Large time behavior for the heat equation on Carnot groups
我们首先将卡诺群上的函数分解推广为狄拉克δ和它的一些导数的线性组合，其中权是函数的矩。然后，我们使用分解描述的亚椭圆热方程的卡诺群上的解的大时间行为。解被分解为亚椭圆基本核及其导数的加权和，系数是初始数据的矩。
2012-12-10 math.AP
Null-controllability of hypoelliptic quadratic differential equations
研究了一类亚椭圆二次微分算子所对应的抛物型方程的零能控性。二次微分算子是在Weyl量子化中由复值二次符号定义的算子。在这项工作中，我们考虑一类增生二次算子的零奇异空间。已知这些可能退化的非自伴微分算子是亚椭圆的，并生成在特定的Gelfand-Shilov空间中对任意正时间光滑的压缩半群.由于这种正则化效应，我们证明了通过适应Lebeau-Robbiano方法，抛物型方程相关的这些运营商是零可控在任何正的时间从控制区域，零可控性是经典的热方程的情况下，在整个空间。这个结果的一些应用，然后给出的研究抛物型方程的亚椭圆Ornstein-Uhlenbeck算子作用在加权$L^2$空间关于不变测度。通过使用相同的策略，我们还从相同的控制区域建立了与作用在平坦$L^2$空间上的任何亚椭圆Ornstein-Uhlenbeck算子相关的抛物型方程在任何正时间的零能控性，特别是扩展了整个空间上热方程或Kolmogorov方程的已知结果。
2017-07-13 math.AP
A comparison principle for higher order nonlinear hypoelliptic heat operators on graded Lie groups
本文给出分次李群上高阶非线性亚椭圆热算子的一个比较原理。此外，利用比较原理，我们得到了非线性方程的热$p$ -次拉普拉斯算子在分层李群上的解的爆破型结果和整体在$t$ -有界性。特别地，本文推广和推广了第一作者和Suragan在[RS 18]中得到的结果。
2020-05-23 math-ph math.AP math.FA
Hypoelliptic heat kernel inequalities on Lie groups
本文讨论了流形上二阶亚椭圆热核的梯度估计的存在性。现在的标准是，在椭圆情形下，这样的不等式等价于黎曼度量的里奇张量的一个下界。对于亚椭圆算子，相关的“里奇曲率“在与算子相关的半黎曼度量的退化点处取值为- \infty。由于这个原因，椭圆理论的标准证明在亚椭圆的情况下失败了。本文给出了亚椭圆算子的最新结果。Malliavin演算方法将问题转化为确定某些无穷维估计的问题。这里，底层流形是李群，并且亚椭圆算子在左平移下不变。特别地，“L^p型”梯度估计对于p \in（1，\infty）成立，并且p=2梯度估计在该上下文中暗示庞加莱估计。
2009-02-05 math.AP math.DG math.PR
The intrinsic hypoelliptic Laplacian and its heat kernel on unimodular Lie groups
利用Montgomery引入的Popp体积形式，给出了亚椭圆拉普拉斯算子在具有常数增长向量的亚黎曼结构上的不变定义。这个定义推广了黎曼几何中Laplace-Beltrami算子的定义。在单模李群上的左不变问题的情况下，我们证明了它与通常的平方和一致。然后，我们扩展了一种方法（首先由Hulanicki使用的海森堡群），以明确计算核的亚椭圆热方程的任何幺模李群的类型。主要工具是非交换傅里叶变换。然后，我们研究了一些相关的情况：SU（2），SO（3），SL（2）（与Killing形式继承的度量），以及平面的旋转平移群SE（2）。我们的研究是由最近的一些结果，这些子黎曼流形上的切割和共轭轨迹。的角度是了解如何奇异的亚黎曼距离反映在相应的亚椭圆热方程的内核。
2008-11-06 math-ph math.AP math.MP
Short time full asymptotic expansion of hypoelliptic heat kernel at the cut locus
本文证明了亚椭圆热核在欧几里得空间和紧流形上的短时渐近展开。我们研究“割迹“的情况下，即能量最小化的道路，加入考虑的两个点的形式不是一个有限集，但一个紧凑的流形。在温和的假设下，我们得到的热核的渐近展开到任何顺序。我们的方法是概率的，热核被看作是一个亚椭圆扩散过程的规律的密度，这是实现为相应的随机微分方程的唯一解。我们的主要工具是S。Watanabe的分布Malliavin演算和T.里昂的崎岖道路理论
2017-04-10 math.AP math.DG math.PR
Rough Hypoellipticity for the Heat Equation in Dirichlet Spaces
本文在较弱的附加假设下，证明了Dirichlet空间中热方程解的局部有界性和连续性。我们考虑对称的局部正则狄利克雷形式，满足温和的假设：（a）截断函数的存在性，（b）局部超压缩性假设，和（c）弱非对角上界。在这种情况下，局部弱解的热方程，和他们的时间导数，被证明是局部有界的，他们进一步局部连续，如果半群承认一个局部连续的密度函数。给出了结果的应用，包括局部有界热核的存在性讨论，热方程古解的$L^\infty$结构结果.最后一节给出了一个特殊的情形，其中$L^\infty$的非对角上界是由半群的超压缩性得到的。本文是[7]的继续。
2020-11-13 math.AP math.FA math.PR
Approximate null-controllability with uniform cost for the hypoelliptic Ornstein-Uhlenbeck equations
证明了在$\mathbb R^n$上亚椭圆型Ornstein-Uhlenbeck方程的一致代价近似零能控性可用控制支撑上的积分厚度几何条件来刻画.我们还提供了相关的定量弱可观测性估计。亚椭圆型Ornstein-Uhlenbeck方程的这个结果是从对一类非自治椭圆型方程的相同研究中推导出来的。我们特别推广已知的结果抛物型方程上$\mathbb R^n$，为确保近似零可控性与统一的成本的概念的厚度，这是更强的积分厚度条件考虑在目前的工作。这些抛物型方程的例子是分数热方程与运营商$(-Δ)^s$，在制度$s\geq1/2$。我们的策略还允许描述近似零可控性与统一的成本从移动控制支持这类分数阶热方程。
2023-02-06 math.AP math.OC
Functional calculus and spectral asymptotics for hypoelliptic operators on Heisenberg Manifolds. I
本文是致力于海森堡流形上亚椭圆演算的几何和谱理论应用的系列论文的一部分。更具体地说，在本文中，我们利用Beals-Greiner和Taylor的Heisenberg演算来分析Heisenberg流形上亚椭圆算子的谱理论。本文的主要结果包括：（i）得到了次椭圆算子作为Psi_{H} DO的全纯族的复幂，它可以用来定义插值于Folland-Stein的加权索伯列夫空间的加权索伯列夫空间的尺度，并为Heisenberg流形上的次椭圆算子提供了精确的正则性估计;（ii）用$P$的主符号来反演热算子$P+\partial_{t}$和导出$P$的小时间热核渐近性;（iii）亚椭圆算子的Weyl渐近性，它可以对CR流形和切触流形上的主要几何算子进行几何重构，即Kohn Laplacian算子、水平次Laplacian算子及其共形幂，以及接触拉普拉斯算子。为了处理亚椭圆算子的复幂，我们不能使用Seeley的标准方法，所以我们依赖于一种新的方法，该方法基于热核的伪微分方法表示。这特别适合于处理正的亚椭圆算子。我们将在即将发表的论文中使用另一种新的方法来处理更一般的算子。
2005-12-06 math.AP math.CV math.DG
Hypoelliptic functional inequalities
本文给出了幂零李群上一般齐次不变亚椭圆微分算子的一类泛函不等式。得到的不等式包括Hardy，Rellich，Hardy-Littllewood-Sobolev，Galiardo-Nirenberg，Caffarelli-Kohn-Nirenberg和Trudinger-Moser不等式.其中一些估计已经知道的情况下，次拉普拉斯算子，但是，更一般的亚椭圆算子几乎所有的人似乎是新的，因为没有办法获得这样的估计已经提供。此外，我们得到了几个版本的局部和整体加权Trudinger-Moser不等式的剩余项，临界Hardy和加权Gagliardo-Nirenberg不等式，这似乎是新的情况下，次拉普拉斯算子。奇怪的是，我们还显示了许多这些关键的不等式的等价性以及它们的最佳常数之间的渐近关系。在本文中开发的方法依赖于建立齐次群上的Hardy不等式的积分版本，为此，我们也找到了充要条件，这样的不等式的权重是真的。因此，我们通过使用Riesz和Bessel核与所描述的亚椭圆算子相关联，将这种积分Hardy不等式与不同的亚椭圆不等式联系起来。
2018-05-03 math-ph math.AP math.FA
Heat kernels for a class of hybrid evolution equations
本文的目的是为物理学、共形几何和次椭圆偏微分方程中的混合发展方程构造（显式）热核。混合意味着相关的偏微分算子以$\mathscr L_1 + \mathscr L_2 - \partial_t$的形式出现，但变量不能解耦。因此，相对热核不能作为算子$\mathscr L_1 - \partial_t$和$\mathscr L_2 - \partial_t$的热核的乘积而获得。我们的方法是新的，最终取决于广义奥恩斯坦-乌伦贝克运营商在开放的Hörmander的1967年开创性的论文hypoellipticity。
2021-11-01 math.AP
Lower bounds for operators on graded Lie groups
本文给出了分次幂零李群上的一个符号伪微分学，并作为应用给出了一个尖锐的戈尔丁不等式。作为推论，我们得到了变系数正Rockland算子的下界及其Schwartz-亚椭圆性.
2013-02-21 math.AP math.FA math.RT
Spectral estimates for finite combinations of Hermite functions and null-controllability of hypoelliptic quadratic equations
最近的一些工作证明了整个欧几里得空间上的热方程在任何正时间是零能控的当且仅当控制子集是厚集。这个零能控性的充要条件与某些不确定性原理有关，如Logvinenko-Sereda定理，该定理限制了函数及其傅里叶变换的同时集中。在目前的工作中，我们证明了新的不确定性原则的有限组合的厄米函数和建立一个类似的Logvinenko-Sereda定理与显式控制的常数相对于能量水平的厄米函数作为本征函数的谐振子厚控制子集。这个谱不等式允许从厚控制区域导出抛物型方程在任何正时间的零能控性，该抛物型方程与一般的亚椭圆非自伴二次微分算子有关。更一般地，证明了Hermite函数有限组合的谱不等式对正勒贝格测度的任何可测控制子集都成立，并对另外两类控制子集（包括非空开控制子集）给出了关于能级的常数的定量估计.
2020-10-08 math.AP math.CA
Tunneling estimates and approximate controllability for hypoelliptic equations
本文研究了紧致流形$\mathcal{M}$上含“平方和”算子$\mathcal{L}$的方程的定量唯一延拓估计，假定：$(i)$是保证$\mathcal{L}$亚椭圆性的Chow-Rashevski-Hörmander条件，$(ii)$是$\mathcal{M}$的解析性和$\mathcal{L}$的系数.第一个结果是来自非空开集$ω\subset \mathcal{M}$的$\mathcal{L}$的归一化本征函数$φ$的隧道估计$\|φ\|_{L^2(ω)} \geq Ce^{- λ^{\frac{k}{2}}}$，其中$k$是$\mathcal{L}$的亚椭圆指数，$λ$是本征值。主要结果是亚椭圆波动方程$(\partial_t^2+\mathcal{L})u=0$解的稳定性估计：对于$T>2 \sup_{x \in \mathcal{M}}(dist(x,ω))$（这里，$dist$是亚黎曼距离），解在$(0,T)\times ω$上的观测决定了数据。估计中涉及的常数是$Ce^{cΛ^k}$，其中$Λ$是数据的典型频率。然后，我们证明了亚椭圆热方程$(\partial_t+\mathcal{L})v=1_ωf$在任何时候，适当的（指数）成本，依赖于$k$的近似可控性。如果$k=2$（Grushin，Heisenberg...），我们进一步证明了在大时间内多项式代价轨迹的近…
2017-03-31 math.AP math.OC math.SP
Dirichlet sub-Laplacians on homogeneous Carnot groups: spectral properties, asymptotics, and heat content
考虑齐次卡诺群中开有界集上的次拉普拉斯算子，研究其谱性质。我们证明了这些算子具有纯点谱，并证明了谱隙的存在性。此外，我们还应用于亚椭圆布朗运动的小球问题和正则区域中热含量的大时间行为。
2023-03-08 math.AP math.DG math.PR
Kolmogorov-Fokker-Planck operators in dimension two: heat kernel and curvature
考虑一类二维Kolmogorov-Fokker-Planck型亚椭圆算子所对应的热方程.我们明确计算的小时间渐近展开的热核的对角线上的第一个有意义的系数，我们解释它的曲率不变的最优控制问题与扩散。这给出了与次黎曼结构无关的非齐次Hörmander算子的小时间热核渐近性的几何解释的第一个例子，即，其二阶部分不满足Hörmander条件
2018-01-18 math.AP math.DG math.OC
Heat Kernel and Closed Geodesic Asymptotics for Nilpotent Coverings
研究幂零覆盖上热核及幂零商中闭测地线渐近性，利用有理弗洛凯 - 布洛赫理论等，通过正罗克兰估计等论证给出逐点高阶热核展开式，还产生幂零切博塔廖夫型现象，计算了相关模型。
2026-07-16 math.AP math.DG math.DS
Best constants in Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities on graded groups and ground states for higher order nonlinear subelliptic equations
本文研究了Sobolev不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式中最佳常数对索伯列夫空间范数精确形式的依赖性。分析是在一般的分次李群上进行的，因此包括了$\mathbb R^n$、海森堡和更一般的分层李群的情形。Sobolev范数可以用Rockland算子来定义，即群上的亚椭圆齐次左不变微分算子。最佳常数以变分形式以及相应的非线性次椭圆方程的基态解表示。这些方程的阶可以很高，这取决于Sobolev或Gagliardo-Nirenberg不等式中的索伯列夫空间阶，或者可以是分数阶。应用程序也得到了不同的亚椭圆算子的低阶项的方程。已经在$\mathbb R^n$的情况下，所得到的结果推广了经典的关系，由Weinstein到广泛的非线性高阶椭圆方程的椭圆型低阶项和广泛的Gagliardo-Nirenberg型插值不等式。然而，由于不可能使用海森堡群的背景下已经存在的重排不等式，这些证明与Ivy Weinstein的证明不同。所考虑的一类分次群是最一般的一类幂零李群，其中人们仍然可以考虑亚椭圆齐次不变微分算子和相应的亚椭圆微分方程。
2017-04-05 math-ph math.AP math.FA
Positive curvature property for sub-Laplace on nilpotent Lie group of rank two
本文主要研究秩为2的幂零李群上的次Laplace，它是由$n$布朗运动及其$\frac{n(n-1)}2$ Lévy面积过程生成的扩散的无穷小生成元，是Heisenberg群$\mathbb{H}$上的次Laplace的简单推广.为了研究热核的收缩性质，我们证明了，在海森堡群和三布朗运动模型的情况下，次拉普拉斯作用于径向函数的限制（见定义\ref{radial fun}）满足一个正的里奇曲率条件（更准确地说是一个$CD(0, \infty)$不等式，见定理\ref{positive}），而运营商本身不满足任何$CD(r,\infty)$不等式。由此，我们可以推导出一些有用的，尖锐的梯度界限相关的热核。可以看出这是对论文\cite{Qian2}的概括。
2011-12-15 math.AP math.DG math.PR
Diffusion in small time in incomplete sub-Riemannian manifolds
对于不完全的子黎曼流形，并为相关的二阶亚椭圆算子，这不需要是对称的，我们确定了两个替代条件的有效性高斯型上界的热核和转移概率，最佳常数的指数。在类似的条件下，我们得到的热核的小时间对数渐近性，并显示附近的最小能量路径的扩散桥措施的浓度。第一个条件要求我们考虑两点之间的距离不大于它们到无穷远的距离之和。第二个条件只要求操作者不能太不对称。
2022-03-10 math.AP math.DG math.PR
Strong hypercontractivity and strong logarithmic Sobolev inequalities for log-subharmonic functions on stratified Lie groups
在具有亚椭圆热核测度的分层李群$G$上，研究了对数下调和函数的$L^p$空间上的膨胀半群的性质。我们考虑了一个强超压缩性和一个强对数Sobolev不等式的概念，并证明了这些性质对任何群$G$都是等价的.此外，如果$G$满足经典的对数Sobolev不等式，则这两个性质都成立。这推广了Graczyk，Kemp和Loeb在欧几里得背景下得到的类似结果。
2017-06-26 math.AP math.FA
Gradient estimates for the subelliptic heat kernel on H-type groups
证明了H型幂零李群$G$上次椭圆热核的梯度不等式：$$|\nabla P_t f| \le K P_t(|\nabla f|)$$其中$P_t$是对应于$G$上次拉普拉斯算子的热半群，$\nabla$是次椭圆梯度，$K$是常数.这推广了H.- Q. Heisenberg群的Li。证明是基于逐点热核估计，并遵循由Bakry，Baudoin，Bonnefont和Chafafaint使用的方法。
2014-06-24 math.AP math.DG
Logarithmic Sobolev inequalities on homogeneous spaces
本文研究了齐次空间上关于亚椭圆热核测度的对数Sobolev不等式，证明其常数仅依赖于传递作用的李群而与迷向群无关，且在若干例子中与空间维数无关。
2023-10-20 math.AP math.FA math.PR
Homogeneous algebras via heat kernel estimates
本文研究了定义在双重度量测度空间上的齐次Besov和Triebel-Lizorkin空间，其中的齐次Besov和Triebel-Lizorkin空间是以热核满足Gauss估计及其导数的自伴算子表示的.当测度空间是光滑流形且该算子是光滑向量场的平方和时，我们证明了它们与$L^\infty$的交是点乘代数.我们的结果适用于幂零李群和Grushin设置。
2021-11-16 math.AP math.CA math.FA
Parabolic Anderson model on Heisenberg groups: the Itô setting
本文研究了定义在$n$阶Heisenberg群$\mathbf{H}^{n}$上的随机热方程.该方程被写为$\partial_t u=\frac{1}{2}Δu+u\dot{W}_α$，其中$Δ$是$\mathbf{H}^{n}$上的亚椭圆拉普拉斯算子，而$\{\dot{W}_α; α>0\}$是一族高斯时空噪声，其在时间上是白色的并且在空间上具有由$(-Δ)^{-α}$生成的协方差结构。我们有三个目标：（i）给出了噪声$W_α$的一个恰当的描述;（ii）证明了只要$α>\frac{n}{2}$一次就可以解Itô意义下的随机热方程;（iii）给出了解$u(t,x)$的一些基本矩估计。
2022-06-28 math-ph math.AP math.MP
Precise estimates for the subelliptic heat kernel on H-type groups
我们建立了H型幂零李群$G$上次椭圆热核的精确上、下界。具体地说，我们证明了存在正常数$C_1$，$C_2$和$G$上的多项式校正函数$Q_t$，使得$$C_1 Q_t e^{-\frac{d^2}{4t}} \le p_t \le C_2 Q_t e^{-\frac{d^2}{4t}}$$，其中$p_t$是热核，$d$是$G$上的Carnot-Carathéodory距离。我们还得到了类似的次椭圆梯度$|\nabla p_t|$的范数上的界。在此过程中，我们记录了距离函数$d$和H型群的次黎曼测地线的显式公式。
2016-12-01 math.AP math.DG
Fujita exponent on stratified Lie groups
该研究证明了任意齐次维数为$Q$的分层李群上半线性热方程的Fujita指数为$\frac{Q}{Q-2}$，涵盖欧氏情形，借助分层李群结构、检验函数法与Banach不动点定理完成证明，为幂零李群相关证明技巧提供新视角。
2022-11-19 math.AP
Heat kernel asymptotics on sub-Riemannian manifolds with symmetries and applications to the bi-Heisenberg group
通过采用Molchanov的技术，我们得到了次黎曼割迹的热核渐近性，当割点由$r$维参数族的最优测地线到达时。我们将这些结果应用于双海森堡群，即$\mathbb{R}^{5}$上的幂零左不变亚黎曼结构，它依赖于两个实参数$α_{1}$和$α_{2}$。我们开发了一些结果，它的测地线和热核与它的子拉普拉斯算子，我们照亮了一些有趣的几何和分析功能时出现的比较各向同性（$α_{1}=α_{2}$）和非各向同性的情况下（$α_{1}\neq α_{2}$）。特别地，我们给出了割迹的精确结构，并得到了它的热核的完全小时间渐近性。
2016-06-03 math.AP math.DG math.OC
Quantizations on the Engel and the Cartan groups
本文的目的是在两个三阶分次幂零李群的具体情形下，即在恩格尔群和嘉当群的情形下，发展一个整体量子化。对上述群的结构和表示以及相应的李代数作了初步的分析。此外，在这两种情况下的差分算子的显式公式推导，构成必要的先决条件的$Ψ^{m}_{ρ,δ}$类的符号在这两种情况下的建设。在恩格尔群的情况下，科恩-尼伦伯格量子化和恩格尔群的表示之间的关系使我们能够用欧几里得空间中符号的量子化来表示这种设置中的算子。我们说明了$L^p-L^q$有界的谱乘子定理与特殊的例子，在这两个群体中的运营商，产生适当的Sobolev型不等式。作为上面的进一步应用，我们得到了在两种设置中算子的那些特定示例的热核的$L^p-L^q$范数的一些结果。
2020-03-24 math.AP
Tree Diagram Lie Algebras of Differential Operators and Evolution Partial Differential Equations
树图是由有限维单李代数的Dynkin图推广而来的边权为正整数的树。我们引入了两个幂零李代数和它们的扩展的可解李代数，它们与每个树图相关联。可解树图李代数与有限维单李代数的Borel子代数类似，是具有最大秩的完备李代数.他们的阿贝尔理想是完全确定的。利用树图李代数的一个高阶Campbell-Hausdorff公式和交换理想，研究了与幂零树图李代数相关的一阶发展偏微分方程和高阶发展偏微分方程的初值问题，包括与树相关的广义Tricomi算子相关的热传导型方程.
2007-06-28 math-ph math.AP math.MP
Singular SPDEs on Homogeneous Lie Groups
本文通过将基础空间视为齐次李群，将奇异SPDE中的非椭圆算子转化为平移不变亚椭圆算子，从而扩展正则性结构理论，并应用于Carnot群上的抛物型Anderson方程。
2025-01-06 math.AP math.PR
