MDS, Hermitian Almost MDS, and Gilbert-Varshamov Quantum Codes from Generalized Monomial-Cartesian Codes
本文利用广义单项式-笛卡尔码和显式扭转向量构造新的稳定子量子纠错码，给出最小距离与维数公式，并证明其在m=2时的一族无限参数下优于Gilbert-Varshamov界。
2023-07-28 cs.IT math.IT
Monomial codes under linear algebra point of view
本研究从线性代数视角探讨Galois域F_q上monomial codes与特征子空间的联系及其极小不变子空间分解，并研究其特性，提出广义monomial codes概念进行推广。
2023-04-01 cs.IT math.IT math.RA
Monomial-Cartesian codes and their duals, with applications to LCD codes, quantum codes, and locally recoverable codes
单项式-笛卡尔代码是通过在笛卡尔积上评估单项式的集合而定义的评估代码。它是文献中一些码族的推广，例如复曲面码，仿射笛卡尔码和$J$ -仿射簇码。在这项工作中，我们使用消失的理想的笛卡尔积给出了一个单一的笛卡尔码的对偶的描述。然后利用这种对偶的描述证明了量子纠错码和MDS量子纠错码的存在性。最后，我们表明，单式笛卡尔代码的直接产品是一个本地可恢复的代码与$t$ -可用性，如果至少$t$的组件是本地可恢复的代码。
2019-07-26 cs.IT math.AG math.IT
Algebraic Properties of Polar Codes From a New Polynomial Formalism
极化码形成具有低复杂度解码算法的非常强大的码族，其在纠错和信源编码中达到许多信息理论极限。这些码与Reed-Muller码密切相关，因为两者都可以用相同的代数形式来描述，即它们是通过单项式的求值生成的。然而，找到优化解码性能的极化码的正确的生成单项式集合是一项艰巨的任务并且依赖于信道。本文的目的是揭示这些单项式的一些普适性质。我们将证明，有一种方法来定义一个非平凡（部分）顺序单项式，使单项式生成一个极化码设计为一个二进制输入对称信道总是形成一个递减集。这个属性对极化码的结构产生了相当深刻的影响。事实上，递减单项式码的置换群包含一个称为下三角仿射群的大群。此外，最小权重的码字精确地对应于从生成集的单项式的（评估）获得的最小权重码字的轨道。特别地，它给出了一种有效的方法来计数递减单项式码和此后的极化码的最小权重码字的数量。
2016-02-18 cs.IT math.IT
Optimal quinary cyclic codes with minimum distance four
本文通过分析有限域$\mathbb{F}_{5^m}$上某些方程的解，提出了三类新的含参数$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$的最优五元循环码，并给出了两个定理。利用这两个定理，利用完全非线性单项式、几乎完全非线性单项式和其它一些单项式构造了更多类具有相同参数的新的最优五元循环码。
2018-01-20 cs.IT math.IT
State Space Realizations and Monomial Equivalence for Convolutional Codes
我们将在状态空间实现的帮助下研究卷积码。它将表明，两个这样的最小实现属于同一个代码，当且仅当他们是等价的全状态反馈组。这个结果将被用来证明两个具有正Forney指数的码是单名等价的当且仅当它们共享相同的邻接矩阵。邻接矩阵以详细的方式计算所有可能输出的权重，因此包含关于给定代码中码字权重的全部信息。
2006-03-13 cs.IT math.IT math.OC
The Impact of Noise Correlation and Channel Phase Information on the Data-Rate of the Single-Symbol ML Decodable Distributed STBCs
最近，我们提出了行单名分布式正交空时分组码（DOSTBC），并表明行单名DOSTBC实现了约两倍的带宽效率比基于重复的合作策略[1]。然而，我们对行单项DOSTBC施加了两个限制。第一个是码的相关矩阵必须是行单项式的。另一种是假设中继站不具有从源到中继站的信道的任何信道状态信息（CSI），尽管该CSI可以在中继站处容易地获得而无需任何附加导频信号或任何反馈开销。在本文中，我们首先删除行单项式的限制，但保持CSI的限制。在这种情况下，我们得到了DOSTBC的数据率的上界，它大于[1]中的行单式DOSTBC的上界。其次，我们放弃了CSI限制，但保留了行单项限制。具体地说，我们提出了行单式DOSTBC-CPI码，并推导出这些码的数据率的上界。行单项DOSTBC-CPI比DOSTBC和行单项DOSTBC具有更高的数据率。此外，我们找到了实际的行单式DOSTBCs-CPI，达到了数据率的上限。
2007-08-24 cs.IT math.IT
Plotkin-type Bound on Function-Correcting Codes for Monomial Mappings
Indian Institute of Science, Bengaluru（印度科学学院）
本文针对有限域上任意函数推导了Hamming度量下函数纠错码的广义Plotkin型冗余度界，并给出线性函数、Hamming权重函数及单项式映射的显式界。
2026-10-06 cs.IT math.IT
Optimal $(r,δ)$-LRCs from monomial-Cartesian codes and their subfield-subcodes
本文研究单项式-笛卡尔码作为$(r,δ)$-局部可恢复码的最优性，利用子域子码在更小基域上构造出无穷多个新的$(r,δ)$-最优LRCs并确定其参数。
2023-04-11 cs.IT math.IT
Erasures repair for decreasing monomial-Cartesian and augmented Reed-Muller codes of high rate
本文为递减单项式-笛卡尔码及增广Reed-Muller和增广笛卡尔码设计了一或两个擦除的精确修复方案，后者无位置限制，并在固定维数或长度下展示了带宽优势及渐近性能。
2021-07-04 cs.IT math.IT
Duality for Several Families of Evaluation Codes
我们考虑Reed-Muller码，复曲面码和某些平面曲线的码的推广，例如由有限域上的范数和迹函数定义的那些。在每一种情况下，我们感兴趣的代码定义的评估任意子集的单项式，并在识别时的双重代码也获得评估单项式。然后，我们移动到序域理论的上下文中，其中可以使用Berlekamp-Massey-Sakata算法与多数表决来选择单项式的子集以优化解码性能。我们表明，考虑这些子集的代码是良好的行为和对偶代码也定义单项式。
2006-12-11 cs.DM cs.IT math.IT
Hindering reaction attacks by using monomial codes in the McEliece cryptosystem
在本文中，我们研究了最近的反应攻击QC-LDPC和QC-MDPC码为基础的密码系统，允许对手恢复私有奇偶校验矩阵通过其距离谱观察到足够高的解密失败。我们考虑一类特殊的代码，称为单项码，形成私钥具有所需的属性，具有唯一的和完整的距离谱。我们验证，对于这些代码的恢复的秘密密钥的距离谱的问题是等价的，在一个图中找到集团，并使用这种等价性来证明，目前的反应攻击是不适用的，当这种类型的代码中使用的McEliece密码系统。
2018-05-12 cs.CR cs.IT math.IT
Generalized weights of codes over rings and invariants of monomial ideals
本文发展了$R$ -定长线性码的支撑的代数理论，其中$R$是有限交换酉环。一个支持自然会导致广义权重的概念，并允许一个关联的单项式理想的代码。我们的主要结果表明，在适当的假设下，码的广义权可以从它的相关单项理想的分次Betti数得到。在$\mathbb{F}_q$ -具有汉明度量的线性码的情况下，理想与通过其奇偶校验矩阵与码相关联的拟阵的Stanley-Reisner理想一致。在这种特殊的设置，我们恢复已知的结果，广义的重量$\mathbb{F}_q$ -线性码可以得到的分次Betti数的理想的拟阵相关联的代码。我们还研究了码中的最小支集的子码和码字，证明了一大类$R$ -线性码是由其最小支集的码字生成的。
2022-01-15 cs.IT math.AC math.CO
Isometry Groups of Combinatorial Codes
描述了组合码的两个等距群：自同构群和单项式自同构群，这是那些自同构扩展到单$>映射的群。与经典的线性码的情况下，这些群体是相同的，它表明，组合码的群体可以是任意不同的。特别地，存在具有全自同构群和平凡单项式自同构群的码。本文对这两个群进行了刻划，并构造了具有预定义等距群的码。
2016-06-16 cs.IT math.CO math.IT
On the equivalence of linear cyclic and constacyclic codes
本文给出了各种有限域上线性循环码的置换等价和单项等价的新的充分条件。我们回顾了有限域上线性码的单项式等价和等距等价是相同的关系。给出了线性循环码通过其定义集上的移位映射而与单项式等价的一个充要条件。此外，我们还给出了$\mathbb{F}_4$上常循环码的单项等价的新的代数判据。最后，证明了若$\gcd(3n,ϕ(3n))=1$，则$\mathbb{F}_4$上所有长度为$n$的置换等价常循环码都是由乘子的作用给出的。这项工作的结果使我们能够修剪新的线性码的搜索算法，并发现破纪录的线性和量子码。
2022-11-02 cs.IT math.IT math.NT
Bhattacharyya parameter of monomials codes for the Binary Erasure Channel: from pointwise to average reliability
最近，单式码配备了偏序关系，这一事实使研究人员能够发现构造极化码的结构特性和有效算法。在这里，我们改进了二进制擦除信道的特定情况下现有的顺序关系。新的顺序关系使我们更接近最终的顺序关系引起的逐点评估的Bhattacharyya参数的合成通道。我们所能期望的最好结果仍然是一个偏序关系。为了克服这个问题，我们呼吁从网络理论的相关技术。可靠性网络理论最近被用于极性编码的上下文中，并且更普遍地与递减单项码有关。在这篇文章中，我们研究了如何将平均可靠性的概念应用于为二进制擦除信道设计的极化码。而不是最小化的合成通道的错误概率，对于一个特定的值的擦除参数p，我们的代码最小化的合成通道的平均错误概率。通过基本的网络理论的结果，我们确定了一个封闭的公式，一个特定的合成通道的平均可靠性，最近获得了研究人员的关注。
2021-03-19 cs.DM cs.IT math.IT
Weight Distribution of Repeated-Root Cyclic Codes with Prime Power Lengths
本文通过多项式推导将素数幂长度的重根循环码转化为单式等价码，利用MDS码经典结果确定其重量分布，并应用于构造任意素数p的p-重量循环码。
2025-08-06 cs.IT math.IT
A Deterministic Algorithm for Computing the Weight Distribution of Polar Codes
在这项工作中，我们提出了一个确定性的算法来计算极性码的整个重量分布。作为第一步，我们推导了一个有效的递归过程来计算沿任何解码路径的极化码的连续抵消解码中出现的权重分布。这解决了Polyanskaya，Davletshin和Polyanskii最近提出的公开问题。使用这个递归过程，在代码长度为n时，我们可以计算任何极陪集在时间O（n^2）内的权重分布。我们表明，任何极化码可以表示为这样的极性陪集的不相交的工会，此外，这种表示扩展到极化码与动态冻结位。然而，这种表示中的极陪集的数量与本文引入的参数呈指数关系，我们称之为混合因子。为了使极化码为递减单项式码时的算法复杂度上界，研究了其混合因子的取值范围。我们证明了在所有速率不超过1/2的递减单项码中，自对偶Reed-Muller码具有最大的混合因子。为了进一步降低算法的复杂度，我们利用了这样一个事实，即作为递减单项式码，极化码具有较大的自同构群。该自同构群包含块下三角仿射群（BLTA），而块下三角仿射群又包含下三角仿射群（LTA）。我们证明了一个子群的LTA行为传递的某些子集的减少单项码，从而大大减少了极陪集的数量，我们需要评估。这种复杂度降低使得可以计算长度n = 128的极化码的权重分布。
2023-02-09 cs.IT math.IT
LCD codes over ${\mathbb F}_q $ are as good as linear codes for q at least four
线性码$C$的外壳$H(C)$由$H(C)=C \cap C^\perp$定义。具有互补对偶（LCD）的线性码是具有$H(C)=\{0\}$的线性码。码壳的维数是置换等价下的不变量。对于二进制和三进制码，其壳的维数在单项式等价下也是不变的，并且证明了这个不变式是由码的扩展权枚举数决定的如果$q\geq 4$满足，则码的外壳在单项式等价下不是不变的.我们证明了在$q \geq 4$情形下，每个${\mathbb F}_q $ -线性码都与LCD码单项式等价.证明使用Gröbner基础理论的技术。我们的结论是，如果存在一个参数为$[n,k,d]_q$和$q \geq 4$的${\mathbb F}_q $ -线性码，那么也存在一个参数相同的LCD码.因此，这适用于最佳和MDS码。特别地，如果$q$是正方形并且$q\geq 49$是代数几何的，则存在高于Gilbert-Varshamov界限的LCD码。对于厄米特LCD码也得到了类似的结果。
2017-07-27 cs.IT math.IT
Generalized Weight Structure of Polar Codes: Selected Template Polynomials
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Aurel Vlaicu University（奥雷尔·弗拉伊库大学）
本文提出了一种统一的代数方法，通过广义权重结构和模板多项式，系统地表征和枚举极码的低和中等权重谱。
2026-01-15 cs.IT math.IT
Galois Hulls of Linear Codes over Finite Fields
有限域$\mathbb{F}_q$上的$[n,k]$线性码$C$的$\ell$ -Galois壳$h_{\ell}(C)$是$C$和$C^{{\bot}_{\ell}}$的交集，其中$C^{\bot_{\ell}}$表示Fan和Zhang（2017）引入的$C$的$\ell$ -Galois对偶。$\ell$ - Galois LCD代码是一个线性代码$C$，带有$h_{\ell}(C) = 0$。本文证明了线性码的$\ell$ -Galois包的维数在置换等价下是不变的，并给出了一种由码的生成矩阵计算$\ell$ -Galois包维数的方法.此外，我们还得到了三元码的$\ell$ -Galois壳的维数在单项式等价下也是不变的。如果$q>4$，则码的$l$ -伽罗瓦外壳的维数在单项式等价下不是不变的。证明了在$\mathbb F_{q}$上的每个$[n,k]$线性码都等价于对任何$q>4$的一个$\ell$ -Galois LCD码.我们的结论是，如果对任何$q>4$都存在$\mathbb F_{q}$上的$[n,k]$线性码，那么对任何$0\le \ell\le e-1$都存在具有相同参数的$\ell$ LCD码，其中$q=p^e$对某个素数$p$ .作为应用，我们刻画了有限域上矩阵乘积码的$\ell$ -Galois壳.
2018-09-21 cs.IT math.IT
Binary Cyclic Codes from Explicit Polynomials over $\gf(2^m)$
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。本文利用有限域上具有偶特征的单项式和三项式构造了一类二元循环码。给出了某些循环码族的最小重量的下界。确定了本文所构造的其它码族的最小权。代码的尺寸是灵活的。本文中提出的一些码是最优的或几乎最优的，因为它们满足线性码的某些界。还提出了关于单项式和三项式的二元循环码的公开问题。
2013-10-05 cs.IT math.IT
On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials
设$m\geq 3$是一个奇整数，$p$是一个奇素数。%，其中$h$是奇数。本文通过研究分别具有奇偶校验多项式$m_1(x)m_d(x)$和$m_1(x)m_e(x)$的循环码$\mathcal{C}_{(1,d)}$和$\mathcal{C}_{(1,e)}$具有相同重量分布的条件，给出了$\mathbb{F}_{p}$上的许多类三重量循环码，其中$m_i(x)$是$\mathbb{F}_{p}$上$π^{-i}$对$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元$π$的最小多项式.对于$p=3$，所提出的五类循环码在满足线性码的某些界的意义上是最优的。此外，对于$p\equiv 3 \pmod{4}$和正整数$e$，使得存在整数$k$，其中$\gcd(m,k)=1$和$τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$满足$(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$，确定了两个指数和$T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$和$ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $的值分布，其中$s=(p^m-1)/2$。作为应用，利用$S(a,b,c)$的值分布研究了具有校验多项式$m_…
2013-08-27 cs.IT math.IT
Error-Trellis State Complexity of LDPC Convolutional Codes Based on Circulant Matrices
设H（D）是LDPC卷积码的奇偶校验矩阵，对应于使用Tanner等人的方法获得的QC码的奇偶校验矩阵H。我们看到H（D）中的条目都是单项式，并且几行（列）具有单项式因子。让我们循环移动H的行。然后，对应于修改矩阵H ′的奇偶校验矩阵H ′（D）定义另一个卷积码。然而，其自由距离的下限是原始QC码的最小距离。此外，H ′（D）的每一行（列）具有与H（D）中的因子不同的因子。我们证明了在保持纠错能力的情况下，通过控制施加到H的行移位，可以显著降低与H '（D）相关联的错误网格的状态空间复杂度。
2009-01-08 cs.IT math.IT
The dual of an evaluation code
本文研究求值码的对偶与代数对偶，给出计算代数对偶基的算法，并针对Reed-Muller型码建立对偶判据，应用于Gorenstein理想情形。
2023-03-22 cs.IT math.AC math.AG
A Tutorial on Weight Structure of Polar Codes
School of Electrical Engineering and Telecommunications, University of New South Wales (UNSW)（新南威尔士大学电气与电信学院）；Faculty of Exact Sciences, Aurel Vlaicu University（奥雷尔·弗拉伊库大学精确科学学院）
本教程介绍极化码权重结构的代数基础，基于单项式多项式形式将极化码与里德-穆勒码视为递减单项式码，阐述仿射自同构等内容，助力读者深入理解极化码权重分布相关技术文献。
2026-08-20 cs.IT math.IT
Free Resolutions and Generalized Hamming Weights of binary linear codes
本文研究了某些单项理想的自由分解与二进制码的广义汉明重量之间的关系。更准确地说，我们寻找一个结构小于一组码字的最小支持，为我们提供了一些信息的GHW。我们证明了一个二进制线性码的第一和第二广义汉明重量可以计算（通过一个分级的自由决议）从一组单项式与二项式理想有关的代码。此外，剩余的权重由该集合的贝蒂数限制。
2022-03-31 cs.IT math.AC math.IT
High Data-Rate Single-Symbol ML Decodable Distributed STBCs for Cooperative Networks
本文提出了一种高数据率的分布式正交空时分组码（DOSTBC），它具有单符号可译码性和全分集阶数。推导了DOSTBC的数据率的上界，它比传统的基于重复的协作策略的上界大约大一倍。为了便于系统地构造达到数据率上界的DOSTBC，研究了在目的端具有对角噪声协方差矩阵的特殊DOSTBC。这些代码被称为行单项DOSTBC。导出了行单式DOSTBC的数据率的上界，它等于或略小于DOSTBC的上界。最后，给出了满足数据率上界的行单项DOSTBC的系统构造方法。
2009-08-10 cs.IT math.IT
Transversal gates for quantum CSS codes
Université de Bordeaux（波尔多大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；University of Arizona（亚利桑那大学）
本文研究了量子CSS码的横向门计算，确定了逻辑作用和门群，并扩展了相关码类的研究结果。
2026-11-03 cs.IT math.IT quant-ph
Matrix-product structure of repeated-root constacyclic codes over finite fields
对任意素数$p$和满足${\rm gcd}(p,n)=1$和$λ_0\in \mathbb{F}_{p^m}^\times$的正整数$m, k, n$，证明了有限域$\mathbb{F}_{p^m}$上任意长度为$p^kn$的$λ_0^{p^k}$ -常循环码单门等价于$\mathbb{F}_{p^m}$上长度为$n$-常循环码的嵌套序列的矩阵积码.
2017-08-29 cs.IT math.IT
List decoding of a class of affine variety codes
考虑$m$变量中的多项式$F$和有限点系综$S=S_1 \times ... \times S_m$。当给定$F$的前导单项式相对于字典序时，我们从$S$中得到关于多重性至少为$r$的$F$的可能的零数的改进信息。然后，我们使用这些信息来设计一个列表解码算法的一大类仿射品种码。
2011-01-26 cs.IT math.IT
On Galois LCD codes and LCPs of codes over mixed alphabets
本文在有限交换链环框架下研究混合字母表的Galois LCD码与线性码的LCP，推导计数公式、完成小长度码的单项等价分类，并给出其在掩码方案安全分析和两用户加法信道编码中的应用。
2024-12-13 cs.IT math.IT
Classification of LCD and self-dual codes over a finite non-unital local ring
Indian Institute of Technology Patna（印度理工学院巴特那分校）；Aix-Marseille University（艾克斯-马赛大学）
研究非交换非单位环E_p上的LCD和自对偶码，推导自由E_p线性码为MDS和几乎MDS的充要条件，并对E_2和E_3上的短码进行分类。
2026-06-25 cs.IT math.IT
Linear Code Equivalence via Plücker Coordinates
Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文研究了线性码等价性问题，利用代数几何工具如普吕克坐标和不变有理函数，提出了一种代数方法来确定不变函数的生成元，尽管所得多项式在密码学参数下实用性有限，但理论贡献显著。
2026-04-07 cs.IT math.AG math.IT
Planar functions and perfect nonlinear monomials over finite fields
有限射影平面的研究涉及到平面函数，即函数f：F_q --> F_q使得对F_q中的每个非零a，函数c --> f（c+a）- f（c）是F_q上的双射。平面函数也用于构造DES类密码系统，在那里它们被称为完美非线性函数。我们确定F_q上所有形式为c --> c^t的平面函数，假设q >=（t-1）^4。这意味着埃尔南多、麦圭尔和蒙塞拉特的两个版本。我们的论点也产生了一个新的证明塞格雷和Bartocci猜想从1971年关于单项超椭圆在有限的Desklesian射影平面。
2013-01-21 cs.IT math.CO math.IT
Geometric approach to the MacWilliams Extension Theorem for codes over modules
麦克威廉斯扩张定理指出，线性码的每个线性汉明等距都可以扩张到一个单项式映射。本文观察到模字母表上线性码的扩张定理的一个类似定理。描述了等距可拓性的几何方法。对于一个矩阵模字母表，我们找到了一个不可扩展的汉明等距存在的代码的最小长度。我们还证明了模字母表上MDS码的一个扩张定理。
2015-07-18 cs.IT math.CO math.IT
Construction of self-orthogonal codes over a commutative non-unitary ring of order 25
Sogang University（西江大学）
研究阶为25的交换非酉环\(I_5\)上的线性码，定义三类线性\(I_5\) - 码并研究其结构，对长度至多为4的三类码进行单项式等价完全分类，同时纠正了\(I_5\)上拟自对偶码分类的错误。
2026-07-14 cs.IT math.IT
Spectral Theory of Semisimple Bivariate Bicycle Codes
Xanadu
该研究扩展二维循环码经典理论，针对双变量自行车码提出代数方法，推导逻辑维度公式与最小距离下界，构建码对称性系统理论，给出无需数值搜索的码生成示例，并将分析扩展至BCH基乘积构造。
2026-08-31 cs.IT math.IT quant-ph
Characteristics of Invariant Weights Related to Code Equivalence over Rings
等价定理指出，对于字母表上的给定权重，线性码之间的每个线性等距都扩展到整个空间的单项变换。这个定理已经被证明了几个重量和字母，包括原来的麦克威廉姆斯等价定理的汉明重量的代码在有限域。问题仍然是：一个权必须满足什么条件才能使扩张定理成立？在本文中，我们提供了一个代数框架，确定这样的条件，推广的方法[Greferath，Honold '06]。
2011-10-07 cs.IT math.IT math.RA
Matrix-product structure of constacyclic codes over finite chain rings $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$
设$m,e$为正整数，$p$为素数，$\mathbb{F}_{p^m}$为$p^m$元素的有限域，$R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$为有限链环.对任意$ω\in R^\times$和满足${\rm gcd}(p,n)=1$的正整数$k, n$，我们证明了任意长度为$p^kn$的$(1+ωu)$ -常循环码在$R$上单等价于长度为$n$的$p^k$循环码嵌套序列和$\mathbb{F}_p$上的$p^k\times p^k$矩阵$A_{p^k}$的矩阵积码.利用矩阵积结构，给出了由$R$上的较短长度的$(1+ωu)$-常循环码迭代构造每个$(1+ωu)$ -常循环码的方法.
2018-03-03 cs.IT math.IT
On Classification of Toric Surface Codes of Low Dimension
这项工作是我们以前工作\cite{yz}的自然延续。本文给出了维数小于等于6的复曲面码的一个完全分类，除了一个特殊的码对$C_{P_6^{(4)}}$和$\mathbb{F}_8$上的$C_{P_6^{(5)}}$.同时，我们给出了一个例子，$C_{P_6^{(5)}}$和$\mathbb{F}_7$上的$C_{P_6^{(6)}}$，以说明两个单值等价的环面码可以由两个格非等价多边形构造。
2014-09-14 cs.IT math.CO math.IT
On cyclic algebraic-geometry codes
本文主要研究循环代数几何码。在有限域上的代数函数域中，利用循环代数几何码的自同构群，给出了构造循环代数几何码的条件。我们证明了用这种方法构造的循环代数几何码与循环扩张密切相关。在有理函数域上，我们还详细研究了用这种方法构造的循环代数几何码的单项式等价性。
2021-06-01 cs.IT math.AG math.CO
On the number of minimal and next-to-minimal weight codewords of toric codes over hypersimplices
本文刻画并确定了超单纯形上环面码在$3 \leq d < s$时的最小重量码字数，以及在$3 \leq d \leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2} \leq d < s$时的次最小重量码字数。
2025-02-25 cs.IT math.AC math.AG
A Construction of Linear Codes over $\f_{2^t}$ from Boolean Functions
本文利用布尔函数构造了$\f_{2^t}$上的线性码，它是Ding方法\cite [定理9]{Ding 15}的推广.在此基础上，我们由布尔函数$f:\f_{q}\rightarrow \f_2$给出了$\f_{2^t}$上的两类线性码$\tilde{\C}_{f}$和$\C_f$（见定理\ref{thm-maincode1}和定理\ref{thm-maincodenew}），其中$q=2^n$和$\f_{2^t}$是$\f_{q}$的某个子域.根据$f$的Walsh谱可以很容易地确定$\tilde{\C}_{f}$的完整权计数器，同时也可以很容易地确定码$\C_f$的权分布。特别地，$\tilde{\C}_{f}$和$\C_f$的非零权重的数目与$f$的不同Walsh值的数目相同。作为这一构造的应用，我们利用Bent、Semibent、单项式和二次布尔函数$f$给出了$\f_{2^t}$上的几类具有两个或三个权值的线性码.
2015-11-06 cs.IT math.IT
The minimum distance of parameterized codes on projective tori
设X是有限域K上的射影空间的一个子集，它由杂波边缘产生的单项式参数化。设I（X）是X的消失理想。证明了I（X）是完全交的充要条件是X是射影环面。在这种情况下，我们确定从X产生的任何参数化线性码的最小距离。
2011-07-21 cs.IT math.AC math.AG
Generalized Hamming weights of toric codes over hypersimplices and square-free affine evaluation codes
设$\mathbb{F}_{q}$是具有$q$元素的有限域，其中$q$是素数$p$的幂。$\mathbb{F}_{q}$上的多项式是无平方的，如果它的所有单项式都是无平方的。在本文中，我们确定了在$s$变量中，在$r$，$s$和这些多项式的次数的一定条件下，任何一组$r$线性无关的无平方多项式在$\mathbb{F}_{q}$上的仿射环面$T=(\mathbb{F}_{q}^{*})^{s}$中的零点数目的上界。应用这些结果，我们部分地得到了超单上环面码和无平方赋值码的广义Hamming重量，如\cite{hyper}中所定义的。最后，我们得到了这些环面码关于欧几里德标积的对偶。
2020-10-25 cs.IT math.AC math.IT
Subfield subcodes of projective Reed-Muller codes
本文研究了射影 Reed-Muller 码的子域子码，求得了其显式基与维数公式，推广了射影空间中的 Gröbner 基工具，从而在小有限域上获得了具有良好参数的长线性码。
2023-12-20 cs.IT math.AC math.IT
An Algebraic Invariant for Free Convolutional Codes over Finite Local Rings
本文提出有限局部环上自由卷积码的残余结构多项式作为代数不变量，用于判断码的非灾难性实现，并揭示正交性下的对称性。
2026-02-13 cs.IT math.IT
New constructions of $2$-to-$1$ mappings over $\gf_{2^n}$ and their applications to binary linear codes
本文基于广义切换方法，利用Dickson多项式理论和低次方程刻画，构造了16类新的QM不等价2-到-1映射，并应用其构造了自正交、极小的二元线性码。
2025-07-11 cs.IT math.IT
Two families of linear codes with desirable properties from some functions over finite fields
本文基于增广技术从有限域函数构造了两族线性码，确定了其局部性、重量分布，并导出了最优或几乎最优可扩展的自正交局部可恢复码。
2024-01-05 cs.IT math.IT
Classification of the Z2Z4-linear Hadamard codes and their automorphism groups
长度为$α+2β=2^t$的$Z_2Z_4$ -线性哈达玛码是二进制哈达玛码，其是具有$α$二进制坐标和$β$四进制坐标的$Z_2Z_4$ -加性码的格雷映射图像。已知对于所有的$t\geq 3$，恰好存在长度为$2^t$的$[(t-1)/2]$和$[t/2]$非等价的$Z_2Z_4$ -线性Hadamard码，分别具有$α=0$和$α\not=0$.本文证明了每个具有$α=0$的$Z_2Z_4$ -线性Hadamard码等价于一个具有$α\not=0$的$Z_2Z_4$ -线性Hadamard码，从而只存在长度为$2^t$的$[t/2]$不等价的$Z_2Z_4$ -线性Hadamard码.进一步给出了$Z_2Z_4$ -加性Hadamard码的单式自同构群的阶和相应的$Z_2Z_4$ -线性Hadamard码的置换自同构群的阶.
2019-01-09 cs.IT math.CO math.IT
Next-to-minimal weight of toric codes defined over hypersimplices
本研究针对超单形上的托里拆利码，利用格罗布纳基理论确定了$3\leq d\leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2}\leq d < s$时的次最小权重，补充了该类码的距离特性研究。
2025-02-11 cs.IT math.AC math.AG
