The complexity of cylindrical algebraic decomposition with respect to polynomial degree
柱形代数分解（CAD）是处理多项式系统的重要工具，特别是量词消去。然而，它的复杂性在变量的数量上是双指数的。基本算法可以通过适应以利用任何等式约束（EC）来改进：输入逻辑上隐含的等式。直觉上，我们期望复杂度的双指数对于每个EC减少1。在ISSAC 2015中，本文作者证明了这一点，因为复杂度界中的因子取决于输入中多项式的数量。然而，依赖于输入多项式的次数的另一项保持不变。在本文中，作者研究如何在存在EC的CAD可以进一步细化使用Groebner基地的技术，走向直观的多项式次数的界限。
2016-05-09 cs.SC
Decomposition of Polynomials
本学位论文研究多项式的函数分解$f = g \circ h$。首先描述了一种在多项式时间内计算分解的算法。该算法最初由Zippel（1991）提出。最小碰撞的数量的界限推导。最后给出了von zur Gathen，Giesbrecht & Ziegler（2010）中的一个猜想的证明，该猜想陈述了一类特殊的可分解多项式的分类。
2011-07-04 cs.SC math.AC
Algorithms for Weighted Sums of Squares Decomposition of Non-negative Univariate Polynomials
众所周知，每个非负的一元实多项式都可以写成两个实系数多项式的平方和。当我们允许一个1000平方的加权和而不是两个平方的和时，我们可以选择表示中的所有系数都位于由多项式的系数生成的域中。本文从理论和实际两个方面对计算一元有理系数多项式的加权平方和分解的两种算法进行了描述、分析和比较。第一个算法，由于第三作者依赖于实根隔离，正多项式的二次逼近和无平方分解，但其复杂性没有分析。我们提供位复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法。它们在输入一元多项式的次数上是指数的，在其复杂度的最大位大小上是线性的。这种分析是使用量词消去和根隔离界限得到的。第二种算法，由于Chevillard，Harrison，Joldes和Lauter，依赖于复根隔离和无平方分解，并已被引入用于证明多项式在计算机算术中的积极性。同样，它的复杂性没有得到分析。我们提供比特复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法，这是多项式的输入多项式的程度和线性的最大比特大小的复杂性。这种分析是使用韦达公式和根隔离界。最后，我们报告我们的实现这两个算法。而第二个算法，正如预期的复杂性结果，更有效的例子，我们展示了家庭的非负多项式的第一个算法是更好的。
2017-06-13 cs.SC
Block SOS Decomposition
求解平方和分解问题的一种常用方法是将其转化为理论上可以有效求解的半定规划问题。在实际应用中，虽然许多SDP求解器可以解决一些大规模的问题，但随着输入规模的增加，这种方法的效率和可靠性大大降低。最近，通过利用输入SOS分解问题的稀疏性，提出了一些预处理算法[5，17]，该算法首先将满足特殊定义或性质的输入问题划分为较小的SDP问题，然后将较小的SDP问题传递给SDP求解器以有效地获得可靠的结果。一个自然的问题是，在何种程度上上述预处理算法的工作。也就是说，SOS多项式中有多少多项式满足这些定义或性质？本文定义了块SOS可分解多项式的概念，它是文[5]和[17]中那些特殊类的推广。粗略地说，它是一类多项式，其SOS分解问题可以通过仅考虑其支撑（不考虑系数）而转化为更小的问题（换句话说，对应的SDP矩阵可以块对角化）。然后证明了块SOS可分解多项式的集合在SOS多项式的集合中具有测度零。这意味着，如果我们只考虑多项式的支持（而不是系数），那么这种减少基于SDP的SOS求解器的SDP大小的算法只能在很少的多项式上工作。结果表明，可以通过上述预处理算法优化的SOS分解问题很少。
2018-01-30 cs.SC
Square-free Strong Triangular Decomposition of Zero-dimensional Polynomial Systems
具有不同性质的三角分解已被应用于几何定理证明、零维多项式系统的实解隔离等各种问题的求解中.本文定义了零维多项式系统的强链和无平方强三角分解的概念.由于其良好的性质，SFSTD可能成为解决许多与零维多项式系统有关的问题的关键途径，如零维理想的实解隔离和计算根。受Wang、Dong和Mou工作的启发，我们提出了一种基于格罗布纳基计算的SFSTD算法。算法的新颖之处在于利用饱和理想和分离子保证了任意两个强链的零集不相交，且每一个强链都是无平方的。一方面，我们证明了新算法的算术复杂性可以是变量数平方的单指数，这似乎是三角形分解方法的复杂性分析结果之一。另一方面，我们的实验表明，在大量的例子在文献中，新算法是远远高于流行的三角形分解方法的基础上伪划分更有效。此外，它也表明，在这些例子中，基于SFSTD的实解隔离和零维理想的根的计算方法是非常有效的。
2022-02-12 cs.SC
Functional Decomposition using Principal Subfields
设$f\in K(t)$为一元有理函数。众所周知，具有$g,h\in K(t)$的任何非平凡分解$g \circ h$对应于非平凡子域$K(f(t))\subsetneq L \subsetneq K(t)$，反之亦然。本文利用主子场思想和快速子场相交技术计算了$K(t)/K(f(t))$的子场格。这产生了一个拉斯维加斯型算法，具有改进的复杂性和更好的运行时间，以找到所有非等价的完全分解的$f$。
2017-05-26 cs.SC
On Exact Polya and Putinar's Representations
我们考虑的问题，找到确切的平方和（SOS）分解为某些类的非负多元多项式，依赖于半定规划（SDP）求解器。首先，我们提供了一个混合的数字-符号算法计算精确的合理SOS分解多项式躺在内部的SOS锥。它使用任意精度的SDP求解器计算输入多项式扰动的近似SOS分解。由于扰动项的存在，得到了精确的SOS分解。我们证明了输出大小和运行时间的比特复杂度估计在输入多项式的次数上都是多项式的，在变量的数量上都是指数的。其次，我们应用该算法分别计算了基本紧半代数集上正定形式和正多项式的精确Polya和Putinar表示。我们也比较了我们的算法与现有的计算机代数方法，包括柱形代数分解和临界点方法的实现。
2018-02-28 cs.SC
On the Efficiency of Solving Boolean Polynomial Systems with the Characteristic Set Method
提出了一种求解布尔多项式系统的改进特征集算法。该算法的基本思想是通过零分解将所有多项式转化为一元多项式，并利用加法得到伪多项式。算法中应用了三个重要技术。第一种是用新生成的线性多项式消去变量。二是优化零分解多项式的选取策略。第三种方法是计算加法器以消除新生成的monic多项式的首变量。通过对零分解树深度的分析，给出了该算法的复杂度界，这些复杂度界低于以往特征集算法的复杂度界。大量的实验结果表明，该算法比以往的特征集算法更有效地解决布尔多项式系统。
2019-11-11 cs.SC
On Functional Decomposition of Multivariate Polynomials with Differentiation and Homogenization
本文对Ye，Dai，Lam（1999）和Faug $μ$ ere，Perret（2006，2008，2009）提出的基于微分和均匀化的多元多项式函数分解算法进行了理论分析.我们表明，一组随机可分解的四次齐次多项式的度适当的功能分解，可以计算使用该算法具有很高的概率。这解决了Ye，Dai，and Lam（1999）提出的一个猜想。我们还提出了一个猜想，这样一组多项式的分解可以计算出它的均匀化与高概率。最后，我们证明了一组多项式的右分解因子可以从它的右分解因子空间中计算出来。结合这些结果，我们证明了在猜想正确的条件下，当基域特征为零时，该算法能以概率1计算一组随机可分解的四次多项式的度真分解，而当基域是一个具有足够大个数的有限域时，该算法能以概率接近1计算一组随机可分解的四次多项式的度真分解.
2010-11-25 cs.CR cs.SC
Zero Decomposition with Multiplicity of Zero-Dimensional Polynomial Systems
本文给出了一个零分解定理和一个基于吴方法的零分解算法，该算法对给定的零维多项式系统计算具有重数的零分解。当系统满足一定条件时，其零点分解是三角形的。
2010-11-07 cs.LO cs.SC math.AG
On decomposition of tame polynomials and rational functions
在本文中，我们提出了算法的考虑和理论结果之间的关系，某些群体的订单相关联的多项式的组件和阶的组，对应于多项式，证明它为任意驯服多项式，并考虑的情况下，合理的功能。
2008-04-10 cs.SC math.AC
Efficient q-Integer Linear Decomposition of Multivariate Polynomials
本文提出了计算多元多项式的q-整数线性分解的两个新算法。这样的分解对于通过创造性伸缩处理q-超几何符号求和和描述Ore-Sato理论的q-对应物是必不可少的。这两个算法只需要基本的整数和多项式运算，并且适用于任何包含整数环的唯一分解域。在多元整数多项式情形下，对本文算法和已有的两个算法进行了完整的复杂性分析，表明本文算法具有更好的理论性能。还包括一个Maple实现，这表明我们的算法在实践中也比以前的算法快得多。
2021-02-12 cs.SC math.RA
Algorithms for Computing Triangular Decompositions of Polynomial Systems
我们提出了新的算法计算三角分解的多项式系统递增。相对于以前的工作，我们的改进是基于{ \em weakened}的多项式GCD模一个规则链的概念，这允许大大简化和优化的子算法。从类似的昂贵计算中提取共同的工作也是我们算法的一个关键特征。在我们的实验结果中，我们的新算法的实现，实现了与{\RegularChains }库中的{\Maple }，优于具有类似规格的求解器的几个数量级上足够困难的问题。
2011-04-04 cs.MS cs.SC
Decomposition algorithms for tensors and polynomials
我们给出算法来计算一个给定的多项式，或更一般的混合张量，作为秩一张量的总和分解，并建立这样的分解是否是唯一的。特别是，我们提出的方法来计算分解的一般平面五次在七个权力，和一般空间立方在五个权力;两个分解的一般平面六次的秩九，和五个分解的一般平面脓毒症。此外，我们给岩浆实现我们所有的算法。
2021-07-08 cs.MS cs.SC math.AG
Modular absolute decomposition of equidimensional polynomial ideals
本文提出了一种模策略，它描述了由有理系数多项式定义的等维多项式理想的绝对准素分解的关键性质。我们设计的算法是基于经典的消除变量和冒号理想的技术，并使用了一个棘手的选择素数工作。由于这种技术，我们可以获得绝对不可约分量的数量，它们的次数，重数以及约化分量的仿射Hilbert函数（即它们的初始理想w.r.t.度相容项排序）。
2010-12-23 cs.SC math.AC
LinApart2: efficient parallel partial fraction decomposition algorithm for denominators with polynomials of general degree
Institute for Theoretical Physics, ELTE Eötvös Loránd University（ELTE罗兰大学理论物理研究所）
LinApart2是一种高效的并行部分分式分解算法，能够处理任意多项式次数的分母，显著提升了运行速度和内存效率。
2025-11-18 cs.SC hep-ph
Sum of Squares Decompositions of Polynomials over their Gradient Ideals with Rational Coefficients
通过计算{ \em非负性证书}来评估多元多项式在实数上的非负性是多项式优化中的一个热门问题。这通常通过计算{ \em平方和分解}来解决，该分解依赖于半定规划的有效数值求解器。这种方法面临两个困难。第一个问题是，以这种方式获得的证书是{ \em近似}的，然后是不精确的。第二个是由于并非所有非负多项式都是平方和。在本文中，我们建立在以前的工作Parrilo，聂，Demmel和Sturmfels谁介绍了非负模{ \em梯度理想}的证书。我们证明，实际上，这样的证书可以获得{ \em确切}，在有理数，如果考虑的多项式有合理的系数，我们提供{ \em确切}算法来计算它们。我们分析了这些算法的比特复杂度，并推导出此类证书的比特大小界限。
2021-07-25 cs.SC math.OC
On the Parallelization of Triangular Decomposition of Polynomial Systems
本文讨论了用三角分解法求解多项式方程组的并行化问题。用于求解多项式系统的算法结合了用于对多项式执行算术运算的低级例程和产生解集的不同分量（点、曲线、曲面）的高级过程。后者的“组件级”并行化的三角分解，我们在这里的重点，属于动态不规则的并行应用程序的类。可能的加速因子取决于解集的几何属性（组件的数量，它们的维度和度）;这些算法不随处理器的数量而缩放。在本文中，我们结合了两种不同的并发方案，fork-join模型和生产者-消费者模式，以更好地捕捉组件级并行化的机会。我们报告我们的实现与公开可用的BPAS库。我们对340个系统的实验产生了有希望的结果。
2019-05-31 cs.DC cs.MS cs.SC
Stability of Triangular Decomposition and Comprehensive Triangular Decomposition
本文引入了参数多项式系统的分解不稳定簇的概念，并详细讨论了参数多项式系统的特征集分解、相对单纯分解和正则链分解等几种三角分解方法的稳定性。这个概念导致了弱综合三角分解（WCTD）的定义和计算综合三角分解（CTD）的新算法，该算法在[4]中首次引入，用于计算参数多项式系统的综合Groebner系统的模拟。我们的算法利用了分层求解策略和自适应的参数顺序。该算法已实现与Maple 15和实验与一些基准从文献中。与Maple软件包RegularChains（其中包含[4]中算法的实现）进行了比较，结果表明，我们的程序计算大多数实例的CTD的时间成本不超过RegularChains。
2012-08-30 cs.SC math.AG
Exact SOHS decompositions of trigonometric univariate polynomials with Gaussian coefficients
针对高斯整数系数一元三角多项式的正定性验证需求，提出三种混合数值-符号SOHS精确分解算法，证明其多项式复杂度，并通过基准测试和FIR滤波器设计验证了性能。
2023-10-04 cs.SC math.OC
Composition collisions and projective polynomials
多项式的泛函分解是纯代数和计算机代数及其应用中的一个重要课题。在许多情况下，有限域上（适当规范化的）多项式f=g（h）的合成结构已得到很好的理解，但当两个分量的次数都可被特征p整除时，其结构就很差了。这项工作研究了次数为p的幂的多项式的分解。
2010-05-06 cs.SC math.AC
Building counterexamples to generalizations for rational functions of Ritt's decomposition theorem
经典的Ritt定理给出了一元多项式分解的若干性质。在本文中，我们提出了新的反例Ritt的第一定理，其中规定的长度相等的分解链的多项式，在有理函数的情况下。也就是说，我们提供了一个明确的例子，一个有理函数的系数在Q和两个不同长度的分解。另一个方面是使用一些技术，可以允许其他反例，即，相关的群体和分解，并使用的事实，即交替群A_4有两个不同长度的子群链;我们提供更多的信息，推广的另一个属性多项式分解：稳定性的基本领域。给出了一个计算有理函数的固定群的算法，该算法的复杂度为Q。
2008-04-10 cs.SC math.AC
Eigensolvers for polynomial roots and tensor decomposition
Centre Inria at Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学Inria中心）
该研究提出了用于求解多项式根与张量分解问题的符号-数值本征求解方法，通过交换算子联合特征向量实现相关计算，且在NAG4ALS包中完成了实现。
2026-09-15 cs.MS cs.SC math.AC
Affine solution sets of sparse polynomial systems
本文主要研究由稀疏多项式系统定义的仿射簇的等维分解。对于具有固定支撑的一般系统，我们给出了正维分量存在的组合条件，这些正维分量表征了相关仿射簇的等维分解。这一结果被应用于设计一般稀疏系统的等维分解算法。对于任意稀疏系统的n个多项式在n个变量与固定的支持，我们得到了一个上界的程度的仿射品种的定义，我们提出了一个算法，计算有限集的点表示其等维组件。
2012-11-15 cs.DS cs.SC math.AC
