Slicing the stars: counting algebraic numbers, integers, and units by degree and height
Masser和Vaaler给出了给定次数$d$和递增高度的代数数的个数的渐近公式。这个问题是通过计算$\mathbb{R}^{d+1}$中均匀膨胀星体的格点（对应于$\mathbb{Z}$上的极小多项式）来解决的。这颗恒星的体积是由陈省身和Vaaler计算的，他们还计算了余维的体积--对应于首一多项式的一个“切片”--这导致了Barroero关于计算代数整数的结果。我们展示了如何估计高余维切片的体积，这使我们能够计算单位，给定范数，迹，范数和迹的代数整数等等。我们还完善了晶格点计数参数的陈-Vaaler获得明确的误差项，更好的节能，这导致明确的版本的一些结果的Masser-Vaaler和Barroero。
2016-09-28 math.NT
Stark units in positive characteristic
证明了符号归一化秩为1的Drinfeld模所对应的Stark单位的模可以由Anderson等变$A$ -调和级数得到.我们应用这一点来获得一个类公式à la Taelman和证明一个多变量的对数代数性定理，推广安德森的对数代数性定理。我们还给出了Anderson的对数代数性定理的另一个证明，并得到了关于任意秩Drinfeld模的Stark单位的模的各种结果。
2016-06-17 math.NT
Algebraic integers as special values of modular units
设$φ(τ)=η((τ+1)/2)^2/\sqrt{2π}e^\frac{πi}{4}η(τ+1)$，其中$η(τ)$是戴德金η函数。我们证明了如果$τ_0$是一个具有$\mathrm{Im}(τ_0)>0$的虚二次数，$m$是一个奇整数，那么$\sqrt{m}φ(mτ_0)/φ(τ_0)$是一个除$\sqrt{m}$的代数整数.这是[B]中定理4.4的推广。C.贝恩特，H。H. Chan和L. C. Zhang，Ramanujan's remarkable product of theta-functions，Proc. Edinburgh Math. Soc.（2）40（1997），no.3，583-612]。另一方面，设$K$是虚二次域，$θ_K$是$K$的一个元素，其具有$\mathrm{Im}(θ_K)>0$，生成$\mathbb{Z}$上的$K$的整数环。给出了$m$的一个充分条件，使$\sqrt{m}φ(mθ_K)/φ(θ_K)$成为一个单元.
2010-08-08 math.NT
On the behavior of Mahler's measure under iteration
对于一个代数数$α$，我们用$M(α)$表示$α$的马勒测度。由于$M(α)$也是一个代数数（实际上是一个代数整数），$M(\cdot)$是$\overline{\mathbb{Q}}$上的自映射，因此定义了一个动力系统。$α$的\emph{orbit size}，记作$\# \mathcal{O}_M(α)$，是$M$下$α$的前向轨道的基数。证明了对任意次数不小于3且任意非单位范数，存在任意轨道大小的代数数。然后，我们证明，对于代数单位的程度4，轨道大小必须是1，2，或无穷大。我们还表明，存在代数单位的程度较大，任意大，但有限的轨道大小。
2019-11-14 math.NT
Unit distance graphs and algebraic integers
本文回答了Brass关于$\mathbb{R}^2$的可加子群的单位距离图的顶点度的一个问题.
2018-07-10 math.CO math.MG math.NT
A generalization of Dirichlet's unit theorem
我们将Dirichlet的$S$ -单位定理从数域$K$的通常的$S$ -单位群推广到所有代数数的无限秩群，这些代数数的非平凡赋值只在$S$上的位置上.具体来说，我们证明了一组代数$S$ -单位模扭转是一个$\bQ$向量空间，当规范的韦尔高度，跨越一个超平面的产品公式确定的，这个向量空间的元素是线性无关的$\mathbb{Q}$保持其线性无关的$\mathbb{R}$。
2012-10-30 math.NT
Algebraic units, anti-unitary symmetries, and a small catalogue of SICs
在复向量空间中，等角线的极大集（称为SIC）与实二次数域以维数依赖的方式相关。如果维数是$n^2+3$的形式，则基场具有负范数的基本单位，并且存在具有反酉对称性的SIC。我们给出八个例子，这种精确的解决方案，我们已经努力使他们尽可能简单，我们可以-作为一个迟来的答复裁判的早期出版物，谁声称，我们的精确解决方案在尺寸28太复杂，适合打印。简化的解决方案的一个有趣的特点是，基准向量的组件主要由代数单位。
2020-05-22 math.NT quant-ph
No singular modulus is a unit
第二位作者的一个结果指出，在$\mathbb{C}$上只有1000条CM-椭圆曲线的$j$ -不变量是代数单位.他的证明依赖于杜克的等分布定理，因此是无效的。本文给出了这一结果的一个完全有效的证明。更精确地说，我们证明了每一个作为代数单位的奇异模都与CM-椭圆曲线相关联，该曲线的自同态环的判别式小于$10^{15}$。通过进一步的改进和计算机辅助计算，我们最终排除了所有剩余的情况，表明没有奇异模是一个代数单位。这使我们能够在不包含任何特殊点的$\mathbb{C}^n$中展示子变种的类。
2018-11-07 math.NT
An effective lower bound for the height of algebraic numbers
本文证明了：如果$α$是一个非零的$d \geq 2$次代数数且不是单位根，则$dh（α）>（1/4）（\log（\log（d））/ \log（d））^3.
2012-11-13 math.NT
An algebraic proof of Brauer's class number formula
本文基于Ritter和Weiss的单位Tate正合序列，利用调节子常数的形式体系，给出了Brauer类数公式的一个代数证明。
2025-05-02 math.NT
Equidistribution of Algebraic Numbers of Norm One in Quadratic Number Fields
给定Q的一个固定的二次扩张K，我们考虑K中范数为1的元素的分布（记为N）。当K是一个虚的二次扩张，N是自然嵌入在C中的单位圆，我们表明，它是均匀分布的关于包含的绝对Weil高度排序。根据希尔伯特定理90，N中的元素可以表示为α/ \bar α，对于某些α \in O_K，这产生了由相关代数整数的最小范数给出的\mathcal N的另一种排序。当K是虚数时，我们还证明了在这种范数序下，N在单位圆内是等分布的。当K是实二次扩张时，我们证明了在映射β \mapsto \log下，N关于范数是等分布的| β| \bmod{\log | ε^2 |}其中ε是O_K的基本单位。
2010-04-06 math.NT
Equidistribution of the conjugates of algebraic units
该研究证明了具整数系数和单零点的多项式零点的等分布结果，通过将多项式提升为二元映射并证明对应归一化零点测度的收敛性，在Bilu工作基础上给出了代数单位共轭元的等分布结果。
2025-04-15 math.CV math.NT
Solving algebraic equations in roots of unity
本文讨论了多项式方程的单位根问题。它是由S。Lang提出并证明了M. Laurent指出，所有这样的解都可以用一个称为最大挠率陪集的参数族来描述。我们得到了复代数$n$ -环面${\mathbb G}_{\rm m}^n$的代数子簇上的最大挠陪集个数的新的显式上界。与以前的工作，给出了在最大全次数的定义多项式的多项式增长的界限，我们的结果的证明是建设性的。这使我们能够获得一个新的算法来确定最大挠陪集上的代数子簇${\mathbb G}_{\rm m}^n$。
2008-02-01 math.AG math.NT
Algebraic independence of certain Mahler numbers
本文证明了一类特殊的Mahler函数值的代数独立性结果。特别地，Thue-Morse序列、正规折纸序列和Cantor序列的生成函数都属于这一类，并且我们得到了这些函数的值在开单位圆盘上的每一个非零代数点上的代数独立性.证明使用马勒方法的结果。
2015-07-09 math.NT
On the existence of Minkowski units
通过分析数域循环扩张中代数单位的伽罗瓦结构，我们证明了独立Minkowski $S$-单位存在的新结果。
2023-12-30 math.NT
Sums of units in function fields II - The extension problem
2007年，Jarden和Narkiewicz提出了以下问题：是否每个代数数域都有一个有限扩张L，使得L的整数环由它的单位生成（作为环）？在这篇文章中，我们回答了函数域情况下的类似问题。更确切地说，它表明，对于任何有限的非空集S的地方，一个代数函数域F|存在一个有限扩张F'|F，使得F的S-整数环在F'中的整闭包由其单位生成（作为环）。
2013-11-19 math.NT
Distribution of complex algebraic numbers on the unit circle
对于$-π\leqβ_1<β_2\leqπ$，用$Φ_{β_1,β_2}(Q)$表示单位圆上的代数数，参数为$[β_1,β_2]$，次数为$2m$，椭圆高度至多为$Q$。我们证明了\[ Φ_{β_1,β_2}(Q)=Q^{m+1}\int\limits_{β_1}^{β_2}{p(t)}\,{\rm d}t+O\left(Q^m\,\log Q\right),\quad Q\to\infty, \]，其中$p(t)$与某个随机三角多项式的根的密度有一个常数因子一致。这个密度是使用Edelman-Kostlan公式明确计算的。
2018-11-02 math.NT math.PR
House of algebraic integers symmetric about the unit circle
给出了根关于单位圆对称的一元整多项式的根的最大模的Schinzel-Zassenhaus型下界.我们的结果推广了Dimitrov的工作，Dimitrov利用整系数幂级数的Pólya合理性定理证明了一般的Schinzel-Zassenhaus猜想，并给出了集合的对数容量（超限直径）的一些估计.我们使用增强的Pólya的结果得到的罗宾逊，其中涉及劳伦特型有理函数与小的上确界规范，从而取代了对数容量与一个更小的数量。这个较小的量通过加权切比雪夫常数表示，该常数与罗宾逊合理性定理中使用的季米特洛夫函数相关联。我们的房子的下界证实了博伊德的一个猜想。
2021-01-17 math.CV math.NT
On the Existence of Algebraic Equiangular Lines
Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文研究了等角线在数域中的存在性，证明了复数等角线的存在性可推导出数域中的等角线存在，并探讨了其在量子物理中的应用。
2026-03-10 math.NT quant-ph
Algebraic independence of Mahler functions via radial asymptotics
本文在Mahler方法的基础上给出了一种新的代数独立性结果的方法。特别是，我们的方法使用的渐近行为的马勒函数$f(z)$的$z$径向到一个根的单位推导出代数独立的结果的值$f(z)$在代数数。我们将我们的方法应用于二次马勒函数的典型例子，也就是说，我们将其应用于$F(z)$，函数方程$F(z)-(1+z+z^2)F(z^4)+z^4F(z^{16})=0$的幂级数解。具体地说，我们证明了$F(z)$，$F(z^4)$，$F'(z)$和$F'(z^4)$的功能是代数独立的$\mathbb{C}(z)$。一个著名的结果的应用西冈然后允许一个取代$\mathbb{C}(z)$的$\mathbb{Q}$当评估这些功能在一个非零代数数$α$在单位盘。
2015-04-04 math.CA math.NT
Arithmetic properties of arguments of algebraic numbers on the unit circle
Universidade Federal de Ouro Preto（欧罗普雷托联邦大学）
研究单位圆上代数数的论证属性，证明其迪奥菲安性和超越性，扩展了关于平面曲线几何和弹道动力学的问题。
2026-02-27 math.DS math.NT
Misiurewicz polynomials and dynamical units, Part I
研究了单临界多项式族$f_{d,c}(z)=z^d+c\in \mathbb{C}[z]$的动力学性质。使$f_{d,c}$具有严格前周期后临界轨道的$c$ -值称为Misiurewicz参数，它们是Misiurewicz多项式的根。这些特殊参数的算术性质在算术和复动力学中都有应用。在本文中，我们研究了一些新的这样的性质。特别地，当$d$是素数幂，$c$是Misiurewicz参数时，我们证明了$f_{d,c}$的后临界轨道上的点之间的算术关系.我们还考虑通过评估Misiurewicz多项式在不同的Misiurewicz参数得到的代数整数，我们问这些代数整数时，代数单位。这个问题自然产生于最近由Buff、Epstein和Koch以及第二作者证明的一些结果。我们对这个问题提出了一个合理的答案，并在许多情况下得到了证明。
2022-05-22 math.DS math.NT
Bloch groups, algebraic K-theory, units, and Nahm's Conjecture
给定数域~ $F$和自然数~ $n$的Bloch群的一个元素，我们在域$F_n=F(e^{2 πi/n})$中构造一个明确的单位，它定义到~ $F_n$的非零元素的$\nn$次幂.利用循环量子双对数，在~ $F$的Bloch群与$K$ -群$K_3(F)$的同一性下，给出了~ $K_3(F)$的某个抽象Chern类的\changed{(up to an unidentified invertible scalar)}和\changed{formula}.我们定义的单位被证明与量子模块化猜想中出现的结的Kashaev不变量（这是我们研究的原始动机）的数字相一致，并且也出现在单位根附近的Nahm和的径向渐近中。这后一种连接是用来证明纳姆的猜想有关的模块某些$q$ -超几何级数的消失有关的元素在布洛赫群的~ $\overline{\mathbb Q}$。
2021-04-06 hep-th math.GT math.NT
Bost-Connes systems, Categorification, Quantum statistical mechanics, and Weil numbers
在这篇文章中，我们开发了一个广泛的推广经典的Bost-Connes系统，其中单位的根被替换为一个代数数据组成的交换群和半群的自同态。例子包括根的单位，Weil限制，代数数，Weil数，CM领域，芽，完成Weil数等利用Tannakian形式主义，我们对这些代数数据进行分类。例如，单位根的分类由Tate动机的轨道范畴的极限给出，而Weil数的分类由有限域上的Grothendieck数值动机范畴给出。对于其中的一些代数数据（单位根、代数数、Weil数等），我们还将量子统计力学系统与几个显著的性质相关联，这些性质概括了经典的Bost-Connes系统。然后详细研究了相关的配分函数、低温吉布斯态和伽罗瓦作用于零温态的性质。例如，我们表明，在特定的情况下的Weil数的配分函数和低温吉布斯状态可以描述为一系列的多项式。
2014-11-12 math-ph math.AG math.AT
