Global smoothness for a 1D supercritical transport model with nonlocal velocity
本文研究了一个具有超临界耗散的一维非局域输运模型$γ\in(0,1)$，其中速度通过希尔伯特变换耦合，即所谓的CCF模型。这个模型是作为著名的二维耗散准地转方程和涡面问题的一个低维模型而产生的。已知当$γ\in(0,1/2)$.另一方面，如Kiselev（2010）所述，在超临界子区间$γ\in\lbrack1/2,1)$中，知道其解是否全局正则是一个开放问题。我们证明了非负的$H^{3/2}$-强解在超临界子范围（接近1），依赖于初始数据范数的整体存在性。然后，对于任意光滑非负初始数据，只要满足$γ\in\lbrackγ_{1},1)$，模型就有唯一的全局光滑解，其中$γ_{1}$依赖于$H^{3/2}$-初始数据范数.我们的方法受到Coti Zelati和Vicol（IUMJ，2016）的启发。
2019-06-18 math.AP
On a 1D nonlocal transport equation with nonlocal velocity and subcritical or supercritical diffusion
本文研究了一维非局部速度迁移方程，其耗散项为亚临界或超临界。对于加权索伯列夫空间中的所有数据，具有$k=\max(0,3/2-α)$和$w_{λ, κ}$的$H^{k}(w_{λ,κ}) \cap L^{\infty},$是Muckenhoupt权重的给定族。我们证明了一个整体存在的结果在次临界情况下$α\in (1,2)$。我们还证明了一个局部存在定理的大数据在$H^{2}(w_{λ, κ})\cap L^{\infty}$在超临界情况下$α\in (0,1)$。证明是基于使用加权Littlewood-Paley理论，插值以及一些新的交换子估计。
2017-10-01 math.AP math.FA
Global well-posedness of slightly supercritical active scalar equations
本文研究了具有非局域扩散的微超临界活性标量。我们证明了全局正则性的表面准地转（SQG）和Burgers方程，当扩散项是超临界的符号与大致对数行为在无穷远。我们证明了Burgers方程的结果是尖锐的。我们还证明了一个略超临界二维欧拉方程的整体正则性。我们的主要工具是一个非局部的最大值原理，它控制一定的模的连续性的解决方案。
2012-03-28 math.AP
On the regularity issues of a class of drift-diffusion equations with nonlocal diffusion
本文研究了具有非局部扩散的漂移扩散方程的正则性问题，其中扩散算子是稳定型Lévy算子，速度场由所考虑的量定义为零阶伪微分算子.通过统一运用非局部最大值原理的方法，证明了超临界情形下的最终正则性结果和某些超临界情形下的整体正则性结果.这些结果的特点是，在超临界型的情况下，该解决方案是顺利定期的时间后，可以明确评估。
2019-07-19 math.AP
Convergence of supercritical fractional flows to the mean curvature flow
我们考虑一个核心半径的方法来管理的各向同性内核临界和超临界指数的非局部周长，扩展了当今经典的概念$s$ -分数周长，定义为$0<s<1$，的情况下$s\ge 1$ \，。我们发现，作为核心半径消失，这样的核心半径正则化$s$ -分数周长，适当缩放，$Γ$ -收敛到标准的欧几里得周长。在相同的尺度下，这种非局部周长的一阶变分给回正规$s$ -分数曲率，作为核心半径消失，收敛到标准的中曲率，因此，我们表明，水平集的解决方案，相应的非局部几何流，适当地重新参数化的时间，收敛到标准的中曲率流。最后，我们证明了类似的结果的情况下，各向异性内核与应用位错动力学。保留字：分数周长; $Γ$ -收敛;局部和非局部几何演化;黏性解;水平集公式;分数中曲率流;位错动力学
2021-02-25 math.AP
A mixed local and nonlocal supercritical Dirichlet problems
本文研究带超临界非线性项的混合局部-非局部Dirichlet问题，采用变分方法在函数空间闭凸子集上克服紧性缺失，证明小μ参数下正解、变号解及对称解的存在性，并推广到超临界Hamilton系统。
2023-08-25 math.AP
Profile of solutions for nonlocal equations with critical and supercritical nonlinearities
研究了分数阶拉普拉斯问题（-Δ）^s u &=& u^p -εu^q \quad \text{in } \quad Ω，u & \in & H^s（Ω）\cap L^{q+1}（Ω），u &>&0 \quad \text{in } \quad Ω，u&=&0 \text{in} \setminus Ω，其中$s\in(0,1)$，$q>p\geq \frac{N+2s}{N-2s}$和$ε>0$是参数.这里$Ω\subseteq\mathbb{R}^N$是一个有界的星形区域，具有光滑边界和$N> 2 s$。我们建立了变分正解$u_ε$的存在性，并刻画了$u_ε$的渐近行为为$ε\to 0$。当$p=\frac{N+2s}{N-2s}$，我们描述如何解决方案$u_ε$集中和爆炸的内部点的域。进一步证明了当$Ω$是$\mathbb{R}^N$的凸对称整环时，当$N>4s$和$p=\frac{N+2s}{N-2s}$同时存在时，上述问题解的局部唯一性.
2017-10-14 math.AP
A Discrete Model for Nonlocal Transport Equations with Fractional Dissipation
本文提出一个离散模型来研究具有非局域漂移和超临界耗散的一维输运方程。我们模型的灵感来自等式$$ θ_t + (Hθ) θ_x +(-Δ)^αθ=0 $$，其中$H$是希尔伯特变换。对于我们的离散模型，我们提出了爆破的结果，类似于上述方程的已知结果。此外，我们将证明我们的离散模型的规律性，这表明在连续设置的范围$1/4<α<1/2$超临界规律性。
2014-12-10 math.AP
Harnack inequalities for nonlocal operators with supercritical drifts and their applications
本文研究带临界/超临界无散度漂移的非局部方程弱解的哈纳克估计，应用该结果建立了三类方程（临界随机准地转、二维分数阶纳维-斯托克斯、临界随机微分方程广义鞅问题）的适定性或弱解存在性。
2025-11-17 math.AP math.PR
Standing waves for the NLS equation with competing nonlocal and local nonlinearities: the double $L^{2}$-supercritical case
研究了一类具有竞争Hartree型和幂型非线性项\begin{equation*} \begin{array}{ll} i\partial _{t}ψ+Δψ+γ(I_{α}\ast |ψ|^{p})|ψ|^{p-2}ψ+μ|ψ|^{q-2}ψ=0, & \text{ }\forall (t,x)\in \mathbb{R\times R}^{N},% \end{array}% \end{equation*} %的NLS方程，其中$γμ<0$ .我们在能量空间中建立了局部适定性的条件。在双$L^{2}$ -超临界情形下，通过发展一种约束方法，证明了当$γ<0,μ>0$和$γ>0,μ<0, $分别为两种情况时，具有指定质量的驻波的存在性和多重性.此外，我们通过考虑适当的局部极小化问题和分析映射，分别证明了驻波的弱轨道稳定性和强不稳定性。在这项工作中进行了一个新的分析的映射。我们认为它是创新的，因为它在以前的任何结果中都没有讨论过。同时给出了Cauchy问题解爆破的下界速率。由于这两类非线性的“\textquotedblleft强度”不同，我们发现这两种情况下的结果有本质的不同。我们将处理两个主要的场景，由于它们不同的几何结构，它们彼此完全不同。这导致了令人惊讶的发现。此外，竞争的纯幂型非线性的情况下，可以从我们的研究感谢一个很好的选择的核心Hartree项。
2023-03-19 math.AP
Global well-posedness for a slightly supercritical surface quasi-geostrophic equation
利用非局部最大值原理证明了一个略超临界地表准地转方程整体光滑解的存在性。这意味着速度场$u$是通过具有符号$i k^\perp |k|^{-1} m(k|)$的傅立叶乘法器从有源标量$θ$获得的，其中$m$是比$\log \log |k|$增长得慢的平滑增函数，作为$|k|\rightarrow \infty$。
2011-11-08 math.AP
Semilinear nonlocal elliptic equations with critical and supercritical exponents
本文研究的问题是\begin{eqnarray*} (-Δ)^s u &=& u^p - u^q \quad\text{in }\quad \mathbb{R}^N, u &\in& \dot{H}^s(\mathbb{R}^N)\cap L^{q+1}(\mathbb{R}^N), u&>0& \quad\text{in}\quad\mathbb{R}^N, \end{eqnarray*}，其中$s\in(0,1)$是固定参数，$(-Δ)^s$是$\mathbb{R}^N$，$q>p\geq \frac{N+2s}{N-2s}$和$N>2s$中的分数拉普拉斯算子.对于每一个$s\in(0,1)$，我们建立了上述方程解的正则性结果（当解存在时），并证明了每一个解都是经典解。其次，我们得到了所有$s\in(0,1)$的解的衰减估计和解在无穷远处的梯度。使用这些衰减估计，我们证明Pohozaev型恒等式在$\mathbb{R}^N$和显示，上述问题没有任何解决方案时，$p=\frac{N+2s}{N-2s}$。我们还讨论了解的径向对称性和递减性，证明了当$p>\frac{N+2s}{N-2s}$时，上述问题存在解。此外，如果我们在有界区域中考虑上述方程的Dirichlet边界条件，我们证明了它对每个$p\geq \frac{N+2s}{N-2s}$都有解，并且每个解都是经典解.
2017-03-21 math.AP
Fractional Hardy equations with critical and supercritical exponents
本文研究了分数阶Hardy不等式中一类问题\begin{align*} (-Δ)^s u -θ\frac{u}{|x|^{2s}}&=u^p - u^q \quad\text{in }\,\, \mathbb{R}^N,\quad u > 0 \quad\text{in }\,\, \mathbb{R}^N, \quad u \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^N)\cap L^{q+1}(\mathbb{R}^N), \end{align*}正解的存在性、不存在性和定性性质，其中$s\in (0,1)$、$N>2s$、$q>p\geq{(N+2s)}/{(N-2s)}$、$θ\in(0, Λ_{N,s})$和$Λ_{N,s}$为尖锐常数.对于定性性质的解决方案，我们的意思是，通过使用移动平面方法在整个$\mathbb{R}^N$的非局部设置中获得的径向对称性，和上界的解决方案的行为。为了这最后一个目的，我们使用一个代表性的结果，使我们能够将原来的问题转化为一个新的非局部问题的加权分数空间。
2021-10-27 math.AP
Nonlocal maximum principles for active scalars
在流体力学的许多问题中，都出现了活动标量。活动标量方程最常见的例子是2D欧拉方程、Burgers方程和2D表面准地转方程。关于这些方程解的正则性和性质的许多问题仍然是开放的。我们发展了非局部最大值原理的思想，建立了一个更一般的判据，并提供了新的应用。最有趣的应用是有限时间正则化的弱解在超临界状态。
2010-09-02 math.AP
On the Differentiability issue of the drift-diffusion equation with nonlocal Lévy-type diffusion
研究了具有非局部Lévy型扩散的漂移-扩散方程在超临界和临界情形下的可微性问题.在适当的漂移速度和强迫项的空间Hölder正则性条件下，我们证明了消失黏性解对任意正时间都是Hölder连续导数可微的.
2016-01-13 math.AP
On a multi-dimensional transport equation with nonlocal velocity and fractional dissipation
本文研究具有非局部速度和分数阶耗散的多维输运方程，依据非线性与耗散平衡分为次临界、临界和超临界三种情形，并分别证明了局部适定性、全局光滑性、最终正则性及有限时间爆破等结果。
2024-05-25 math.AP
Sharp critical thresholds for a class of nonlocal traffic flow models
研究了一类具有非局部前瞻交互作用的交通流模型。解的全局正则性依赖于初始数据。我们得到尖锐的临界阈值条件，区分成一个分割的初始数据：亚临界初始条件导致全球光滑的解决方案，而两种类型的超临界初始条件导致两种有限时间的冲击形成。非平凡亚临界初始数据的存在表明，非局部前瞻相互作用可以帮助避免激波的形成，从而防止交通堵塞的产生。
2022-03-17 math.AP
Large Time Behavior of a Nonlocal Diffusion Equation with Absorption and Bounded Initial Data
研究了Cauchy问题$u_t=\int J(x-y)(u(y,t)-u(x,t))\,dy-u^p$，$u(x,0)=u_0(x)\in L^\infty$的非负解的大时间行为，其中$|x|^αu_0(x)\to A>0$为$|x|\to\infty$ .我们的主要目标之一是研究关键情况下$p=1+2/α$的$0<α<N$，在以前的文章中，我们证明了$t^{α/2}|u(x,t)-U(x,t)|\to 0$，其中$U$是解决方案的热方程与初始数据$U(x,0)=C_{A,N}|x|^{-α}$的吸收。我们的证明，涉及序列的重新缩放的解决方案，使我们能够建立大的时间行为的解决方案具有更一般的nonintegrable初始数据$u_0$在超临界的情况下，也在临界情况下（$p=1+2/N$）的有界和可积的$u_0$。
2010-04-12 math.AP
The Fujita exponent for a heat equation with mixed local and nonlocal nonlinearities on the Heisenberg group
本文研究了 Heisenberg 群上具混合局部与非局部非线性项的半线性热方程，通过容量方法确定了 Fujita 指数作为全局存在与有限时间爆破的分界线，并给出了超临界状态下的寿命估计。
2025-10-31 math.AP
Dirichlet problem for supercritical nonlocal operators
设$D$是有界$C^2$ -整环.考虑如下带漂移的非局部算子的Dirichlet初边值问题：$$ \partial_t u={\mathscr L}^{(α)}_κu+b\cdot \nabla u+f\ \mathrm{in}\ \mathbb R_+\times D,\ \ u|_{\mathbb R_+\times D^c}=0,\ u(0,\cdot)|_{D}=φ, $$其中$α\in(0,2)$和$\mathscr L^{(α)}_κ$是一个$α$ -稳定的非局部算子，其核函数$κ(x,z)$由正常数上下有界，$b:\mathbb R^d\to\mathbb R^d$是一个有界的$C^β$ -函数，其核函数为$α+β>1$，$f: \mathbb R_+\times D\to\mathbb R$是一个$C^γ$ -函数，其核函数为$γ\in((1-α)\vee 0,β]$，$φ\in C^{α+γ}(D)$ .在对$κ$的Hölder假设下，证明了上述问题存在唯一的经典解$u\in L^\infty_{loc}(\mathbb R_+; C^{α+γ}_{loc}(D))\times C(\mathbb R_+; C_b(D))$.此外，我们建立以下概率表示$u$ $$ u(t,x)=\mathbb E_x \Big(φ(X_{t}){\bf 1}_{τ_{D}>t}\…
2018-09-15 math.AP math.PR
Cascade of Phase Shifts and Creation of Nonlinear Focal Points for Supercritical Semiclassical Hartree Equation
我们考虑半经典极限的Hartree方程的数据引起一个点的聚焦。研究了非线性项为超临界时，与WKB近似相函数在焦散点附近的渐近行为。在这种情况下，已知在聚焦三次非线性薛定谔方程的情况下，在聚焦时间附近发生相移。由于光滑的非局部非线性，我们证明了WKB型近似的解决方案的数据是大于以前的结果，并不一定是精心准备的。我们还表明，通过分析的极限流体动力学方程，但是，这种WKB型近似打破之前到达的焦点：非线性效应导致形成的奇异性的首项的相函数。
2009-12-08 math.AP
Weakly nonlinear analysis of a two-species non-local advection-diffusion system
本文对包含非局部对流项的双物种对流扩散模型进行弱非线性分岔分析，推导出耦合零模态的 Ginzburg-Landau 振幅方程，揭示了不同参数下亚临界与超临界分岔的稳定性，并发现小振幅模式不稳定时会出现大振幅模式与滞后现象。
2023-05-24 math.AP
On a one-dimensional α-patch model with nonlocal drift and fractional dissipation
我们考虑一维非局部非线性方程的形式：$\partial_t u = (Λ^{-α} u)\partial_x u - νΛ^βu$其中$Λ=(-\partial_{xx})^{\frac 12}$是分数拉普拉斯算子和$ν\ge 0$是粘性系数。我们主要考虑的制度$0<α<1$和$0\le β\le 2$的模型具有非局部漂移，分数耗散，并捕捉到的二维$α$补丁模型的基本特征。在临界和亚临界范围$1-α\le β\le 2$，我们证明了在索伯列夫空间中对任意大初值的整体适定性.在全超临界范围$0 \le β<1-α$，我们证明了一类光滑初值在有限时间内奇点的形成。我们的证明是基于一个新的非局部加权不等式，可以独立的利益。
2012-07-04 math.AP
Optimal Asymptotic Behavior at Infinity for Solutions of the Supercritical Lagrangian Mean Curvature Equation in Exterior Domains
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
研究外域上超临界拉格朗日均曲率方程解在无穷远处的渐进行为，采用尺度依赖的差商方法和非局部势方法，无需对f二次求导，仅在Lipschitz正则性下获得定量Hessian收敛，得到所有维度和所有衰减率β>0的最优渐进行为，包括临界对数情况。
2026-06-07 math.AP
Finite-time breakdown of the Euler-alignment system for supercritical initial data
Yonsei University（延世大学）；University of Maryland（马里兰大学）
研究欧拉对齐系统经典解的有限时间崩溃，通过拉格朗日流退化刻画奇点，对恒定核推导公式和准则，对一般非恒定核结合机制推导条件，给出任意维度定量超临界崩溃准则，补充现有理论。
2026-07-10 math.AP
Traveling waves for a nonlocal KPP equation and mean-field game models of knowledge diffusion
本文分析了经济学家R.E. Lucas和B. Moll（2014）描述了生产基于知识增长和扩散的经济系统。该模型简化为一个偏微分方程系统，其中一个向后的Hamilton-Jacobi-Bellman方程与一个向前的KPP型方程耦合，该方程具有非局部反应项。我们研究了这个平均场博弈系统行波的存在性，得到了临界波和超临界波的存在性。特别是，我们证明了经济学家提出的一个猜想，即所描述的经济存在一个关键的平衡增长路径，应该是预期的长期稳定增长。我们还提供了不存在的结果，澄清了经济模型中的参数的作用。
2020-10-21 math.AP
On Wiener's Violent Oscillations, Popov's curves and Hopf's Supercritical Bifurcation for a Scalar Heat Equation
研究了一类非局部非自伴秩一扰动下标量Laplacian谱的参数依赖扰动。扰动谱的详细描述得到的Dirichlet边界条件上的有界区间，以及为全实数线上的问题。将所得结果应用于一个相关参数依赖的非线性非局部抛物型方程的研究。该等式对反馈系统进行建模，该反馈系统例如可以被解释为恒温器设备或者在用于市场的基于代理的价格形成模型的上下文中。证明了一类非线性非局部热传导方程的周期自振荡的存在性和稳定性。研究了一类具有Dirichlet边界条件的非线性抛物型方程和一类具有反馈边界控制的非线性Neumann边界条件的相关问题的分歧和稳定性.将非线性抛物型方程的稳定性分析归结为对一个相关的非线性Volterra积分方程的研究，然后利用积分方程的Popov准则得到了分支和稳定性结果.虽然这个问题是在标量的情况下研究，但它可以自然地推广到任意欧氏维数和流形。
2020-07-09 math.AP math.DS
Nonlocal elliptic equations involving logarithmic Laplacian: Existence, non-existence and uniqueness results
本文研究涉及对数拉普拉斯算子的非局部椭圆方程的存在性、非存在性与唯一性，证明Pohozaev恒等式和Díaz-Saa型不等式，并揭示加权非局部问题的极小能量解在超线性和次线性增长下分别收敛于Brézis-Nirenberg型和逻辑型极限问题的解。
2025-04-26 math.AP
Bound state solutions for the supercritical fractional Schrödinger equation
证明了超临界非线性分数阶薛定谔方程$(-Δ)^s u+V(x)u-u^p=0$在$\mathbb R^n$中正解的存在性，其中$u(x)\to 0$为$|x|\to +\infty$，$p>\frac{n+2s}{n-2s}$为$s\in (0,1), \ n>2s$ .我们表明，如果$V(x)=o(|x|^{-2s})$作为$|x|\to +\infty$，那么对于$p>\frac{n+2s-1}{n-2s-1}$，这个问题承认一个连续的解决方案。更一般地，对于$p>\frac{n+2s}{n-2s}$，还提供了可溶解性的条件。这个结果是Davila，Del Pino，Musso和Wei的工作在分数情形的推广。我们的主要贡献是：在$\mathbb R^n$中存在一个光滑的、径向对称的$(-Δ)^s w=w^p$的整体解，并分析了它的性质.这里的困难是缺乏相平面分析的非局部常微分方程，而是我们使用共形几何方法与沙夫的论点，如在该文件由敖，陈，DelaTorre，Fontelos，冈萨雷斯和魏奇异分数Yamabe问题。
2019-02-04 math.AP
Local and nonlocal singular Liouville equations in Euclidean spaces
我们研究了在原点具有指定奇异性的欧几里得空间中常数$Q$-曲率的度量，即有限体积条件下方程$$(-Δ)^\frac{n}{2}w=e^{nw}-cδ_{0} \text{ on } \mathbb R^n,$$的解。我们分析的渐近行为在无穷远和每一个$n\ge 3$也在超临界状态下的解决方案的存在性。最后，我们提出了一些开放的问题。
2018-08-10 math.AP math.DG
On the Schauder Estimates for Non-local Equations with Drift: The Supercritical Case
College of Mathematics and Physics, Beijing University of Chemical Technology（北京化工大学数学与物理学院）；State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室）
针对带漂移的非局部柯西问题，本文建立超临界情形下的Schauder估计，其主导算子为α稳定过程生成元，漂移项满足Hölder连续性，证明采用锥形Littlewood–Paley分解与一维单侧二进制极大值原理。
2026-08-11 math.AP math.PR
Symmetry and decay of traveling wave solutions to the Whitham equation
研究了非局部浅水波模型的孤波解的衰减性和对称性。结果表明，所有的超临界孤波解在波峰两侧都是对称的和单调的。证明是基于先验衰减估计和移动平面的方法。此外，对称解和行波解之间建立了密切的关系。
2017-01-27 math.AP
The influence of a Generalized Hardy-Type Potential on Finite Morse Index Solutions of the Hénon Problem: Local and Nonlocal Cases
King Faisal University（费萨尔国王大学）；Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Kairouan（凯鲁万应用科学与技术高等学院）
本文研究带Hardy型势和Hénon权重的半线性椭圆问题稳定解的不存在性，覆盖局部与非局部、全空间与半空间，利用能量估计和Pohozaev恒等式证明临界及超临界结果。
2026-10-06 math.AP
Nonlocal scalar field equations: qualitative properties, asymptotic profiles and local uniqueness of solutions
研究了具有消失参数\[ \left\{\begin{array}{lll} (-Δ)^s u+εu &=|u|^{p-2}u -|u|^{q-2}u \quad\text{in}\quad\mathbb{R}^N \\ u >0, & u \in H^s(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \]的非定域标量场方程，其中$s\in(0,1)$，$N>2s$，$q>p>2$为固定参数，$ε>0$为消失参数.对于$ε>0$小，我们证明了基态解的存在性，并证明了上述问题的任何正解都是经典解，并且是径向对称和对称递减的。我们还得到了解在无穷远处的衰减率。其次，我们研究了当$p$为亚临界、超临界和临界Sobolev指数$2^*=\frac{2N}{N-2s}$时基态解的渐近行为。对于$p<2^*$，该解与$(-Δ)^s u+u=u^p$的唯一正基态解渐近一致.另一方面，对于$p=2^*$，解的渐近行为由非局部临界Emden-Fowler型方程的唯一正解给出。对于$p>2^*$，该解与$(-Δ)^s u=u^p-u^q$的基态解渐近一致。利用这些解的渐近分布，证明了在$p\leq 2^*$情形下解的\textit{local uniqueness}.
2018-03-12 math.AP
Normalized ground states for the mass supercritical Schrödinger-Bopp-Podolsky system: existence, uniqueness, limit behavior, strong instability
本文研究质量超临界 Schrödinger-Bopp-Podolsky 系统归一化基态的存在性、唯一性、极限行为与强不稳定性，通过 $L^2$-球面上的山路论证和等价极小化问题，揭示了山路能量水平作为全局存在性阈值的作用。
2025-01-03 math.AP
Normalized Solutions to Schrödinger Equations with Critical Exponent and Mixed Nonlocal Nonlinearities
研究了一类具有混合非局部非线性项的非线性薛定谔方程规范解$(u_a, λ_a)\in H^{1}(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$的存在性和不存在性.这项研究可以被看作是一个对应的Brezis-Nirenberg问题的背景下，规范化的解决方案的非局部Schrödiger方程与固定的$L^2$ -范数$\|u\|_2=a>0$。首项为$L^2$ -超临界，即$p\in (\frac{N+α+2}{N},\frac{N+α}{N-2}]$，其中出现Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数$p=\frac{N+α}{N-2}$。首先证明了当$q\in (\frac{N+α}{N},\frac{N+α+2}{N})$和$μ>0$都很小时，存在两个归一化解，即一个在负能级，另一个在正能级.对于$q=\frac{N+α+2}{N}$，我们证明了$0<μ< \tildeμ $存在一个归一化的基态，而$μ>\tildeμ$不存在基态，其中$\tildeμ$是一个尖锐的正常数.如果是$q\in (\frac{N+α+2}{N},\frac{N+α}{N-2})$，我们就可以推论出任何$μ>0$都存在一个归一化的基态。对于$μ<0$和$q\in (\frac{N+α}{N},\frac{N+α+2}{N}]$，我们也得到了一些存在性和不存在性的结果.此外，…
2022-10-25 math.AP
On the Euler-Poisson equations with variable background states and nonlocal velocity alignment
本文研究具有可变背景态和非局部速度对齐的一维无压欧拉-泊松方程，通过将相平面分解为四个区域并采用定制比较原理，统一并推广了已有临界阈值分析结果。
2025-05-05 math.AP
Turing bifurcation, criticality, and multistability in a nonlocal advection-reaction-diffusion equation
Hokkaido University（北海道大学）；Research Institute for Electronic Science, Hokkaido University（北海道大学电子科学研究所）
本文研究带逻辑增长的非局部平流-反应-扩散方程，分析相互作用核对图灵分岔临界性与多稳态性的影响，推导分岔判据与亚临界条件，经数值分析发现稳定齐次解可与稳定非齐次解或时间周期解共存。
2026-10-16 math.AP nlin.PS
Stability and Instability of the Unique Positive Steady State for a Nonlocal Population Equation
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文研究非局部种群方程中空间异质性对唯一正稳态线性稳定性的影响，建立了大扩散和小扩散条件下的稳定性，并构造不稳定稳态及Hopf分支，表明唯一性不蕴含稳定性。
2026-10-05 math.AP math.FA
A unified clasification of Liouville properties and nontrivial solution for fractional elliptic equations with general Hénon-type superquadratic and gradient growth
针对带一般Hénon型超二次及梯度增长的分数阶椭圆方程，建立统一分析框架确定临界平衡γ+p=2s，划分三类情形得到Liouville型结果、解的存在性等结论，证明依赖新非局部分析技术，贡献可与该方向近期深度研究媲美。
2025-11-11 math.AP
Normalized solutions for a class of fractional Choquard equations with the HLS lower critical term and a nonlocal perturbation
本文研究了带有HLS下临界项和非局部扰动的分数Choquard方程在归一化约束下的解，通过变分方法和纤维映射估计，证明了临界情况下的非存在性及超临界范围内的归一化基态存在性。
2026-04-14 math.AP
Large time behavior for a nonlocal diffusion equation with absorption and bounded initial data: the subcritical case
本文继续研究具有吸收\begin{align} \begin{cases} u_t = \mathcal{L} u-u^p\quad& \mbox{in}\quad \mathbb R^N\times(0,\infty),\\ u(x,0) = u_0(x)\quad& \mbox{in}\quad \mathbb R^N, \end{cases} \end{align}的非局部扩散方程有界解的长时间行为，其中$p>1$，$u_0\ge0$和有界，$$ \mathcal{L} u(x,t)=\int J(x-y)\left(u(y,t)-u(x,t)\right)\,dy $$和$J\in C_0^{\infty}(\mathbb R^N)$，径向对称，$J\geq 0$和$\int J=1$ .我们的假设的初始数据是，$0\le u_0\in L^\infty(\mathbb R^N)$和$$ |x|^αu_0(x)\to A>0\quad\mbox{as}\quad|x|\to\infty. $$这个问题进行了研究，在超临界和临界情况下$p\ge 1+2/α$。%参见\cite{PR,TW2}，以了解$u_0\in L^\infty(\mathbb R^N)\cap L^1(\mathbb R^N)$、$p\ge 1+2/N$的情况。在本文中，我们研究了亚临界情况$1<p<1+…
2014-04-11 math.AP
Dynamics of a coupled nonlocal PDE-ODE system with spatial memory: well-posedness, stability, and bifurcation analysis
本文研究耦合空间记忆地图的一维非局部反应–扩散–聚集 PDE-ODE 系统，证明适定性并分析线性稳定性与稳态分岔，揭示吸引/排斥机制、多峰聚集条件及种群骤降的临界点。
2025-03-14 math.AP
Blow-up dynamics for $L^2$-critical fractional Schrödinger equations
本文考虑了具有初始数据$u_0\in H^{β/2}(\mathbb{R})$和接近于$2$的$β$的$L^2$ -临界分数阶薛定谔方程$iu_t-|D|^βu+|u|^{2β}u=0$.我们将证明，如果初始数据具有负能量和轻微的超临界质量，解在有限时间内爆破。我们还将对爆破动力学进行具体描述。这是F. Merle和P. Raphaël对$L^2$ -临界薛定谔方程的分析方法，但该方程的非局部结构和某些对称性的缺乏使分析变得更加复杂，因此需要一些新的策略。
2021-03-30 math.AP
Collapsing-tube type II blow-up for the energy-supercritical heat equation
University of Bath（巴斯大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Wuhan University（武汉大学）
研究能量超临界热方程的新型II型有限时间爆破解机制，通过构建双尺度奇异性模型，利用非局部调制方程确定对数爆破定律，给出首个通过塌缩细管几何实现正II型单点爆破的示例。
2026-07-21 math.AP
Stable blow-up dynamics in the $L^2$-critical and $L^2$-supercritical generalized Hartree equation
本文研究了具有径向对称的广义Hartree方程的稳定爆破动力学，该方程是一个具有非局部卷积型非线性项的薛定谔方程：$iu_t+Δu +\left(|x|^{-(d-2)} \ast |u|^{p} \right) |u|^{p-2}u = 0, x \in \mathbb{R}^d$。首先，我们考虑d=3，4，5，6，7维上的$L^2$ -临界情形，得到了一般爆破具有自相似结构，不仅具有平方根爆破率，而且具有双对数修正（通过渐近分析和泛函拟合）.在这种设置中，我们还研究了爆破配置文件，并表明，通用爆破解决方案收敛到重新缩放的$Q$，基态解的椭圆型方程$-ΔQ+Q- \left(|x|^{-(d-2)} \ast |Q|^p \right) |Q|^{p-2} Q =0$。我们还考虑了d= 3，4维的$L^2$ -超临界情况。我们导出了自相似爆破的轮廓方程，并建立了其解的存在性和局部唯一性。如在NLS $L^2$ -超临界状态中，轮廓方程表现出非振荡、多项式衰减（多凸点）解的分支。在求解多凸点解的过程中，采用了一种在求解相应常微分方程时加入约束条件的数值方法。用动态重标度法对广义Hartree方程的解进行了直接数值模拟，结果表明$Q_{1,0}$是稳定爆破的剖面。在这种超临界的情况下，我们得到的爆破速率没有任何修正。这种爆聚发生在聚焦能级$10^{-5}$，因此在数值上是可观察的（与…
2020-02-14 cs.NA math.AP math.NA
Normalized solutions to lower critical Choquard equation in mass-supercritical setting
本文研究质量超临界Choquard方程的规范化解，通过新紧性引理证明正径向基态解的存在性，并给出极限行为及正解不存在性与多重性的阈值条件。
2025-02-25 math.AP
Semiclassical wave packet dynamics for Hartree equations
研究了非线性非局部薛定谔方程在半经典极限下波包的传播。当核是光滑的，我们构造近似解的波函数在亚临界，临界和超临界的情况下（在初始数据的大小方面）。近似的有效性被证明到Escherfest时间。对于齐次核，我们建立了类似的结果，在亚临界和临界的情况下。本文还考虑了两个非线性波包的非线性叠加原理。
2011-03-25 math-ph math.AP math.MP
Mixed Grushin Heat Equations with Riesz-Potential Nonlinearities in Marcinkiewicz Spaces: Subcritical, Critical, and Supercritical Regimes
Indian Institute of Technology, Delhi（德里印度理工学院）
本文研究Marcinkiewicz空间中混合Grushin热方程在Riesz位势非线性下的适定性，通过谱演算建立光滑性估计，并分别在次临界、临界与超临界情形证明局部或全局解的存在唯一性。
2026-09-22 math.AP math.FA
Lipschitz continuity of solutions to drift-diffusion equations in the presence of nonlocal terms
我们分析了各种线性和非线性漂移扩散系统的解的Lipschitz连续性的传播，有和没有不可压缩性约束。扩散被假定为分数或经典。这类方程模拟了不可压Navier-Stokes方程、广义粘性Burgers-Hilbert方程和各种有源标量。我们推导出的条件，保证传播的Lipschitz正则性的不可压缩的NSE的形式的非本地的，一维粘性Burgers型不等式。我们证明了在任意空间维上，广义粘性Burgers-Hilbert方程总是满足类似的不等式，从而得到整体正则性。我们还得到了一个正则性准则的斯托克斯方程的分数耗散$(-Δ)^α$，无论功率的拉普拉斯$α\in(0,1]$，在Hölder型假设的解决方案。这样的标准似乎是第一次当$α\in(0,1)$。当使用$α\in[1/2,1]$时，假设是关键的，但当使用$α\in(0,1/2)$时，假设是次关键的。进一步证明了在超临界假设下的部分正则性结果，如果考虑无压漂移扩散问题，当$α\in(1/2,1]$ .也就是说，当考虑没有不可压缩性约束（没有压力项）的漂移-扩散方程时，某个赫尔德超临界势垒被打破了，据我们所知，这是以前从未做过的。根据不同的情况下，我们的结果要么改善，推广或提供不同的证明，以前已知的规律性结果，这样的模型。我们使用的技术建立在基谢列夫，纳扎罗夫，沃尔伯格和Shterenberg介绍的连续性模量的演变。
2021-05-13 math.AP physics.flu-dyn
Fujita exponent for the fractional sub-Laplace semilinear heat equation with forcing term on the Heisenberg group
本文在海森堡群上研究带强迫项的分数次亚拉普拉斯半线性热方程，确定其 Fujita 指数为 Q/(Q-2s)，并证明超临界情形全局解存在、次临界情形全局解不存在、临界情形存在有限时间爆破解，从而将经典 Fujita 现象推广到次黎曼非局部框架。
2025-05-06 math.AP
Scattering of radial data in the focusing NLS and generalized Hartree equations
在质量-超临界和能量-亚临界条件下，考虑了聚焦非线性薛定谔方程$i u_t + Δu + |u|^{p-1}u=0$，$p>1,$和广义Hartree方程$iv_t + Δv + (|x|^{-(N-γ)}\ast |v|^p)|v|^{p-2}u=0$，$p\geq2$，$γ<N$.利用初始数据$u_0\in H^1(\mathbb{R}^N)$，从Holmer和Roudenko在径向[16]和Duyckaerts，Holmer和Roudenko在非径向设置[10]中的工作以及进一步的推广（参见[1，11，14]）中，已知NLS情况下质能阈值下的解行为的表征;对于广义Hartree情况，在[2]中进行了开发。特别是，散射是根据Kenig和Merle [17]开发的路线图，使用浓度紧致性和刚度方法来证明的，这是现在色散问题的标准方法。在这项工作中，我们给出了在临界区域内径向设置中NLS和gHartree方程散射的另一种证明，遵循Dodson和Murphy [8]对聚焦3d立方NLS方程的方法，该方法依赖于Tao [27]的散射准则，结合径向Sobolev和Morawetz型估计。我们首先将其推广到NLS情形，然后将其推广到非定域Hartree型势。这种方法提供了一种简化的方法来证明散射，这在其他情况下可能是有用的。
2020-06-29 math.AP
