$h$ and $hp$-adaptive Interpolation by Transformed Snapshots for Parametric and Stochastic Hyperbolic PDEs
University of Southern California（南加州大学）
本文提出 $h$ 和 $hp$ 自适应方法，用于解决参数和随机超几何偏微分方程中的快照跳跃集问题，通过张量化的自适应方法提高高维问题的精度。
2017-10-31 cs.NA math.NA
An unfitted RBF-FD method in a least-squares setting for elliptic PDEs on complex geometries
偏微分方程的径向基函数有限差分（RBF-FD）方法需要一组插值点，这些插值点符合计算域$Ω$。近似鲁棒性的要求之一是将插值点以局部均匀的距离放置在$Ω$的边界周围。然而，生成具有这些属性的插值点是一个繁琐的问题。相反，插值点可以在边界上延伸，并且因此与$Ω$的形状完全解耦。在本文中，我们提出了一种修改的最小二乘RBF-FD方法，它允许插值点被放置在一个盒子，封装$Ω$。这样，2D和3D复杂域上的节点放置就大大简化了。数值实验求解椭圆模型偏微分方程在复杂的二维几何形状表明，我们的方法是强大的。此外，它表现出更好的近似误差和运行时间与误差相比，经典的RBF-FD方法。也可以在3D中使用我们的方法，我们通过提供胸隔膜上的解决方案的收敛结果来表示。
2021-03-09 cs.NA math.NA
Birkhoff normal form and splitting methods for semi linear Hamiltonian PDEs. Part I: Finite dimensional discretization
针对可分裂为线性无界算子和正则非线性部分的离散哈密顿PDE，利用有限维Birkhoff规范形证明分裂方法在长时间内几乎保持作用量，适用于小Sobolev范数初值和渐近大空间近似。
2008-11-27 cs.NA math.AP math.DS
Sparse-grid polynomial interpolation approximation and integration for parametric and stochastic elliptic PDEs with lognormal inputs
Vietnam National University（越南国立大学）
本文提出稀疏网格多项式插值方法用于参数和随机椭圆偏微分方程的lognormal输入，改进了非全离散收敛率。
2026-01-03 cs.NA math.NA
First-order empirical interpolation method for real-time solution of parametric time-dependent nonlinear PDEs
本文提出一种结合本征正交分解、Galerkin投影与一阶经验插值的模型降阶方法，用于参数化时间相关非线性偏微分方程的实时求解，并通过Allen-Cahn和Buckley-Leverett方程验证了其精度、效率与稳定性。
2024-10-02 cs.NA math.AP math.NA
A domain splitting strategy for solving PDEs
在这项工作中，我们开发了一种新的区域分裂策略的解决方案的偏微分方程。针对均匀离散的$d$维对流-扩散方程，我们的建议是一个两级的算法，合并的解决方案，从离散的方程在高度各向异性的子网格计算的初始近似的精细的解决方案。然后，该算法通过利用残差的结构来迭代地细化初始猜测。在各向异性子网格上执行昂贵的计算使我们能够将问题的维度减少一个，并且合并过程（涉及不相交域上的解的计算）允许并行实现。
2023-03-02 cs.NA math.NA
Multigrid Solver With Super-Resolved Interpolation
多重网格算法是求解椭圆型偏微分方程的一种有效的数值方法。该方法在逐渐精细的网格尺度上抑制误差，从而比标准迭代法（如高斯-赛德尔）更快地收敛。多重网格算法中的延拓或粗到细插值算子适用于ML超分辨率的数据驱动处理，通常用于提高图像的分辨率。我们（i）提出了超分辨率生成对抗网络（GAN）模型与多重网格算法作为延拓算子的新集成，（ii）表明GAN插值与三次样条插值相比，在物理和工程模拟中通常解决的一类多尺度PDE上，提高了多重网格的收敛性能。
2021-04-28 cs.NA math.NA
Second order splitting of a class of fourth order PDEs with point constraints
我们制定了一个适定性和逼近论的一类广义鞍点问题的特定形式的约束。利用分裂成耦合二阶方程的思想，得到了一类带点约束的四阶椭圆型偏微分方程的一种求解方法。一种方法是制定使用惩罚方法施加的约束。我们的主要动机是治疗某些四阶方程，涉及双调和算子和点Dirichlet约束，例如在弯曲和平坦表面上的生物膜建模中产生的，但该方法可以更普遍地应用。适定性和近似的理论是在一个抽象的设置。几个例子一起描述了一些数值实验。
2020-04-28 cs.NA math.NA
Deep splitting method for parabolic PDEs
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Münster（明斯特大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
在本文中，我们介绍了一种结合算子分裂和深度学习的非线性抛物型偏微分方程的数值方法。它将偏微分方程近似问题分解为一系列独立的学习问题。由于每个子问题的计算图相对较小，该方法可以处理极高维的偏微分方程。我们从物理，随机控制和数学金融不同的例子测试的方法。在所有情况下，它都能在最多10，000个维度上以较短的运行时间产生非常好的结果。
2021-06-21 cs.LG cs.NA math.NA
Superconvergence of the Strang splitting when using the Crank-Nicolson scheme for parabolic PDEs with Dirichlet and oblique boundary conditions
我们表明，Strang分裂方法适用于非均匀一般斜边界条件的扩散-反应方程是二阶时，扩散方程的Crank-Nicolson方法解决，而订单减少一般发生，如果使用其他Runge-Kutta格式，甚至精确流本身的扩散部分。当源项只依赖于空间变量时，我们证明了这些结果，这使得分裂方案等价于Crank-Nicolson方法本身应用于整个问题。数值实验表明，二阶收敛持续一般非线性。
2021-04-22 cs.NA math.AP math.NA
Error estimates for splitting methods based on AMF-Runge-Kutta formulas for the time integration of advection diffusion reaction PDEs
Universidad de La Laguna（拉各拉斯大学）
本文基于AMF-Runge-Kutta公式提出分裂方法误差估计，针对对流扩散反应PDE的时间积分，推导了半线性PDE在时空趋于零时的全局误差界，并通过数值示例验证了方法的高效性与竞争力。
2015-01-12 cs.NA math.NA
Full error analysis of the random deep splitting method for nonlinear parabolic PDEs and PIDEs
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）
本文提出采用随机神经网络的随机深度分裂方法，用于高维非线性抛物型 PDE 与带跳 PIDE，证明其收敛至唯一黏性解，并通过金融定价算例展示万维问题的秒级求解能力。
2025-01-05 cs.LG cs.NA math.NA
Interpolatory HDG Method for Parabolic Semilinear PDEs
University of Minnesota（明尼苏达大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）
本文提出了一种插值型混合不连续Galerkin方法，用于解决一类标量抛物半线性PDEs。该方法通过插值过程高效准确地近似非线性项，避免了标准非线性PDEs HDG方法中每个时间步每个迭代都需要进行的数值积分，从而降低了计算成本。此外，插值型HDG插值过程为非线性项和雅可比矩阵提供了简单的显式表达式，从而为多种非线性PDEs提供了一种简单的统一实现。对于全局Lipschitz非线性，我们证明插值型HDG方法不会降低收敛阶。通过2D和3D数值实验展示了该方法的性能。
2018-11-23 cs.NA math.NA
High order schemes based on operator splitting and deferred corrections for stiff time dependent PDEs
Center for Computational Sciences and Engineering, Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室计算科学与工程中心）；CD-adapco
本文提出基于运算分裂和延迟校正的高阶方案，用于求解刚性时依赖偏微分方程，通过迭代延迟校正提高精度，结合隐式Runge-Kutta方案保证稳定性，数值验证了方法的有效性。
2016-04-01 cs.NA math.AP math.NA
Online interpolation point refinement for reduced order models using a genetic algorithm
遗传算法的程序证明，细化的离散经验插值方法（DEIM）的插值点的选择时，用于构建降阶模型的不定常和/或参数化的非线性偏微分方程（PDE）与适当的正交分解。该方法实现了几乎最优的插值点，只有几代的搜索，使其潜在的有用的{ \em在线}细化的稀疏采样用于构建一个投影的非线性项。与遗传算法，点进行优化，共同最大限度地减少重建误差，使动态政权分类。通过对圆柱绕流的五阶Ginzburg-Landau方程和Navier-斯托克斯方程的数值模拟，验证了该方法的有效性.使用前一个模型，该程序可以比较地面实况最优插值点，表明遗传算法快速达到接近最优的性能，并减少了近数量级的重建误差。
2016-07-24 cs.NA math.NA nlin.PS
Optimal Linear Interpolation under Differential Information: application to the prediction of perfect flows
Mines Saint-Étienne（圣艾蒂安国立高等矿业学院）；CNRS, UMR 6158 LIMOS（法国国家科学研究中心，联合研究单位6158 LIMOS）；Stellantis（斯特兰蒂斯）
本文提出两种方法，利用线性PDE信息在有限观测点上改进Kriging预测，通过共Kriging和约束优化解决稀疏数据下的插值问题，应用于常微分方程、二维谐波PDE及圆柱周围完美流预测。
2026-04-20 cs.NA math.NA
An adaptive partition of unity method for Chebyshev polynomial interpolation
本文提出一种自适应分区方法，通过重叠区间和无限光滑的分区函数提升切比雪夫插值的收敛性，适用于具有奇异性的函数及边界值问题。
2017-08-08 cs.NA math.NA
Efficient and accurate nonlinear model reduction via first-order empirical interpolation
提出一阶经验插值方法（FOEIM），利用偏导数信息构建非线性项的低成本稳定插值，有效降低了参数化非线性偏微分方程归约基近似的计算复杂度。
2023-09-18 cs.NA math.AP math.NA
A Jacobi Field Approach to Splitting Detection in Schrödinger Bridge
School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）；Center for Mathematical Science, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学中心）；Department of Mathematics, City University of Hong Kong（香港城市大学数学系）；Department of Mathematics and Department of Physics, Great Bay University（大湾区大学数学与物理系）；Guangdong Provincial Key Laboratory of Mathematical and Neural dynamic Systems（广东省数学与神经动态系统重点实验室）；Steklov-Wuhan Institute for Mathematical Exploration, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学斯特克洛夫武汉数学探索研究院）
本文提出基于雅可比场的指标，用于检测随机桥中路径分裂的起始点和位置，通过分析雅可比场的谱结构量化扰动放大，适用于非凸和不连通的目标分布。
2026-03-17 cs.NA math.DS math.NA
Adaptive Collocation Point Strategies For Physics Informed Neural Networks via the QR Discrete Empirical Interpolation Method
Rice University（里士大学）；The University of Texas MD Anderson Cancer Center（德克萨斯大学MD安德森癌症中心）
针对固定配置点采样难以捕捉高梯度区域的问题，提出基于QR-DEIM的两种自适应配置点选择策略，在基准PDE上提升PINN精度。
2025-08-07 cs.CE cs.LG cs.NA
A Splitting Approach to Dynamic Mode Decomposition of Nonlinear Systems
针对非线性偏微分方程降阶建模中计算精度与时间的权衡问题，本文研究了面向带周期边界条件的非线性PDE的动态模态分解方法，提出了名为Split DMD的优化框架以降低总计算成本。
2023-07-24 cs.NA math.NA math.OC
A Note on Dimensionality Reduction in Deep Neural Networks using Empirical Interpolation Method
George Mason University（乔治梅森大学）；Imagination Corp.（想象力公司）；Fictional University（虚构大学）
本文提出DNN-EIM算法，利用经验插值方法（EIM）在监督学习中降低训练数据维度，在MNIST和偏微分方程等应用中实现并行训练，显著减少训练时间且不牺牲准确性。
2023-05-16 cs.LG cs.NA math.NA
A positivity- and monotonicity-preserving nonlinear operator splitting approach for approximating solutions to quenching-combustion semilinear partial differential equations
近年来，人们对保持原始连续问题的各种定性特征的数值算法的兴趣大大增加。在这里，我们提出并研究了一种数值算法，保留了所谓的淬火燃烧偏微分方程（PDE）的定性特征。这种偏微分方程通常用于模拟固体燃料点火过程或酶化学反应，其特征在于它们的奇异非线性反应项和它们的解在它们存在的时间间隔上表现出的正性和单调性。在这篇文章中，我们提出了一个隐式的非线性算子分裂算法，它允许自然保存这些功能。严格证明了算法的正性和单调性。此外，该算法的收敛性进行了分析和量化的显式依赖于奇异性在一个非线性设置。
2021-09-11 cs.NA math.NA
Smooth subgrid fields underpin rigorous closure in spatial discretisation of reaction-advection-diffusion PDEs
University of Adelaide（阿德莱德大学）
本文提出一种整体离散化方法，通过构建适应整体系统动态的子网格场，实现宏尺度离散化的精确闭合，并展示其在Burgers方程中的应用及稳定性比较。
2016-02-03 cs.NA math.DS math.NA
Improved ParaDiag via low-rank updates and interpolation
针对含时线性PDE时空离散产生的矩阵方程，提出基于低秩修正的张量化Krylov子空间法和插值求解法两种改进ParaDiag的方法，无需迭代求精即可获高精度，经多类PDE验证性能优于现有方法。
2023-06-14 cs.NA math.NA
Accelerating multigrid solver with generative super-resolution
该研究提出将超分辨率GAN作为多重网格算法的延拓算子，在多尺度PDE求解中相比三次样条插值提升了收敛性能，同时指出表征混合算法参数的重要性。
2024-03-07 cs.NA math.NA
A HJB-POD approach for the control of nonlinear PDEs on a tree structure
动态规划方法允许计算用于非线性问题的反馈控制，但是遭受维数灾难。控制的计算依赖于一个非线性偏微分方程的解决方案，Hamilton-Jacobi-Bellman方程，与原问题相同的维度。最近，一个新的数值方法计算价值函数的树结构已被引入。该方法允许在没有结构化网格的情况下工作，并避免任何插值。在这里，我们的目标是测试非线性二维偏微分方程的算法。由于树型结构算法需要求解多个偏微分方程，我们采用模型降阶来降低计算复杂性。此外，我们证明了一个误差估计，保证所提出的方法的收敛性。最后，通过数值试验验证了该方法的有效性.
2019-11-12 cs.NA math.NA math.OC
Displacement interpolation using monotone rearrangement
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出了一种基于最优传输映射的位移插值方法，用于减少超几何偏微分方程中高维现象的维度，同时扩展了Radon变换的 intertwining性质以实现多维插值。
2018-09-03 cs.NA math.NA
Finite Element Neural Network Interpolation. Part I: Interpretable and Adaptive Discretization for Solving PDEs
LMS, École Polytechnique（巴黎综合理工学院力学实验室）；IPP/CNRS（法国国家科学研究中心）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出 FENNI 稀疏有限元神经网络框架，通过参考单元架构、多重网格训练和二维 rh 自适应实现可解释的 PDE 求解，并验证其效率、精度与变分损失优势。
2024-12-07 cs.LG cs.NA math.NA
Sinc Kolmogorov-Arnold network and its application for solving PDEs with singularities
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯克洛夫科学与技术研究所）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）；International Center for Mathematics（国际数学中心）；National Center for Applied Mathematics Shenzhen (NCAMS)（深圳应用数学中心）
本文提出在 Kolmogorov-Arnold 网络中使用 Sinc 插值作为可学习激活函数，以有效逼近光滑函数和含奇异性的函数，并在物理信息神经网络求解偏微分方程中取得更好效果。
2026-05-27 cs.AI cs.LG cs.NA
R-adaptive DeepONet: Learning Solution Operators for PDEs with Discontinuous Solutions Using an R-adaptive Strategy
本文提出R-自适应DeepONet，通过等分布原理将物理域变换到计算域并分别学习解映射与坐标变换，克服了DeepONet处理不连续解时的线性重构下界，实现超线性误差衰减。
2024-08-08 cs.NA math.NA
New High-Order Numerical Methods for Hyperbolic Systems of Nonlinear PDEs with Uncertainties
本文提出一种结合随机空间五阶WENO插值与物理空间二阶重构的高阶有限体积方法，用于求解带不确定性的非线性双曲PDE系统，并在欧拉方程和浅水方程上验证了其无振荡、高阶精度、良好平衡性与保正性。
2024-07-03 cs.NA math.NA
Superconvergence points of Hermite spectral interpolation
School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）；Hubei Key Laboratory of Engineering Modeling and Scientific Computing, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学工程建模与科学计算湖北省重点实验室）；Department of Mathematics, Wayne State University（韦恩州立大学数学系）
本研究针对Hermite谱插值，确定其一阶、二阶导数的超收敛点，并扩展至Hermite谱配点法，通过数值算例验证了超收敛点分析的正确性。
2026-08-10 cs.NA math.NA
Stochastic methods for solving high-dimensional partial differential equations
Centrale Nantes, LMJL, UMR CNRS 6629（南特中央理工学院）；Univ. Grenoble Alpes, Inria, CNRS, Grenoble INP*, LJK（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）
本文提出了一种结合概率解释（通过Feynman-Kac表示）与稀疏插值的算法，用于求解高维偏微分方程，通过蒙特卡洛方法和时间积分方案估计解的点评估，并利用顺序控制变量子算法进行改进。
2019-05-14 cs.NA math.NA
Numerical homogenization of elliptic PDEs with similar coefficients
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文提出基于PG-LOD的并行算法，通过自适应重新计算局部校正问题提高精度，用于解决具有相似系数的椭圆PDEs问题。
2018-06-04 cs.NA math.NA
Global energy preserving model reduction for multi-symplectic PDEs
许多哈密顿系统可以重铸为多辛形式。本文建立了多辛哈密顿偏微分方程的降阶模型，该模型保持了系统的整体能量。通过空间有限差分离散和全局能量保持平均向量场（AVF）方法得到了全阶解。ROM的构造方式与全阶模型（FOM）相同，采用Galerkin投影的本征正交分解（POD）。降阶系统具有与FOM相同的结构，并保留了离散的约化全局能量。在在线阶段，应用离散经验插值方法（DEIM）高效地计算降阶解。先验误差界推导出的DEIM近似的非线性哈密顿。对多辛形式的Korteweg de Vries（KdV）方程、Zakharov-Kuznetzov（ZK）方程和非线性Schr{<$}dinger（NLS）方程的计算结果表明了ROM的精度和计算效率.约化能量的保持表明，降阶解保证了解的长期稳定性。
2022-08-29 cs.NA math.NA
On Symmetric Kernel Collocation for Nonlinear PDEs
Saarland University（萨尔兰大学）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
研究非线性偏微分方程，将其转化为最优恢复广义插值问题，在RKHS中分析收敛性，提出残差贪婪策略选点，数值实验表明该策略能使偏微分方程残差更小。
2026-07-08 cs.NA math.NA
PI-DOSnet: A Physics-Informed Deep Operator-Splitting Network for Evolution Partial Differential Equations
SKLMS, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）
提出PI-DOSnet，一种结合物理约束和算子分裂的物理信息算子学习框架，无需配对数据即可训练，并通过迭代策略实现长时间PDE求解，数值实验验证其精度、效率和鲁棒性。
2026-06-23 cs.NA math.NA
Elliptic PDEs on log-Gaussian Shapes: Sparsity and Finite Element Discretization
Vietnam National University（越南国立大学）；University of Basel（巴塞尔大学）；University of Transport and Communications（交通与通信大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了在由对数高斯随机同构得到的随机域上求解椭圆扩散问题，通过路径拉回验证解的存在性和唯一性，并分析解的解析正则性，采用有限元方法和稀疏网格插值进行数值近似。
2026-03-25 cs.NA math.NA math.PR
A structure-preserving implicit-explicit method for a hyperbolic approximation of fourth-order PDEs
University of Stuttgart（斯图加特大学）；Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）
提出一种用于四阶PDE双曲逼近的保结构IMEX方法，证明其能量一致、保正且渐近稳定，并通过薄膜方程算例验证有效性。
2026-09-09 cs.NA math.NA
Symplecticity-Preserving Prediction of Hamiltonian Dynamics by Generalized Kernel Interpolation
Institute of Applied Analysis and Numerical Simulation, University of Stuttgart（斯图加特大学应用分析与数值模拟研究所）
本文提出了一种保持辛结构的核插值方法，用于高效预测高维离散PDEs的哈密顿动力学，通过结构保持降阶技术实现长时精度提升。
2026-01-26 cs.NA math.NA
Model Reduction Using Sparse Polynomial Interpolation for the Incompressible Navier-Stokes Equations
本文研究了稀疏多项式插值作为不可压Navier-斯托克斯方程模型降阶方法的应用。数值结果强调稀疏多项式逼近的有效性，并与已建立的减少的基础技术进行比较。两个数值模型用于访问的降阶模型（ROM）的准确性，特别是参数非线性所产生的弯曲几何形状进行了详细研究。除了ROM的准确性，该方法的其他重要功能，如离线在线分裂，运行时间和易于实施。研究结果建立稀疏多项式插值作为另一种工具的工具箱中的方法来打破维数灾难。
2022-01-10 cs.NA math.NA
Resonances in long time integration of semi linear Hamiltonian PDEs
INRIA & ENS Cachan Bretagne（法国国家信息与自动化研究所与巴黎高等师范学校卡昂布列塔尼分校）；Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes（南特大学让·勒雷数学实验室）
研究半线性哈密顿PDE在Sobolev范数小初值下，辛方法数值离散中的共振问题，通过截断线性无界算子与经典分裂方法避免共振，并给出时间步长相关的截断界，利用新正规形证明长时间作用量守恒。
2009-04-09 cs.NA math.AP math.DS
Inf-sup stability of the trace P2-P1 Taylor-Hood elements for surface PDEs
本文研究了一种求解闭光滑曲面上Stokes方程组的数值解的几何非拟合有限元法，即迹有限元法或割有限元法。提出了一种基于标准Taylor-Hood（连续P2-P1）体单元的迹有限元法。一个所谓的体积法向导数稳定，已知从文献中的跟踪有限元，是这种方法的一个重要组成部分。证明了迹P2-P1有限元对的inf-sup稳定性，其稳定常数关于离散参数和曲面在体网格中的位置一致有界。从这个新的稳定性结果和迹有限元的插值性质，得到了有限元法的一致变形的最优阶收敛性。数值例子说明了该方法的性质。
2020-04-10 cs.NA math.AP math.NA
DOSnet as a Non-Black-Box PDE Solver: When Deep Learning Meets Operator Splitting
Huawei Technologies, Co. Ltd.（华为技术有限公司）；The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；HKUST Shenzhen-Hong Kong Collaborative Innovation Research Institute（香港科技大学深港协同创新研究院）
本文提出深度算子分裂网络DOSnet，将经典算子分裂数值格式融入神经网络架构设计，在保持物理可解释性的同时实现高精度、低计算复杂度的演化型PDE求解，并在NLSE等方程上验证了其优于传统数值方法和基线DNNs。
2022-12-11 cs.LG cs.NA math.NA
Transformed snapshot interpolation
Department of Mathematics, Texas A&M University（德克萨斯农工大学数学系）
针对参数依赖或随机超几何PDE中出现的跳跃和折点问题，提出一种通过变换物理坐标以提高收敛率的新插值方法。
2015-05-06 cs.NA math.NA
Refined rates of convergence for target-data dependent greedy generalized interpolation with Sobolev kernels
Institute of Applied Analysis and Numerical Simulation, University of Stuttgart（斯图加特大学应用分析与数值模拟研究所）；Department of Environmental Sciences, Informatics and Statistics, Ca’ Foscari University of Venice（威尼斯卡福斯卡里大学环境科学、信息学与统计系）；Department of Mathematics, Ludwig-Maximilians-Universität München（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学数学系）；Institute for Stochastics and Applications, University of Stuttgart（斯图加特大学随机过程与应用研究所）
本文研究了基于Sobolev核的贪心广义插值在准均匀点上的收敛速率，通过改进的靶数据自适应方法提高了收敛速度，并通过度量熵数估计去除冗余的对数项。
2026-01-28 cs.NA math.NA
An approximation scheme for semilinear parabolic PDEs with convex and coercive Hamiltonians
对一类梯度为凸强制的半线性抛物型方程提出了一个逼近格式。这样的方程经常出现在不完全市场的定价和投资组合管理中，更广泛地说，直接与后向随机微分方程的解的表示有关。所提出的方案是基于分裂的方程分为两部分，第一个相应的线性抛物型方程和第二个哈密尔顿-雅可比方程。这两个方程的解分别使用Feynman-Kac和Hopf-Lax公式进行近似。结合Krylov的振动系数技术和Barles-Jakobsen的最优切换近似，我们建立了该格式的收敛性并确定了其收敛速度。
2019-11-04 cs.NA math.NA math.OC
A non-nested unstructured mesh perspective on highly parallel multilevel smoothed Schwarz preconditioner for linear parametric PDEs
针对非结构网格下多级Schwarz预处理器因网格非嵌套难以并行的问题，提出含并行粗化与非嵌套插值的高并行非嵌套预处理器，在千核处理器上验证了良好收敛性与并行效率，可广泛用于线性参数PDE求解。
2024-12-12 cs.NA math.NA
Dynamically orthogonal tensor methods for high-dimensional nonlinear PDEs
我们发展了新的动态正交张量方法来逼近多元函数和高维时间相关的非线性偏微分方程（PDE）的解。其关键思想是将问题的自变量分解为互不相交的子集，从而得到近似空间的层次分解。这个过程可以方便地用二叉树来可视化，产生类似于经典张量火车和分层塔克张量格式的级数展开。通过在二叉树的每一层上施加动态正交条件，我们得到了跨越层次分解中每个子空间的模式的耦合发展方程。这使我们能够有效地计算解决高维时间依赖的非线性偏微分方程的张量流形的常秩，而不需要降秩方法。我们还提出了新的算法动态添加和删除每个子空间内的模式。数值例子和讨论高维双曲型和抛物型偏微分方程在有界域。
2019-07-12 cs.NA math-ph math.MP
Strang splitting schemes for N-level Bloch models
我们将分裂格式推广到N层Bloch模型，它使用子方程的精确数值解。这些精确解涉及矩阵指数，我们希望避免在每个时间步计算。我们使用牛顿插值来减少计算量。由此产生的计划是非标准的，并保持所有的定性性质的布洛赫方程。我们展示了数值模拟，比较这种方法与其他几个计划。
2019-09-24 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Beyond Derivative Pathology of PINNs: Variable Splitting Strategy with Convergence Analysis
Seoul National University（首尔大学）
本文揭示PINNs损失函数最小化到零并不保证收敛到PDE解的根本问题，提出变量分裂策略将梯度参数化为辅助变量以规避导数病理，并证明该方法对二阶线性PDE收敛到广义解。
2024-09-30 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
Multilevel lattice-based kernel approximation for elliptic PDEs with random coefficients
UNSW Sydney（新南威尔士大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文针对带周期随机系数的椭圆型偏微分方程，基于QMC格点集核插值研究提出多层核近似方法，可在保持精度的同时降低计算成本，经数值实验验证了其有效性。
2026-09-01 cs.NA math.NA
