Irregular Shearlet Frames: Geometry and Approximation Properties
最近，剪切波系统被引入作为一种手段，以获得有效的编码方法的各向异性功能在2维数据与统一处理的连续和数字设置。然而，只有很少的离散剪切波系统的建设策略是已知的。在本文中，我们采取几何方法来解决这个问题。利用与群表示的密切联系，首先引入并分析了基于剪切波群的上下加权剪切波密度。然后，我们应用这个几何测度，为相关的剪切波系统的参数集的几何提供必要条件，以形成L^2（\R^2）的标架，无论是在使用所有可能的生成元时，还是在一个表现出某些衰减条件的大类时。在引入这样一个可行的类的剪切波生成器，我们分析了相关的剪切波系统，这本身导致有趣的见解剪切波框架的齐次逼近能力的近似性质。我们还提出了例子，如过采样剪切波系统和co-shearlet系统，以说明我们的几何方法的有用性的剪切波框架的建设。
2010-02-12 math.FA
Construction of Compactly Supported Shearlet Frames
Shearlet紧框架由于其对卡通图像的最优逼近特性以及对连续统和数字环境的统一处理而在过去几年中得到了广泛的研究。然而，这些研究仅涉及有限带剪切波产生的剪切波紧框架，而对于实际目的，空间域的紧支撑是至关重要的。在本文中，我们专注于锥适应剪切波系统-占稳定性问题-与一般不规则的参数集。我们首先推导出这种锥适应的不规则剪切波系统形成框架的充分条件，并给出其框架边界的明确估计。其次，探索这些结果，并使用专门设计的小波尺度函数和滤波器，我们构建了一个家庭的锥适应剪切框架组成的紧支撑的剪切波。对于这个家庭，我们得到估计的比例，他们的框架界限，并证明他们提供最佳稀疏近似的卡通图像。
2010-04-02 math.FA
Dualizable Shearlet Frames and Sparse Approximation
Shearlet系统已经被引入作为方向表示系统，其提供由各向异性特征支配的某个模型类的函数的最佳稀疏近似，同时通过统一处理连续体和数字领域允许忠实的数值实现。它们是冗余系统，它们的框架性质已经被广泛研究。与某些带限剪切板相反，紧凑支撑的剪切板提供高空间定位，但不构成Parseval框架。因此，从剪切波系数重构信号需要对偶帧的知识。然而，没有封闭的和容易计算的形式的任何对偶框架是已知的。本文介绍了一类可对偶的剪切波系统，它由紧支单元组成，并可被证明构成$L^2(\mathbb{R}^2)$的框架。对于每一个这样的对偶剪切波系统，我们然后提供了一个明确的建设相关的对偶框架，它可以在封闭的形式和有效地计算。我们还表明，dualizableshearlet框架仍然提供最佳稀疏近似的各向异性功能。
2014-11-10 math.FA
Continuous Shearlet Tight Frames
基于剪切波变换，我们给出了由任意具有各向异性矩的充分光滑函数构造$L^2(\mathbb{R}^2)$连续紧框架的一般方法.这包括例如计算机支持的系统、分段多项式系统或两者。从我们以前的结果可以看出，这些系统具有相同的理想的近似性能的方向数据作为以前的带宽限制和非常具体的建设，由于Kutyniok和Labate。我们还表明，我们推导出的表示公式在某种意义上是最佳的剪切波变换。
2010-01-10 math.FA
Approximation properties of hybrid shearlet-wavelet frames for Sobolev spaces
本文研究了有界域上一个新发展的Shearlet系统，它给出了$H^s(Ω)$的框架，其中$H^s(Ω)$是某些$s\in \mathbb{N}$，$Ω\subset \mathbb{R}^2$。我们将推导出近似率相对于$H^s(Ω)$规范的功能，其衍生物承认沿曲线的光滑跳跃，并表现出优越的速度提供的纯小波系统。这些改进的逼近速度表明了新的剪切波系统的偏微分方程的离散化的潜力。因此，我们实现了一个自适应剪切波算法的椭圆偏微分方程的解决方案，并分析其计算复杂性和收敛性。
2019-02-21 math.FA
Gabor Shearlets
在本文中，我们介绍了伽柏剪切波，剪切波系统的一个变种，这是基于不同的组表示比以前的剪切波结构：他们结合元素从伽柏和小波框架在其建设。因此，它们可以用小波理论的标准滤波器结合标准Gabor窗口来实现。与通常的shearlets不同，新的结构可以实现所需的冗余度。我们的结构遵循剪羊毛的一般策略。首先，我们定义基于组的Gabor shearlets，然后修改它们的锥适应的版本。与Meyer滤波器相结合，锥适应的Gabor剪切波构成了一个紧密的框架，并提供了低冗余稀疏近似的各向异性功能，这是卡通功能的共同模型类。
2013-03-26 math.FA
Analysis vs. synthesis sparsity for $α$-shearlets
有两个与帧$Ψ=(ψ_i)_{i\in I}$相关的稀疏性概念：$f$的分析稀疏性意味着分析系数$(\langle f,ψ_i\rangle)_i$是稀疏的，而合成稀疏性意味着$f=\sum_i c_iψ_i$具有稀疏系数$(c_i)_i$。这里，$c=(c_i)_i$的稀疏性意味着给定$p<2$的$c\in\ell^p(I)$。我们表明，这两个概念的稀疏性相吻合，如果$Ψ={\rm SH}(φ,ψ;δ)$是一个离散的（锥适应）剪切帧与“好”发电机$φ,ψ$和足够精细的采样密度$δ>0$。所需的“尼斯”是明确量化的傅立叶衰减和消失的时刻条件。准确地说，我们发现，合适的剪切波系统同时提供Banach框架和原子分解的剪切波光滑空间$\mathscr{S}_s^{p,q}$引入Labate等人。因此，成员在$\mathscr{S}_s^{p,q}$是同时相当于分析稀疏和合成稀疏w.r.t.剪羊毛的框架。作为一个应用程序，我们证明了剪切产生（几乎）最佳逼近率的卡通函数$f$：如果$ε>0$，那么$\Vert f-f_N\Vert_{L^2}\lesssim N^{-(1-ε)}$，其中$f_N$是一个线性组合的N剪切。这似乎是众所周知的，但现有的证明只建立这个近似率w.r.t. $Ψ$的双$\tildeΨ$，而不是w.r.t. $Ψ$本身。这并不完全令人满意，因为$\tildeΨ$的属性（…
2017-02-12 math.FA
Wavelet characterizations of the Sobolev wavefront set: bandlimited wavelets and compactly supported wavelets
本文研究用连续子波变换刻画缓增分布的Sobolev波前集，针对带限和紧支撑子波给出充要条件，并展示广义剪切波群的应用。
2024-02-05 math.FA
Continuity properties of the shearlet transform and the shearlet synthesis operator on the Lizorkin type spaces
我们开发了一个分布框架的剪切波变换$\mathcal{S}_ψ\colon\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)\to\mathcal{S}(\mathbb{S})$和剪切波合成算子$\mathcal{S}^t_ψ\colon\mathcal{S}(\mathbb{S})\to\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$，其中$\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$是Lizorkin测试函数空间和$\mathcal{S}(\mathbb{S})$是高度本地化的测试功能的标准剪切波群$\mathbb{S}$的空间。这些空间和它们的子空间$\mathcal{S}_0^\prime (\mathbb R^2),\, \mathcal{S}^\prime (\mathbb{S})$称为Lizorkin型检验函数和分布空间。当容许向量$ψ$属于$\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$时，我们分析了这些变换的连续性。然后，我们定义了Lizorkin型分布的剪切波变换和剪切波合成算子，分别作为剪切波合成算子和剪切波变换的转置映射。它们产生从$\mathcal{S}_0^\prime (\mathbb R^2)$到$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{S})$和从$\mathcal{S}^\prime (\math…
2020-05-06 math.FA
Compactly Supported Shearlets are Optimally Sparse
类似卡通的图像，即，C^2函数除了C^2不连续曲线外是光滑的，现在已经成为测量方向表示系统的稀疏（非线性）近似特性的标准模型。它已经表明，curvelets，contourlet，以及shearlet确实表现出（几乎）最佳稀疏近似在这个模型。然而，所有这些结果仅适用于带限发生器，而特别是，空间紧支撑的发生器是最重要的应用。在本文中，我们现在提出的第一个完整的证明（几乎）最优稀疏近似的卡通图像，通过使用一个特定的类的方向表示系统，这确实是由composite支持的元素。这一类将被选为一个子集的剪切框架-不一定要求是紧-与剪切发电机具有紧凑的支持，并满足一些弱的时刻条件。
2010-08-24 math.FA
Intrinsic Localization of Anisotropic Frames II: $α$-Molecules
本文是最近的论文[Grohs，Intrinsic localization of anisotropic frames，ACHA，2013]的延续，其中建立了（双无限）矩阵的Moore-Penrose伪逆的非对角衰减性质（在文献中通常称为“局部化”），只要后者具有类似的非对角衰减性质。这个问题是特别有趣的，如果矩阵出现作为一个离散化的运营商关于一个框架或基础。以前的工作对这个问题已被限制到小波或Gabor框架。在以前的工作中，我们将这些结果推广到抛物分子的框架，包括曲波或剪切波作为特殊情况。本文通过建立$α$ -分子框架的类似性质来扩展和统一这些结果，如在最近的工作中所介绍的[Grohs，Keiper，Kutyniok，Schäfer，Alpha molecules：curvelets，shearlets，ridgelets，and beyond，Proc. SPIE. 8858，2013]。由于小波，曲波，剪切波，脊波和混合剪切波都构成的$α$ -分子的实例，我们的研究结果建立本地化的所有这些系统同时。
2014-03-06 math.FA
Gamma-convergence of a shearlet-based Ginzburg--Landau energy
我们介绍了两个基于剪切波的Ginzburg-Landau能量，基于连续和离散剪切波变换。能量的结果从取代的弹性能量项的经典Ginzburg-朗道能量的加权$L^2$ -规范的剪切波变换。在$Γ$ -收敛的框架内分析了这些能量序列的渐近行为，并确定了极限能量。我们证明了特征函数的极限能量是该函数界面上的各向异性曲面积分。我们证明，各向异性的极限能量可以控制加权的基本剪切波变换根据其方向参数。
2019-11-27 math.AP math.FA
Optimally sparse approximations of 3D functions by compactly supported shearlet frames
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
针对三维各向异性结构，引入广义三维卡通图像模型，通过金字塔自适应混合剪切波系统构造L^2(R^3)框架，在光滑参数1<α≤β≤2范围内实现近乎最优的稀疏逼近率。
2012-06-04 cs.IT cs.NA math.FA
On the sample complexity of Fourier compressed sensing: wavelets versus shearlets
University of Genoa（热那亚大学）；University of Bonn（波恩大学）
研究比较剪切波与小波在傅里叶压缩感知中的性能，探讨稀疏性差异对重建所需傅里叶测量数量的影响，通过理论分析和数值实验发现，虽剪切波逼近率高，但实际样本复杂度与小波相当。
2026-07-23 cs.IT math.FA math.IT
Regularization and Numerical Solution of the Inverse Scattering Problem using Shearlet Frames
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文探讨了二维逆散射问题的正则化技术，利用剪切框架对 cartoon-like 函数进行正则化，分析了非线性与线性问题的求解方法，并通过数值实验验证了算法的有效性。
2016-05-04 cs.NA math.AP math.FA
tfShearlab: The TensorFlow Digital Shearlet Transform for Deep Learning
应用谐波分析的剪切波变换是目前分析具有各向异性奇异性的多维信号的最新技术。它的最佳稀疏近似特性和其忠实的数字化允许剪切波被应用到不同的问题，从成像科学，如图像去噪，图像修复和奇异点检测。剪切波变换也被成功地利用，例如，作为特征提取器。因此，它已被证明非常适合与数据驱动方法（如深度神经网络）相结合的图像预处理。这特别需要在当前的深度学习框架（如TensorFlow）中实现shearlet变换。出于这个动机，我们开发了一个张量剪切波变换，旨在提供一个忠实的TensorFlow实现。除了在预测模型中的可用性外，我们还观察到变换性能的显着改善，运行时间几乎是以前最先进实现的40倍。在本文中，我们还将介绍几个数值实验，如图像去噪和修复，其中TensorFlow版本可以显示出优于以前的库以及学习的原始-对偶重建方法，用于低剂量计算机断层扫描在运行时间。
2020-06-08 cs.NA eess.IV math.FA
Shearlets and Optimally Sparse Approximations
Institute of Mathematics, University of Osnabrück（奥斯纳布吕克大学数学研究所）
本文综述了利用带限和紧支撑剪切波框架对卡通图像进行最优稀疏逼近的理论与方法，证明了剪切波系统在二维和三维中唯一能实现此类逼近的最优性。
2011-08-05 cs.IT cs.NA math.FA
Anisotropic Multiscale Systems on Bounded Domains
我们构造了有界域上的多尺度系统--$Ω\subset \mathbb{R}^2$边界剪切波系统，它满足一些有利于应用于成像科学和偏微分方程数值分析的性质.更确切地说，我们构建边界剪切波系统，形成框架的Sobolev空间$H^s(Ω),s\in \mathbb{N} \cup \{0\},$与可控的框架界限，并承认最佳稀疏近似的功能，这是光滑的，除了曲线状的不连续性。我们表明，所构建的系统允许将边界条件。此外，对于$s \geq 0$和$f\in H^s(Ω)$，我们证明了$f$的$L^2-$分析系数的加权$\ell^2$范数等价于它的$H^s(Ω)$范数.特别地，这产生了重加权系统也是用于$H^{-s}(Ω)$的帧。此外，我们证明了数值，相关的$L^2-$合成运营商也是稳定的，作为一个映射到$H^s(Ω)$，结合以前的结果，强烈表明，这些系统构成所谓的Gelfand框架$(H^s(Ω), L^2(Ω), H^{-s}(Ω))$。
2017-08-10 math.FA
