Satisfying states of triangulations of a convex n-gon
Andrea Jiménez, Marcos Kiwi, Martin Loebl
本文用转移矩阵法计算凸n边形三角剖分的满足状态数。我们显示了一个指数（在n）下界。我们还给出了三角形带满足状态数的精确公式。
In this work we count the number of satisfying states of triangulations of a convex n-gon using the transfer matrix method. We show an exponential (in n) lower bound. We also give the exact formula for the number of satisfying states of a strip of triangles.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On typical triangulations of a convex $n$-gon
令$f_n$是将权重分配给每个可能的三角形的函数，该三角形的顶点选自具有$n$边的凸多边形$P_n$的顶点。假设${\mathcal T}_n$是随机三角剖分，从$P_n$的所有可能三角剖分中均匀采样。本文研究了${\mathcal T}_n$中三角形的权和，并给出了这种随机变量的均值和方差的一般公式。此外，我们期待在几个有趣的特殊情况下，$f_n$，我们获得明确的形式的生成函数的总和的权重。例如，除其他事项外，我们给出了新的证明已经知道的结果，如固定顶点的程度和耳朵的数量在${\mathcal T}_n,$以及，提供新的结果的“蓝色”的角度和细化的角度分布在一个固定的顶点。我们注意到，我们的方法是系统的，可以应用到许多其他新的例子，同时推广现有的结果。
Transfinite mutations in the completed infinity-gon
我们引入突变沿无限容许序列的无限标记的表面，即表面上的边界上有无限多个标记点。我们表明，沿着这样的容许序列的突变产生一个固定的无限标记的表面上的三角剖分的集合上的前序。给出了无穷边形和完备无穷边形三角剖分的强突变等价类的一个完全分类，其中强突变等价是由该序诱导的等价关系.最后，我们在完备无穷边形中引入了超限突变的概念，并证明了它的所有三角剖分都是超限突变等价的，也就是说，我们可以通过超限突变从任意一个三角剖分到达完备无穷边形的任意一个三角剖分.
On a triangulated category which behaves like a cluster category of infinite Dynkin type, and the relation to triangulations of the infinity-gon
本文研究了一类2-Calabi-Yau三角范畴D，其Auslander-Reiten代数为ZA_{\infty} .我们表明，集群倾斜子类别D形成一个所谓的集群结构，我们对这些子类别进行分类，人们可以称之为“三角的无穷大，去”。这让人想起A_n型的簇范畴C，它是一个2-Calabi-Yau三角范畴，其Auslander-Reiten是ZA_n的商。C的簇倾斜子范畴形成一个簇结构，并根据（n+3）-边形的三角剖分进行分类。类别D的行为类似于“A_{\infty}类型的群集类别”。
A Lovász-Kneser theorem for triangulations
本文证明了凸n边形的三角剖分的Kneser图的色数为n-2，扩展了Lovász-Kneser定理在几何三角剖分领域的应用。
Minimum number of partial triangulations
证明了平面上$n$点集的部分三角剖分数至少为$(n-2)$ -nd Catalan数。这对于凸形$n$ -曲面是紧的。我们还描述了所有的平等情况。
A new perspective on k-triangulations
我们将凸n边形的k-三角剖分与舒伯特多项式理论联系起来。利用这一联系证明了以k-三角剖分为刻面的单纯复形是顶点可分解的三角球面，并给出了k-三角剖分个数的行列式公式的一个新的证明.
Triangulations with few ears: symmetry classes and disjointness
凸$n$边形$P$的三角剖分$T$中的耳朵是与$P$自身共享两条边的$T$的三角形。某些枚举和结构的问题变得更容易当一个人认为只有三角很少的耳朵。我们用两种方式来证明这一点。首先，对于$k=2, 3$，我们找到了具有$k$耳的三角剖分的对称类的数目。其次，对于$k=2, 3$，我们确定从给定三角剖分不相交的三角剖分的数量：对于$k=2$，这个数量仅取决于$n$，对于$k=3$，这个数量仅取决于对偶树的分支长度。
A bijection between 2-triangulations and pairs of non-crossing Dyck paths
一个凸多边形的k-三角剖分是一个最大的对角线集，使得它们中没有k+1个在它们的内部相互交叉。给出了凸n边形的2-三角剖分与长度为2（n-4）的不相交Dyck路对之间的一个双射。这解决了找到一个双射证明的结果琼森的情况下k=2的问题。我们通过构造2-三角剖分集和不相交Dyck路对的同构生成树得到了双射。
A model of trees for 5-connected planar triangulations
本研究建立了5c-三角剖分与满足内边局部约束的5-正则平面树的双射关系，推导了相关生成函数的显式表达式，并为5-连通平面三角剖分的高效均匀随机生成和简洁编码提供了可行途径。
Type-B generalized triangulations and determinantal ideals
对于$n\geq 3$，令$Ω_n$是凸$n$ -边形的顶点之间的线段的集合。对于$j\geq 2$，$j$交叉是在$n$多边形的相对内部成对相交的一组$j$线段.我们确定在$Ω_{2n}$中的线段，它们可以通过$2n$ -gon的$180^\circ$ -旋转相互转换。设$\F_n$是识别后的集合$Ω_{2n}$，则B型广义三角剖分的复形$\D_{n,k}$是$\F_n$的子集的单纯复形，在上述意义下不包含任何$(k+1)$ -交叉。我们证明，$\D_{n,k}$是一个纯的，$k(n-k)-1+kn$维复杂的分解成一个$kn-1$ -单纯形和$k(n-k)-1$维同源球。我们给出了变量$X_{ij}, 1\leq i,j\leq n$中单项式的项序，使得一般$n \times n$矩阵的$(k+1)$乘$(k+1)$的子式生成的行列式理想的初始理想包含$\D_{n,k}$的Stanley-Reisner理想.我们表明，无论何时$k\in\{1,n-2,n-1\}$的未成年人形成一个Gröbner基础。我们推测这一结果是真实的$k<n$的所有值。
Flips in colorful triangulations
本文研究了凸多边形彩色三角剖分图$\mathcal{F}_N$的Hamilton圈存在性，证明了当$N\geq8$或颜色变化至少10次时存在Hamilton圈，并基于树旋转Gray码提出了平均常数时间生成节点的高效算法。
Counting triangulations of some classes of subdivided convex polygons
我们计算三角形的凸$k$ -gon的每一个侧面细分的$r-1$点的数量。我们发现明确的公式和生成函数，我们确定这些数字的渐近行为的$k$和/或$r$趋于无穷大。我们将这些结果与找到平面点集的一般位置，具有最小可能数量的三角剖分的问题-一个著名的开放问题，从计算几何。
Penrose tilings, infinite friezes, and the $A_\infty$-singularity
本文用 Cohen–Macaulay 表示论将彭罗斯镶嵌对应到 $A_\infty$ 奇点范畴的子范畴，并推广簇特征标以构造非周期无限饰带模式。
Rainbow cycles in flip graphs
三角剖分的翻转图具有凸$n$ -边形的所有三角剖分作为顶点，并且具有在恰好一条边不同的任何两个三角剖分之间的边。图中的$r$ -彩虹循环是三角剖分的每个内边恰好出现$r$次的循环。彩虹循环的概念以一种自然的方式延伸到其他翻转图。在本文中，我们研究了三种不同的翻转图上的$r$ -彩虹圈的存在性：前面提到的翻转图的三角形的凸$n$ -gon，翻转图的平面树上的任意一组$n$点，和翻转图的非交叉完美匹配的一组$n$点在凸位置。此外，我们考虑两个翻转图类的非几何对象：翻转图的排列$\{1,2,\dots,n\}$和翻转图的$k$元素子集的$\{1,2,\dots,n\}$。在这五种情况下，我们分别证明了不同$r$、$n$和~ $k$值时彩虹环的存在性和不存在性。
Blockers for Triangulations of a Convex Polygon and a Geometric Maker-Breaker Game
设$G$是一个顶点集$P$构成凸多边形$C$的完全凸几何图，$F$是$G$的一族子图. $F$的阻塞器是一组尽可能小的边，其中包含$F$的每个元素的公共边。以前的工作确定了各种家庭$F$的非交叉子图，包括家庭的所有完美匹配，所有的生成树，所有的Hamilton路径等，在本文中，我们提出了一个完整的表征家庭$B$的家庭$T$的三角剖分的$C$的阻断剂。特别是，我们表明，$|B|=F_{2n-8}$，其中$F_k$是在斐波那契序列和$n=|P|$的$k$ 'th元素。我们使用我们的特征，以获得一个严格的结果，在一个几何Maker-Breaker游戏中，董事会是一个凸$n$ -gon $C$和制造商的对角线集试图占据一个三角形的$C$。也就是说，我们表明，在$(1:1)$三角博弈中，制造商可以确保赢得$n-3$移动，并在$(1:2)$三角博弈中，断路器可以确保赢得$n-3$移动。特别是，游戏的阈值偏差是$2$。
Tamari lattices and noncrossing partitions in type B and beyond
通常的或A_n型Tamari格是T_n^A上的偏序，T_n ^A是（n+3）边形的三角剖分。本文在（2n+2）边形的中心对称三角剖分集T_n^B上定义了一个偏序。我们证明了它是一个格，并且它具有A_nTamari格的某些其它性质，因此它应该被认为是B_nTamari格.我们定义了T_n^B与Reiner定义的B_n型非交叉分拆之间的一个双射。对于[n]的任意子集S，Reiner定义了一个伪型BD^S_n，它与B_n型的非交叉划分的子集相关联。我们证明了T^B_n中对应于BD^S_n型非交叉划分的元素具有由它们包含在T^B_n中而导出的晶格结构。
Cross-ratio degrees and triangulations
本文研究交比度的组合结构，针对由 n 边形三角剖分索引的一类交比度给出简洁闭式公式，并揭示其与 M_{0,n} 实轨迹几何及正几何的联系。
Polygonal Dissections and Reversions of Series
卡塔兰数$C_k$最早是由欧拉在计算多边形三角剖分数$P_{k+2}$时研究的。在这个序列的许多推广中，Fuss-Catalan数$C^{(d)}_k$将多边形$P_{k(d-1)+2}$的剖分计数为$(d+1)$ -n。本文给出了一个计算$(n+2)$ -ε多边形剖分的公式，并按$[n]$的分区$λ$进行分类.我们将这些计数$a_λ$连接到由迭代多项式产生的逆级数。进一步推广这一点，我们表明，多项式$x=z-\sum_{j=0}^{\infty} b_j z^{j+1}$的反向系列的系数枚举彩色多边形剖分。
Signed permutations and the four color theorem
对于$S_{n}$中的每个置换$σ$，我们将固定的$(n+2)$ -边形的三角剖分相关联。然后，我们确定了这种联合的纤维，并表明它们与Novelli，Hivert和Thibon所描述的Sylvester类相一致。一个有符号的版本，这个建设允许我们重新制定的四色定理在对称群$ S_{n}的凯莱图中的任何两个排列之间的存在的有符号的道路。
Enumerating simplicial decompositions of surfaces with boundaries
众所周知，在其边界上具有$n+2$顶点的圆盘的三角剖分由$n$第卡塔兰数$C(n)=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$计数。本文将此问题推广到任意带边界的紧致曲面$S$。我们得到了曲面$S$的单分解的渐近数，其中$n$顶点在其边界上。更一般地，我们确定$S$的解剖的渐近数时，面对$δ$-$δ$属于一组容许度$Δ\subseteq \{3,4,5,...\}$。我们还给出了这种剖分的某些参数的极限定律。
The Complex of Non-Crossing Diagonals of a Polygon
已知欧氏平面上的凸n边形P，顶点集由P中的对角线给出，刻面由P的三角剖分给出的单纯复形θ（P）是n-3维多胞形的边界复形。证明了对任意n个顶点的非凸多边形区域P，对于h+1个边界分支，θ（P）是n+3 h-4维球.当P是凸的时，给出了θ（P）是球面的一个新的证明.
Regular triangle unions with maximal number of sides
研究n个三角形的并集的最大边数，提出序列A375986并证明其线性上下界，引入三角形转换方法。
A criterion for sharpness in tree enumeration and the asymptotic number of triangulations in Kuperberg's G2 spider
本文证明了Kuperberg关于李代数$G_2$表示论的三角剖分渐近公式猜想，提出树计数锐度准则并通过奇点分析细化了正则$n$边形三角剖分数量的渐近估计。
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