamabe metrics by equivariant reduction
我们构造奇异解的Yamabe方程使用减少的问题中的等变设置。这提供了一个非平凡的几何例子，其分析比Mazzeo-Pacard程序更简单。我们的建设也提供了一个非平凡的例子，一个弱解的Yamabe问题涉及一个方程（光滑）系数。
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