Higher Dimensional Homology Algebra III:Projective Resolutions and Derived 2-Functors in (2-SGp)
Fang Huang, Shao-Han Chen, Wei Chen, Zhu-Jun Zheng
本文将通过任意对称2-群的投射分解定义导2-函子，并给出导2-函子的一些相关性质。
In this paper, we will define the derived 2-functor by projective resolution of any symmetric 2-group, and give some related properties of the derived 2-functor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Higher Dimensional Homology Algebra IV:Projective Resolutions and Derived 2-Functors in ($\cR$-2-Mod)
本文构造了任意$\cR$ -2-模的投射分解，定义了导2-函子，并给出导2-函子的一些相关性质。
Leibniz homology of Lie algebras as functor homology
证明了李代数的Leibniz同调可以描述为李运算子范畴中线性函子范畴的函子同调。
Higher Dimensional Homology Algebra II:Projectivity
本文证明了对称2-群的2-范畴（2-SGp）和$\cR$-2-模（\cite{5}）的2-范畴（$\cR$-2-Mod）分别具有足够的投射对象.
Enhanced bivariant homology theory attached to six functor formalism
双变理论是上同调理论和Borel-Moore同调论的统一框架。本文从Gaitsgory-Rozenblyum的六函子理论中提取出一个$\infty$增强的双变同调论.
Higher Dimensional Homology Algebra V:Injective Resolutions and Derived 2-Functors in ($\cR$-2-Mod)
本文构造了任意$\cR$ -2-模的内射分解，定义了右导2-函子，并给出了导2-函子在（$\cR$ -2-Mod）中的一些相关性质.
Some aspects of semi-abelian homology and protoadditive functors
本文简要介绍了半阿贝尔范畴中同调研究的一些新进展。特别是在研究的Hopf公式的同源性的作用的protoadditive函子进行了解释。
A Note on Homology over Functor Categories
我们知道，对于一个阿贝尔范畴$C$和小的$I$，函子范畴$C^I$又是阿贝尔的;因此我们可以在这样的范畴中做同调，并考察它如何与$C$本身的同调相联系。然而，似乎没有任何好的参考收集这些想法在一起。本文试图填补空白，显示同源性在$C^I$的行为，人们会期望。
On stable homology of congruence groups
我们表明，在这项工作中，同源度D的同余组，在一个非常一般的框架，定义了一个弱多项式函子的程度最多2D，我们描述了这个函子模多项式函子的程度较小。我们的主要工具是一个谱序列，它连接了类同余群的同调（在一个接近于2010年Vespa为正交群引入的形式设置中）和函子同调。我们证明并使用了多项式函子上某些张量结构的性质和导出的Kan扩张，用不同的方法推广了Suslin关于整数代数K理论中切除的工作和Church-Miller-Nagpal-Reinhold的一个预印本.
Higher limits, homology theories and fr-codes
本文是根据作者在2015年夏天的讲座。它包含对表示范畴的极限理论的介绍，并以不同的知名函子为例，例如同调或非加性函子的导出函子（以导出极限的形式）。还发展了所谓的${\bf fr}$码的理论。这是一种方法如何从群范畴到阿贝尔群范畴的不同函子，如群同调，阿贝尔化的张量积，可以用两个符号${\bf f}$和${\bf r}$在字母表中编码为句子。
Protoadditive functors, derived torsion theories and homology
原可加函子被设计用来在非阿贝尔设置中替换可加函子。他们的性质进行了研究，特别是在与扭转理论，伽罗瓦论，同源性和因子分解系统。它示出了如何一个原添加剂无挠反射诱导链的派生扭转理论的类别中的更高的扩展，类似于伽罗瓦结构的更高的中央扩展先前考虑在半阿贝尔同调代数。这种更高的中心扩展也进行了研究，就伯克霍夫子范畴的反射器是protoadditive，或更一般地说，通过一个protoadditive反射器的因素。这样，我们通过高阶Hopf公式得到了反射体的非交换导出函子的简单描述.各种例子被认为是在类别的群体，紧凑的群体，内部群胚在半阿贝尔范畴，和其他的。
Homology of strict polynomial functors over Fp-linear additive categories
本研究将经典强比较定理推广到Fp-线性加法范畴，推动函子同调显式计算，为群稳定同调、K-理论新应用铺路，并例证了无限完美域上经典代数群上同调的比较定理。
Galois theory and homology in quasi-abelian functor categories
本文研究有限范畴T上的函子范畴[T,A]（A为拟阿贝尔范畴），定义并证明其子范畴F为无挠Birkhoff子范畴，从而用于研究中心扩张和同调的广义Hopf公式。
Homologically optimal categories of sequences lead to N-complexes
本文研究了阿贝尔范畴上的$\mathbb{Z}$ -指标序列范畴以及这类序列的广义同调函正整数$a$和$b$ .通过研究相应的衍生范畴，我们证明了对于我们的广义同调函子的每一个选择，都有一个序列的“最优”子范畴，即$N$ -复合物的范畴（差分$d$满足$d^N = 0$的序列），其中$N = a + b$。在这种最佳情况下，我们表明，我们的同源函子减少Kapranov的同源函子$\operatorname{ker} d^a / \operatorname{im} d^b$。
Adjoinable Homology
引入了两个导出函子之间的对偶性概念以及导出函子到更大范畴的扩张定理，在这些范畴中它们不需要被定义。然后应用这些思想，将余函子推广到任意余代数，并研究了余函子的性质。一个新的同调论理论，然后建立，并表现出一定的对偶关系，某些余代数的Hochschild上同调。最后，引入了一种例外类型的余代数，并利用它将这种新的同调论与这种例外代数的前有限对偶代数的连续上同调建立了明确的联系.
Deconstructing Auslander's formulas, I. Fundamental sequences associated with additive functors
该研究针对加法函子构造长正合序列，半正合函子所得序列正合，一般函子非平凡同调可能仅在导出函子处。专门针对有限表现模上的Hom和张量积函子恢复奥斯特兰德公式，结果适用于任意环和模，还得出任意复形同调与上同调的通用系数定理。
On Ideals and Homology in Additive Categories
理想用于定义加法范畴的同调函子。在阿贝尔范畴中，对应于通常的泛对象的理想是主的，并且其构造以依赖于选择的方式归结为同调群。应用被认为是：导出范畴和函子。
Syntactic categories for Nori motives
基于范畴逻辑，我们给出了Nori的$\mathbb Q$ -线性阿贝尔混合模范畴的一个新的构造，该范畴与$\mathbb Q$上的有限维向量空间中的上同调或同调函子有关.这种新的构造对于无限维向量空间也是有意义的，因此它将混合基元的$\mathbb Q$ -线性阿贝尔范畴与任何（上）同调函子联系起来，不仅是贝蒂同调（如诺里所做的），而且，例如，$\ell$ -adic、$p$ -adic或基元上同调。我们证明了与不同的（上）同调函子相关联的混合动机的$\mathbb Q$ -线性阿贝尔范畴是等价的当且仅当这些不同的函子共享一族（逻辑性质的）显式性质。因此，普遍上同调理论的存在性问题和不同经典上同调函子所编码的信息的等价性问题就归结为检查这些明确条件的问题。
Homology manifolds via six functor formalisms
利用谱层六函子形式体系研究同调流形，刻画上同调光滑对象，证明ANR同调流形是Poincaré对偶复形，推广Wilder单调映射定理，引入同伦流形并证明不稳定版本的Wilder可定向猜想。
Functional Equations and Their Related Operads
使用函数方程，我们定义函子，从一个变量的微积分推广标准的例子。这样的函子的例子进行了讨论，并计算其泰勒塔。我们还表明，这些函子的因素，通过对象丰富的小$n$ -立方体操作的同源性，并讨论函子之间的关系，通过函数方程和操作定义。此外，我们还利用构形空间的同调性计算了$n$ -Poisson代数范畴中的遗忘函子的微分。
Abstract Excision and $\ell^1$-Homology
本文利用 $\infty$-范畴中的切除函子理论证明 $\ell^1$-同调函子的最佳切除逼近平凡，并以奇异链复形函子沟通抽象切除与经典 Mayer–Vietoris 序列。
Quantum Link Homology via Trace Functor I
受拓扑学的启发，我们发展了一个内范畴的迹和阴影的一般理论，这是一个~对：双范畴$\mathbf{C}$和内函子$Σ\colon \mathbf C \to\mathbf C$。对于分次线性双范畴和固定可逆参数$q$，我们利用内函子$Σ_q$证明了这一理论，使得对于任意2-态射$α$，$Σ_q α:=q^{-°α}Σα$与$Σ$一致.将量子迹应用于Chen-Khovanov双模的~双范畴，得到了一个新的三阶化链同调理论，称为量子环链同调。如果是$q=1$，我们在增厚的环中复制Asaeda-Przytycki-Sikora（APS）同源性。我们证明了我们的同调进行行动的$\mathcal U_q(\mathfrak{sl}_2)$，这交织的行动cobordisms。特别地，$n$ -电缆的~量子环同调允许辫群的作用，其与量子群作用交换并通过Jones绞关系因式化。这产生了一个非平凡的不变量的表面打结在四维空间。此外，对环面链的直接计算表明，量子环同调群的秩确实依赖于量子参数$q$。
Flat replacements of homology theories
对于一个同调论，人们可以把一个加性位点和一个新的同调函子与该位点上的加性层范畴中的值联系起来。如果这个层范畴可以等价于一个Hopf代数胚的余模范畴，那么通过与底层模函子的合成，我们得到了一个新的同调论.这个新的同调论总是平坦的，我们称它为原理论的平坦替换。例如，Pstragogowski已经证明了复配边是奇异同调的平面替换。本文研究了与同调论有关的格点的基本性质，并证明了一个平坦置换的存在定理。
A spectrum-level Hodge filtration on topological Hochschild homology
我们定义了一个函谱级过滤的拓扑霍赫希尔德同调的任何交换环谱$R$，更一般的因式分解同调$R \otimes X$的任何空间$X$，呼应代数结构的Loday和Pirashvili。我们调查这种过滤的属性，并表明它打破THH到共同的特征谱的亚当斯操作。
Homological properties of non-deterministic branchings and mergings in higher dimensional automata
分支（Resp.）一个流的空间函子是一个左Quillen函子。关联的导出函子允许定义分支（分别为合并）流的同源性。证明了这种同调论是一个双同伦不变量，并且高维分支（分别是合并）满足长精确序列。
N-Fold Cech Derived Functors and Generalised Hopf Type Formulas
在1988年，Brown和Ellis发表了[3]一个关于群的高阶同调的推广的Hopf公式。虽然基本上是正确的，但他们的结果缺少一个必要条件。我们在这里给出一个反例来证明没有这个条件的结果。然而，本文的主要目的是推广这个修正的结果，导出下中心序列函子Z_k的n重Cech导出函子的Hopf型公式。本文最后应用到代数K理论。
Cellular cosheaf homology are cosheaf homology
上层是层的对偶概念，但由于缺乏上层化，我们不能将其同调定义为层上同调的形式对偶。胞腔上层是从CW复形的面偏序集到阿贝尔群范畴的反变函子。我们表明，给定一个细胞cosheaf $F$，有一个自然的方式来关联cosheaf $\widehat{F}$，我们可以定义为正式的对偶层上同调的同源性，这样的Borel摩尔同源性的$F$是同构的同源性的$\widehat{F}$时，基本的CW复$F$是一个单纯复形。
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