突变周期箭图、可积映射及相关Poisson代数

簇代数上的辛映射

Symplectic Maps from Cluster Algebras

我们考虑由簇代数产生的映射的迭代产生的非线性递归。更确切地说，从反对称整数矩阵或其对应的矩阵开始，可以定义一组变异操作，以及一组应用于一组仿射坐标（聚类变量）的关联聚类变异。Fordy和Marsh最近提供了一个完整的分类，所有这些颤动在突变序列下具有一定的周期性。这种周期性意味着，一个合适的序列的集群突变是完全等效的迭代的非线性递归关系。在这里，我们简要地解释如何在这种情况下引入一个辛结构，这是由一个相应的双有理映射（可能在一个较低维的空间）保存。我们给出的例子，可积和不可积的地图，产生于此建设。我们使用代数熵作为一种方法来分类可积的情况下。迭代的次数满足地图的热带版本。

超对称箭图规范理论的量子上同调和量子流体力学

Quantum Cohomology and Quantum Hydrodynamics from Supersymmetric Quiver Gauge Theories

本文研究了N = 2超对称规范理论、量子上同调和流体力学型量子可积系统之间的联系。我们考虑A型和D型ALE空间上的规范理论，并讨论它们如何描述相应的Nakajima的类簇的量子上同调。我们还讨论了如何在规范理论中对局域BPS观测量的精确估计可以用来计算自旋Calogero可积系统和自旋中长波流体动力学的量子哈密顿量的谱。这是明确地获得了由Bethe Anketman方程提供的规范规范理论在其邻接矩阵。

基于超对称对偶的可积格自旋模型

Integrable lattice spin models from supersymmetric dualities

最近，在具有四个超荷的超对称超规范理论和统计力学的可积晶格模型之间观察到一种有趣的对应关系，二维自旋晶格是超对称图，晶格模型的配分函数是规范理论的配分函数，杨-巴克斯特方程表示对偶对的配分函数的恒等式.这种对应是一个强大的工具，使我们能够产生新的可积模型。本文简要介绍了可积格点模型与超对称规范理论的关系所取得的进展。

仿射箭图簇代数的线性关系与可积性

Linear relations and integrability for cluster algebras from affine quivers

我们认为frieze序列对应于仿射D和E型箭图的簇突变序列。我们发现，集群变量满足线性递归周期系数，这意味着由凯勒和Scherotzke发现的常系数关系。将frieze序列看作一个离散的动力系统，将其化为一个低维空间上的辛映射，并证明了后者的Liouville可积性。

团簇可积系统、q-Painleve方程及其量子化

Cluster integrable systems, q-Painleve equations and their quantization

讨论了集团可积系统与$q$ -差分潘勒韦方程之间的关系.对应于这些可积系统的牛顿多边形都是16个内点的凸多边形。Painlevé动力学被解释为离散流的去离散化，由一系列的簇的突变产生，并辅以置换的顶点。我们还定义了量子$q$ -Painlevé系统的量子化相应的集群品种。我们提出了这些方程的正式解决方案的情况下，纯规范理论使用$q$变形的共形块或5维Nekrasov函数。我们建议，量子集团结构的Painlevé系统提供了推广的isomonodromy/CFT对应任意中心荷。

通过种子突变线性化的仿射型秩2簇代数的生成元

Generators of rank 2 cluster algebras of affine types via linearization of seed mutations

本文从代数曲线上可积系统的观点出发，讨论了由$A^{(1)}_1$和$A^{(2)}_2$型种子突变所产生的双有理映射的线性化问题，从而构造了生成相应簇代数的所有簇变量的集合.这些双有理映射分别在代数曲线上导出离散的可积系统，称为它们所产生的种子突变类型。$A^{(1)}_1$型的不变曲线是二次曲线，而$A^{(2)}_2$型的不变曲线是奇异四次曲线。利用奇异四次曲线的爆破，将奇异曲线上的$A^{(2)}_2$型离散可积系统转化为二次曲线上的$A^{(1)}_1$型不变曲线上的可积系统.证明了$A^{(1)}_1$型和$A^{(2)}_2$型离散可积系统在二次曲线上是可交换的。我们还证明了这些可积系统同时用守恒量线性化，并分别得到了它们的通解。利用这些通解，我们构造了分别生成$A^{(1)}_1$和$A^{(2)}_2$型簇代数的所有簇变量的集合.

从箭图导出的孤子计算

Calculation of solitons derived from quivers

本文通过将每个箭图与非线性可积系统（如KP和Toda层次）的孤子解关联，给出了这些孤子解的显式可计算公式，这些解被视为通过退化拟周期解得到的通用解。

Morphisms of double (quasi-)Poisson algebras and action-angle duality of integrable systems

Double (quasi-)Poisson algebras were introduced by Van den Bergh as non-commutative analogues of algebras endowed with a (quasi-)Poisson bracket. In this work, we provide a study of morphisms of double (quasi-)Poisson algebras, which we relate to the $H_0$-Poisson structures of Crawley-Boevey. We prove in particular that the double (quasi-)Poisson algebra structure defined by Van den Bergh for an arbitrary quiver only depends upon the quiver seen as an undirected graph, up to isomorphism. We derive from our results a representation theoretic description of action-angle duality for several clas…

通过簇代数中的变异组合学得到双有理 Weyl 群作用与 q-Painlevé 方程

Birational Weyl group actions and q-Painleve equations via mutation combinatorics in cluster algebras

本文利用簇代数中箭图变异的图组合方法，系统构造了 Weyl 群的无减法双有理表示，并研究其辛结构与 Darboux 坐标，为 q-Painlevé 方程及其高阶推广提供了广泛的群作用例子。

与仿射型秩2簇突变共轭的双有理映射及其几何

Birational maps conjugate to the rank 2 cluster mutations of affine types and their geometry

生成$A^{(2)}_2$型簇代数的簇变量的突变约化为由四次双有理映射给出的二维离散可积系统。该映射的不变曲线是一条奇异的四次曲线，它的奇异分解在二次曲线上导出一个离散的可积系统，该系统由共轭于$A^{(2)}_2$型簇突变的三次双有理映射控制.证明了二次曲线也是由$A^{(1)}_1$型簇突变所产生的二次双有理映射的不变曲线，并且二次曲线上的两个双有理映射是可交换的.最后，将交换双有理映射归结为$A^{(1)}_1$型离散Toda格的谱曲线所产生的椭圆曲线上点的加法的奇异极限.