Laplacian growth in the half plane
D. Vasiliev, A. Zabrodin
我们研究了半平面中具有零表面张力的拉普拉斯增长问题的一个版本，并找到了自相似精确解的族。
We investigate a version of the Laplacian growth problem with zero surface tension in the half plane and find families of self-similar exact solutions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Discrete Laplacian Growth: Linear Stability vs Fractal Formation
我们引入随机离散拉普拉斯增长，并考虑其确定性连续版本。这些分别使人想起著名的扩散限制聚集和Hele-Shaw自由边界问题的界面传播。研究了确定性自由边界问题的稳定性与相应离散问题的宏观分形增长之间的关系。事实证明，离散问题中的分形增长不受其确定性版本稳定性的影响。利用这一事实，可以很容易地提供一个定性的分析描述离散拉普拉斯增长。
Quantized Laplacian growth, III: On conformal field theories of Laplacian growth
引入了具有零表面张力的量子化拉普拉斯增长中界面的单参数随机动力学。量子化过程通过防止界面尖端的形成来规则化生长，并使界面动力学变得混乱。在长时间渐近情形下，通过将一个共形场论与随机增长过程耦合，我们引入了一组观测量（鞅），它们的期望值在时间上是常数。鞅与维拉索罗代数的退化表示相连，并且可以用共形关联函数来表示。提出了拉普拉斯增长与中心荷$c\geq25$的共形刘维场论之间的直接联系。
Quantized Laplacian growth, I: Statistical theory of Laplacian growth
通过引入短距离截断$\hbar$正则化零表面张力下的拉普拉斯增长问题，使得区域面积的变化被量子化并等于面积量子$\hbar$的整数倍.这个区域可以被认为是服从泡利不相容原理的微小粒子（面积量子）的集合。利用Laughlin对整数量子霍尔效应的描述，介绍了拉普拉斯增长的统计理论。聚集体的半经典演化类似于经典的确定性拉普拉斯增长。然而，量化过程在液滴的边缘处产生不可避免的波动。边缘涨落的统计特性与量子混沌系统的统计特性是一致的，量子混沌系统一般用对称酉矩阵上的Dyson循环系综来描述。
Classical and Quantum Integrability in Laplacian Growth
在这里，我们回顾拉普拉斯增长问题和经典的可积系统之间的连接的特定方面。此外，我们还提出了量子可积系统与拉普拉斯增长问题之间的一种可能联系。这样的连接，如果得到证实，有可能允许的拉普拉斯生长集群的分形特性的理论预测，通过共形场论的表示理论。
Liouville and logarithmic actions in Laplacian growth
讨论并构造了单连通Laplacian增长的作用泛函（对数作用），得到了它的变分形式。这种变化可以有各种解释。特别地，我们考虑了一般的光滑从属演化，并给出了与维拉索罗代数和Neretin多项式的联系。
The canonical BV Laplacian on half-densities
本文以教学综述形式梳理半密度上的典范 BV Laplacian，为相关数学物理内容提供导引。
Spectral and scattering properties at thresholds for the Laplacian in a half-space with a periodic boundary condition
对于具有周期边界条件的半空间中的Laplacian散射系统，我们导出了在嵌入阈值处的预解展开式，证明了散射矩阵的连续性，并建立了新的波算子公式.
Universality of stochastic Laplacian growth
本文利用正规随机矩阵框架研究随机拉普拉斯生长，证明最概然生长对应确定性拉普拉斯生长，并给出涨落概率分布，发现涨落配分函数具有不依赖初始区域形状的普适性。
Laplacian Growth and Whitham Equations of Soliton Theory
本文证明了零表面张力下多连通区域的Laplacian增长问题（Hele-Shaw问题）等价于孤立子理论中已知的Whitham方程的一个可积系统。Whitham方程描述了可积非线性微分方程族的慢调制周期解。通过这种联系，拉普拉斯增长被理解为黎曼曲面的模空间中的流动。
Spectral properties of the magnetic Robin Laplacian on curvilinear half-plane
本文研究曲线半平面上带紧支磁场的磁Robin拉普拉斯算子，证明其谱在边界小局部变形下稳定，解决了Robin拉普拉斯谱对边界变形不稳定的问题。
Random matrices and Laplacian growth
随机矩阵的理论与特征值分布在复杂的平面和更一般的“β-系综”（对数气体在2D）进行审查。在大N极限下研究了特征值的分布和相关性。它表明，在这个限制的模型是数学上等价于一类扩散控制的增长模型的Hele-Shaw细胞和其他的拉普拉斯型的增长过程中的粘性流动。所使用的分析方法涉及技术的边界值问题在两个维度和潜在的理论元素。
Martingales of stochastic Laplacian growth
提出了一类随机Laplacian增长问题的指数鞅族。随机拉普拉斯增长描述了一个正则化的界面动力学在两个流体系统中，粘性流体是不可压缩的，在大规模的界面附近，而在小规模的可压缩。因此，边界附近的压力的随机波动是不可避免的。利用Loewner-Kufarev方程，研究了非局部随机Loewner测度产生的界面动力学，该测度产生了具有粘性指的图形。我们使用Schottky二重构造来引入一个与库仑气体框架中的边界共形场论的主算子的关联函数密切相关的二重随机过程的单参数函数族。对于一个特定的参数值，这些功能的随机Loewner流的肖特基双鞅。建议的代数结构和随机界面动力学的物理问题之间的连接依赖于阿达玛的变分公式。也就是说，在随机拉普拉斯增长的界面附近的压力的变化是由鞅的双重协方差。
Half-delocalization of eigenfunctions for the Laplacian on an Anosov manifold
研究了具有Anosov测地线流的紧致黎曼流形上Laplacian的高能本征函数。与本征函数序列相关的半经典测度的局部化由该测度的柯尔莫哥洛夫-西奈熵来表征。我们表明，这个熵必然是有界的，从下面的一个常数，在恒定的负曲率的情况下，等于一半的最大熵。在这个意义上，高能本征函数至少是半离域的。
On Integrability and Exact Solvability in Deterministic and Stochastic Laplacian Growth
我们回顾了经典和量子可积系统理论在流体力学自由边界问题以及相应的统计力学问题中的应用。我们还回顾了与Laplacian增长相关的随机模型的多重分形谱理论：Schramm-Loewner和Levy-Loewner演化中所获得的重要精确结果。
Gradient nature of Laplacian growth
本文提出将平面Laplacian型增长过程解释为曲线空间中的梯度下降，证明边界沿泛函梯度移动，最简情形下泛函为$\log(1/r)$。
Discrete Laplacian in a half-space with a periodic surface potential I: Resolvent expansions, scattering matrix, and wave operators
我们提出了一个详细的研究的散射系统的Neumann-Laplacian离散半空间扰动的边界处的周期电位。我们推导出在阈值和特征值的渐近预解展开式，我们证明了散射矩阵的连续性，我们建立了新的波算子公式。一路上，我们的分析证明了一个令人惊讶的关系之间的一些性质的潜力，如奇偶性的周期，和行为的积分核的波算子。
Singularly continuous spectrum of a self-similar Laplacian on the half-line
我们研究了自相似拉普拉斯算子的谱，它在整数半直线$\mathbb{Z}_+$上产生所谓的“$pq$随机游走”。利用谱抽取的方法，证明了当$p\neq \frac{1}{2}$满足时，Laplacian的谱型是奇连续的。这作为一个玩具模型，用于产生奇异的连续谱，这可以推广到更复杂的设置。我们希望它能为Fibonacci和其他弱自相似模型提供更多的见解。
Absence of eigenvalues of non-self-adjoint Robin Laplacians on the half-space
通过发展乘子法，建立了在变复Robin边界条件下，半空间中Laplacian算子特征值完全不存在的充分条件.作为该方法的进一步应用，在相同的假设条件下，得到了一致预解式估计。有些结果是新的，即使在自伴设置，在那里我们获得量子力学的自然条件。
Multi-Cuts Solutions of Laplacian Growth
提出了一类新的零表面张力拉普拉斯增长的解，并证明了它包含所有其他已知解作为特殊或极限情况。这些解决方案，这是随时间变化的共形映射与分支切割内的单位圆，由一个非线性积分方程和描述油峡湾的非平行壁在Hele-Shaw细胞的粘性指进实验。运动积分的多切割拉普拉斯增长的解决方案的奇异性的Schwarz函数的发现，并推导出动力学的密度（跳跃）的削减。这些解的子类在Schwarz函数的截集上具有线性柯西密度，这是特别有趣的，因为在这种情况下，共形映射的积分方程变成线性的。这些解决方案也可以是物理上的重要性，通过代表油/空气界面，形成油峡湾与一个恒定的开口角，根据最近的实验中的Hele-shaw细胞。
Quantized Laplacian growth, II: 1D hydrodynamics of the Loewner density
给出了拉普拉斯增长波动的系统分析处理。生长过程通过短距离截止$\hbar$来调节，以防止在有限时间内产生尖点。这种正则化机制在微观尺度上产生微小的不可避免的波动，从而使界面动力学变得混乱。波动的时间演化可以用普适的Dyson布朗运动来描述，在流体动力学近似下，该运动退化为复杂的粘性Burgers方程。由于界面动力学的内在不稳定性，微尺度上界面的微小涨落在长时间渐近过程中产生具有良好峡湾和指状结构的普遍图形。
Laplacian growth in a channel and Hurwitz numbers
研究了在横向具有周期性边界条件的无限长通道中具有零表面张力的二维拉普拉斯增长问题的可积结构。类似于径向几何中的拉普拉斯增长，这个问题可以嵌入到零色散极限的2D Toda晶格层次中。然而，对层次结构的相关解决方案是不同的。我们用弦方程刻画了这个解，并构造了相应的无色散τ函数。这个tau函数被证明是符合双Hurwitz数的生成函数的亏格零部分。
Lemniscates do not survive Laplacian growth
由所谓的拉普拉斯增长模型化的平面中的大类移动边界过程，其描述例如，固化、电沉积、粘性指进、细菌生长等，已知是可积的，并具有大量的精确解。在这项工作中，边界被假定为在类双纽线与所有零内的有界组件的复平面。我们证明，从这个类的任何初始边界，不断发展的边界立即停止在类中，否则拉普拉斯增长立即摧毁双纽。
Discrete approximations to Dirichlet and Neumann Laplacians on a half-space and norm resolvent convergence
该研究将$\boldsymbol{R}^d$中拉普拉斯算子离散逼近的范数预解收敛结果扩展到半空间上的Dirichlet和Neumann拉普拉斯算子，证明了网格尺寸二次速率的收敛性，并推广到含特定势的算子及拉普拉斯算子函数。
Coulomb gas ensembles and Laplacian growth
我们考虑了一般约束势下的正规矩阵系综。我们发现，本征值凝聚在一个紧集在平面上，我们称之为光谱液滴。我们还研究了逐步增加维度的演变，即，在这个费米子模型中增加了一个额外的电子。
Field theories for Laplacian Growth
本文构建了拉普拉斯随机游走的精确晶格作用量，并推广到b-LRW和扩散限制聚集，为研究拉普拉斯增长过程提供了场论框架。
Criticality transition for positive powers of the discrete Laplacian on the half line
本文研究半直线离散拉普拉斯算子正幂(-Δ)^α的临界性，证明其临界充要条件为α≥3/2，给出亚临界区Hardy型不等式，并例证临界情况耦合小局部势时的负特征值现象。
Spectral and Dynamical Analysis of Fractional Discrete Laplacians on the Half-Lattice
本文研究多维半格上的离散分数阶拉普拉斯算子，通过将其表示为全格算子的边界限制加相对紧修正项，证明了两者具有相同的本质谱和内部阈值结构，并利用共轭算子方法建立了局部极限吸收原理，确保了全格上的谱与动力学结果在半格上依然成立。
Stochastic completeness of graphs: bounded Laplacians, intrinsic metrics, volume growth and curvature
本文的目的是调查各种结果有关的随机完全图。特别是，我们提出了各种配方的随机完整性，并讨论如何之间的差异唯一类和体积增长的标准，在连续和离散的设置，最终解决了通过使用的内在指标。在此过程中，我们讨论了几何意义上和分析意义上的有界性的一些等价概念。我们还讨论了随机完备性的各种曲率准则，并讨论了弱球对称图如何建立结果的清晰度。
Theory of stochastic Laplacian growth
我们推广的扩散限制的聚集通过发出许多随机行走的粒子，坚持在离散的时间单位提供其增长的集群。使用简单的组合参数，我们确定不同的增长方案的概率，并证明最可能的演变是由确定性拉普拉斯增长方程。对生长概率的势论分析揭示了与二维Toda族可积无色散极限的τ函数、正常矩阵系综以及限制在非均匀磁场中的二维戴森气体的联系。我们引入了含时的哈密顿量，它产生了不同类的等价封闭曲线之间的过渡，并证明了界面动力学的哈密顿结构。最后，我们提出了一个增长的情况下的概率和半经典极限的某些关联函数的“轻”指数算子的刘维共形场论上的伪球。
One-dimensional scaling limits in a planar Laplacian random growth model
我们考虑一个家庭的增长模型定义的共形映射，其中的局部增长率是由$|Φ_n'|^{-η}$，其中$Φ_n$是$n$粒子的聚合地图。我们建立了一个缩放极限的结果，其中强反馈的增长规则导致一维限制的形式直缝。更准确地说，我们展示了一个相变的祖先结构的增长集群：对于$η>1$，聚集粒子附着到他们的直接前辈的概率很高，而$η<1$几乎可以肯定，这不会发生。
Non-Laplacian growth, algebraic domains and finite reflection groups
研究了在满足椭圆型偏微分方程的标量场梯度驱动下具有运动边界的平面区域的动力学问题。我们考虑的问题：对于哪种偏微分方程的域是代数的，提供了该领域有奇点在一个固定点内的域？该结构揭示了与有限反射群及其可积变形相关的Calogero-Moser系统理论的直接联系。
Integrability-preserving regularizations of Laplacian Growth
针对 LG 与 DLA 长时间解标度性质缺乏恰当理论的问题，本文提出构建保可积性正则化 LG 的思路，并阐明其与 DLA 的联系。
Boundary value problems in Euclidean space for Bosonic Laplacians
玻色拉普拉斯算子是一个共形不变的二阶微分算子，作用于定义在欧氏空间中的域上的光滑函数，并取值于特殊正交群的高阶不可约表示中。本文研究了上半空间和单位球上的玻色拉普拉斯算子的边值问题。构造了上半空间和单位球上的Poisson核，给出了具有$L^p$边界数据$1 \leq p \leq \infty$的Dirichlet问题的解.我们还证明了具有连续数据的玻色拉普拉斯算子Dirichlet问题解的唯一性，并提供了玻色拉普拉斯算子零解的调和函数的一些性质的类似物，例如Cauchy估计，均值性质，Liouville定理等.
Random Matrices in 2D, Laplacian Growth and Operator Theory
自从60年前Wigner和Dyson首次将其应用于核相互作用的研究以来，随机矩阵理论（RMT）已经发展成为应用数学中的一个独立领域，现在对理论物理的许多部分都至关重要，从凝聚态到高能。到目前为止所获得的基本结果主要依赖于一维随机矩阵理论（谱的维数，或平衡概率密度）。在过去的几年里，这个理论已经扩展到了二维的情况，甚至是分形的，维数在1到2之间。在本文中，我们回顾了这些最新进展，并指出了该理论可以应用的一些物理问题。
Stochastic Laplacian growth
平面上的点源不断地发射粒子，这些粒子迅速扩散，然后粘在一个不断增长的簇中。集群的增长概率表示为导致相同最终形状的所有可能场景的总和。经典的作用点，定义为增长概率的负对数，描述了最可能的情况，并再现了拉普拉斯增长方程，其中包括许多基本的自由边界动力学在非平衡物理。对于非经典的情况下，我们引入虚拟点源，在存在的行动成为Kullback-Leibler熵。引人注目的是，这个熵被证明是每基本时间单位生长的层的静电能的总和。因此，所提出的非平衡过程的增长概率服从吉布斯-玻尔兹曼统计，作为一项规则，不适用于平衡。每一层的概率表示为一个简单的因素在一个辅助复平面后，适当选择的保角映射的产品。在这个平面上的作用是罗宾函数的和，它解出了刘维尔方程。最后，我们建立了我们的理论与可积户田族的τ函数和非临界量子弦的刘维尔理论的联系。
Magnetic bottles on the Poincaré half-plane: spectral asymptotics
考虑Poincaré半平面上的磁拉普拉斯算子P（A），当磁场dA在无穷远处无穷大时，使得P（A）具有纯离散谱.给出了特征值计数函数的渐近性态。
Whitham hierarchy in growth problems
讨论了最近建立的零表面张力极限下的Laplacian增长与孤子理论中普遍的Whitham族之间的等价性。这种等价性使得我们可以区分多连通情形下拉普拉斯增长问题的一类精确解。这些解决方案corerespond有限维减少的Whitham层次表示为方程的流体动力学类型，这是可解的广义速端法。
Laplacian growth & sandpiles on the Sierpinski gasket: limit shape universality and exact solutions
我们建立定量的球形定理转子路由器聚集和阿贝尔沙堆生长的图形Sierpinski垫片（$SG$）时，粒子从角顶点发射。特别地，阿贝尔沙堆增长问题是通过递归构造自相似沙堆瓦片来精确解决的。我们发现，沙堆的增长和模式表现出$(2\cdot 3^n)$ -周期性作为初始质量的函数。此外，星系团以周期性的间隔爆炸--半径增加超过1，这是在$\mathbb{Z}^d$或树上看不到的现象。我们明确地描述了所有的径向跳跃，并使用更新定理来证明集群半径的标度极限，它满足对数周期振荡调制的幂律。在我们的证明过程中，我们还建立了具有两种不同边界条件的$SG$的子图的沙堆群的结构恒等式，特别是由Fairchild，Haim，Setra，Schmidhartz和Westura所证明的相应恒等元素。我们的主要定理，结合最近的结果陈，胡斯，萨瓦-胡斯，和Tehraev，建立$SG$作为一个积极的例子的状态空间，表现出“极限形状的普遍性”，在莱文和佩雷斯的意义上，在四个拉普拉斯增长模型：可分沙堆，阿贝尔沙堆，转子路由器聚集，和内部扩散限制聚集（IDLA）。最后，我们总结了$SG$上IDLA的径向涨落，极限形状普适性到其他状态空间的可能扩展，以及相关的公开问题。
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