Infinite ergodic theory and Non-extensive entropies
L. M. Gaggero-Sager, E. R. Pujals, O. Sotolongo-Costa
本研究梳理了无限遍历理论中的一系列相关成果，指出其与非广延熵理论存在关联，为两个领域的交叉研究提供了参考方向。
我们提出了一系列无限遍历理论中的研究结果，我们认为这些结果与非广延熵理论具有相关性。
We bring into account a series of result in the infinite ergodic theory that we believe that they are relevant to the theory of non-extensive entropies
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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What do generalized entropies look like? An axiomatic approach for complex, non-ergodic systems
Shannon和Khinchin指出，假设有四个信息论公理，熵必须是Boltzmann-Gibbs型的，即$S=-\sum_i p_i \log p_i$。这里我们注意到，在物理系统中，这些公理之一可能被违反。对于非遍历系统，所谓的分离公理（Shannon-Khinchin公理4）通常是无效的。我们发现，当这个公理被违反的熵采取更一般的形式，$S_{c,d}\propto \sum_i ^W Γ(d+1, 1- c \log p_i)$，其中$c$和$d$是标度指数和$Γ(a,b)$是不完全的伽玛函数。指数$(c,d)$定义了所有相互作用和非相互作用系统的等价类，并明确地描述了任何统计系统的热力学极限。证明是可能的，因为两个新发现的标度定律，任何熵形式必须满足，如果前三个香农-欣钦公理成立。$(c,d)$可用于定义统计系统的等价类。一系列已知的熵可以根据这些等价类进行分类。我们表明，相应的分布函数是特殊形式的朗伯- ${\cal W}$指数包含-作为特殊情况-玻尔兹曼，拉伸指数和Tsallis分布（幂律）。在推导中，我们假设迹形式的熵，$S=\sum_i g(p_i)$，与$g$一些功能，然而，更一般的熵形式可以沿着相同的标度分析进行分类。
Equivalence of information production and generalized entropies in complex processes
复杂系统的特点是强相关性和厚尾分布函数已被认为是不相容的玻尔兹曼-吉布斯熵的框架内。作为一种替代方法，提出了所谓的广义熵，并进行了深入研究。在这里，我们表明，这种不相容性是一种误解。对于广泛的一类过程，玻尔兹曼熵对数多重性仍然是有效的熵概念，然而，对于非独立同分布，非多项式和非遍历过程，玻尔兹曼熵不是香农形式。玻尔兹曼熵的正确形式可以证明与广义熵是一致的。我们推导出这个结果的所有过程，可以可逆地映射到伴随表示的过程是独立同分布。在这些表示中，信息产生由香农熵给出。我们证明，在原来的采样空间，这产生的泛函是相同的广义熵。因此，构造适当的上下文敏感熵泛函的问题可以转化为寻找伴随表示的更简单的问题。该方法为强相关系统和复杂过程的统计物理学提供了一个全面的框架。
Local ergodicity in the exclusion process on an infinite weighted graph
在适当的时空尺度下，我们对覆盖无限权图的增球序列上的（边界驱动的）对称排它过程建立了一个抽象的局部遍历定理。证明是基于1-块和2-块的估计，利用图的电阻结构，移动粒子引理最近建立的作者和离散调和分析。我们的遍历定理适用于任何无限加权图上的随机游动是强返回的在巴洛，Delmotte，和Telcs的意义，这些包括许多树，分形图，和随机图所产生的渗滤。本文的主要结果被用来证明Sierpinski垫片上边界驱动排它过程的联合密度流流体动力学极限，这在即将发表的与M。Hinz和A.捷夫
Fluctuations of the Empirical Entropies of a Chain of Infinite Order
本文讨论了无限级链的经验熵的涨落问题。我们假设链在有限的字母表上取值，并以指数级的速度丢失内存。我们考虑经验熵的两种可能的定义，两者都基于具有长度clog（n）的圆柱体的经验分布，其中n是样本的大小，c是合适的常数。第一个是经验分布的条件熵，给定一个长度随样本大小几何增长的过去。第二个是尺寸随样本尺寸几何增长的圆柱经验分布的重标熵。我们证明了第一个中心极限定理。我们还证明了第二个没有高斯起伏。这解决了Iosifescu（1965）提出的一个问题。
Quantum Renyi relative entropies on a spin chain with interface defects
本文计算了含缺陷的无限大无自旋费米子链的量子Renyi相对熵。做一个数值分析，我们将表明，所产生的量依赖于非平凡的理论的有效中心荷。此外，我们将看到，可以为它们写出一个明确的解析表达式，从中可以读出量子保真度和相对熵。
Fluctuations around equilibrium laws in ergodic continuous-time random walks
研究了遍历连续时间随机游动中的占有时间统计量。在热细致平衡条件下，平均占据时间由Boltzmann-Gibbs正则定律给出。但接近非遍历阶段，在这个平均值附近的有限时间波动是大的和非平凡的。它们表现出双重时间标度和分布律：大波动的无限密度补充了体波动的Lévy稳定密度。两者都不应该被解释为一个独立的极限定律，因为每一个都有自己的缺陷：无限密度有一个无限的范数（尽管粒子守恒），而稳定分布有一个无限的方差（尽管占据时间是有界的）。这些非物质的分歧是通过对两个公式的一致使用和解释来弥补的。有趣的是，虽然系统的正则平衡定律自然地决定了遍历运动的平均占据时间，但它们也控制了涨落的无穷大和列维稳定密度。稳定和无限密度的对偶性实际上在这些动力学中无处不在，因为它涉及一般物理观测量的时间平均。
Infinite Ergodic Theory for Heterogeneous Diffusion Processes
我们显示了由Langevin方程与乘性噪声和无限遍历理论建模的过程之间的关系。我们集中在一个空间依赖的扩散系数，表现为${D(x)}\sim |x-\tilde{x}|^{2-2/α}$在附近的一个点$\tilde{x}$，其中$α$可以是正的或负的。我们发现，一个非正规化的状态，也被称为一个无限的密度，描述了系统的统计特性。对于正在调查的过程中，广泛的一类可观的时间平均值，获得使用相对于非归一化密度的系综平均。一个包含乘性噪声的朗之万方程可能有不同的解释;伊藤、斯特拉托诺维奇或亨吉-克利蒙托维奇，所以无限密度的存在和密度的形状都与所考虑的解释和$D(x)$的结构有关。
From Non-normalizable Boltzmann-Gibbs statistics to infinite-ergodic theory
我们研究一个粒子浸没在一个热浴中，在存在一个外力的衰减至少一样快的$1/x$，例如一个粒子与一个表面通过Lennard-Jones或对数势相互作用。随着时间的增加，我们的系统接近一个不可归一化的玻尔兹曼状态。我们研究可观的，如能量，这是可积的相对于这个渐近热状态，计算时间和合奏平均。我们推导出一个有用的正则系综，这是定义的平衡，使用最大熵原理，其中的约束是：归一化，有限的平均能量和均方位移随时间线性增加。我们的工作融合了无限遍历理论与玻尔兹曼-吉布斯统计，从而扩大了后者的范围，同时对遍历性的概念有了新的认识。
Infinite ergodic theory for three heterogeneous stochastic models with application to subrecoil laser cooling
本文比较了三种次反冲激光冷却气体随机模型的动能各态历经性质。一个模型是基于异质随机游走（HRW），另一个是具有长程跳跃的HRW（指数模型），另一个是指数模型的类平均场近似（确定性模型）。所有的模型都显示了在长时间极限内动量在零处的积累，并且形式上的稳定状态不能被归一化，即，存在一个无穷大的不变密度我们获得了指数模型和确定性模型的无穷不变密度和标度函数的精确形式，并设计了一个有用的近似的动量分布在HRW模型。虽然这些模型在动力学上是不相同的，但考虑到它们都是由无限不变密度描述的，自然会想知道它们的遍历特性是否具有共同的特征。我们表明，这个问题的答案取决于所研究的可观察对象的类型。如果可观测量是可积的，则遍历性质（如时间平均的统计行为）是普适的，因为它们由Darling-Kac定理描述。相反，对于不可积的观测量，模型一般表现出不同的统计规律。这意味着，专注于不可积的可观测量，我们发现冷却过程的非普遍特征，希望可以导致更好地理解最适合于该过程的统计描述的特定模型。这一结果预计适用于激光冷却以外的许多其他系统。
Infinite ergodic theory meets Boltzmann statistics
本文研究了在渐近平坦的外势场中与热浴接触的粒子的过阻尼随机动力学。对于一个无限大的系统尺寸，粒子可以逃脱力场，并在大的长度尺度自由扩散。配分函数发散，因此标准正则系综失效。这是取代工具源于无限遍历理论。玻尔兹曼-吉布斯统计，即使没有标准化，仍然描述可积的可观测量，如能量和占领时间。玻尔兹曼无穷大密度是使用熵最大化原理，以及通过第一性原理计算，使用本征函数展开在连续的低能量状态推导。一个广义维里定理推导，维里系数如何描述的延迟扩散扩散的粒子，发现在大的距离。当该过程是非经常性的，例如在三维中的扩散与库仑势，我们使用加权时间平均值恢复时间和系综平均值之间的基本正则关系。
Gas of sub-recoiled laser cooled atoms described by infinite ergodic theory
处于热平衡的经典原子气体的速度分布是正态麦克斯韦分布。众所周知，对于亚反冲激光冷却的原子，Lévy统计和与通常遍历行为的偏离起作用。在这里，我们将展示如何从无限遍历理论的工具描述冷气体。具体地说，我们用两种方法导出了激光冷却原子动量随机模型的标度函数和无穷不变密度。第一个是主方程的直接分析，第二个是Bertin和Bardou使用寿命动力学的分析。这两种方法被证明是相同的，但产生不同的见解的问题。在本文的主要部分，我们集中在激光陷阱是强的情况下，即从速度陷阱的逃逸率是$R(v) \propto |v|^α$的$v \to 0$和$α>1$。我们构建了一个机器来研究物理观测量的时间平均值及其与系综平均值的关系。的时间平均值给出的泛函的个人随机路径，在这里，我们使用一个推广的Lévy行走调查遍历性能的系统。探索系统的能量，我们表明，当$α=3$它表现出阶段之间的过渡，它是一个可积或不可积的观察，相对于无限不变的措施。这种转变对应于平均能量的非常不同的性质，以及波动的不连续行为。由于以前的实验工作表明，$α=2$和$α=4$都是可以实现的，我们相信这两个阶段也可以通过实验进行探索。
Infinite ergodic theory and functional statistics of non-confined Feller process
本文研究非约束Feller过程局部时场的空间结构，证明其长时间极限下空间轮廓由非可归一化平稳密度控制，时间涨落由Mittag-Leffler随机振幅支配，并给出占据时间的Darling-Kac涨落及幂次观测量的平方Bessel型极限，为无穷遍历理论提供统一框架。
Weak chaos, infinite ergodic theory, and anomalous dynamics
本书第一章介绍了弱混沌的概念，各方面的遍历理论描述，以及与之相关的异常动力学的性质。在本章的前半部分，我们研究了简单的一维确定性映射，在后半部分基本的随机模型，并最终实验。我们首先提醒读者基本的混沌量和它们之间的关系，例证了范式伯努利位移。使用间歇Pomeau-Manneville映射的问题弱混沌和无限遍历理论的概述，定义了一个非常新的数学研究领域。考虑Pomeau-Manneville映射的空间扩展版本导致我们的反常扩散现象。这个问题将讨论应用随机连续时间随机游动理论和推导分数阶扩散方程。现代非平衡统计物理学中的另一个重要课题是涨落关系，我们研究反常动力学。本章的结论是通过显示异常动力学的重要性，了解生物细胞迁移的实验结果。
Multifractality meets entanglement: relation for non-ergodic extended states
本文推广了Don N.第页[Phys. Rev. Lett. 71，1291]的情况下，{ \it稀疏}随机纯态（S-RPS）。这些生活在大小为$N$的希尔伯特空间中的S-RPS被定义为仅具有$N^D$（$0 \le D \le 1$）随机非零元素的归一化向量。对于$D=1$，Page使用的这些状态表示无限温度下的遍历状态。然而，对于$0<D<1$，S-RPS是非遍历和分形的，因为它们被限制在全希尔伯特空间的消失比$N^D/N$中。分析和数值计算表明，平均纠缠熵${\mathcal{S}_1}(A)$的子系统$A$，与希尔伯特空间维数$N_A$，尺度为$\overline{\mathcal{S}_1}(A)\sim D\ln N$小分形维数$D$，$N^D< N_A$。值得注意的是，$\overline{\mathcal{S}_1}(A)$在无限温度下在其热（Page）值处饱和，$\overline{\mathcal{S}_1}(A)\sim \ln N_A$在更大的$D$处饱和。因此，我们提供了一个例子时，纠缠熵的遍历值，即使波函数是高度非遍历。最后，我们将我们的结果推广到Renyi熵$\mathcal{S}_q(A)$与$q>1$和真正的多重分形态，并表明它们的波动在遍历态$D=1$的较窄附近具有遍历行为。
Transitions in the ergodicity of subrecoil-laser-cooled gases
用亚反冲激光冷却的原子可以达到纳开尔文温度，而这些系统的遍历特性不遵循通常的统计定律。相反，由于一个巧妙的捕获机制在动量空间，幂律分布的逗留时间被发现的冷却粒子。在这里，我们将展示如何产生一个基于无限遍历理论的热力学力学框架，它取代了普通的原子热气体的遍历统计物理。特别地，系统的能量在其遍历性中表现出急剧的不连续跃迁。物理上，这是由荧光速率控制的，但更深刻地说，它是任何可观察的转变的表现，从可积到不可积的可观察，相对于无限（非归一化）不变密度。
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