From triangulated categories to abelian categories--cluster tilting in a general framework
我们把聚类倾斜放在一个一般的框架中，证明了一个三角范畴模一个倾斜子范畴（即一个极大的一正交子范畴）的任何商都带有一个阿贝尔结构。这些交换代数是维数至多为1的Goreisten代数的模范畴。
2007-05-23 math.CT math.RT
2-Calabi-Yau categories with a directed cluster-tilting subcategory
作为非循环2-Calabi-Yau范畴的推广，我们考虑了具有有向簇倾斜子范畴的2-Calabi-Yau范畴，研究了它们的簇倾斜子范畴及其编码的簇组合学.我们表明，这样的类别有一个集群结构。具有有向簇倾斜子范畴的三角化2-Calabi-Yau范畴与某些半遗传范畴的表示密切相关，更具体地说，与线颤动的表示密切相关。线程箭图是一个工具，分类和研究某些半遗传类别使用箭图和线性有序集（线程）。我们研究的情况下，由一个单一的线程线程（使该线程的表示对应于一些线性有序集的表示），并表明，类似的情况下，Dynkin的类型$A$，集群倾斜的子类可以理解通过三角形的相关循环有序集。通过这种方法，我们得到了2-Calabi-Yau范畴的有向倾斜子范畴的倾斜子范畴的结构。作为一个应用，我们证明了每个2-Calabi-Yau范畴，如果它有一个有向的簇倾斜子范畴，其中有可数个不可分解对象的同构类，那么它就有一个簇倾斜子范畴$\mathcal{V}$，该簇倾斜子范畴具有以下性质：该簇范畴中的任何刚性对象都可以从$\mathcal{V}$通过可数个变异到达.这意味着存在一个定义在所有刚性对象上的簇映射，因此存在一个簇代数，其簇变量由刚性不可分解对象精确给出。
2016-11-11 math.CT math.RT
Projectively generated $d$-abelian categories are $d$-cluster tilting
在Jasso工作的基础上，我们证明了任意射影生成的$d$ -阿贝尔范畴等价于具有足够射影的阿贝尔范畴的$d$ -簇倾斜子范畴.这支持了$d$ -阿贝尔范畴是$d$ -簇倾斜子范畴的良好公理化的主张。
2016-10-23 math.CT math.RT
Quotients of exact categories by pseudo-cluster tilting subcategories
从正合范畴与簇倾斜子范畴的商是阿贝尔范畴的观点出发，引入了伪簇倾斜子范畴的概念。我们证明了在伪团簇倾斜的情况下，逆元总是半阿贝尔的。此外，它是阿贝尔的当且仅当满足一些自正交条件。通过分裂合并的交换商范畴，我们重新讨论了合并的交换商范畴，得到了存在唯一的正合子结构使得它是一个簇商。
2023-03-12 math.CT math.KT math.RT
A bijection between $m$-cluster-tilting objects and $(m+2)$-angulations in $m$-cluster categories
在本文中，我们研究了$m$ -Dynkin类型A、D、$\tilde{A}$和$\tilde{D}$的簇类别的几何实现。我们表明，在这四种情况下，有一个双射之间的$(m+2)$ -角度和isoclasses基本$m$ -集群倾斜对象。在这些双射下，$(m+2)$ -角的翻转对应于$m$ -簇倾斜物体的突变。我们的策略在于表明，所考虑的$m$簇类别的某些Iyama-Yoshino约化可以用沿着弧线切割相应的几何实现来描述。这允许从小情况到一般情况推断结果。
2021-09-20 math.CT math.RT
General heart construction on a triangulated category (I): unifying t-structures and cluster tilting subcategories
Keller和Reiten的文章证明了一个三角范畴（在一定条件下）与一个簇倾斜子范畴的商成为一个阿贝尔范畴。之后，Koenig和Zhu详细地展示了如何在更抽象的背景下给出这个商范畴上的交换结构。另一方面，正如自20世纪80年代以来所熟知的，任何$t$ -结构的中心是阿贝尔的。我们统一这两个建设使用的概念，一个cotorsion对。对于三角范畴中的任一余挠对，当余挠对分别来自于一个簇倾斜子范畴或一个$t$ -结构时，我们可以自然地将一个阿贝尔范畴与之联系起来，它分别给出上述两个阿贝尔范畴中的每一个。
2009-09-15 math.CT
Extended Module Categories in Higher Cluster Tilting Theory
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究科）
本文通过研究三角范畴关于高丛倾斜子范畴的理想商，证明其自然DG增强是阿贝尔d-截断DG范畴，并利用Morita型定理将其等价于d-截断DG范畴上的d-扩展模范畴。
2026-05-23 math.CT math.RT
On the relation between n-cotorsion pairs and (n+1)-cluster tilting subcategories
本文在具有足够投射和足够内射的外三角范畴中定义了$n$ -余扭对的概念。我们证明了$n$ -余挠对和$(n+1)$ -簇倾斜子范畴之间存在一一对应关系。作为一个应用，这个结果推广了Huerta，Mendoza和Pérez在阿贝尔情形下的工作。最后，我们给出了一些例子来说明我们的主要结果。
2019-07-31 math.CT math.RT
Abelian categories arising from cluster-tilting subcategories II: quotient functors
本文考虑一个外三角化范畴的一种理想商，使得该理想是从该外三角化范畴到阿贝尔范畴的函子的核。研究了函子稠密且满时的理想商的交换条件。利用同调方法，给出了该函子的一个新的等价刻画。作为应用，我们证明了在连通的2-Calabi-Yau三角化范畴B中，B的泛函有限扩张闭子范畴T是簇倾斜的当且仅当B/T是阿贝尔范畴.
2018-09-18 math.CT math.RT
Semi-abelian categories arising from pseudo cluster tilting subcategories
本文定义了外三角范畴中的伪丛倾斜子范畴，证明其商范畴构成半阿贝尔范畴，并在满足自正交条件时成为阿贝尔范畴，推广了正合范畴中的相关研究。
2023-09-08 math.CT math.RT
Quotients of exact categories by cluster tilting subcategories as module categories
证明了正合范畴的某些子商范畴是交换的。这推广了Koenig-Zhu在（代数）三角范畴中的一个结果。作为一种特殊情况，如果一个具有足够投射和内射的正合范畴B有一个簇倾斜子范畴M，则B/M是阿贝尔范畴。更确切地说，它等价于M的稳定范畴上的可表示模范畴。
2013-02-11 math.CT math.RT
Higher extension closure and $d$-exact categories
Department of Mathematical Sciences NTNU（NTNU数学科学系）
本文证明任何弱幂等完备的$d$-正合范畴等价于一个弱幂等完备正合范畴的$d$-簇倾斜子范畴，并推广到代数$(d+2)$-角范畴，同时证明$d$-簇倾斜子范畴的环绕正合范畴在弱幂等完备假设下唯一，进而得到$d$-挠类和$d$-宽子范畴的$d$-簇倾斜性质。
2026-05-23 math.CT math.RT
Rigid objects, triangulated subfactors and abelian localizations
本文研究了由刚性反变有限子范畴诱导的三角范畴的阿贝尔局部化，以及三角范畴的子因子范畴上的三角结构。在这方面，我们推广Buan-Marsh和Iyama-Yoshino最近的结果。我们还推广了Keller-Reiten关于Gorenstein和Calabi-Yau性质的基本结果，这些结果适用于由某些刚性（不一定是簇倾斜）子范畴产生的范畴，以及文献中关于三角范畴的2-簇倾斜子范畴与相干函子的相关阿贝尔范畴的倾斜子范畴之间的联系的一些结果。最后，我们沿着这些线刻画2-集群倾斜子范畴。
2013-05-10 math.CT math.KT math.RA
Support $τ_n$-tilting pairs
我们引入了Adachi-Iyama-Reiten支撑$τ$ -倾斜对概念的更高版本，它是Jacobsen-Jørgensen意义下的极大$τ_n$ -刚性对的推广.设$\mathcal C$是一个具有$n$ -悬挂函子$Σ^n$和Opperman-Thomas簇倾斜对象的$(n+2)$ -角范畴.证明了$\mathcal C$中的相对$n$ -刚性对象与$n$ -阿贝尔范畴$\mathcal C/{\rm add}Σ^n T$中的$τ_n$ -刚性对的双射，以及$\mathcal C$中的相对极大$n$ -刚性对象与支撑$τ_n$ -倾斜对的双射.我们还表明，相对$n$ -自垂直的对象是双射最大的$τ_n$ -刚性对。这些结果推广了Jacobsen-Jørgensen关于$\mathcal C$是$2n$-Calabi-Yau的工作和Yang-Zhu关于$n=1$的工作。
2020-06-14 math.CT math.RA math.RT
Axiomatizing Subcategories of Abelian Categories
研究了如何用内蕴公理刻画阿贝尔范畴的子范畴。特别是，我们发现的内在公理的特点生成cogenerated functorially有限的子范畴，preclustering倾斜子范畴，集群倾斜子范畴的阿贝尔范畴。因此，我们证明了任何$d$ -阿贝尔范畴是等价的阿贝尔范畴的$d$ -集群倾斜子范畴，没有任何假设的范畴被投影生成。
2021-08-06 math.CT math.RT
Auslander correspondence for higher stable dg categories and cluster Morita theory
Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）
该研究建立高阶稳定dg范畴的Auslander对应，引入d-簇dg范畴并证明其包含原d-稳定dg范畴作为d-簇倾斜子范畴，发展簇Morita理论并证明Amiot猜想的Morita变体与Calabi-Yau对应。
2026-09-01 math.CT math.RA math.RT
The completion of $d$-abelian categories
本文研究$d$-阿贝尔范畴的完备化Ind$(\u27e8M\u27e9)$的性质，证明其等价于左$d$-正合函子构成的满子范畴，探讨其成为$d$-丛倾斜子范畴的条件，并在$d=2$时建立与有限型的等价关系，关联Iyama的有限性问题。
2023-08-27 math.CT math.RT
Silting mutation in triangulated categories
在代数的表示论中，“突变”的概念常常起着重要的作用，其中有两种情况是众所周知的，即“簇倾斜突变”和“例外突变”。本文主要研究“倾斜突变”，它的缺点是不能通过替换一个倾斜对象的某些被加数来得到一个新的倾斜对象。本文的目的是通过引入淤积对象的“淤积突变”作为“倾斜突变”的推广来消除这一缺点。我们将发展淤积突变的基本理论。特别地，我们通过推广Riedtmann-Schofield和Happel-Unger的理论，在淤积对象集合上引入了偏序，并建立了与“淤积突变”的关系。我们表明，迭代淤积突变作用于局部，遗传或典型代数淤积对象的集合上的传递。最后，我们给出了一个双射之间的淤积子类别和某些t-结构。
2011-07-16 math.CT math.RA math.RT
Cotorsion pairs and t-structures in a $2-$Calabi-Yau triangulated category
对于具有一个$d-$簇倾斜子范畴$\mathcal{T}$的Calabi-Yau维的Calabi-Yau三角化范畴$\mathcal{C}$，证明了$\mathcal{C}$的分解由$\mathcal{T}$的特殊分解即$\mathcal{C}=\oplus_{i\in I}\mathcal{C}_i$决定，其中$\mathcal{C}_i, i\in I$是三角化子范畴，当且仅当$\mathcal{T}=\oplus_{i\in I}\mathcal{T}_i,$其中$\mathcal{T}_i, i\in I$是具有$Hom_{\mathcal{C}}(\mathcal{T}_i[t],\mathcal{T}_j)=0, \forall 1\leq t\leq d-2$和$i\not= j.$的子范畴。这导致了在$2-$ Calabi-Yau三角化范畴中的任何两个群集倾斜对象同时连接或不连接。作为应用，我们证明了不可分解的$2-$ Calabi-Yau三角范畴不具有非平凡的t-结构和非平凡的余t-结构。这使我们能够在这个三角范畴中给出余挠对的分类。此外，Nakaoka意义下的余挠对的心等价于余挠对的核的自同态代数上的模范畴。
2012-10-26 math.CT math.RA math.RT
Higher Auslander Algebras arising from Dynkin Quivers and n-Representation Finite Algebras
本文研究了通过Dynkin标量和n-表示有限代数构造更高Auslander代数的方法，并探讨了其在聚类倾斜对象中的应用。
2025-12-12 math.CT math.RA math.RT
The interplay between 2-and-3-Calabi--Yau triangulated categories
本文综述了由Ginzburg和Kontsevich-Soibelman提出的具有简单集合的3-Calabi-Yau三角范畴的构造，以及由Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov和Amiot提出的具有簇倾斜对象的2-Calabi-Yau三角范畴的构造，并讨论了具有簇倾斜对象的2-Calabi-Yau三角范畴的正规形。
2018-11-19 math.AG math.CT math.RT
$n\mathbb{Z}$-abelian and $n\mathbb{Z}$-exact categories
本文利用$n\mathbb{Z}$ -簇倾斜子范畴的公理化性质，引入了$n\mathbb{Z}$ -交换范畴和$n\mathbb{Z}$ -正合范畴.我们研究了这类范畴，并证明了阿贝尔的每个$n\mathbb{Z}$ -簇倾斜子范畴（分别为，精确）范畴具有$n\mathbb{Z}$ -阿贝尔（相应地，$n\mathbb{Z}$ -精确）类别。证明了每一个小的$n\mathbb{Z}$ -阿贝尔范畴都是这样产生的，并讨论了$n\mathbb{Z}$ -正合范畴的问题.
2022-02-14 math.CT math.KT math.RT
Relative rigid objects in extriangulated categories
本文研究了外三角范畴中的相对集团倾斜理论与模范畴中的τ-倾斜理论之间的密切关系。我们的主要结果表明，相对刚体与$τ$ -刚体对是双射的，在一定的假设下，相对极大刚体与支撑τ-倾斜对也是双射的.这些结果推广了Adachi-Iyama-Reiten，Yang-Zhu和Fu-Geng-Liu等人的工作。最后，我们引入了相对极大刚性对象的变异，证明了任何基本相对几乎极大刚性对象恰好有两个非同构的不可分解补。
2019-07-23 math.CT math.RT
The index with respect to a contravariantly finite subcategory
本文针对Dynkin型A的完备离散簇范畴中簇倾斜子范畴稀缺的问题，定义了相对于加法反变有限子范畴的指标，推广了经典理论结果，并证明该指标在三角形上可加（直至误差项），从而支持簇代数的范畴化。
2024-12-15 math.CT math.RT
Gorenstein dimension of abelian categories
设C是三角范畴，X是C的簇倾斜子范畴. Koenig和Zhu证明了商范畴C/X是Gorenstein维数至多为1的Gorenstein.外三角范畴的概念是由Nakaoka和Palu作为正合范畴和三角范畴的同时推广而引入的。设C是具有足够投射和足够内射的外三角范畴，X是C的簇倾斜子范畴。本文证明了在一定条件下，商范畴C/X是Gorenstein维数至多为1的Gorenstein.作为一个应用，该结果推广了Koenig和Zhu的工作.
2019-04-22 math.CT math.RT
Hereditary extriangulated categories: Silting objects, mutation, negative extensions
本文主要研究遗传外三角范畴。表示论中与各种突变理论有关的许多重要范畴都是遗传性的。特殊情况包括同伦范畴的2项复合物的投影组件，这是有关的淤突变，和集群类别（与相关的相对外三角结构）的集群倾斜突变发生。证明了在主维为1的遗传外三角范畴中，极大刚性对象及其子范畴存在不可约突变理论。应用于上述实例，这恢复了三角分类中的2项淤积突变和聚类倾斜突变。通过构造合适的外三角范畴，我们还恢复了温柔代数的τ-倾斜突变和非接吻面的翻转。结合Adachi-Tsukamoto和Pauksztello-Zvonareva的结果，我们的突变也提供了中间co-t-结构的突变。在我们早期工作的精神，我们研究负扩张遗传外三角范畴。给出了泛平衡负扩张存在的充分条件。我们明确计算某些先验的非普遍的，版本的负扩展的遗传范畴与刚性子范畴的三角范畴。我们讨论的例子中，这两个结构给出了相同的δ函子，他们不同意。
2023-03-14 math.CO math.CT math.RT
A geometric realization of the $m$-cluster categories of type $\tilde{D_n}$
我们证明了$\tilde{D_n}$型$m$ -簇范畴的一个子范畴同构于一个由$(n-2)m$ -边形中的弧组成的范畴，该边形中有两个中心$(m-1)$ -边形.我们证明了色箭图和$m$ -簇倾斜对象的突变与$(m+2)$ -角化的翻转是相容的.在本文的最后一部分，我们详细介绍了一个例子的类型$\tilde{D_7}$。
2021-09-30 math.CT math.RT
