A sharp version of Ehrenfest's theorem for general self-adjoint operators
Gero Friesecke, Bernd Schmidt
我们证明了量子力学中的Eschlafest定理在尖锐的假设有关的运营商。
We prove the Ehrenfest theorem of quantum mechanics under sharp assumptions on the operators involved.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Sharp spectral multipliers for Hardy spaces associated to non-negative self-adjoint operators satisfying Davies-Gaffney estimates
本文研究了作用在$L^2(X)$上的抽象非负自伴算子$L$，它满足Davies-Gaffney估计和相应的Hardy空间$H^p_L(X)$ .我们假设度量测度空间$X$的加倍条件成立。我们证明了$H^p_L(X)$上的一个尖锐的Hörmander型谱乘子定理，它是由限制型估计和Davies-Gaffney估计得出的。我们还描述了$H^p_L(X)$上Bochner-Riesz平均有界性的一个精确结果。
Multiplicity of self-adjoint realisations of the (2+1)-fermionic model of Ter-Martirosyan-- Skornyakov type
本文对两个相同的费米子通过零射程相互作用与第三个不同性质的粒子耦合的系统，重建了Ter-Martirosyan- Skornyakov型自伴哈密顿量族.我们继续通过一个运营商理论的方法的基础上的自伴扩展理论的克莱因，Visik和伯曼。我们确定明确的Krein-Visik-Birman扩展参数作为该模型的“电荷空间”（“Krein空间”）上的一个算子，我们来制定一个尖锐的猜想，其内核的维数。基于我们的猜想，我们也讨论了大量的证据，我们解释了出现的多重扩展在一个合适的政权的群众，我们第一次重现以前的部分建设获得的替代二次型的方法。
Functions of perturbed $n$-tuples of commuting self-adjoint operators
设$(A_1,\cdots,A_n)$和$(B_1,\cdots,B_n)$是Hilbert空间上交换自伴算子的$n$ -元组.对于满足一定条件的$\R^n$上的函数$f$，我们得到了$f(A_1,\cdots,A_n)-f(B_1,\cdots,B_n)$的算子范数（或算子理想中的范数）关于$A_j-B_j$，$1\le j\le n$的相应范数的精确估计.我们得到类似的早期结果估计扰动自伴和正常运营商的功能。事实证明，对于$n\ge3$，用于自伴算子和正规算子的方法不起作用。我们提出了一种新的方法，适用于任意$n$。对于有界线性算子$R$，我们还得到了拟交换子$f(A_1,\cdots,A_n)R-Rf(B_1,\cdots,B_n)$关于$A_jR-RB_j$，$1\le j\le n$的模的精确估计.
Stechkin's problem for functions of a self-adjoint operator in a Hilbert space, Taikov-type inequalities and their applications
本文解决了泛函$(φ(A)x, f)$（其中$φ(A)$是自伴算子$A$的某个函数）在希尔伯特空间的元素类上的逼近问题，该空间是借助于算子$A$的另一个函数$ψ(A)$定义的.此外，我们还利用$\| ψ(A)x\|$和$\| x\|$得到了一系列估计$|(φ(A)x, f)|$的尖锐Taikov型加法不等式.我们还提出了几个应用所获得的结果。首先，我们发现尖锐的常数在H ${\rm{\ddot{o}}}$ rmander定理中使用的类型的不等式比较的运营商的情况下，当运营商是在希尔伯特空间中的作用，是一个自伴算子的功能。作为另一个应用，我们获得Taikov型不等式的功能的运营商$\frac1i \frac {d}{dt}$在空间$L_2(\RR)$和$L_2(\TT)$，以及积分的谱措施，定义的帮助下，经典的正交多项式。
Sharp spectral multipliers for operators satisfying generalized Gaussian estimates
设$L$是作用在$L^2(X)$上的非负自伴算子，其中$X$是齐型空间.假设$L$生成一个全纯半群$e^{-tL}$，其核$p_t(x,y)$满足广义$m$阶高斯估计.本文研究了抽象自伴算子的奇异和并矢支撑谱乘子。我们表明，在这种设置下，尖锐的频谱乘数的结果遵循Plancherel或斯坦-托马斯型估计。这些结果适用于包括$m$阶常系数椭圆型微分算子、粗糙势的双调和算子和作用于分形的Laplace型算子在内的大类算子的谱乘子.
Bounds on the spectrum and reducing subspaces of a J-self-adjoint operator
给定希尔伯特空间H上的自伴对合J，考虑H上的J-自伴算子L = A + V，其中A是与J交换的可能无界自伴算子，V是有界J-自伴算子反-我们建立了L的谱相对于A的谱的位置的最优估计，并且得到了L的最大和最小算子角之间的范数界。未扰动算子A和扰动算子L的定约化子空间。所有的界都是根据V的范数和与算子L和/或算子A相关联的不相交谱集对之间的距离给出的。作为例子，讨论了PT对称微扰下的量子谐振子。得到的算子角的严格范数界将著名的Davis-Kahan三角定理推广到J-自伴扰动的情形。
Sharpening the norm bound in the subspace perturbation theory
设A是希尔伯特空间H上的自伴算子。假设σ是A的谱的孤立分量，即dist（σ，Σ）=d>0，其中Σ=spec（A）\σ。设V是H上的有界自伴算子，使得||V||用P表示与谱集σ相关联的A的谱投影，并且令Q是对应于闭谱集σ的L的谱投影。||V||- σ的邻域我们证明了形式arcsin（||P-Q||）\leq M（||V||/d），M：[0，1/2）-->R^+，这基本上比之前已知的估计更强，||P-Q||.特别地，所获得的界限确保：||P-Q|| <1，因此，谱子空间Ran（P）和Ran（Q）在锐角情况下，无论何时||V|| <cd，其中c=0.454169. (the也给出了C的精确表达式）。上述结果的证明是基于子空间间最大夹角的三角不等式和谱子空间变分的先验一般\sin 2θ估计.作为一个例子，讨论了有界微扰量子谐振子。
Sharp weighted $L^p$ estimates for spectral multipliers
设$L$是$L^2(X)$上的非负自伴算子.假设算子$L$生成其核满足标准高斯上界的解析半群$\{e^{-tL}\}_{t>0}$。本文研究了谱乘子$F(L)$及其与BMO函数的乘积的尖锐加权不等式.本文的结果可以认为是\cite{DSY} [Weighted norm inequalities，Gaussian bounds and sharp spectral multiplers，{ \it J. Funct. Anal.}，{ \bf 260}（2011），1106-1131]。
Unbounded Products of Operators and Connections to Dirac-Type Operators
设$A$和$B$是希尔伯特空间中两个稠密定义的无界可闭算子，使得它们的无界算子积$AB$和$BA$也是稠密定义的.然后这四个算子都具有伴随，并根据算子伴随之间的新关系得到了算子乘积闭包$\bar{A} \bar{B}$和$\bar{AB}$的新包含界.这些反过来又导致了对无界自伴算子和无界正规算子的乘积何时是自伴正规算子的更深刻的理解。他们还澄清了狄拉克算子的某些算子产品问题。
Sharp quantitative integral inequalities for harmonic extensions
本文针对Poisson算子及其伴随算子，证明了Hang、Wang和Yan的精确积分不等式的量化版本，获得了最强范数和不一定等于2的最优稳定性指数。
Improved inequalities related to the $A$-numerical radius for commutators of operators
设$A$是复Hilbert空间$\mathcal{H}$上的有界线性算子，$\mathcal{B}_{A}(\mathcal{H})$是所有允许$A$ -伴随算子的算子的子空间.本文在半Hilbert空间（即由半正定半双线性型生成的空间）中建立了涉及算子的换位子与反换位子的几个不等式。主要是，在其他不等式中，我们证明了对于$T, S\in\mathcal{B}_{A}(\mathcal{H})$，我们有\begin{align*} ω_A(TS \pm ST) \leq 2\sqrt{2}\min\Big\{f_A(T,S), f_A(S,T) \Big\}, \end{align*}，其中$$f_A(X,Y)=\|Y\|_A\sqrt{ω_A^2(X)-\frac{\left|\,\left\|\frac{X+X^{\sharp_A}}{2}\right\|_A^2-\left\|\frac{X-X^{\sharp_A}}{2i}\right\|_A^2\right|}{2}}.$$这里$ω_A(\cdot)$和$\|\cdot\|_A$分别是半希尔伯特空间算子的$A$ -数值半径和$A$ -算子半径，$X^{\sharp_A}$表示$X$的一个杰出的$A$ -伴随算子.
A Sharp Kato-Rosenblum Type Theorem for Unbounded n-Tuples
将Kato-Rosenblum定理推广到无界自伴算子的交换n元组和Lorentz (n,1)理想（n≥3），并从有界算子结果推导得出，同时得到n=2时的弱结果。
Bounds for the Rayleigh quotient and the spectrum of self-adjoint operators
本文通过残量范数和向量变化量给出Rayleigh商的绝对变化界，并提出统一方法证明谱的已知界、分析其尖锐性并推导新的更紧的界。
On the existence of solutions to the operator Riccati equation and the tanΘtheorem
设A和C是自伴算子，使得A的谱位于C的谱的间隙中，d>0是A和C的谱之间的距离.我们证明，在这些假设下，常数c的尖锐值在条件||B||保证算子Riccati方程XA-CX+XBX=B^* 的（有界）解的存在性的<cd等于\sqrt{2}。我们还证明了Davis-Kahan \tan Θ定理的一个推广，并给出了Riccati方程解的模的精确估计.如果C是有界的，我们证明，此外，解X是严格压缩，如果B满足条件||B|| <d，这个条件是尖锐的。
On sharp constants for infinitely many equivalent norms on Cesàro function spaces
本文研究Cesàro函数空间上等价范数的尖锐常数，推导广义Cesàro算子及其伴随算子的最优双边不等式，延续了该领域的研究方向。
Sharp $L^p$ estimates for Schrödinger groups
考虑$L^2(\mathbb{R}^d)$中的非负自伴算子$H$。我们假设它的热算子$e^{-tH}$对某些指数$p_0\in[0,2)$满足非对角代数衰减估计。然后，我们证明了尖锐的$L^p\to L^p$频率截断估计薛定谔集团$e^{itH}$ $p\in[p_0,p'_0]$。特别是，我们的结果适用于每一个运营商的形式$H=(i\nabla+A)^2+V$，磁势$A\in L^2_{loc}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)$和电位$V$的积极和消极的部分是在当地的加藤类和加藤类，分别。
The a priori Tan Theta Theorem for spectral subspaces
设A是可分希尔伯特空间H上的自伴算子。设A的谱由两个不相交的分量s_0和s_1组成，使得集合s_0位于集合s_1的有限间隙中。设V是H上关于分块规范（A）=s_0 \cup s_1的非对角有界自伴算子.已知如果||V|| < \sqrt{2} d，其中d= \dist（s_0，s_1），则扰动V不封闭s_0和s_1之间的间隙，扰动算子L=A+V的谱由分别从s_0和s_1生长的两个孤立分量s '_0和s'_1组成.此外，已知如果V满足更强的界，||V|| < d则下面的sharp norm估计成立：||E_L（s'_0）-E_A（s_0）||\leq sin（arctan（||V||其中E_A（s_0）和E_L（s '_0）分别是与谱集合s_0和s'_0相关联的A和L的谱投影。在目前的工作中，我们证明了这一估计仍然有效和尖锐的d \leq| |V|| < \sqrt{2} d，它完全解决了这个问题。
Weighted norm inequalities, Gaussian bounds and sharp spectral multipliers
设$L$是作用在$L^2(X)$上的非负自伴算子，其中$X$是齐型空间.假设$L$生成一个全纯半群$e^{-tL}$，其核$p_t(x,y)$具有高斯上界，但变量$x$和$y$不具有正则性。本文研究了$L$的谱乘子的加权$L^p$ -模不等式.我们显示尖锐的加权Hörmander型谱乘子定理遵循高斯热核边界和适当的$L^2$估计的内核的谱乘子。这些结果适用于大类算子的谱乘子，包括作用在多项式增长的李群或欧氏空间的不规则非倍域上的Laplace算子，紧流形上的椭圆算子和完备黎曼流形上具有非负位势的Schrödinger算子.
Restriction estimates, sharp spectral multipliers and endpoint estimates for Bochner-Riesz means
我们考虑$L^2(X)$上的抽象非负自伴算子，它们满足相应波动方程的有限速度传播性质。对于这样的运营商，我们引入了一个限制型条件的情况下，标准的拉普拉斯算子是等价的$(p,2)$限制估计斯坦和托马斯。接下来，我们表明，在考虑抽象设置我们的限制类型的条件意味着尖锐的谱乘数和端点估计的Bochner-Riesz求和。我们还观察到，这种限制估计适用于满足色散或Eschenhartz估计的算子。我们得到了几个二阶微分算子的谱乘子的新结果，并恢复了一些已知的结果。我们的例子包括$\RR^n$上具有平方反势的薛定谔算子、谐振子、紧流形上的椭圆算子和渐近锥流形上的薛定谔算子。
Further improvements of generalized numerical radius inequalities for Hilbert space operators
半希尔伯特空间上算子的$A$ -数值半径不等式的几个新的改进，一个由正算子$A$生成的空间。特别是，在其他不等式，我们表明，\begin{align*} \frac{1}{4}\|T^{\sharp_A} T+TT^{\sharp_A}\|_A \leq\frac{1}{4}\Big(2ω_A^2(T)+γ(T)\Big) \leq ω_A^2(T), \end{align*}其中$$γ(T)=\sqrt{\left(\|\Re_A(T)\|_A^2-\|\Im_A(T)\|_A^2\right)^2+4\|\Re_A(T)\Im_A(T)\|_A^2}.$$这里$ω_A(X)$和$\|X\|_A$分别表示$A$ -数值半径和$A$ -半径的运营商$X$。此外，$\Re_A(T):=\frac{T+T^{\sharp_A}}{2}$和$\Im_A(T):=\frac{T-T^{\sharp_A}}{2i}$，其中$T^{\sharp_A}$是$T$的一个特殊的$A$ -伴随算子。在此基础上，建立了与$\|\cdot\|_A$有关的三角不等式的一些新的改进.
Refinement of seminorm and numerical radius inequalities of semi-Hilbertian space operators
给出了半希尔伯特空间算子的$A$ -算子半径和$A$ -数值半径的新不等式，并证明了所得不等式是现有不等式的推广和改进.考虑复Hilbert空间$\mathcal{H}$和$\mathcal{H},$上的非零正有界线性算子$A$，我们证明了与其他不等式，如果$S,T,X\in \mathcal{B}_A(\mathcal{H})$，即，如果$S,T,X$伴随存在，则$$2\|S^{\sharp_A}XT\|_A \leq \|SS^{\sharp_A}X+XTT^{\sharp_A}\|_A.$$-存在进一步证明了如果$T\in \mathcal{B}_A(\mathcal{H})$则\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\|T^{\sharp_{A}}T+TT^{\sharp_{A}}\|_A \leq \frac{1}{8}\bigg( \|T+T^{\sharp_{A}}\|_A^2+\|T-T^{\sharp_{A}}\|_A^2\bigg), ~~\textit{and} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \frac{1}{8}\bigg( \|T+T^{\sharp_{A}}\|_A^2+\|T-T^{\sharp_{A}}\|_A^2\bigg) +\frac{1}{8}c_A^2\big(T+T^{\sharp_…
An extension of the Koplienko-Neidhardt trace formulae
Koplienko [Ko]发现了Hilbert Schmidt类$\bS_2$算子扰动自伴算子的迹公式。Neidhardt [N]在酉算子的情况下得到了一个类似的公式.本文改进了他们的结果，得到了Koplienko-Neidhardt迹公式成立的精确条件。
Some numerical radius inequalities for semi-Hilbert space operators
设$A$是复希尔伯特空间$\big(\mathcal{H}, \langle \cdot\mid \cdot\rangle \big)$上的有界线性算子.令$ω_A(T)$和${\|T\|}_A$分别表示作用在半希尔伯特空间$\big(\mathcal{H}, {\langle \cdot\mid \cdot\rangle}_A\big)$上的算子$T$的$A$ -数值半径和$A$ -算子半径，其中${\langle x\mid y\rangle}_A := \langle Ax\mid y\rangle$对所有$x, y\in\mathcal{H}$ .本文证明了\begin{equation*}\label{m1} \tfrac{1}{4}\|T^{\sharp_A} T+TT^{\sharp_A}\|_A\le ω_A^2\left(T\right) \le \tfrac{1}{2}\|T^{\sharp_A} T+TT^{\sharp_A}\|_A. \end{equation*}这里$T^{\sharp_A}$表示为$T$的一个特殊的$A$ -伴随算子.此外，还证明了上述不等式的一个重要改进.这允许计算$\mathbb{A}$ -运算符矩阵$\begin{pmatrix} I&T \\ 0&-I \end{pmatrix}$的数值半径，其中$\mathbb{A}= \te…
Metric properties of the set of orthogonal projections and their applications to operator perturbation theory
本文证明了希尔伯特空间上的正交投影集是$\frac\pi2$ -测地的。作为应用，我们考虑了有界线性自伴算子谱子空间的变分问题，得到了扰动和未扰动算子谱的孤立部分对应的两个谱投影的差的范数的一个新估计.特别是，最近的结果Kostrykin，Makarov和Motovilov从[trans. Amer. Math. Soc.，V.359，No.1，77 - 89]和[Proc. Amer. Math. Soc.，#34769;的，都是有争议的。
Conjugations on Hilbert $C^*$-modules
本文在Hilbert $C^*$-模上系统建立共轭理论，引入$\sharp$-共轭并刻画其结构，推广Garcia--Putinar极分解定理，证明$C$-对称酉算子可分解为两个共轭之积。
Seminorm and numerical radius inequalities of operators in semi-Hilbertian spaces
设$A$是Hilbert空间$\big(\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot\rangle \big)$上的一个正有界算子.半内产物${\langle x, y\rangle}_A := \langle Ax, y\rangle$，$x, y\in\mathcal{H},$诱导$\mathcal{H}$上的一个可降解的${\|\cdot\|}_A$。令${\|T\|}_A,\ w_A(T),$和$c_A(T)$分别表示半希尔伯特空间$\big(\mathcal{H}, {\|\cdot\|}_A\big)$中算子$T$的$A$ -算子半径、$A$ -数值半径和$A$-Crawford数.本文给出了半希尔伯特空间算子的一些不等式和等式。更精确地说，我们给出了两个正交半希尔伯特算子满足毕达哥拉斯等式的充分必要条件。此外，我们得到了新的上限和下限的半希尔伯特空间中的运营商的数值半径。特别是，我们表明，\begin{align*} \frac{1}{16} {\|TT^{\sharp_{A}} + T^{\sharp_{A}}T\|}^{2}_{A} + \frac{1}{16}c_{A}\Big(\big(T^2 + (T^{\sharp_{A}})^2\big)^2\Big) \leq w^4_{A}(T) \leq \frac{1}{8} {\|TT^{…
Perturbation bounds for eigenspaces under a relative gap condition
算子理论中的一个基本问题是估计小扰动如何影响自伴紧算子的本征空间。本文证明了结构随机扰动的子空间距离的上界。作为一个主要的例子，我们考虑了经验协方差算子，并证明了在相对间隙条件下可以得到一个尖锐的界。证明是基于一种新的收缩现象，对比以前的光谱扰动方法。
Functions of perturbed dissipative operators
我们将\cite{AP2}和\cite{AP3}的结果推广到极大耗散算子的情形。得到了上半平面内解析函数为Lipschitz算子的充分条件。我们还证明了一个在上半平面解析的$\a$阶的Hölder函数，$0<\a<1$，一定是$\a$阶的Hölder算子.然后我们将这些结果推广到高阶算子差分。得到了算子导数存在的严格条件，并将算子导数表示为半谱测度的重算子积分。最后，我们得到了Schatten-von Neumann类$\bS_p$扰动下的精确估计，并得到了与拟交换子和拟交换子的所有结果类似的结果。注意，对于耗散算子的证明要比之前在\cite{AP2}、\cite{AP3}和\cite{Pe6}中得到的自伴算子、酉算子和压缩算子的相应结果的证明复杂得多。
Sharp Boundary Trace Theory and Schrödinger Operators on Bounded Lipschitz Domains
我们开发了一个尖锐的边界跟踪理论，在任意有界Lipschitz域，与经典的结果相比，允许“禁止”端点，并允许考虑功能表现出非常有限的规律性。这样做的代价是（必要的）规定一个额外的正则性条件，涉及拉普拉斯算子对函数的作用，尽管如此，它与薛定谔微分表达式$-Δ+V$的狄利克雷和诺依曼实现完美地工作。反过来，这个边界迹理论作为一个平台，发展一个谱理论的薛定谔算子有界Lipschitz域，以及其相关的Weyl-Titchmarsh算子。总的来说，这将目前的知识水平向前推进了一大步。例如，我们成功地扩展了Dirichlet和Neumann迹算子，使得薛定谔算子在有界Lipschitz域上的所有自伴扩展都可以用显式边界条件来描述，从而为数学文献中已经研究了60多年的问题提供了最终答案。在此过程中，一些其他开放的问题得到解决。最一般的几何和分析设置，在这里开发的理论产生令人满意的结果是，Lipschitz子域的黎曼流形和相应的拉普拉斯-贝尔特拉米算子（在地方的标准平坦空间拉普拉斯算子）。特别是，这样的扩展产生的结果变系数薛定谔算子有界Lipschitz域。
The best constants for operator Lipschitz functions on Schatten classes
设f是实数上的Lipschitz函数，Lipschitz常数小于等于1.设A是希尔伯特空间H上的有界自伴算子。设1|| [f（A），x]||_p <= C_p|| [A，x]||本文的主要结果是给出了C_p关于p的一个精确估计，即证明了C_p ~ p^2/（p-1）.特别地，这给出了算子Lipschitz不等式的最佳估计。我们在一个更一般的背景下处理这个结果。这涉及到n个自伴算子的算子，我们证明了类似的结果。下面在摘要中描述的情况是一个特例。
Quantitative Fredholm backstepping and rapid stabilization
本文研究了自伴随和斜伴随算子A的Fredholm反步变换的存在性，通过合适条件证明了阶数严格大于1的算子存在Fredholm反步变换，从而克服了经典Fredholm反步框架的两大局限，实现了对变换T的显式结构分析，推导出关于衰减率λ的定量和精确估计，进而获得广泛算子的快速稳定化和小时间零可控性结果。
Operator Hölder--Zygmund functions
众所周知，实直线上的Lipschitz函数不一定是Lipschitz算子。我们表明，如果我们传递到Hölder类，情况会发生巨大变化。也就是说，我们证明了如果$f$属于Hölder类$Ł_\a(\R)$，则对于任意自伴算子$A$和$B$，$\|f(A)-f(B)\|\le\const\|A-B\|^\a$。对于Zygmund类$Ł_1(\R)$中的函数$f$，我们证明了一个类似的结果：对于任意自伴算子$A$和$K$，我们有$\|f(A-K)-2f(A)+f(A+K)\|\le\const\|K\|$。对于所有的Hölder-Zygmund类$Ł_\a(\R)$，$\a>0$，我们也得到了类似的结果。然后，我们找到了一个尖锐的估计$\|f(A)-f(B)\|$的功能$f$类$Ł_ø\df\{f: ø_f(\d)\le\constø(\d)\}$的任意模的连续$ø$。特别是，我们研究了连续性的模，其中$\|f(A)-f(B)\|\le\constø(\|A-B\|)$为自伴$A$和$B$，并为$Ł_ø$中的任意函数$f$。我们得到了类似的估计的交换子$f(A)Q-Qf(A)$和拟交换子$f(A)Q-Qf(B)$。最后，我们估计范数的有限差分$\sum\limits_{j=0}^m(-1)^{m-j}(m j)f\big(A+jK\big)$的$f$类$Ł_{ø,m}$是定义在有限差分和…
An alternative proof of the a priori $\tanΘ$ Theorem
设$A$是可分Hilbert空间中的自伴算子。假设$A$的谱由两个孤立的分量$σ_0$和$σ_1$构成，使得集合$σ_0$位于集合$σ_1$的有限间隙中。假设$V$是$A$的有界加性自伴扰动，关于划分${\rm spec}(A)=σ_0 \cup σ_1$非对角。已知如果$\|V\|<\sqrt{2}{\rm dist}(σ_0,σ_1)$，则扰动算子$L=A+V$的谱由两个不相交的部分$ω_0$和$ω_1$组成，它们源自相应的初始谱子集$σ_0$和$σ_1$。此外，对于分别与谱集$σ_0$和$ω_0$相关联的$A$和$L$的谱投影$E_A(σ_0)$和$E_{L}(ω_0)$的差异，以下尖锐的范数界成立：$$\|E_A(σ_0)-E_{L}(ω_0)\|\leq\sin\left(\arctan\frac{\|V\|}{{\rm dist}(σ_0,σ_1)}\right).$$本文给出了$\|V\|<{\rm dist}(σ_0,σ_1)$的这个界的新证明.
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