分支和临界位形的纯度
Purity of branch and critical locus
AI总结：
本文研究了分支和临界位形的纯度问题，通过相对微分模的条件，推广了有限态射和birational态射的纯度结果。
摘要：
给定一个主导的态射 $X/S \to Y/S$ of Nœtherian 整体 $S$- schemes，有一个包含 $C_{X/Y} \subset B_{X/Y}$ 的临界位形在分支位形中的包含。从局部完全交态射的概念出发，我们给出关于相对微分模 $Ω_{X/Y}$, $Ω_{X/S}$, 和 $Ω_{Y/S}$ 的条件，这些条件导致对 $C_{X/Y}$ 和 $B_{X/Y}$ 的码维的界限。这些界限推广到更广泛的态射类中，将经典的有限态射的纯度结果，如Zariski-Nagata-Auslander、Faltings和Grothendieck，以及van der Waerden对birational态射的纯度结果，进行了扩展。
英文摘要：
To a dominant morphism $X/S \to Y/S$ of Nœtherian integral $S$-schemes one has the inclusion $C_{X/Y}\subset B_{X/Y}$ of the critical locus in the branch locus of $X/Y$. Starting from the notion of locally complete intersection morphisms, we give conditions on the modules of relative differentials $Ω_{X/Y}$, $Ω_{X/S}$, and $Ω_{Y/S}$ that imply bounds on the codimensions of $ C_{X/Y}$ and $ B_{X/Y}$. These bounds generalise to a wider class of morphisms the classical purity results for finite morphisms by Zariski-Nagata-Auslander, and Faltings and Grothendieck, and van der Waerden's purity for birational morphisms.
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