Gabor Shearlets
在本文中，我们介绍了伽柏剪切波，剪切波系统的一个变种，这是基于不同的组表示比以前的剪切波结构：他们结合元素从伽柏和小波框架在其建设。因此，它们可以用小波理论的标准滤波器结合标准Gabor窗口来实现。与通常的shearlets不同，新的结构可以实现所需的冗余度。我们的结构遵循剪羊毛的一般策略。首先，我们定义基于组的Gabor shearlets，然后修改它们的锥适应的版本。与Meyer滤波器相结合，锥适应的Gabor剪切波构成了一个紧密的框架，并提供了低冗余稀疏近似的各向异性功能，这是卡通功能的共同模型类。
2013-03-26 math.FA
Analysis vs. synthesis sparsity for $α$-shearlets
有两个与帧$Ψ=(ψ_i)_{i\in I}$相关的稀疏性概念：$f$的分析稀疏性意味着分析系数$(\langle f,ψ_i\rangle)_i$是稀疏的，而合成稀疏性意味着$f=\sum_i c_iψ_i$具有稀疏系数$(c_i)_i$。这里，$c=(c_i)_i$的稀疏性意味着给定$p<2$的$c\in\ell^p(I)$。我们表明，这两个概念的稀疏性相吻合，如果$Ψ={\rm SH}(φ,ψ;δ)$是一个离散的（锥适应）剪切帧与“好”发电机$φ,ψ$和足够精细的采样密度$δ>0$。所需的“尼斯”是明确量化的傅立叶衰减和消失的时刻条件。准确地说，我们发现，合适的剪切波系统同时提供Banach框架和原子分解的剪切波光滑空间$\mathscr{S}_s^{p,q}$引入Labate等人。因此，成员在$\mathscr{S}_s^{p,q}$是同时相当于分析稀疏和合成稀疏w.r.t.剪羊毛的框架。作为一个应用程序，我们证明了剪切产生（几乎）最佳逼近率的卡通函数$f$：如果$ε>0$，那么$\Vert f-f_N\Vert_{L^2}\lesssim N^{-(1-ε)}$，其中$f_N$是一个线性组合的N剪切。这似乎是众所周知的，但现有的证明只建立这个近似率w.r.t. $Ψ$的双$\tildeΨ$，而不是w.r.t. $Ψ$本身。这并不完全令人满意，因为$\tildeΨ$的属性（…
2017-02-12 math.FA
Continuity properties of the shearlet transform and the shearlet synthesis operator on the Lizorkin type spaces
我们开发了一个分布框架的剪切波变换$\mathcal{S}_ψ\colon\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)\to\mathcal{S}(\mathbb{S})$和剪切波合成算子$\mathcal{S}^t_ψ\colon\mathcal{S}(\mathbb{S})\to\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$，其中$\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$是Lizorkin测试函数空间和$\mathcal{S}(\mathbb{S})$是高度本地化的测试功能的标准剪切波群$\mathbb{S}$的空间。这些空间和它们的子空间$\mathcal{S}_0^\prime (\mathbb R^2),\, \mathcal{S}^\prime (\mathbb{S})$称为Lizorkin型检验函数和分布空间。当容许向量$ψ$属于$\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$时，我们分析了这些变换的连续性。然后，我们定义了Lizorkin型分布的剪切波变换和剪切波合成算子，分别作为剪切波合成算子和剪切波变换的转置映射。它们产生从$\mathcal{S}_0^\prime (\mathbb R^2)$到$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{S})$和从$\mathcal{S}^\prime (\math…
2020-05-06 math.FA
Democracy of shearlet bases with applications to approximation and interpolation
圆锥体上的剪切波为$L^2$提供了Parseval标架。它们还为类$\mathcal{E}$的卡通图像提供了接近最优的近似。此外，除了$L^2$之外，还存在与它们相关联的空间，并且在这些空间和经典空间之间存在嵌入。我们证明近似性质的锥适应剪切波在更一般的情况下，即，当目标函数属于一个类或空间不同的$\mathcal{E}$和错误时，不一定是测量的$L^2$ -范数，但在一个更广泛的家庭的光滑度空间的高各向异性。
2014-10-09 math.FA
Construction of Orthonormal Quasi-Shearlets based on quincunx dilation subsampling
我们考虑构造正交方向小波基的多分辨率分析（MRA）框架与梅花形膨胀下采样。我们证明了MRA中的Parseval框架性质等价于M函数上的恒等求和和移位消去条件，这本质上刻画了尺度（父）函数和所有方向（母）小波。在这两个条件的基础上，我们进一步得到了规范正交基的充分条件，并建立了一族与最小冗余剪切波系统具有相同频率支集的拟剪切波规范正交基。此外，我们研究了我们提出的基地设计的限制，由于移位取消条件。
2016-02-16 math.FA
Compactly Supported Shearlets are Optimally Sparse
类似卡通的图像，即，C^2函数除了C^2不连续曲线外是光滑的，现在已经成为测量方向表示系统的稀疏（非线性）近似特性的标准模型。它已经表明，curvelets，contourlet，以及shearlet确实表现出（几乎）最佳稀疏近似在这个模型。然而，所有这些结果仅适用于带限发生器，而特别是，空间紧支撑的发生器是最重要的应用。在本文中，我们现在提出的第一个完整的证明（几乎）最优稀疏近似的卡通图像，通过使用一个特定的类的方向表示系统，这确实是由composite支持的元素。这一类将被选为一个子集的剪切框架-不一定要求是紧-与剪切发电机具有紧凑的支持，并满足一些弱的时刻条件。
2010-08-24 math.FA
Intrinsic Localization of Anisotropic Frames II: $α$-Molecules
本文是最近的论文[Grohs，Intrinsic localization of anisotropic frames，ACHA，2013]的延续，其中建立了（双无限）矩阵的Moore-Penrose伪逆的非对角衰减性质（在文献中通常称为“局部化”），只要后者具有类似的非对角衰减性质。这个问题是特别有趣的，如果矩阵出现作为一个离散化的运营商关于一个框架或基础。以前的工作对这个问题已被限制到小波或Gabor框架。在以前的工作中，我们将这些结果推广到抛物分子的框架，包括曲波或剪切波作为特殊情况。本文通过建立$α$ -分子框架的类似性质来扩展和统一这些结果，如在最近的工作中所介绍的[Grohs，Keiper，Kutyniok，Schäfer，Alpha molecules：curvelets，shearlets，ridgelets，and beyond，Proc. SPIE. 8858，2013]。由于小波，曲波，剪切波，脊波和混合剪切波都构成的$α$ -分子的实例，我们的研究结果建立本地化的所有这些系统同时。
2014-03-06 math.FA
Simplified vanishing moment criteria for wavelets over general dilation groups, with applications to abelian and shearlet dilation groups
我们考虑与一般连续小波变换产生的平方可积，不可约的拟正则表示的半直积群$G = \mathbb{R}^d \rtimes H$的共轨理论。最近已经建立了这个非常一般的设置的coorbit空间的存在，以及具体的消失矩标准，用于分析向量和原子，可以在coorbit计划。这些标准依赖于相当技术的假设的对偶作用的伸缩组，这是本文的主要目的之一，大大简化这些假设。然后，我们继续验证膨胀组的大类的假设，特别是所有阿贝尔膨胀组，以及一类称为{ \em广义剪切波膨胀组}，包含和扩展所有已知的例子剪切波膨胀组中采用的二维和更高的。我们解释了如何这些群体可以系统地从某些交换结合代数相同的维度，并给出了一个完整的列表，共轭，剪切群的三维和四维。在后一种情况下，出现了三个以前未知的群体。其结果是存在的Banach框架组成的紧支撑小波，同时收敛在整个范围内的coorbit空间，建立了所有涉及的群体。
2015-05-20 math.FA
Optimally sparse approximations of 3D functions by compactly supported shearlet frames
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
针对三维各向异性结构，引入广义三维卡通图像模型，通过金字塔自适应混合剪切波系统构造L^2(R^3)框架，在光滑参数1<α≤β≤2范围内实现近乎最优的稀疏逼近率。
2012-06-04 cs.IT cs.NA math.FA
On the sample complexity of Fourier compressed sensing: wavelets versus shearlets
University of Genoa（热那亚大学）；University of Bonn（波恩大学）
研究比较剪切波与小波在傅里叶压缩感知中的性能，探讨稀疏性差异对重建所需傅里叶测量数量的影响，通过理论分析和数值实验发现，虽剪切波逼近率高，但实际样本复杂度与小波相当。
2026-07-23 cs.IT math.FA math.IT
Regularization and Numerical Solution of the Inverse Scattering Problem using Shearlet Frames
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文探讨了二维逆散射问题的正则化技术，利用剪切框架对 cartoon-like 函数进行正则化，分析了非线性与线性问题的求解方法，并通过数值实验验证了算法的有效性。
2016-05-04 cs.NA math.AP math.FA
Parabolic Molecules
各向异性分解使用的表示系统的基础上，抛物线缩放，如curvelets或shearlets最近吸引了显着增加的关注，由于事实上，他们被证明提供最佳稀疏近似的功能表现出奇异性的低维嵌入流形。文献现在包含各种直接证明这一事实和相关的稀疏近似结果。然而，它似乎是相当麻烦的证明这样一个标准的结果，为每个系统分别，而许多系统表现出一定的相似性。在本文中，随着{ \em抛物分子}的概念的引入，我们的目标是提供一个全面的框架，其中包括通常采用的表示系统的基础上抛物标度，如curvelets和shearlets。结果表明，抛物分子对具有在特定意义下几乎正交的基本性质。然后，这一结果被应用到分析抛物分子相对于他们的能力，稀疏近似的各向异性特征所支配的数据。为此，{ \em稀疏等价}的概念被引入，这是允许识别的一大类抛物分子提供相同的稀疏近似结果的曲波和剪切波。最后，作为另一个应用程序，光滑空间与抛物分子的介绍提供了一个一般的理论方法，甚至导致新的结果，例如，compartly支持剪切波。
2012-06-09 math.FA
Shearlets and Optimally Sparse Approximations
Institute of Mathematics, University of Osnabrück（奥斯纳布吕克大学数学研究所）
本文综述了利用带限和紧支撑剪切波框架对卡通图像进行最优稀疏逼近的理论与方法，证明了剪切波系统在二维和三维中唯一能实现此类逼近的最优性。
2011-08-05 cs.IT cs.NA math.FA
Anisotropic Multiscale Systems on Bounded Domains
我们构造了有界域上的多尺度系统--$Ω\subset \mathbb{R}^2$边界剪切波系统，它满足一些有利于应用于成像科学和偏微分方程数值分析的性质.更确切地说，我们构建边界剪切波系统，形成框架的Sobolev空间$H^s(Ω),s\in \mathbb{N} \cup \{0\},$与可控的框架界限，并承认最佳稀疏近似的功能，这是光滑的，除了曲线状的不连续性。我们表明，所构建的系统允许将边界条件。此外，对于$s \geq 0$和$f\in H^s(Ω)$，我们证明了$f$的$L^2-$分析系数的加权$\ell^2$范数等价于它的$H^s(Ω)$范数.特别地，这产生了重加权系统也是用于$H^{-s}(Ω)$的帧。此外，我们证明了数值，相关的$L^2-$合成运营商也是稳定的，作为一个映射到$H^s(Ω)$，结合以前的结果，强烈表明，这些系统构成所谓的Gelfand框架$(H^s(Ω), L^2(Ω), H^{-s}(Ω))$。
2017-08-10 math.FA
The Role of $α$-Scaling for Cartoon Approximation
类卡通函数，经典地定义为由$C^2$不连续曲线分隔的光滑区域组成的分段$C^2$函数，是图像数据的一个良好建立的模型。寻求最佳近似的这一类导致了除其他外的发展curvelets，contourlet和shearlet。由于抛物线标度，这些系统能够提供准最佳的$N$项近似率的顺序$N^{-2}$。用$α$ -定标代替抛物线定标，得到$α$ -曲波和$α$ -剪切波，它们插值于小波型系统（$α=1$）、抛物线定标系统（$α=\frac12$）和脊波型系统（$α=0$）之间。以前的研究表明，在范围$α\in[\frac{1}{2},1)$，他们提供了准最佳逼近的漫画的规则$C^{1/α}$的阶率为$N^{-1/α}$。在这项工作中，我们继续探索$α$ -缩放的表示系统，目的是更好地了解参数$α$近似的作用。关于$α$ -曲线与$α<1$，我们证明了最好的$N$ -长期的近似速率达到曲线边缘的卡通仅限于至多$N^{-1/(1-α)}$，独立的平滑的卡通。通过帧系数的简单阈值化可实现的最大速率甚至由$N^{-1/\max\{α,1-α\}}$限定。如果漫画的边缘是直的$α$ -曲波的逼近性能是不同的：假设$C^β$正则性，我们建立了一个近似率的顺序$N^{-\min\{α^{-1},β\}}$，这是准最优的，如果$α\in [0,β^{-1}]$。最后，通过框架的$α$ -分子，所获得的结果…
2016-12-03 math.FA
Sparsity Equivalence of Anisotropic Decompositions
各向异性分解使用的表示系统，如curvelets，contourlet，或shearlet最近吸引了显着增加的关注，由于事实上，他们被证明提供最佳稀疏近似的功能表现出奇异性的低维嵌入流形。文献现在包含各种直接证明这一事实和相关的稀疏近似结果。然而，它似乎是相当麻烦的证明这样一个标准的结果，为每个系统分别，而许多系统表现出一定的相似性。在本文中，引入稀疏等价的概念，我们的目标是提供一个框架，允许分类的能力稀疏近似的表示系统。这个框架，特别是，使稀疏近似的结果从一个系统转移到另一个。我们证明了这个概念的例子curvelets和剪切波，并讨论如何立即导致这两个系统的新结果。
2011-01-19 cs.NA math.FA math.NA
Irregular Gabor frames of Cauchy kernels
研究了以单个Cauchy核为生成窗的非规则格点对应的Gabor系统的框架性质。
2021-04-23 math.FA
Vanishing moment conditions for wavelet atoms in higher dimensions
我们提供了明确的标准小波产生的框架和原子分解${\rm L}^2(\mathbb{R}^d)$，而且在更一般的Banach函数空间。本文研究了小波系统，它是通过平移和伸缩母小波而产生的，其伸缩子是从${\rm GL}(\mathbb{R}^d)$的一个合适的子群中选取的，即所谓的{ \em dilation group}.本文给出了一个适用于广泛伸缩群的统一方法，从而产生了任意维齐性Besov空间的新的原子分解，而且也适用于其它函数空间，例如Shearlet共轨空间。原子分解的结果是通过应用Feichtinger和Gröchenig发展的共轨理论得到的，它们可以非正式地描述如下：给定一个函数$ψ\in {\rm L}^2(\mathbb{R}^d)$满足相当温和的衰减，光滑和消失矩条件，{ \em any}足够精细的平移和伸缩采样将产生一个小波框架。此外，可以通过查看帧系数来确定分析信号在某些平滑空间（推广齐次Besov空间）中的包含，并且帧扩展的收敛在这些空间的范数中保持。我们通过讨论非线性逼近来激发这些结果。
2013-08-21 math.FA
Irregular sampling for hyperbolic secant type functions
本文研究了双曲正割型窗函数下的Gabor框架，提出了半非规则采样的判据，并推广了已有结果，同时给出了由该函数生成的平移不变空间的完全插值序列的完整刻画。
2024-02-14 math.CV math.FA
