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关于Borel-Cantelli引理及其推广

On the Borel-Cantelli Lemma and its Generalization

Chunrong Feng, Liangpan Li, Jian Shen

备注：
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摘要：

令$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$是概率空间$(Ω,\mathcal{F},\mathbf{P})$上的事件序列。我们表明，如果$\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^{m}w_n\mathbf{P}(A_n)=\infty$，其中每个$w_n\in\mathbb{R}$，那么\[{\mathbf{P}}(\limsup A_n)\geq\limsup_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\big(\sum_{k=1}^n{w_k\mathbf{P}}(A_k)\big)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j{\mathbf{P}}(A_i\cap A_j)}.\]

英文摘要：

Let $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ be a sequence of events on a probability space $(Ω,\mathcal{F},\mathbf{P})$. We show that if $\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^{m}w_n\mathbf{P}(A_n)=\infty$ where each $w_n\in\mathbb{R}$, then \[{\mathbf{P}}(\limsup A_n)\geq\limsup_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\big(\sum_{k=1}^n{w_k\mathbf{P}}(A_k)\big)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j{\mathbf{P}}(A_i\cap A_j)}.\]

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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