固定迹Laguerre β系综的最小本征值分布

正交和辛Laguerre型系综的普适性

Universality for orthogonal and symplectic Laguerre-type ensembles

我们给出了一个证明的普适性猜想正交（β =1）和辛（β =4）的Laguerre型随机矩阵合奏的大部分频谱，以及在硬和软的频谱边缘。我们的结果在引言中有精确的陈述（定理1.1，1.4，1.6和推论1.2，1.5，1.7）。它们涉及适当重新缩放的内核K_{n,beta}，相关和集群功能，间隙概率和最大和最小特征值的分布。第四作者在[23]中证明了酉（β =2）Laguerre型系综的相应结果。在[13]中分析了硬谱边缘处的变权重情况，其中β =2：在本文中，我们不考虑变权重。我们的证明密切遵循前两位作者的工作，他们在[7]，[8]中给出了Hermite型系综的类似结果。与[7]，[8]一样，我们使用[25]，[22]中提出的正交多项式方法来分析局部特征值统计量。拉盖尔型正交多项式的必要渐近信息取自[23]。

拉盖尔β-系综在下边缘的软边缘极限

Soft edge limit of the Laguerre beta-ensemble at the lower edge

研究拉盖尔β-系综在下边缘的软边缘极限，通过不同条件下的方法证明其在特定参数变化时收敛到\(\text{Airy}_{\beta}\)过程，完善边缘缩放极限情况，还能证明相关算子层面极限及给出不同条件下的论证。

规则或固定迹复Wishart-Laguerre系综的最小本征值密度和耦合踢顶中的纠缠

Smallest eigenvalue density for regular or fixed-trace complex Wishart-Laguerre ensemble and entanglement in coupled kicked tops

最小特征值的统计行为具有重要的影响，系统可以使用Wishart-Laguerre合奏，定期或固定的跟踪之一。例如，Wishart-Laguerre系综的最小特征值的密度在表征多信道电信系统中起着至关重要的作用。类似地，在量子纠缠问题中，固定迹系综的最小本征值携带关于纠缠性质的信息。对于实Wishart-Laguerre矩阵，存在Edelman提出的一个简洁的递推格式，可以直接得到最小特征值密度的精确表达式。在复杂的Wishart-Laguerre矩阵的情况下，为找到最小特征值密度的精确和明确的表达式，现有的结果的基础上的决定因素变得不切实际时，涉及大型矩阵的决定因素。在这项工作中，我们推导出一个递归计划的复杂情况下，这是类似于埃德尔曼的真实情况。这是用来获得准确的结果，为最小的本征值密度的定期，和固定的跟踪复杂的Wishart-Laguerre合奏。我们使用蒙特卡罗模拟验证我们的分析结果。我们还研究了缩放的Wishart-Laguerre系综，并探讨其在近似固定轨迹系综的有效性。最后，我们应用我们的结果为固定的轨迹合奏调查的最小本征值的耦合踢顶的典范系统的行为。

$β$ -Wishart-Laguerre系综最小特征值密度的递推

Recursion for the smallest eigenvalue density of $β$-Wishart-Laguerre ensemble

Wishart-Laguerre系综最小特征值的统计从几个角度来看是重要的。最小的特征值密度通常可以用行列式或Pfweian来表示。这些结果对于理解Wishart-Laguerre系综的谱行为具有极其重要的意义，除其他外，还揭示了渐近极限中潜在的普适性方面。然而，如果涉及到大维数矩阵，通过展开行列式或Pfumerans获得精确和显式的表达式变得不切实际。对于实矩阵（$β=1$），Edelman提供了一种有效的递推方法，可以得到不涉及行列式或矩阵的最小特征值密度的精确而明确的结果。最近，一个类似的递归计划已经获得了复杂的矩阵（$β=2$）。在目前的工作中，我们扩展到$β$ -Wishart-Laguerre合奏的情况下，指数$α$在相关的Laguerre权重函数，$λ^αe^{-βλ/2}$，是一个非负整数，而$β$是正实数。这也使访问固定轨迹$β$ -Wishart-Laguerre合奏的最小特征值密度，以及这两种情况下的时刻。此外，与较早的结果的最小特征值密度在某些超几何函数的矩阵参数的结果在一个有效的方式来评估这些明确。对大值的$n$（矩阵维数）和$α$的精确评估也使我们能够与Tracy-Widom密度和Katzav和Castillo的大偏差结果进行比较。我们还使用我们的结果，以获得密度的最大的适当的延迟时间是Wigner-Smith矩阵的本征值和量子混沌散射的问题有关。

偶数拓扑实Wishart-Laguerre包络的最小特征值分布

The Smallest Eigenvalue Distribution in the Real Wishart-Laguerre Ensemble with Even Topology

我们考虑矩形随机矩阵的大小$p\times n$属于真正的Wishart-Laguerre系综也被称为手征高斯正交系综。这个系综出现在许多应用中，如QCD，介观物理和时间序列分析。我们特别感兴趣的是最小的非零特征值的分布和间隙概率，找到没有特征值的间隔$[0,t]$。对于奇拓扑$ν=n-p$，已知有限和无限矩阵大小的显式封闭结果，而对于偶拓扑$ν>2$，只有$p$中的递归表达式可用.一般偶拓扑$ν$的最小特征值分布以及间隙概率等价于特征多项式的期望值提升到半整数.这种平均值的计算是通过斜正交多项式和玻色子化方法的组合来完成的。结果给出了在有限的$p$和硬边缩放限制（$p\to\infty$和$ν$固定）的任意偶拓扑$ν$的Pfalan行列式。相关Wishart合奏的数值模拟说明了我们的结果在这个特定的限制的普遍性。这些模拟点的有效性的硬边缘缩放限制以外的不变的情况下。

有或无固定迹的Wishart-Laguerre系综的紧致最小特征值表达式

Compact smallest eigenvalue expressions in Wishart-Laguerre ensembles with or without fixed-trace

二分量子系统中随机纯态的纠缠度可以根据极端施密特本征值的分布来估计。对于大小为M \geq N的二分区，这些根据大小为N × M的随机矩阵的Wishart-Laguerre系综（WL）分布，具有固定的迹约束。我们首先计算任意M \geq N的固定迹正交WL系综中最小特征值的分布和矩。我们的方法是基于拉普拉斯反演的递归结果为相应的正交WL合奏Edelman。对于固定的N和M给出了显式例子，推广和简化了早期的结果。在M-N固定的微观大N极限下，正交和酉WL分布在适当的重新标度后表现出普适性，因此与约束无关。我们证明，最近的结果在超几何函数的矩阵参数是等价的更明确的表达在Pfiran或行列式的贝塞尔函数。虽然后者大多是已知的随机矩阵文献的QCD狄拉克算子谱，我们也得到了一些新的结果在正交对称类。

Beta集成的矩阵模型

Matrix Models for Beta Ensembles

本文构造了一般（$β>0$）、$β$ -Hermite（Gaussian）和$β$ -Laguerre（Wishart）系综的三对角随机矩阵模型.这些推广了$β= 1,2,4$的众所周知的高斯和Wishart模型。此外，在$β$ -Laguerre系综的情况下，我们消除了先前已知模型中存在的指数量化。我们进一步讨论了新的矩阵模型的应用，并提出了一些开放的问题。

随机矩阵Wishart-Laguerre系综的幂律变形

Power-law deformation of Wishart-Laguerre ensembles of random matrices

本文对Dyson指数β = 1，2和4的正定随机矩阵的Wishart-Laguerre系综或手征系综进行了单参数变形.我们的广义模型具有厚尾分布，同时保持正交，酉或辛变换下的不变性。的频谱特性推导出解析有限矩阵大小NXM的所有三个β，在标准的Wishart-Laguerre系综的正交多项式。对于大N，在一定的双标度极限下，我们得到了宏观尺度上的广义Marcenko-Pastur分布和硬边处的广义Bessel定律，该定律具有普适性.宏观和微观关联都表现出幂律尾，其中微观极限取决于β和M-N之差。在我们的参数控制的幂律趋于无穷大的极限，我们恢复的Wishart-Laguerre合奏的相关性。为了说明这些发现的广义Marcenko-Pastur分布是非常好的协议与金融协方差矩阵的经验数据。

Laguerre $β$系综硬边的有限尺寸修正

Finite size corrections at the hard edge for the Laguerre $β$ ensemble

随机矩阵理论中的一个基本问题是量化收敛到普遍规律的最佳速度。我们采取了这个问题的Laguerre $β$合奏，其特征在于戴森参数$β$，和Laguerre重量$x^a e^{-βx/2}$，$x > 0$在硬边极限。后者涉及在缩放变量$x \mapsto x/4N$中原点附近的特征值。以前的工作已经建立了各种统计量的相应函数形式-例如最小特征值的分布，条件是$a \in \mathbb Z_{\ge 0}$。我们表明，使用多维超几何函数的理论基础上的杰克多项式，修改的硬边缩放$x \mapsto x/4(N+a/β)$，收敛到极限分布的速度是$O(1/N^2)$，这是最佳的。在$β= 2$，一般$a> -1$的情况下，可以计算在这个顺序的最小特征值的分布的显式函数形式，因为它可以为$a=1$和一般$β> 0$。本文提出了一种迭代格式来数值逼近一般$a \in \mathbb Z_{\ge 2}$的函数形式。

Painlevé V、Painlevé XXXIV和退化拉盖尔酉包络

Painlevé V, Painlevé XXXIV and the Degenerate Laguerre Unitary Ensemble

本文研究了退化Laguerre酉系综的Hankel行列式。这个问题源于退化拉盖尔酉系综的最大或最小本征值分布。给出了关于一般扰动权的梯形算子及其相容条件。通过将梯形算子应用到我们的问题中，我们得到了两个辅助量$R_n(t)$和$r_n(t)$，并证明了它们满足耦合的Riccati方程，由此我们发现$R_n(t)$满足Painlevé V方程.证明了与Hankel行列式的对数导数有关的量$σ_{n}(t)$满足Painlevé V的连续和离散Jimbo-Miwa-Okamoto $σ$-形式。最后，利用Dyson的库仑流体方法，考虑了问题在软边处的大$n$渐近行为，从而得到Painlevé XXXIV方程。

随机雅可比矩阵的谱测度与β集合在高温下的狄利克雷过程关系

The spectral measures of random Jacobi matrices related to beta ensembles at high temperature and Dirichlet processes

本文研究了高温下β集合随机雅可比矩阵的谱测度，证明其收敛于狄利克雷过程并提供显式谱测度的例子。

Freezing Limits for Beta-Cauchy Ensembles

Bessel processes associated with the root systems $A_{N-1}$ and $B_N$ describe interacting particle systems with $N$ particles on $\mathbb R$; they form dynamic versions of the classical $β$-Hermite and Laguerre ensembles. In this paper we study corresponding Cauchy processes constructed via some subordination. This leads to $β$-Cauchy ensembles in both cases with explicit distributions. For these distributions we derive central limit theorems for fixed $N$ in the freezing regime, i.e., when the parameters tend to infinity. The results are closely related to corresponding known freezing result…

Wishart复矩阵最小特征值极限分布的有限N修正

Finite N corrections to the limiting distribution of the smallest eigenvalue of Wishart complex matrices

本文研究了Laguerre-Wishart矩阵$W = X^\dagger X$的最小特征值的概率分布函数，其中$X$是一个随机$M \times N$（$M \geq N$）矩阵，元素与复高斯无关.我们计算这个PDF的半经典正交多项式，这是变形的拉盖尔多项式。通过分析这些多项式，及其相关的递归关系，在大$N$的限制，大$M$与$M/N \to 1$ -即准正方形大矩阵$X$ -我们表明，这种PDF，在硬边极限，可以表示在一个Painlevé III方程的解决方案，发现特雷西和Widom，使用Fredholm运营商技术。此外，我们的方法使我们能够明确计算的第一个$1/N$修正这个限制分布在硬边。我们的计算证实了Edelman，Guionnet和Péché最近的一个猜想。我们还研究了软边极限，当$M-N \sim {\cal O}(N)$，为此，我们推测的形式的第一个修正的极限分布的最小特征值。

关于与β系综相关的某些矩阵的平均态密度及在Toda晶格中的应用

On the mean Density of States of some matrices related to the beta ensembles and an application to the Toda lattice

本文研究高温区域β系综相关三对角随机矩阵，证明经验谱分布收敛并显式计算平均态密度，应用于Toda晶格Lax矩阵。

Laguerre酉系综的最大特征值分布

The largest eigenvalue distribution of the Laguerre unitary ensemble

我们研究了n × n矩阵的Laguerre酉系综的所有特征值都在0和t之间的概率，即，最大特征值分布与该概率相关联，在正交多项式的梯形算子方法中，存在递归系数，即αn（t）和\b{eta} n（t），以及三个辅助量，由rn（t）、Rn（t）和sigma n（t）表示。我们建立了β n（t）和rn（t）的二阶微分方程。通过研究当alpha = O（n）as n时的软边缘缩放极限！1或α是有限的，我们得到一个PII，西格玛形式，和渐近解的概率。此外，我们开发的正交多项式Pn（z）对应的LUE和GUE的最大特征值分布的n有限或大的微分方程。当n较大时，给出了常微分方程奇点附近的渐近公式.此外，我们能够推导出一个特殊的情况下，Chazy方程的rho（t）= d/dt（capsigma（t），capsigma（t）满足的PIV或PV的sigma形式。1我

Cauchy-Laguerre双矩阵模型与Meijer-G随机点场

Cauchy-Laguerre two-matrix model and the Meijer-G random point field

我们适用于一般理论的柯西双正交多项式以前开发的作者，与Laguerre措施的情况下。特别是，我们获得明确的公式Meijer-G函数的所有关键对象相关的研究相应的双正交多项式和柯西两矩阵模型与他们。我们证明的中心定理是：在原点附近本征值的相关函数存在一个标度极限，并由一个新的行列式二层随机场--“Meijer-G随机场“给出.我们猜想，这个随机点场导致一个新的普适性类的随机场参数化指数的拉盖尔重量。我们用合适的弗雷德霍姆行列式表示了最小特征值的联合分布，并对它们进行了数值计算。在适当的极限下，Meijer-G随机场收敛到Bessel随机场，从而两个矩阵之一的特征值的行为收敛到Laguerre系综的特征值的行为.

随机Bessel算子的普适性

Universality of the Stochastic Bessel Operator

假设背景势V是一个多项式，使得x -> V（x^2）是一致凸的，并且β大于或等于1，我们建立了一般β系综在硬边的普适性。该方法依赖于相应的三对角矩阵模型，表明其适当的连续标度极限是由随机贝塞尔算子。由Edelman-Sutton提出并由Ramirez-Rider严格建立的后者刻画了线性势和所有Beta（经典的“beta-Laguerre”系综）情形下的硬边

高温下的经典 beta 系综及相关特征值过程与 Markov–Krein 变换

Classical beta ensembles and related eigenvalues processes at high temperature and the Markov--Krein transform

本文利用 Markov–Krein 变换刻画经典 beta 系综及其特征值过程在高温下的极限，识别出三类系综对应的极限测度及测度值过程。

关于LUE的最小eigenvalue分布在硬边展开的一个注记

A note on the expansion of the smallest eigenvalue distribution of the LUE at the hard edge

在最近的一篇论文中，Edelman、Guionnet和Péché在硬边标度极限中，对$n$阶拉盖尔酉系综（LUE）的最小特征值分布给出了一个特殊的$n^{-1}$修正项：具体地说，极限分布的导数，即密度，出现在该修正项中。我们给出了一个简短的证明，通过修改硬边缩放，以实现最佳的$O(n^{-2})$收敛速率的最小特征值分布。导数的出现随后是次优的标准硬边缩放的泰勒展开。我们涉及的$n^{-1}$校正项进一步的对数导数的贝塞尔内核弗雷德霍姆行列式在工作的特雷西和Widom。

Jacobi Beta 系综与 $b$-Hurwitz 数

Jacobi Beta Ensemble and $b$-Hurwitz Numbers

本文建立了 Jacobi $β$ 系综相关子与 $b$-Hurwitz 数之间的联系，借助 Selberg 积分的 Kadell 推广完成证明，并通过有色单调 Hurwitz 映射给出组合解释及 Laguerre 极限。

The boundary of the orbital beta process

The unitarily invariant probability measures on infinite Hermitian matrices have been classified by Pickrell, and by Olshanski and Vershik. This classification is equivalent to determining the boundary of a certain inhomogeneous Markov chain with given transition probabilities. This formulation of the problem makes sense for general $β$-ensembles when one takes as the transition probabilities the Dixon-Anderson conditional probability distribution. In this paper we determine the boundary of this Markov chain for any $β\in (0,\infty]$, also giving in this way a new proof of the classical $β=2$ …

Beta-Jacobi系综的极限定理

Limit Theorems for Beta-Jacobi Ensembles

对于由参数a_1，a_2和n确定的β-Jacobi系综，在这三个参数趋于无穷大且n和a_1是a_2的小阶数的限制下，我们得到了体尺度极限和边尺度极限。特别地，我们得到了最大和最小特征值的渐近分布，特征值的中心极限定理，以及特征值经验分布的极限分布.

传输特征值的矩、固有延迟时间与随机矩阵理论I

Moments of the transmission eigenvalues, proper delay times and random matrix theory I

本文给出了一种计算有限维数n的Gauss系综、Laguerre系综和Jacobi系综中所有对称类β = 1，2，4的矩阵特征值密度的矩的方法. Jacobi系综的矩具有物理解释，即电子通过具有混沌动力学的量子点的传输本征值的矩。对于拉盖尔系综，我们还评估有限n负矩。在物理上，它们对应于适当的延迟时间的时刻，这是维格纳-史密斯矩阵的特征值。我们的公式非常适合于n ->无穷大时的渐近分析。

相互作用Bessel过程的两个极限区

Two limiting regimes of interacting Bessel processes

我们考虑相互作用的贝塞尔过程，一个家庭的多粒子系统在一个维度的粒子演变为个人贝塞尔过程和排斥通过一个对数势。我们考虑这个家庭的两个主要参数：逆温度β和贝塞尔指数nu的两个限制制度。我们得到的时间尺度的稳态分布的情况下，β或nu是大的，但有限的过程。特别是，对于大β，我们表明，系统的稳态分布对应于随机矩阵的β-Laguerre系综的本征值分布。我们还估计了在这两种情况下的弛豫时间的稳定状态。我们发现，在冻结区域β->无穷大，粒子的标度最终位置被锁定在参数为nu-1/2的Laguerre多项式的零点的平方根上，而在区域nu->无穷大，我们证明了粒子的标度最终位置收敛到一个点.为了得到我们的结果，我们使用了Dunkl算子理论，特别是B型缠绕算子。我们推导出一个以前未知的表达式，该运营商和研究其行为在这两个限制制度。利用纠缠算子的这些极限形式，我们得到了过程的稳态分布、弛豫时间的估计和极限行为。

关于零温度下Jacobi族极值本征值的极限

On the extremal eigenvalues of Jacobi ensembles at zero temperature

本文研究了零温度下Jacobi族极值本征值的极限，通过Bessel函数推导了冻结情况下的协方差极限，对应于硬边分析和有限β的结果。

随机酉系综极端特征值分布的Edgeworth展开

Edgeworth expansions of extreme eigenvalue distributions for random unitary ensembles

本文建立随机酉系综极端特征值分布的Edgeworth展开，揭示修正项的普适结构，并给出最大和最小特征值分布的完全展开。

随机矩阵的Benjamini-Schramm收敛性与极限eigenvalue密度

Benjamini-Schramm convergence and limiting eigenvalue density of random matrices

我们回顾了局部有限随机有根图上的局部收敛概念（称为Benjamini-Schramm收敛）在计算随机矩阵的β-Gaussian和β-Laguerre系综的全局特征值密度中的应用。将一个随机矩阵看作图的加权邻接矩阵，并以均匀概率选取这类图的根，利用Benjamini-Schramm极限可以得到极限图的邻接算子的谱测度.我们说明了如何维格纳循环法和马琴科-帕斯托尔定律是从这个机器。

Gauss酉系综和Jacobi酉系综的渐近间隙概率分布

Asymptotic Gap Probability Distributions of the Gaussian Unitary Ensembles and Jacobi Unitary Ensembles

本文研究酉系综中的一类问题。具体地说，我们研究的概率，间隙对称约0，即$(-a,a)$被发现在高斯酉系综（GUE）和雅可比酉系综（JUE）（其中，在JUE，我们采取的参数$α=β$）。通过利用权重的偶奇偶性，对于GUE，将间隔加倍为$(a^2,\infty)$，对于GUE，将间隔加倍为$(a^2,1)$。（对称的）JUE，表明间隙概率可以被确定为具有参数$α=-1/2,$和$α=1/2$的LUE和具有权重$x^{1/2}(1-x)^β$和$x^{-1/2}(1-x)^β$的（移位的）JUE的最小本征值分布的乘积。$σ$函数，即，有限$n$ LUE或JUE的最小本征值分布的对数的导数满足$P_{V}$和$P_{VI}$的Jimbo-Miwa-Okamoto $σ$形式，尽管在移位雅可比的情况下，在权重为$x^α(1-x)^β,$的情况下，$β$参数没有出现在方程中。通过适当的双标度化，得到了Laguerre酉系综和Jacobi酉系综的最小特征值分布的渐近展开式，并得到了间隙概率渐近展开式中的常数，这些常数用在特殊点赋值的Barnes $G-$函数表示.

beta=1和beta=4椭圆Ginibre系综的插值Airy核

The Interpolating Airy Kernels for the beta=1 and beta=4 Elliptic Ginibre Ensembles

我们考虑两个家庭的非Hermitian高斯随机矩阵，即椭圆Ginibre合奏的非对称N × N矩阵与戴森指数β =1（实元素）和β =4（四元数实元素）。这两个合奏已经解决了有限N使用斜正交多项式的方法，给出了这些特定的合奏在复平面上的厄米多项式。本文研究了每个系综在最大或最小实本征值附近的微观弱非厄米大N极限。具体来说，我们推导出限制矩阵核为每种情况下，从所有的特征值关联函数可以确定。我们称这些新的内核的“插值”艾里内核，因为我们可以恢复-作为相反的限制情况下-不仅是众所周知的艾里内核的厄米特合奏，但也互补的误差函数和泊松内核的最大非厄米特合奏在边缘的频谱。连同已知的插值艾里内核β =2，我们重新推导这里，以及，这完成了所有三个椭圆Ginibre合奏在光谱边缘的微观尺度限制的分析。

探索连续β系综：用于随机矩阵谱统计的Python实现

Exploring continuous beta-ensembles: A Python implementation for random matrix spectral statistics

该研究开发了用于采样随机矩阵理论中β系综的开源Python包，实现了相关构造，提供谱统计分析工具，并通过数值实验验证了β作为连续拟合参数等内容。

轨道Beta过程角点的普适性态

Universal behavior of the corners of Orbital Beta Processes

有一个唯一的酉不变系综的$N\times N$厄米特矩阵与一个固定的一组实特征值$a_1 > \dots > a_N$。来自该系综的随机矩阵的左上方主子阵的$(N - 1)$的联合特征值分布称为轨道幺正过程。有对称和四元数埃尔米特矩阵的类似矩阵合奏，导致轨道正交和辛过程，分别。通过外推，在基场的维数，显式密度公式，我们定义的轨道β过程。证明了当$m$独立于$N$时，最小$m$主子阵的虚特征值的普适性，并证明了重新标度后的经验测度弱收敛.限制对象是高斯β角点过程。作为我们的方法的副产品，我们证明了多元贝塞尔函数的渐近定理。

β-加法的Airy极限通过Dunkl算子

Airy limit for $β$-additions through Dunkl operators

本文通过Dunkl算子研究β-加法的Airy极限，扩展了β集合边缘极限的普遍性结果，并通过贝塞尔函数和矩信息获得Airy(β)的极限表达式。

条件 GinUE 的自由能展开与 LUE 最小特征值的大偏差

Free energy expansions of a conditional GinUE and large deviations of the smallest eigenvalue of the LUE

本文研究带对数奇点外势的条件复 Ginibre 系综，推导两种连通区域中自由能的大 N 展开，并据此得到特征多项式矩渐近及 LUE 最小特征值大偏差。

GUE和LUE的极值特征值分布所满足的偏微分方程

PDEs satisfied by extreme eigenvalues distributions of GUE and LUE

本文研究了$\textsf{Prob}(n,a,b),$有限$n$酉系综的所有特征值位于区间$(a,b)$内的概率。这与最大特征值小于$b$且最小特征值大于$a$的概率相同。本文证明了与$\textsf{Prob}(n,a,b)$有关的一个量，即高斯幺正包络（GUE）中的$$ H_n(a,b):=\left[\frac{\partial}{\partial a}+\frac{\partial}{\partial b}\right]\ln\textsf{Prob}(n,a,b),$$和拉盖尔幺正包络（LUE）中的$$ H_n(a,b):=\left[a\frac{\partial}{\partial a}+b\frac{\partial}{\partial b}\right]\ln \textsf{Prob}(n,a,b),$$，对于固定的$n$满足一定的非线性偏微分方程，将$H_n(a,b)$解释为$a$和$b$的函数.这些偏微分方程可以分别看作是Painlevé IV和Painlevé V系统的两个变量的推广。作为我们的结果的应用，我们给出了一个分析证明，GUE和LUE的极端特征值，适当的中心和缩放，是渐近独立的。

Jacobi系综的极值特征值分布：新的精确表示、渐近性和有限尺寸修正

Extreme Eigenvalue Distributions of Jacobi Ensembles: New Exact Representations, Asymptotics and Finite Size Corrections

设$\mathbf{W}_1$和$\mathbf{W}_2$分别是具有$m_1$和$m_2$自由度的独立$n\times n$复中心Wishart矩阵.本文研究了双Wishart矩阵$(\mathbf{W}_1+\mathbf{W}_2)^{-1}\mathbf{W}_1$的极值特征值分布，它类似于F矩阵${\bf W}_1 {\bf W}_2^{-1}$和Jacobi酉系综（JUE）的极值特征值分布.定义了$α_1=m_1-n$和$α_2=m_2-n$，我们得到了新的精确分布公式的$(α_1+α_2)$维矩阵行列式，元素涉及的衍生物勒让德多项式。这提供了方便的精确表示，同时便于使用固定的$α_1$和$α_2$（即，在所谓的“硬边”缩放限制下）;分析是基于勒让德多项式的新的渐近性质及其与贝塞尔函数的关系，在这里建立。具体来说，我们提出了限制公式的最小和最大的本征值分布为$n \to \infty$的$α_1$ -和$α_2$ -维行列式分别，这与预期的一致，从已知的普遍性结果，涉及的觉和拉盖尔酉系综（LUE）。我们还得到有限$n$修正的渐近极值特征值分布硬边标度下，通过比较最近获得的LUE相应的校正项，给出了新的见解的普遍性。我们的推导是基于基本的代数操作，不同于现有的结果双Wishart和相关的模型，往往涉及Fredholm行列式，Painlevé微分方程，或超几何函数的矩阵参数…

硬球微正则系综中的速度和能量分布

Velocity and energy distributions in microcanonical ensembles of hard spheres

在微正则系综中（恒定的$NVE$，硬反射壁）和分子动力学系综（常数$NVE\mathbf{PG}$，周期性边界条件），在具有总能量$E$、总动量$\mathbf{P}$和总质心位置$\mathbf{G}$的$d$维体积$V$中具有多个$N$的光滑弹性硬球，各个速度分量，速度模量，和能量具有不同的自变量和形状参数，这取决于$d$、$N$、$E$、边界条件和初始条件中可能的对称性。这可以通过边缘化个体能量的联合分布来证明，这是一个对称的狄利克雷分布。在热力学极限中，β分布收敛于具有不同自变量和形状或尺度参数的γ分布，分别对应于高斯分布，即，Maxwell-Boltzmann，Maxwell，Boltzmann或Boltzmann-Gibbs分布。这些分析结果与分子动力学和蒙特卡罗模拟在不同数目的硬盘或球和硬反射壁或周期性边界条件下的结果一致。该协议是完美的与我们的Monte Carlo算法，它只作用于速度独立的位置与碰撞versor采样均匀的单位半球在$d$尺寸，而轻微的偏差出现与我们的分子动力学模拟的最小值的$N$。

随机纯态：超越线性统计的二体纠缠量化

Random pure states: quantifying bipartite entanglement beyond the linear statistics

我们分析了一个量子系统的纠缠随机纯态的性质分为两个较小的子系统的尺寸$N$和$M$。框架的随机矩阵与固定的跟踪约束的问题，我们建立，对于任意的$N \leq M$，$n$点密度和交叉矩的约化密度矩阵的特征值，即所谓的施密特特征值，和随机矩阵理论的Wishart-Laguerre系综的特征值的类似泛函之间的一般关系。这使我们能够得到明确的表达式为两个级别的密度，也是一个精确的表达冯诺依曼熵的方差在有限的$N,M$。然后，我们专注于施密特数$K$的时刻$\mathbb{E}\{K^a\}$，纯度的倒数。这是$[1,N]$支持的随机变量，它量化了对纠缠有效贡献的自由度的数量。我们得出了丰富的分析结果$\mathbb{E}\{K^a\}$的$N = 2$和$N=3$和任意$M$，也为平方$N = M$系统，为后者发现一个连接的概率$P(x_{min}^{GUE} \geq \sqrt{2N}ξ)$的最小特征值$x_{min}^{GUE}$的$N\times N$矩阵属于高斯酉Entrance大于$\sqrt{2N}ξ$。作为副产品，我们提出了一个精确的渐近展开$P(x_{min}^{GUE} \geq \sqrt{2N}ξ)$有限$N$为$ξ\to \infty$。我们的结果证实了数值模拟只要有可能，具有良好的协议。