Robust SOS-Convex Polynomial Programs: Exact SDP Relaxations
研究了一类凸多项式规划在数据不确定性下的鲁棒解和半定线性规划（SDP）松弛问题。这类凸规划称为鲁棒SOS-凸规划，包括鲁棒二次约束凸规划和鲁棒可分凸多项式规划。它建立的平方和多项式表示的鲁棒解和精确的SDP松弛的鲁棒SOS凸规划在各种常用的不确定性集。特别是，结果表明，多面体和椭球的不确定性集，允许二阶锥重新制定的强大的二次约束的程序，继续允许精确的SDP松弛广泛的一类强大的SOS凸计划。他们还产生确切的二阶锥松弛鲁棒二次约束的程序。
2013-10-07 math.OC
Inexactness of SDP Relaxation and Valid Inequalities for Optimal Power Flow
最近的研究证明，在不含发电下界或允许负荷过满足的技术条件下，辐射状网络最优潮流问题的半定规划松弛解是精确的。在本文中，我们研究的情况下，代下界。我们表明，即使对于一个两总线单发电机系统，SDP松弛可以有所有可能的近似结果，即（1）SDP松弛可能是精确的或（2）SDP松弛可能是不精确的或（3）SDP松弛可能是可行的，而OPF实例可能是不可行的。我们提供了一个完整的表征时，这三个近似的结果发生，并由此产生的最优性差距，这两个总线系统的解析表达式。为了便于进一步的研究，我们设计了一个径向网络上的实例库，其中SDP松弛具有正的最优性间隙。最后，我们提出了有效的不等式和变量约束收紧技术，显着提高全局优化求解器的计算性能。我们的工作表明，需要开发有效的全球最优化方法的解决方案的OPF，即使在简单的，但基本的情况下，径向网络。
2014-12-18 math.OC
Relaxations of KKT Conditions do not Strengthen Finite RLT and SDP-RLT Bounds for Nonconvex Quadratic Programs
本文研究非凸二次规划中纳入KKT最优性条件对RLT与SDP-RLT松弛界的影响，证明有限值情形下界不变，并通过无界实例说明其可能产生误导。
2025-06-11 math.OC
On Exact and Inexact RLT and SDP-RLT Relaxations of Quadratic Programs with Box Constraints
二次规划与框约束涉及最小化一个可能的非凸二次函数的下限和上界的每个变量。这是一个众所周知的NP难问题，经常出现在各种应用中。我们专注于两个凸松弛，即RLT（Reformulation-Linearization Technique）松弛和SDP-RLT松弛通过添加半定约束的RLT松弛。这两个松弛产生的下界的最优值的二次规划框约束。我们提出了完整的代数描述的一组实例，承认确切的RLT松弛以及那些承认确切的SDP-RLT松弛。我们表明，我们的描述可以转换成算法，有效地构建实例与精确或不精确的放松。
2023-03-12 math.OC
On the tightness of SDP relaxations of QCQPs
二次约束二次规划（QCQP）是一类基本的最优化问题，通常被认为是NP难的。在本文中，我们研究的条件下，标准半定规划（SDP）松弛的QCQP是紧的。我们首先概述了一个一般的框架，证明这样的充分条件。然后使用这个框架，我们表明，SDP松弛是紧的，每当二次特征值的多重性，参数捕获量的对称性存在于一个给定的问题，是足够大的。我们提出了类似的充分条件，在此条件下，SDP的投影上图给出了原QCQP上图的凸包。我们的结果也意味着新的充分条件的紧密性（以及凸包精确性）的二阶锥规划松弛的同时可对角化QCQP。
2020-11-13 math.OC
On Equivalence and Computational Efficiency of the Major Relaxation Methods for Minimum Ellipsoid Containing the Intersection of Ellipsoids
研究了包含多个椭球相交的最小椭球问题，该问题在信息科学、目标跟踪和数据融合等领域有着广泛的应用。目前主要有三种松弛法，即SDP松弛法、S-过程松弛法和定界椭球松弛法，它们是由不同的思想或观点导出的。然而，这些方法之间的相互关系尚不清楚。本文分三个阶段揭示了三种松弛法的等价性。首先，SDP松弛法可等效简化为解耦的SDP松弛法。其次，通过严格的分析，证明了SDP松弛法与S-过程松弛法的等价性。第三，我们建立了解耦SDP松弛法和边界椭球松弛法之间的等价性。因此，通过解耦的SDP松弛法将三种松弛法统一起来。通过对计算复杂性的分析，解耦SDP松弛法的计算量最小。上述结果对集员滤波和分布式估计融合的研究具有一定的参考价值。最后，通过典型的信息融合滤波算例，对每种方法的性能进行了评价。
2018-03-31 math.OC
Tight SDP relaxations for cardinality-constrained problems
本文用半定规划松弛基数约束投资组合问题，实验证明该松弛产生紧下界且常达最优，凸显半定规划对混合整数二次问题的建模能力。
2024-02-07 math.OC
Sparsity-Cone SDP Relaxations and Applications to Variable Fixing for Sparse Quadratic Programs
National University of Singapore（新加坡国立大学）
提出稀疏锥半定规划（SC-SDP）松弛用于稀疏（不定）二次规划，其强度等价于SDP-RLT松弛，但仅需(n+1)维矩阵和稀疏锥约束，并开发了基于黎曼增广拉格朗日方法的高效求解算法及预求解机制。
2026-06-23 math.OC
A more efficient reformulation of complex SDP as real SDP
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出将复数SDP转化为实数SDP的新方法，并通过数值实验展示其效率优势。
2026-04-19 math.OC
Exact SDP relaxations of quadratically constrained quadratic programs with forest structures
研究了二次约束二次规划半定规划松弛的精确性。利用QCQP数据矩阵的聚集稀疏矩阵，研究了$n$变量的聚集稀疏矩阵的秩和半正定性。我们证明，如果聚集稀疏矩阵的秩不小于$n-1$和矩阵保持半正定后，替换一些非对角非零元素为零，然后标准的SDP松弛提供了一个精确的最优解的QCQP的可行性假设。特别地，我们证明了具有森林结构的聚集稀疏矩阵的QCQP，如三对角或箭头型矩阵，满足秩的精确性条件。在假设可行域是紧的条件下，考虑了对偶SDP松弛的可行性、SDP的强对偶性和一系列具有扰动目标函数的QCQP，得到了精确解.我们推广我们的结果，更广泛的一类QCQP的数据矩阵上同时应用三对角化。此外，同时三对角化应用到一个矩阵束，使QCQP与两个约束可以精确地解决的SDP松弛。
2020-09-19 math.OC
A Less Noise-Sensitive SDP Relaxation in Wireless Sensor Network Localization
有各种各样的方法来解决定位问题，其中半定规划的方法已经显示出很大的性能，在复杂性和准确性方面。在本文中，我们引入了一类对噪声不太敏感的松弛，以降低基于SDP的方法的复杂性。我们将松弛算法应用到基于边的半定规划（ESDP）方法中，得到的模型称为PESDP。仿真结果表明，我们提出的PESDP方法是较低的噪声敏感性和速度相比，原来的ESDP。
2014-12-25 math.OC
Polynomial SDP Cuts for Optimal Power Flow
凸松弛的使用最近在电力系统中引起了相当大的兴趣。这些松弛在为非凸优化问题提供全局最优性保证方面起着重要作用。对于最优潮流（OPF）问题，半定规划（SDP）松弛法可以产生严格的下界。不幸的是，SDP求解器仍然缺乏可扩展性。在这项工作中，我们引入了一组新的多项式SDP为基础的约束，加强较弱的二次凸松弛。SDP切割，表示为多项式约束，可以处理标准的非线性规划求解器，享有更好的稳定性和计算效率。新的切割生成过程的好处，从最近的结果树分解方法，降低了基本的SDP矩阵的维度。作为一个侧面的结果，我们提出了基尔霍夫的电压定律在SDP空间的第一个配方，并揭示了这些周期约束和原始SDP松弛三维矩阵之间的现有联系。最先进的基准上的数值结果表明，显着的增益在计算效率和最优性界质量。
2015-10-27 math.OC
Separable QCQPs and Their Exact SDP Relaxations
Chuo University（中央大学）；Ewha W. University（梨花女子大学）
本文研究了可分离二次约束二次规划的精确半正定松弛条件，通过可分离的水平连接方法保持精确性，并识别了多种满足条件的QCQP类别。
2026-04-03 math.OC
A Primal Approach to Facial Reduction for SDP Relaxations of Combinatorial Optimization Problems
Clemson University（克莱姆森大学）
针对带二次目标函数的组合优化问题SDP松弛，提出新型面部约化原始算法，利用可行解简化步骤，平均比标准实现快4倍，改进SDP松弛预处理。
2026-07-30 math.OC
Exactness in SDP relaxations of QCQPs: Theory and applications
二次约束二次规划是一类基本的最优化问题。在QCQP中，我们被要求最小化一个（可能是非凸的）二次函数，该函数受到一些（可能是非凸的）二次约束。这样的问题在运筹学、计算机科学和工程学的许多领域中自然出现。虽然QCQP一般是NP-难求解的，但它们通过标准的（Shor）半定规划（SDP）松弛来实现自然的凸松弛。在本教程中，我们将研究一般QCQP的SDP松弛，提出与此松弛相关的各种精确度概念，并讨论保证这种SDP精确度的条件。特别是，我们将定义和检查SDP精确性的三个概念：（i）目标值精确性--QCQP的最优值与其SDP松弛的最优值重合的条件;（ii）凸包精确性--QCQP上图的凸包与其SDP松弛的最优值重合的条件;（投影）SDP epigraph，和（iii）秩一生成（ROG）的性质-的条件，一个特定的圆锥子集的正半定矩阵有关的一个给定的QCQP是由它的秩一矩阵生成。我们对目标值精确性和凸包精确性的分析源于对投影SDP松弛的几何处理，并关键地考虑了目标函数如何与约束相互作用。ROG性质补充了这些结果，提供了一个充分条件的目标值精确性和凸包精确性，这是无视的目标函数。我们将给出这些正合性条件的各种充分条件，并讨论这些充分条件是额外必要的设置。在整个过程中，我们将强调我们的结果的影响，一些示例应用程序。
2021-07-14 math.OC
Minimizing Rational Functions by Exact Jacobian SDP Relaxation Applicable to Finite Singularities
本文考虑极小化一个有理函数的最优化问题。我们将此问题转化为多项式优化的均匀化技术。这两个问题被证明是等价的，在一些一般的条件下。采用Nie提出的精确Jacobian SDP松弛法求解得到的多项式优化问题。我们还证明了Nie方法中的非奇异性假设可以弱化为奇异性的有限性。最后给出了一些数值例子来说明本文方法的有效性。
2012-05-29 math.OC
Achieving SDP Tightness Through SOCP Relaxation with Cycle-Based SDP Feasibility Constraints for AC OPF
在本文中，我们表明，标准的半定规划（SDP）松弛变电流最优潮流（AC OPF）可以等效地重新制定为二阶锥规划（SOCP）松弛最大团和循环为基础的SDP可行性约束。该公式是基于半正定（PSD）矩阵完成定理，该定理指出，如果弦图中对应于最大团的所有子矩阵都是PSD，则与弦图相关的部分矩阵可以被完成为完整的PSD矩阵。文献[1]中已有的方法首先通过Cholesky分解构造弦图。在本文中，我们首先确定最大团和最小弦圈。强制执行与最大团和循环PSD相关的子矩阵将保证PSD全矩阵。此外，我们进行弦松弛的最小无弦周期，通过添加虚拟线和分解每个无弦周期的3节点周期。因此，整个图由树、最大团和3节点圈组成。与最大团和3节点圈相关的子矩阵被强制为PSD以实现完整的PSD矩阵。由于大多数电网的最大团的大小限制在4个节点，这种图分解方法的结果是一个低秩的全PSD矩阵。该方法大大减少了交流最优潮流的SDP松弛计算时间，可以处理数千个节点的电力系统。
2018-10-06 math.OC
Tight semidefinite programming relaxations for sparse box-constrained quadratic programs
Lehigh University（利哈伊大学）
本文提出了一种基于重构线性化技术的紧半正定规划松弛方法，用于解决稀疏盒约束二次规划问题，并给出了多项式规模的可构造性证明。
2026-10-14 math.OC
On the $Ω(n)$ SDP relaxation gap for Submodular Box-Constrained Quadratic Programming
National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究次模盒约束二次规划的SDP松弛间隙，证明n≥4时SDP松弛存在正松弛间隙，给出不同线性割下的间隙下界，揭示SDP松弛的局限性并为凸近似提供指导。
2026-09-09 math.OC
Local-to-Global Exactness of SDP Relaxations for Sparse QCQPs
Chuo University（中央大学）；Ewha W. University（梨花女子大学）
研究稀疏二次约束二次规划（QCQP）的半定规划（SDP）松弛的精确性，通过弦扩展的团结构建立局部到全局的精确性验证框架。
2026-10-27 math.OC
Constructing QCQP Instances Equivalent to Their SDP Relaxations
针对NP难的二次约束二次规划（QCQP），本研究在现有一类与半定规划（SDP）松弛等价、目标函数可任意选取的QCQP基础上，构造双变量及高维的该类QCQP实例，并给出从SDP松弛求解QCQP最优解的方法，补充了相关研究结果。
2025-02-21 math.OC
Exploiting Aggregate Sparsity in Second Order Cone Relaxations for Quadratic Constrained Quadratic Programming Problems
在众多提高二次约束二次规划（QCQP）半定规划（SDP）松弛算法计算效率的方法中，Fukuda等人（2001）利用SDP中数据矩阵的聚集稀疏性和二阶锥规划（SOCP）松弛算法是比较流行的方法。在本文中，我们利用聚集稀疏的SOCP松弛的QCQP。具体来说，我们证明了利用聚合稀疏性减少了SOCP松弛中二阶锥的数量，并且我们可以简化Fukuda等人的矩阵完成过程。在SOCP松弛问题的原始和对偶中，而不会失去最大行列式性质。对于数值实验，QCQP从格子图和池化问题进行了测试，因为它们的SOCP松弛提供了相同的最优值的SDP松弛。我们表明，利用聚合稀疏性提高了计算效率的SOCP松弛的SDP松弛相同的目标值，因此更大的问题可以处理建议的SOCP松弛比SDP松弛。
2019-11-06 math.OC
Convex Relaxations of Optimal Power Flow Problems: An Illustrative Example
近年来，最优潮流（OPF）问题的凸松弛问题引起了人们极大的兴趣。半定规划（SDP）松弛全局解决了许多OPF问题。然而，存在SDP松弛不能产生全局解的实际问题。SDP松弛的成功或失败的条件对于确定松弛是否适合于给定的OPF问题是有价值的。为了超越现有的条件，这只适用于有限的一类问题，一个典型的猜想是，SDP松弛的失败可以与系统的物理特性。本文通过给出具有两个等效公式的OPF问题示例，证明基于物理的条件不能普遍解释算法行为。SDP松弛失败的一个配方，但成功地找到另一个配方的整体解决方案。由于这些公式代表相同的系统，SDP松弛的成功（或其他）必须涉及网络物理之外的因素。缺乏普遍的物理条件的SDP松弛的成功激励更紧密的凸松弛能够解决更广泛的一类问题的发展。多项式优化理论的工具提供了一种开发更紧密松弛的方法。我们使用的例子OPF问题来说明松弛从拉塞尔层次多项式优化和相关的“混合半定/二阶锥规划”层次。
2015-10-14 math.OC
In SDP relaxations, inaccurate solvers do robust optimization
我们解释了一些错误的结果（由于数值不准确）已经观察到的双精度浮点SDP求解器上的多项式优化求解SDP松弛。事实证明，这种行为可以用一个相对简单的范式来解释和证明。在这种情况下，SDP求解器（而不是用户）在没有被告知这样做的情况下执行一些“鲁棒优化”。它不是用名义准则$f$来求解原始最优化问题，而是使用一个新的准则$\tilde{f}$，它属于一个小半径$\varepsilon>0$的球$\mathbf{B}_\infty(f,\varepsilon)$，在参数空间中以名义准则$f$为中心。换句话说，所得到的过程可以被看作是具有两个参与者的“$\max-\min$”鲁棒最优化问题（求解器在$\mathbf{B}_\infty(f,\varepsilon)$上最大化，用户在原始决策变量上最小化）。这种“自主”行为背后的数学原理进行了描述。
2019-06-10 math.OC
Strengthening the SDP Relaxation of AC Power Flows with Convex Envelopes, Bound Tightening, and Lifted Nonlinear Cuts
本文考虑了最先进的凸松弛的交流潮流方程，并介绍了新的有效切割的基础上凸包络和解除非线性约束。这些有效的线性不等式加强了现有的半定和二次规划松弛，并主导了文献中提出的现有削减。与模型交叉点和边界收紧一起，新的线性切割关闭了NESTA存档中剩余的16个开放测试用例中的8个，用于AC最优潮流问题。
2016-01-05 math.OC
A Geometric View of SDP Exactness in QCQPs and its Applications
二次约束二次规划（QCQP）是一类表达能力很强的非凸最优化问题。虽然QCQP一般是NP-困难的，但它们通过标准的（Shor）半定规划（SDP）松弛来实现自然的凸松弛。为了理解这种松弛是确切的，我们研究一般的QCQP和他们的（预计）SDP松弛。我们提出了目标值精确性（QCQP和其SDP松弛的目标值重合的条件）和凸包精确性（QCQP上图的凸包与其SDP松弛的上图重合的条件）的充分条件（在某些情况下也是必要条件）。我们的条件是基于几何性质的$Γ$，锥凸拉格朗日乘子，及其亲属$Γ_P$和$Γ^\circ$。这些工具构成了我们主要信息的基础：只要$Γ$、$Γ_P$或$Γ^\circ$得到很好的理解，就可以系统地处理精确性问题。作为这一消息的进一步证据，我们应用我们的工具来解决一个原型QCQP涉及一个二进制开关约束，二次矩阵程序，分区问题的QCQP制定，随机和半随机QCQP的精确性问题。
2021-11-26 math.OC
Regularization Methods for SDP Relaxations in Large Scale Polynomial Optimization
研究了大规模多项式优化问题的半定规划松弛算法。当使用边界点法时，通常只能解决小问题或中等规模的问题。本文研究求解多项式最优化问题的正则化方法。我们描述了这些具有块结构的半定优化方法，并将其应用于求解大规模多项式最优化问题。各种数值例子的性能进行测试。通过正则化方法，可以在常规计算机上解决更大的问题，这几乎是不可能的内点方法。
2011-12-05 math.OC
An Exact Jacobian SDP Relaxation for Polynomial Optimization
给定多项式f（x），g_i（x），h_j（x），我们研究了如何在半代数集S = { x \in R^n：h_1（x）=. h_{m_1}（x）=0，g_1（x）>= 0，.，g_{m_2}（x）>= 0}。设f_{min}是S上f的最小值。假设S是非奇异的，并且f_{min}在S上是可达的，这在一般情况下是正确的。本文提出了一种新的半定规划松弛算法。首先利用f、h_i、g_j的雅可比矩阵构造一组新的多项式φ_1（x）、\ldots、φ_r（x），使得上述问题通过添加新方程φ_j（x）=0而保持不变。然后我们证明了，对于所有足够大的$N$，标准的N阶Lasserre的SDP松弛是精确的解决这个等价的问题，也就是说，它返回一个下界，等于f_{min}。还示出了一些变型和示例。
2010-06-11 math.OC
SDP-based bounds for the Quadratic Cycle Cover Problem via cutting plane augmented Lagrangian methods and reinforcement learning
本文研究了二次圈覆盖问题（QCCP），该问题的目标是在有向图中找到一个节点不相交的圈覆盖，并且相邻弧之间的交互代价最小。我们得到几个半定规划（SDP）松弛，并使用面部减少，使这些严格可行的。我们调查的非平凡之间的关系的变换矩阵中使用的减少和图的结构，这是利用一个有效的算法，构造这个矩阵的任何实例的问题。为了解决我们的松弛，我们提出了一个算法，利用Dykstra的投影算法，将增广拉格朗日方法到一个切割平面框架。我们的算法是适合于解决SDP松弛与大量的切割平面。计算结果表明，我们的SDP边界和我们的高效切割平面算法优于其他QCCP边界的方法从文献中。最后，我们提供了几种基于SDP的上界技术，其中一种是顺序Q学习方法，它利用了我们在强化学习环境中的SDP松弛解决方案。
2021-02-18 math.OC
Strengthened SDP Relaxation for an Extended Trust Region Subproblem with an Application to Optimal Power Flow
本文研究了一个扩展的置信域子问题，该问题在具有$\|x - c\| \le b^T x - a$形式的全维二阶锥（SOC）约束的空心球$r \le \|x\| \le R$上极小化一个非凸函数。特别是，我们提出了一类有效的削减，改善现有的半定规划（SDP）松弛和可分离的多项式时间。我们连接我们的削减文献上的最优潮流（OPF）的问题，证明以前推导的削减捕获一个重要的OPF的凸包实际上只是我们的削减的特殊情况。此外，我们应用我们的方法来获得一类新的封闭形式，局部有效的，SOC削减非凸二次规划的混合多面体圆锥集$\{x \ge 0 : \| x \| \le 1 \}$。最后，我们计算随机生成的实例，我们的削减是有效的，在进一步关闭的差距最强的SDP松弛在文献中，特别是在低维。
2021-07-29 math.OC
Comparative Evaluation of SDP, SOCP, and QC Convex Relaxations for Large-Scale Market-Based AC Optimal Power Flow
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文比较了SDP、SOCP和QC松弛在大规模市场导向ACOPF中的性能，通过统一框架评估了不同松弛方法的求解质量、运行时间和内存消耗，为选择合适松弛方法提供了指导。
2026-02-15 math.OC
Alternative SDP and SOCP Approximations for Polynomial Optimization
在理论上，基于平方和（SOS）多项式的半定规划（SDP）松弛的层次已被证明可以为一般多项式最优化问题（POP）提供任意接近的近似。然而，由于求解SDP的计算挑战，它变得难以使用SDP层次的大规模问题。为了解决这一问题，层次结构的二阶锥规划（SOCP）松弛所产生的SOS多项式条件的限制，最近提出了近似持久性有机污染物。在这里，我们考虑使用SOS条件的SOCP限制的替代方法。特别是，我们表明，SOCP层次结构可以有效地用于加强层次结构的线性规划（LP）放宽持久性有机污染物。具体而言，我们表明，这种解决方案的方法是更有效地找到解决方案的某些持久性有机污染物，更常见的层次结构的SDP弛豫是已知的表现不佳。当POP的可行集是紧集时，这些SOCP层次收敛到POP的最优值。
2017-04-10 math.OC
On the tightness of an SDP relaxation for homogeneous QCQP with three real or four complex homogeneous constraints
本文研究具有三个实数或四个复数齐次约束的齐次QCQP问题，提出了一个基于SDP松弛及其对偶最优解对的充分必要检测条件，用于验证SDP松弛的紧性，并据此在多项式时间内求得全局最优解，同时推广了S-lemma和Yuan's lemma。
2023-04-09 math.OC
Sharp Singularity-Degree Bounds for Equality-Generated SDP-RLT Relaxations of Binary Programs
School of Mathematical and Statistical Sciences, Clemson University（克莱姆森大学数学与统计科学学院）
本文针对二元规划的等式生成SDP-RLT松弛，确定其最坏情况奇异度的紧界为⌊n/2⌋，该界小于SDP通用界，可预先估计奇异度与误差界的Hölder指数。
2026-09-01 math.OC
Convergence of the Lasserre Hierarchy of SDP Relaxations for Convex Polynomial Programs without Compactness
半定规划（SDP）松弛的Lasserre层次是一个有效的计划，寻找计算上可行的多项式优化的SDP近似紧半代数集。在本文中，我们表明，凸多项式优化，Lasserre层次与一个稍微扩展的二次模总是渐近收敛，即使在面对非紧的半代数可行集。我们这样做，利用凸多项式的bavity属性，下面有界。我们进一步建立，在鞍点（而不是在每个极小的目标函数）的相关拉格朗日的Hessian的正定性保证有限收敛的层次。首先在鞍点条件下建立了凸半代数集上凸多项式的平方和多项式表示，得到了有限收敛性。最后，我们证明了凸多项式规划的拉格朗日量的鞍点的存在性也是该族具有有限收敛性的必要条件。
2013-06-27 math.OC
Optimal Control of PDEs using Occupation Measures and SDP Relaxations
研究了一类含有Riesz-谱算子的具有无穷维线性状态约束的非线性最优控制问题的求解问题。该类中的每个实例具有时间/控制相关的多项式拉格朗日成本和由多项式描述的控制约束。首先，我们执行的Riesz-谱算子的状态模式离散化。然后，我们近似所得到的有限维OCP使用以前已知的层次的半定松弛。在一定的紧性假设下，我们提供了一个收敛的半定规划松弛的最优值的初始OCP的下界产量的层次。我们通过两个数值例子来说明我们的方法，涉及扩散偏微分方程和波动方程。我们还报告了相关的实验。
2017-10-12 math.OC
A Tight SDP Relaxation for MIQCQP Problems in Power Systems Based on Disjunctive Programming
考虑交流潮流约束和整数决策变量的最优化问题通常可以归结为一个混合整数二次约束二次规划（MIQCQP）问题。在本文中，首先，一组有效的线性等式，以加强半定规划（SDP）松弛的MIQCQP问题，而不显着增加问题的维数，使增强的混合整数SDP（MISDP）松弛，这是一个混合整数凸问题，得到。然后，增强的MISDP松弛被重新表述为一个析取规划（DP）问题，这是比前一个更紧，因为析取的目的是捕捉的析取性质的秩-1约束的条款的积分变量。然后将DP松弛等价地转化为MISDP问题，其连续松弛的可行集是DP问题可行域的凸包。最后，全局最优解的DP问题，这是最严格的放松MIQCQP的文件中提出的解决所产生的MISDP问题使用分支定界（B&B）算法。B&B算法的计算效率被期望是高的，因为MISDP子问题的连续松弛的可行集是对应DP子问题的可行集的凸包。为了进一步降低MISDP问题的维数，考虑到稀疏性，提出了一个简洁的MISDP问题的计算公式。以高渗透率光伏并网系统中智能光伏逆变器的优化配置问题为例，研究了一个MIQCQP问题。在IEEE配电系统上对所提出的方法进行了测试。结果表明，该方法能有效地提高SDP松弛的严密性和可行性。
2015-09-17 math.OC
SDP-quality bounds via convex quadratic relaxations for global optimization of mixed-integer quadratic programs
研究了带线性等式约束的非凸混合整数二次规划的全局优化问题。特别是，我们提出了一类新的凸二次松弛，通过二次切割。为了构建这些二次切割，我们解决了一个分离问题，涉及一个特殊的结构，允许使用专门的解决方案算法的线性矩阵不等式。我们的二次割是非凸的，但定义了一个凸可行集时，与等式约束。我们证明了我们的松弛是一个半无限凸规划的外近似，在一定条件下，它等价于一个著名的半定规划松弛。新的松弛在全局优化求解器BARON中实现，并通过对大量问题进行数值实验进行测试。结果表明，对于我们的测试问题，这些松弛导致显着改善的性能的BARON。
2021-06-25 math.OC
A relaxation approach to UBPPs based on equivalent DC penalized factorized matrix programs
无约束二元多项式规划在科学和工程领域有着广泛的应用。通过利用其DC约束的SDP重构的全局精确惩罚，我们实现了一个等效的DC惩罚SDP，并提出了一种连续松弛方法，通过寻找有限个DC惩罚SDP的临界点，随着惩罚因子的增加。一个全局收敛的优化最小化（MM）方法外推也被开发来捕捉这样的临界点。在较弱的条件下，证明了松弛方法输出的秩一投影是UBPP的一个近似可行解，并从最优解量化了其目标值的上界.与SDP松弛法配备了一个特殊的随机舍入技术和DC松弛方法的基础上的解决方案的线性SDPs的数值比较证实了所提出的松弛方法的效率，它可以解决\textbf{20000}变量的情况下，\textbf{15}分钟，并产生一个上限的最佳值和已知的最佳值的相对误差最多\textbf{1.824\%}和\textbf{2.870\%}，分别。
2021-11-06 math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
A Low-rank Augmented Lagrangian Method for Polyhedral-SDP and Moment-SOS Relaxations of Polynomial Optimization
本文提出RiNNAL-POP方法，通过低秩增广拉格朗日方法高效解决多项式优化问题的多面体-半正定规划松弛及矩-SOS松弛。
2025-12-06 math.OC
Exact SDP relaxations for a class of quadratic programs with finite and infinite quadratic constraints
Ewha W. University（梨花女子大学）；Chuo University（中央大学）
研究非凸二次目标函数在有限和无限二次约束下的精确SDP松弛条件，提出三个新充分条件并证明其关系，其中一个为最弱条件。
2026-06-09 math.OC
Beating the SDP bound for the floor layout problem: A simple combinatorial idea
对于许多混合整数规划（MIP）问题，高质量的对偶边界可以通过先进的配方技术加上一个国家的最先进的MIP求解器，或通过半定规划（SDP）松弛层次。在本文中，我们介绍了一种替代的边界的方法，利用“组合内爆”的效果，解决部分的原始问题，并汇总这些信息，以获得一个全球性的双重约束。我们将这种技术应用到一维和二维的楼层布局问题，并将其与最先进的MIP求解器和SDP松弛产生的边界进行比较。具体来说，我们证明了通过所提出的技术获得的界限至少是通过SDP松弛获得的一样好，目前的计算结果，这些界限可以显着更强，更容易计算比这些替代策略，特别是对于非常困难的问题的情况下。
2017-04-11 math.OC
Convex Relaxations and Linear Approximation for Optimal Power Flow in Multiphase Radial Networks
配电网通常是多相的和放射状的。为了便于潮流计算和优化，提出了最优潮流问题的两种半定规划松弛法和一种线性逼近法。我们证明了第一个SDP松弛是精确的当且仅当第二个是精确的。案例研究表明，第二个SDP松弛是数值上精确的，线性逼近获得的电压在0.0016每单位的真实值为IEEE 13，34，37，123总线网络和现实世界的2065总线网络。
2014-06-11 math.OC
A feasible method for solving an SDP relaxation of the quadratic knapsack problem
本文研究了二次背包问题（QKP）的SDP松弛问题.利用Burer-Monteiro分解得到一个非凸优化问题，其可行域是一个代数簇。虽然代数簇上可能存在非正则点，但我们证明了对于一般的输入数据，代数簇是一个除了平凡点之外的光滑流形。我们还分析了该代数簇上非正则点的局部几何性质。为了保持SDP问题和它的非凸公式之间的等价性，我们推导了一个新的秩条件，在这个条件下，这两个问题是等价的。当系数矩阵具有某些特殊结构时，这种新的秩条件比经典的秩条件弱得多。我们还证明了在适当的秩条件下，在没有任何正则性假设的情况下，非凸问题的任何二阶不动点也是全局最优解。这一结果不同于以往基于LICQ类光滑假设的结果。利用这些理论性质，我们设计了一个算法，该算法为流形最优化方法配备了一个策略，以逃离非最优的非正则点。我们的算法也可以用来作为一个启发式求解二次背包问题。数值实验结果表明，与其他SDP求解器和基于动态规划的启发式方法相比，该算法具有高效性和鲁棒性。特别是，我们的算法是能够解决的SDP松弛的100万维QKP与稀疏成本矩阵非常准确地在大约20分钟内在一个温和的台式计算机上。
2023-03-12 math.OC
Convergent Semidefinite Programming Relaxations for Global Bilevel Polynomial Optimization Problems
本文考虑一个两层多项式最优化问题，其中上下层问题的目标函数和约束函数都是多项式。我们提出了使用一系列半定规划（SDP）松弛来寻找其全局极小值和全局极小值的方法，并给出了这些方法的收敛结果。我们的方案的问题与凸低级别的问题涉及到解决一个转换的等价单级问题的SDP松弛序列，而我们的方法一般问题，涉及一个非凸多项式低级别的问题，解决了一个序列的近似问题，通过另一个序列的SDP松弛。
2016-01-13 math.OC
Trust--Region Problems with Linear Inequality Constraints: Exact SDP Relaxation, Global Optimality and Robust Optimization
球上非凸二次函数极小化的信赖域问题是求解非线性最优化问题的信赖域方法中的一个关键子问题。它具有精确半定线性规划松弛（SDP松弛）和强对偶性等性质。不幸的是，这样的属性不，在一般情况下，持有扩展的信赖域问题具有额外的线性约束。本文证明了经典信赖域问题的两个有用而强大的特征在新的维数条件下对于带线性不等式约束的扩展信赖域问题仍然成立。首先，我们建立了一类扩展信赖域问题有一个精确的SDP-松弛，它没有斯莱特约束规格。这是通过证明一个系统的二次和仿射函数参与的模型满足范围凸性时，尺寸条件得到满足。其次，我们证明了尺寸条件与斯莱特条件一起确保了一组组合的第一和第二阶拉格朗日乘子条件是必要的和充分的扩展信赖域问题的全局最优性，从而为强对偶。最后，我们证明了扩展的信赖域模型的维数条件是容易满足的，所产生的鲁棒最小二乘问题（LSP），以及作为一个等价的半定线性规划问题的鲁棒二阶锥规划模型问题（SOCP）的重新制定。这使我们得出结论，在温和的假设下，求解矩阵范数不确定性或多面体不确定性下的鲁棒（LSP）或（SOCP）相当于求解SDP，因此，它们的解可以在多项式时间内验证。
2013-09-11 math.OC
A Bundle Approach for SDPs with Exact Subgraph Constraints
最近引入的"精确子图"方法作为一个层次计划，以获得越来越紧的半定规划松弛的几个NP-难图最优化问题。解决这些松弛是一个计算上的挑战，因为潜在的大量违反子图约束。我们介绍了一个计算框架，这些松弛设计，以应付这些困难。我们提出了一个部分拉格朗日对偶，并利用它的评价分解成两个独立的子问题。这为使用非光滑优化的捆绑方法来最小化对偶函数开辟了道路。最大割、独立集和着色问题的计算实验表明了该方法的有效性。
2019-02-14 math.OC
Face Identification via Polyhedral Relaxations for Binary Programs: A Comparison with Factor-Width Partial Facial Reduction
Clemson University（克莱姆森大学）
该研究针对二元规划的SDP松弛，用基于LP的多面体松弛人脸识别方法替代辅助SDP，构建保留所有可行二元点的多项式规模多面体，实现不劣于因子宽度k辅助SDP的人脸识别。
2026-08-18 math.OC
Semidefinite relaxations for semi-infinite polynomial programming
研究了半无限多项式规划问题的半定松弛法。本文首先介绍了求解多约束多项式最优化问题的两种SDP松弛法。然后，我们提出了一个交换算法与SDP松弛解决SIPP问题的紧凑指标集。最后，我们通过均匀化方法将所提出的方法推广到具有非紧指标集的SIPP问题。数值结果表明该算法是有效的。
2013-06-08 math.OC
Strong SOCP Relaxations for the Optimal Power Flow Problem
针对交流最优潮流问题，提出了三种强二阶锥规划松弛算法。这三种弛豫相互之间是不可比较的，其中两种弛豫与OPF的标准SDP弛豫是不可比较的。大量的计算实验表明，这些松弛与文献中现有的凸松弛相比具有许多优点：（i）它们的溶液质量非常接近SDP弛豫的溶液质量（最好的一个是在99.96%的SDP松弛平均为所有的IEEE测试情况下），并始终优于以前提出的凸二次松弛的OPF问题，（ii）来自强SOCP弛豫的解可以直接用作局部求解器（例如IPOPT）中的热启动，以获得高质量可行的OPF解，以及（iii）在计算时间方面，强SOCP弛豫可以比标准SDP弛豫快数量级地求解。例如，一个建议的SOCP松弛连同IPOPT产生一个可行解的最大的情况下，在IEEE测试用例（3375总线系统），并证明该解决方案是在0.13%的全球最优，所有这一切计算在157.20秒内在一个温和的个人电脑。总的来说，所提出的强SOCP松弛提供了一种实用的方法，以获得可行的OPF解决方案，具有非常好的质量在一个时间框架内，是兼容的实时操作，在当前的行业实践。
2015-10-31 math.OC
2x2 convexifications for convex quadratic optimization with indicator variables
本文研究了带指示变量的凸二次最优化问题。对于二元情形，我们在原变量空间中描述了上图的凸包，并给出了一个二次曲线推广公式。然后，使用的凸包描述的二元情况下作为一个积木，我们推导出一个扩展的SDP松弛一般情况下。这个新的配方是强于其他SDP松弛在文献中提出的问题，包括Shor的SDP松弛，最佳的角度松弛以及最佳的秩一松弛。计算实验表明，所提出的公式是非常有效的，以减少完整性差距的最优化问题。
2020-04-16 math.OC
On the Equivalence of SDP Feasibility and a Convex Hull Relaxation for System of Quadratic Equations
证明了{ \it半定规划}（SDP）的可行性问题等价于求解有限二次方程组的{ \it凸包松弛}（SLP）.一方面，这提供了对SDP的简单描述。另一方面，这种等价性使得可以基于求解CHR来描述用于SDP可行性的{ \it三角算法}的版本。具体地，三角算法或者计算SDP的最小范数可行解的近似，或者使用其{ \it距离对偶}，在不存在规定范数内的解时提供分离。每次迭代的最坏情况复杂度是计算在该迭代中出现的对称矩阵的最大特征值。迭代总数的替代复杂性界限可以导出。因此，三角形算法为SDP可行性和SDP优化提供了一种替代现有的邻近点算法。特别地，基于初步的计算结果，我们可以通过三角形算法有效地解决{ \it二元二次}可行性的SDP松弛。这在求解MAX-CUT的SDP松弛问题中得到了应用。我们还表明，在测试的情况下，凸二次不等式系统的可行性，该问题是减少到一个相应的问题，其中最坏情况下的复杂性，通过三角形算法的每次迭代是解决{ \it置信域子问题}。在此基础上，我们讨论了三角形算法和三角形算法在求解一般多项式方程中的潜在推广。
2020-08-16 cs.CC math.OC
On solving the MAX-SAT using sum of squares
我们考虑半定规划（SDP）方法解决最大可满足性问题（MAX-SAT）和加权部分MAX-SAT。众所周知，SDP非常适合于近似（MAX-）2-SAT。我们的工作显示了SDP的潜力，也为其他满意度问题，在每年的MAX-SAT竞赛中与一些最好的解决方案的竞争。我们的求解器结合了平方和（SOS）为基础的SDP边界和一个有效的解析器内的分支定界方案。在理论方面，我们提出了一个家庭的半定可行性问题，并表明，这个家庭的成员提供了秩两个保证。我们还提供了一个参数家庭的MAX-SAT的半定松弛，并推导出在SOS方法中使用的单项基的几个属性。我们以一种优雅的方式将两种著名的SDP方法用于（MAX）-SAT。此外，我们与我们的SOS-SDP松弛部分MAX-SAT的已知的SAT松弛。
2023-02-14 math.OC
