$\Uq$的量子Casimir算符及其本征值

Split Casimir operator for simple Lie algebras, solutions of Yang-Baxter equations and Vogel parameters

We construct characteristic identities for the split (polarized) Casimir operators of the simple Lie algebras in defining (minimal fundamental) and adjoint representations. By means of these characteristic identities, for all simple Lie algebras we derive explicit formulae for invariant projectors onto irreducible subrepresentations in T^{\otimes 2} in two cases, when T is the defining and the adjoint representation. In the case when T is the defining representation, these projectors and the split Casimir operator are used to explicitly write down invariant solutions of the Yang-Baxter equatio…

可裂实量子群的正Casimir特征标和中心特征标

Positive Casimir and Central Characters of Split Real Quantum Groups

本文描述了广义Casimir算子及其在可裂实量子群的模偶$U_{q\tilde{q}}(g_R)$的正表示$P_λ$上的作用.我们引入了虚拟的最高和最低权重的概念，并表明，中央字符承认所有参数$λ$的正值。我们表明，他们的形象定义了一个半代数区域的判别品种独立的$q$的实点为界，我们讨论了明确的例子，在较低的秩的情况下。

Connection between cut-and-join and Casimir operators

We study cut-and-join operators for spin Hurwitz partition functions. We provide explicit expressions for these operators in terms of derivatives in $p$-variables without straightforward matrix realization, which is yet to be found. With the help of these expressions spin cut-and-join operators can be calculated directly and algorithmically. The reason why it is possible is the connection between mentioned operators and specially chosen Casimir operators that are easy to compute. An essential part of the connection involves shifted Q-Schur functions.

Krichever-Novikov代数的Sugawara构造与Casimir算子

Sugawara Construction and Casimir Operators for Krichever-Novikov Algebras

我们展示了如何从仿射型Krichever-Novikov代数（也称为高亏格仿射卡茨-穆迪代数）的最高权表示通过Sugawara构造获得中心扩展Krichever-Novikov向量场代数的表示.这推广了经典的结果，其中一个得到的维拉索罗代数的表示。给出了相应表示权之间的关系，构造了Casimir算子.在附录中，Sugawara构造了多点情况。

Positive Representations with Zero Casimirs

In this paper, we construct a new family of generalization of the positive representations of split-real quantum groups based on the degeneration of the Casimir operators acting as zero on some Hilbert spaces. It is motivated by a new observation arising from modifying the representation in the simplest case of $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ compatible with Faddeev's modular double, while having a surprising tensor product decomposition. For higher rank, the representations are obtained by the polarization of Chevalley generators of $\mathcal{U}_q(\mathfrak{g})$ in a new realizat…

经典与量子sl（1| 2）超代数、Casimir算子和量子链Hamilton算子

Classical and Quantum sl(1|2) Superalgebras, Casimir Operators and Quantum Chain Hamiltonians

我们研究了双参数变形超代数$U_{qs}(sl(1|2))$，并将其结果用于量子链哈密顿量的构造。这项研究是在框架内的塞尔介绍和$R$ -矩阵计划的Faddeev，Reshetikhin和Takhtajan（FRT）。我们证明了存在无穷多个Casimir算子，在未变形的情况下用整数$p > 1$索引，在变形的情况下用$p \in Z$索引，它们服从二次关系。给出了$SL_{qs}(1|2)$上函数的对偶超代数的构造，并讨论了高阶张量积表示。最后，我们构造了基于Casimir算符的量子链哈密顿算符。在变形的情况下，我们发现两个哈密顿描述变形的$t-J$模型。

论卡西米尔的幽灵

On Casimir's Ghost

定义了OSP（1）的泛包络超代数|2n）一个非标准伴随作用，赋予它模结构。这使得，特别是，构建一个玻色子运营商的反交换与所有的费米子发电机，这似乎是平方根的某个卡西米尔运营商。

Casimir算子与广义辫群的单值表示

Casimir Operators and Monodromy Representations of Generalised Braid Groups

设g是复单李代数，其Cartan子代数h和外尔群W.我们构造了h上的一个单参数平坦联络族D，其值在任意有限维h-模V中，根超平面上有单极点。g型辫群B的相应单值表示是W在V上的作用的变形（W的有限扩张）。D的剩余是g的sl（2）-子代数对应于其根的Casimir。V的子空间U在这些下的不可约性意味着，对于参数的一般值，辫群B不可约地作用在U上。通过讨论Knutson和Procesi的一个问题，我们证明了当g是sl（3）时，这些Casimirs不可约地作用在所有简单g-模的权空间上，但当g不同构于sl（2）或sl（3）时，情况并非如此.我们利用这一点反驳了Kwon和Lusztig关于Artin辫群B_n在所有简单U_{q} sl（n）-模的零权空间上的量子外尔群作用的不可约性的一个猜想，其中n大于或等于4.最后，研究了Casimirs作用在自对偶g-模的零权空间上的不可约性，得到了g=sl（n）或g（2）的完全分类结果.

单李代数的椭圆Casimir联络

The elliptic Casimir connection of a simple Lie algebra

在椭圆形位形空间上构造了一个平坦联络，它对应于任何复半单李代数g.这个椭圆形的卡西米尔连接具有对数奇点，并且取值于Guay定义的g的变形双流代数中。它退化为第一作者构造的g的三角Casimir联络。通过与有理和三角情形的类比，我们猜想椭圆Casimir联络的单值性可用g的量子环面代数的量子外尔群算符来描述.

单李代数的三角Casimir联络

The trigonometric Casimir connection of a simple Lie algebra

设g是复半单李代数，G是相应的单连通李群，H是G中的极大环面.我们在H上构造了一个平坦联络，其根超曲面上具有对数奇点，并且值在g的Yangian Y（g）中。通过类比g的有理Casimir联络，我们猜想这种三角联络的单值性可以用量子圈代数U_h（Lg）的量子外尔群算符来描述.

sl_2的三角Casimir联络的单值性

Monodromy of the trigonometric Casimir connection for sl_2

我们证明了Yangian Ysl_2的赋值模的张量积上的三角Casimir联络的单值性可以用量子圈代数U_h（Lsl_2）的量子外尔群算子来描述.这个证明是以第二作者通过对偶对（gl_k，gl_n）对sl_n的有理Casimir联络的单值性的计算为模式的，并且最终依赖于三角KZ联络的单值性的Etingof-Geer-Schiffmann计算。它依赖于两个新的成分：U_h（sl_k）的R-矩阵与U_h（sl_2）的量子外尔群元之间对偶的仿射扩张，以及用U_h（Lsl_2）的交换生成元表示SL_2的coroot格的量子外尔群作用的公式。利用这个公式，我们定义了量子圈代数U_h（Lgl_2）的量子外尔群算子，并证明了它们描述了Yangian Ygl_2的赋值模的张量积上三角Casimir联络的单值性

量子正交辛超代数的杨-巴克斯特方程解与Casimir不变量

Solutions to the Yang-Baxter Equation and Casimir Invariants for the Quantised Orthosymplectic Superalgebra

在过去的15年里，量子超代数已经被用来模拟超对称量子系统。一类拟三角Hopf超代数，它们都包含一个泛$R$ -矩阵，该矩阵自动满足杨-巴克斯特方程.将向量表示应用于通用$R$ -矩阵的左手侧给出Lax算子。这些在数学物理中具有重要意义，因为它们以任意表示形式提供了杨-巴克斯特方程的解，从而产生了可积模型。本文对量子正交辛超代数$U_q[osp(m|n)]$构造了一个Lax算子，它对所有$m > 2, n \geq 2$都成立，其中$n$是偶数.然后，这可以被用来找到一个解决方案的杨-巴克斯特方程在任意表示的$U_q[osp(m|n)]$，与矢量表示的例子中给出的细节。在研究由杨-巴克斯特方程的解所产生的可积模型时，需要理解超代数的表示论。找到系统的Casimir不变量并探索它们的行为有助于这种理解。本文利用Lax算子构造了$U_q[osp(m|n)]$的无限个Casimir不变量族，并计算了它们在任意不可约表示中的特征值。

$E_8$李代数的完全上同调

The Complete Cohomology of $E_8$ Lie Algebra

证明了对$E_8$李代数的任一不可约表示，Casimir算子的本征值都可以用不变多项式的形式计算，这些多项式可以用$A_8$基函数分解.将一般方法应用于8次、12次和14次情形，分别得到了2、8和19个不变多项式。对于每个特定的次数，这些不变多项式可以被视为$E_8$基函数，因为$E_8$的任何Casimir算子总是具有可以表示为它们的线性叠加的特征值。这可以通过显示这些$E_8$基函数中的每一个给我们一个线性方程来计算权重多重性来研究。