Gaussian fluctuation for the number of particles in Airy, Bessel, sine and other determinantal random point fields
本文证明了随机矩阵厄米特系综谱边特征值个数的中心极限定理。为了得到我们的结果，我们使用了一个一般定理，基本上是由于Costin和Lebowitz，关于高斯起伏的随机点场的粒子数与行列式关联函数。作为Costin-Lebowitz定理的另一个推论，我们证明了经典紧群随机矩阵特征值的经验分布函数的CLT。
1999-12-14 math-ph math.MP math.PR
Boundary Asymptotics of Non-Intersecting Brownian Motions: Pearcey, Airy and a Transition
本文研究了$n$非相交布朗运动，它对应于$n\times n$厄米布朗运动的特征值.在其极限形状的边界，我们发现，只有三个通用的过程可以出现：Pearcey过程接近合并点，艾里线系综在边缘和一个新的行列式过程描述的过渡从Pearcey过程的艾里线系综。这三种情况的区别是一个非常简单的积分条件。我们的结果保持在非常温和的假设下，特别是我们不需要任何形式的收敛的初始配置为$n\to\infty$。应用程序的最大特征值的宏观和介观散装和随机初始配置。
2022-12-07 math-ph math.CV math.MP
Spectra of Random Hermitian Matrices with a Small-Rank External Source: The critical and near-critical regimes
随机厄米矩阵被用来模拟复杂的系统没有时间反演不变性。向模型中添加外部源可以具有移动一些矩阵本征值的效果，这对应于移动物理系统的一些能级。我们考虑的情况下，当$n\times n$外部源矩阵有两个不同的实特征值：$a$与重数$r$和零与重数$n-r$。对于高斯势，Péché \cite{Peche:2006}证明，当$r$固定或随着$n$（小秩源）增长足够慢时，对于足够大的$|a|$，$r$本征值预计将退出主体。此外，在$a$的临界值处，当异常值位于带的边缘时，边缘处的特征值由$r$ -Airy核描述。我们建立了$r$ -Airy核对于一般的解析势类的普适性，对于$0\leqγ<1/12$的$r=\mathcal{O}(n^γ)$.
2010-11-23 math-ph math.CA math.MP
Level-Spacing Distributions and the Airy Kernel
在$N\times N$厄米矩阵的随机矩阵模型中，缩放“频谱块”中的能级间距分布函数，然后到达极限$N\to\infty$，导致正弦核$\sinπ(x-y)/π(x-y)$的Fredholm行列式。类似地，在“谱的边缘”处的双标度极限导致Airy核$[{\rm Ai}(x) {\rm Ai}'(y) -{\rm Ai}'(x) {\rm Ai}(y)]/(x-y)$。我们宣布这个艾里核的正弦核的下列性质的类比：完全可积系统的P.D.E.的发现Jimbo，Miwa，M{<$}ri和佐藤;的表达式，在一个单一的间隔的情况下，Fredholm行列式方面的Painlev{é}超越;存在一个可交换的微分算子;和事实上，这一运营商可以用于推导渐近性，为一般$n$，概率的一个区间包含正是$n$特征值。
1992-10-14 cond-mat hep-th math-ph
Level-Spacing Distributions and the Airy Kernel
在$N\times N$厄米矩阵的随机矩阵模型中，缩放“频谱块”中的能级间距分布函数，然后到达极限$N\to\infty$，导致正弦核$\sinπ(x-y)/π(x-y)$的Fredholm行列式。类似地，在“光谱边缘”的缩放限制导致Airy核$[{\rm Ai}(x) {\rm Ai}'(y) -{\rm Ai}'(x) {\rm Ai}(y)]/(x-y)$。在本文中，我们导出了正弦核的下列性质的Airy核的类似物：P.D.E.的完全可积系统;的发现Jimbo，Miwa，M{<$}ri和佐藤;的表达式，在一个单一的间隔的情况下，Fredholm行列式方面的Painlev{é}超越;存在一个可交换的微分算子;和事实上，这一运营商可以用于推导渐近性，为一般$n$，概率的一个区间包含正是$n$特征值。
1992-12-01 cond-mat hep-th math-ph
Linear Statistics of Random Matrix Ensembles at the Spectrum Edge Associated with the Airy Kernel
本文研究了$N\times N$厄米矩阵线性统计量的矩母函数（MGF）在谱边缘的高斯酉辛正交系综（GUE，GSE，GOE）和拉盖尔酉辛正交系综（LUE，LSE，LOE）中的大$N$行为.从线性统计量的MGF的有限$N$ Fredholm行列式表达式中，我们发现了在这些Gaussian和Laguerre系综中与Airy核相关的MGF的大$N$渐近性.然后，我们得到适当尺度的线性统计量的均值和方差。我们发现，有一个等价的大$N$行为的MGF的尺度线性统计量在高斯和Laguerre合奏，这导致了统计等价的平均值和方差之间的适当尺度的线性统计量在高斯和Laguerre合奏。最后，我们利用库仑流体方法得到了GUE中另一类线性统计量的均值和方差，重现了Basor和Widom的结果。
2019-01-24 math-ph math.MP
On Airy Solutions of P$_\mathrm{II}$ and Complex Cubic Ensemble of Random Matrices, I
本文证明了P$_\mathrm{II}$的Airy函数特解可由三次势Hermitian随机矩阵系综的正交多项式递推系数表示，并据此揭示了仅含$\mathrm{Ai}$的解在无极点区域的标度极限及负实轴上的单调性。
2023-10-23 math-ph math.CA math.MP
Edge scaling limits for a family of non-Hermitian random matrix ensembles
本文考虑一类插值于$n\times n$矩阵的GUE系综和Ginibre系综之间的随机矩阵系综，其中心为iid复高斯元.在这些模型中的渐近谱分布是均匀的，在一个椭圆的复平面，它崩溃的非厄米性程度的减少，以实线的间隔。标度极限定理证明的特征值点过程在最右边的频谱，它是一个非平凡的过渡Poisson和Airy点过程统计之间发生时，支持椭圆的轴的比例是顺序$n^{-1/3}$。在这个制度下，家庭的限制概率分布的最大值的实部的特征值之间的Gumbel和Tracy-Widom分布插值。
2008-08-19 math-ph math.MP math.PR
Time-dependent Darboux (supersymmetric) transformations for non-Hermitian quantum systems
我们提出了时间相关的达布（超对称）变换，提供了一个计划的计算显式的时间相关的可解的非厄米合作伙伴哈密顿。再加上两个厄米哈密顿，后者形成了一个四重哈密顿，由两个含时戴森方程和两个相互缠绕的关系，以交换图的形式。我们的建设扩展到整个层次的哈密顿量从时间依赖的达布-克拉姆变换。作为一种替代方法，我们还讨论了交织关系的Lewis-Riesenfeld不变量的厄米以及非厄米哈密顿量，减少时间依赖的方程，辅助本征值方程。我们的建议的工作进行了讨论，明确的时间依赖的合理的，双曲，艾里函数和非局部电位的层次。
2018-10-31 math-ph math.MP nlin.SI
The $q^{\mathrm{Volume}}$ lozenge tiling model via non-Hermitian orthogonal polynomials
该研究通过非厄米正交多项式分析 $q^\text{Volume}$ 菱形平铺模型，证明其液体区域边界在远离边界处收敛于 Airy 过程，并在拐点处无需调整抛物线。
2025-04-23 math-ph math.CV math.MP
Numerical Radius of Non-Hermitian Random Matrices
该研究针对复非厄米随机矩阵及其椭圆变体的数值半径与内数值半径展开，通过类Airy过程极值、相关-去相关转变得到精确阶项，证明椭圆情形下涨落对应独立Tracy-Widom变量的极值，丰富了非厄米随机矩阵谱特性的理论结果。
2025-10-03 math-ph math.MP math.PR
The spectral edge of some random band matrices
我们研究随机厄米周期带矩阵特征值的渐近分布，重点是谱边缘。当（且仅当）带足够宽（W >> N^{5/6}）时，靠近边缘的特征值在分布上收敛于艾里点过程。否则，会出现不同的极限分布。
2010-06-24 math-ph math.MP math.PR
Gaussian matrix model in an external field and non-intersecting Brownian motions
研究了具有任意重数特征值的外矩阵的高斯厄米特随机矩阵系综。当矩阵的大小在非临界状态下趋于无穷大时，我们计算极限本征值的相关性。我们表明，他们表现出普遍的行为，可以表示与正弦和艾里内核。我们还简要地回顾了这些结果在非相交布朗运动方面的意义。
2008-03-05 math-ph math.MP
Mixing of orthogonal and skew-orthogonal polynomials and its relation to Wilson RMT
酉Wilson随机矩阵理论是介于手征高斯酉系综和高斯酉系综之间的一种插值。这种新的插值方式也反映在与这种随机矩阵系综相对应的正交多项式中。虽然手征高斯酉系综以及高斯酉系综与Dyson指数$β=2$相关联，但是中间系综表现出正交多项式和斜正交多项式的混合。我们考虑了Hermitian和非Hermitian的Wilson随机矩阵，导出了相应的多项式，它们的递推关系，Christoffel-Darboux公式，Rodrigues公式以及作为随机矩阵平均的表示.利用这些结果，我们得到了厄米特和非厄米特Wilson随机矩阵的非猝灭$k$ -点关联函数，它们仅用两个味配分函数表示.这种表示法是由于Pfweian因式分解大大简化了数值应用的表达式。它也是研究格点量子色动力学$ε$体系中的Wilson-Dirac算子的一个很好的起点。
2013-07-26 hep-lat hep-th math-ph
Duality in random matrix ensembles for all Beta
高斯和手征β-系综，其中推广众所周知的正交（β =1），酉（β =2），和辛（β =4）的随机厄米矩阵系综，被认为是。对于所有的Beta>0，A_n满足对偶关系{Beta，N，n}<-->{4/Beta，n，N}，其中N和n分别表示特征多项式的特征值和乘积的个数.在边缘的频谱，矩阵积分的Airy（Kontsevich）型。讨论了多重正交多项式的积分表示和形式单矩阵模型的配分函数的结果。证明依赖于多元对称多项式的理论，特别是杰克多项式。
2008-01-22 hep-th math-ph math.MP
Dynamics of Disordered Mechanical Systems with Large Connectivity, Free Probability Theory, and Quasi-Hermitian Random Matrices
具有高连通性的无序力学系统代表了与更熟悉的无序晶体情况相反的极限。晶体中的单个离子基本上受到最近邻相互作用的影响。相比之下，本文研究的系统的所有自由度都是相互耦合的。因此，这种系统的线性化小振荡的问题涉及两个完全正定和非交换矩阵，而不是与无序晶体相关的稀疏矩阵。因此，Dyson和Schmidt多年前介绍的测定无序晶体平均振动光谱的熟悉方法，不适用于高度连接的无序系统。在本文中，我们应用随机矩阵理论来计算这类系统的平均振动谱，在无限大的系统尺寸的限制。本文利用自由概率论方法计算了两个正定随机矩阵乘积的平均谱。我们还表明，这个问题是密切相关的准埃尔米特随机矩阵理论。我们得到的频谱的解析结果与我们的数值结果吻合得很好。后者也表现出振荡的高频带边，这很好地符合艾里核图案。我们还计算了相应的振幅本征向量的逆参与比，并证明了它们都是扩展的，与传统的无序晶体相比。除了矩阵模型分析，我们研究了各种多段无序摆的振动谱，作为高度连接的力学系统的具体实现。摆振和矩阵模型共同的振动模式密度的一个普遍特征是，它在消失频率处趋于非零常数。
2021-06-02 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech hep-th
Interpolating non-Hermitian universality classes A and AI$^\dagger$: eigenvalue density and transition regime
University of Bristol（布里斯托大学）；Heilbronn Institute for Mathematical Research（海尔布隆数学研究所）
利用Kac-Rice形式论，推导了插值高斯系综中本征值与归一化右本征向量的联合分布，并研究了本征值密度的有限N和渐近行为，发现了插值参数缩放时的新边缘行为。
2026-06-02 math-ph math.MP
The Elliptic Ginibre Ensemble: A Unifying Approach to Local and Global Statistics for Higher Dimensions
复杂的非厄米特随机矩阵的椭圆Ginibre系综允许在厄米特随机矩阵的旋转不变Ginibre系综和高斯酉系综之间插值。它对应于四极场中的二维单组分库仑气体，温度为$β=2$。此外，它还表示了复平面上的一个行列式点过程，并给出了相应的平面Hermite多项式核。我们的主要工具是一个鞍点分析的一个单一的轮廓积分表示这个内核。我们提供了一个统一的方法，严格推导出几个已知的和新的本地和全球的谱统计结果，包括在更高的维度。首先，我们证明了全球统计的椭圆Ginibre合奏首先来自Forrester和Jancovici。极限核的主要贡献来自极限椭圆形液滴的边界。在厄米极限下，在$d$实维$\mathbb{R}^d$中的阱中的非相互作用费米子与$d$维谐振子之间存在已知的对应关系。我们提出了一个严格的证明本地$d$维体（正弦）和边缘（艾里）核首先定义的迪恩等人，补充了Deleporte和Lambert最近的结果。利用$d$复维数$\mathbb{C}^d$中$d$维谐振子的相同关系，我们在弱和强非厄米性下给出了新的局部体积和边缘统计，其中前者在$d$实维数和$d$复维数的相关性之间插值.对于具有$d=1$的$\mathbb{C}^d$，这对应于旋转阱中的非相互作用费米子。
2022-11-28 math-ph math.MP math.PR
Large n limit of Gaussian random matrices with external source, part I
本文考虑了定义在$n\times n$厄米矩阵上的具有外部源\[ \frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM \]的随机矩阵系综，其中$A$是一个对角矩阵，它只有两个等重的特征值$\pm a$.对于$a > 1$情形，我们建立了局部特征值相关在极限$n \to \infty$中的普遍行为，这是从酉不变随机矩阵模型中已知的。因此，局部特征值相关性表示的正弦内核在散装和艾里内核在频谱的边缘。利用$3 \times 3$ -矩阵Riemann-Hilbert问题对相关的多重Hermite多项式进行了刻画，并利用Deift/Zhou最速下降法分析了$n$大极限下的Riemann-Hilbert问题.
2004-02-20 math-ph math.MP
Asymptotic correlations for Gaussian and Wishart matrices with external source
我们考虑高斯（Hermite）和Wishart（Laguerre）$N\times N$厄米矩阵的系综。我们研究的效果有限秩扰动这些合奏的源项。扰动的秩$r$对应于源矩阵的非零特征值的数目。在扰动系综中，关联函数可以写成核函数。我们发现，对于所有的$N$，扰动和未扰动的内核之间的差异是一个退化的内核大小$r$依赖于多个厄米或拉盖尔函数。我们还计算渐近公式的多个Laguerre函数内核的条款多个贝塞尔（分别。Airy）函数。这导致了大的$N$限制硬核（分别为：软）的扰动拉盖尔系综的频谱边缘。在Hermite情况下也得到了类似的结果。
2006-07-04 math-ph math.MP
Random Matrix, Singularities and Open/Close Intersection Numbers
高斯厄米特随机矩阵理论的$s$点关联函数，通过一个对偶恒等式，给出了第$p$阶自旋曲线模空间的交集数.对于一个标志点，交数用贝塞尔函数表示到亏格中的所有阶。$O(N)$和$Sp(N)$的李代数的矩阵模型提供了不可定向曲面的相交数。研究了Kontsevich-Penner模型和具有对数势的高$p$阶Airy矩阵模型的开交数，该开交数描述了带边界的不可定向曲面的拓扑不变量.从$s$ -点关联函数的结构出发，导出了开/闭Riemann曲面的弦方程.作为该方法的一个应用，对$CP^1$模型的Gromov-Witten不变量进行了一个标记点的计算.
2015-02-05 math-ph math.MP
The conditional DPP approach to random matrix distributions
提出条件行列式点过程方法，通过条件核推导随机矩阵特征值统计量的新行列式表达式，大幅提升计算效率，并扩展至 DR 路径和 Airy 过程的高效采样。
2023-10-20 cs.NA math-ph math.MP
Spectral curves, variational problems and the hermitian matrix model with external source
本文研究了具有一般多项式势的外源埃尔米特随机矩阵模型，当源具有两个不同的本征值，但在其它情况下是任意的。迄今为止研究的所有这些模型都有一个共同的功能：：一个相关的三次方程（谱曲线），其解之一可以用极限本征值分布的柯西变换来表示。这是我们的出发点：我们表明，任何这样的谱曲线（不一定由随机矩阵系综），它对应于一个独特的向量值的措施与三个组件上的复杂的平面，其特征在于作为一个解决方案的变分问题，在他们的对数能量。我们描述所有可能的几何形状的支持这些措施，特别是第三个组成部分，如果非平凡的，生活在一个轮廓上的平面。这个一般结果被应用到随机矩阵模型与外部源，在一个额外的假设下，一致有界的大矩阵极限的平均特征多项式序列的零点。它表明，任何限制零分布，这样的序列可以写在一个解决方案的谱曲线，从而承认变分描述中获得的第一部分的文件。作为我们分析的结果，我们得到这个极限测度的密度只能有少数的局部行为：正弦，艾里和他们的高阶类型的行为，皮尔西还是三次的五次方（但没有高阶三次可以出现）。我们还比较了我们的研究结果与文献中最普遍的结果，表明一旦施加额外的对称性，我们的向量临界测度包含足够的信息来恢复约束平衡问题的解决方案，该问题是已知的描述在这种对称情况下的极限特征值分布。
2020-12-09 math-ph math.CA math.CV
Anisotropic local laws for random matrices
我们发展了一种新的方法，推导出一大类随机矩阵的局部律。它适用于许多由确定性或独立随机矩阵的和与积构建的矩阵模型。特别是，它可以用来获得本地法律的矩阵合奏是\emph{anisotropic}的意义上，他们的解决方案是很好地近似确定性矩阵，不是单位的倍数。为了确定性，我们提出了$Q := T X X^* T^*$形式的样本协方差阵的方法，其中$T$是确定性的，$X$是随机的，具有独立的条目。我们证明了$Q$的预解式以很高的概率接近于确定性矩阵，具有最佳的误差界和最佳的频谱尺度。作为应用，通过建立$Q$在软边附近的特征值的Tracy-Widom-Airy统计量，证明了$Q$的边普适性.这一结果适用于单切口和多切口的情况。进一步的应用包括本征向量的分布和分析有限秩变形中的异常值和BBP型相变;它们将出现在其他地方。我们也将我们的方法应用到Wigner矩阵，其条目具有任意期望，即我们考虑$W+A$，其中$W$是Wigner矩阵和$A$厄米特确定性矩阵。我们证明了$W+A$的各向异性局部定律，并使用它来建立边缘的普遍性。
2016-08-04 math-ph math.MP math.PR
Large $n$ limit of Gaussian random matrices with external source, part II
我们继续研究了具有外部源$\frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM$的厄米特随机矩阵系综，其中$A$具有两个不同的等重本征值$\pm a$。该模型表现出$a=1$值的相变，因为$M$的本征值对于$a > 1$在两个间隔上累积，对于$0 < a < 1$在一个间隔上累积。第一部分讨论了$a > 1$的情形，证明了局部特征值相关具有酉不变随机矩阵的普遍极限行为，即极限特征值相关在谱的大部分用正弦核表示，在谱的边缘用Airy核表示.本文对$0 < a < 1$建立了同样的结果。在第一部分中，我们应用Deift/Zhou最速下降分析的$3 \times 3$ -矩阵Riemann-Hilbert问题。由于基础黎曼曲面的不同结构，分析包括涉及透镜的全局开口的额外步骤，这是Riemann-Hilbert问题的最速下降分析中的新现象。
2004-08-25 math-ph math.MP
Tracy-Widom method for Janossy density and joint distribution of extremal eigenvalues of random matrices
行列式点过程的Jánossy密度是区间$I$恰好包含除$k$指定位点之外的$p$点的概率密度。与可积核$\mathbf{K}\doteq (φ(x)ψ(y)-ψ(x)φ(y))/(x-y)$相关联的Jánossy密度被表示为变换核$\tilde{\mathbf{K}}\doteq (\tildeφ(x)\tildeψ(y)-\tildeψ(x)\tildeφ(y))/(x-y)$的Fredholm行列式$\mathrm{Det}(\mathbb{I}-\tilde{\mathbf{K}}|_I)$。我们观察到，如果$\mathbf{K}$满足Tracy和Widom的准则，则$\tilde{\mathbf{K}}$满足Tracy和Widom的准则，因为映射$(φ, ψ)\mapsto (\tildeφ, \tildeψ)$是协变常数截面之间的亚纯$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$规范变换的结构。这一观察使特雷西-Widom方法的应用雅诺西密度，表示在一个解决方案的微分方程系统的端点的时间间隔。我们的方法并没有明确地提到isomonodromic系统与Painlevé方程在前面的作品。作为说明性的例子，我们计算Jánossy密度与$k=1, p=0$的Airy和Bessel内核，有关的随机Hermitian矩阵的两个最大的特征值和随机复矩阵的两个最小的奇异值的联合分…
2021-10-25 cond-mat.dis-nn hep-lat hep-th
Narain transform for spectral deformations of random matrix models
我们首先将谱投影的一般思想（由Olshanski和Borodin提出，由Tao倡导）应用于复杂的Wishart模型。结合光谱投影的思想和量子力学的见解，我们毫不费力地导出了复杂Wishart模型的所有光谱性质：首先，Marcenko-Pastur分布被解释为氢原子的玻尔-索末菲量子化条件;其次，硬（贝塞尔），软（艾里）和体（正弦）微观内核从适当重新标度的径向薛定谔方程的氢原子。然后，将基于薛定谔方程的思想推广到哈密顿量为非厄米算符的情形，提出了一种类似的构造双正交系综泛核谱投影的方法.特别是，我们证明了Narain变换是Wishart矩阵的产品的Hankel变换的自然扩展，在硬边产生一个明确的形式的通用内核。我们还显示，如何改变变量的{ \it rescaled}内核允许链接到通用内核的Muttalib-Borodin集成。建议的建设提供了一个简单的替代标准方法的推导微观内核，例如基于Plancherel Rotach极限的正交多项式的渐近的黎曼-希尔伯特问题。最后，我们推测，一个适当的扩展的Bochner定理Sturm-Liouville运营商可能会提供一个额外的洞察力在随机矩阵理论的微观普适性类的分类。
2019-09-20 math-ph math.MP
