Hankel determinants of generalized q-exponential polynomials
Johann Cigler
最近我。梅佐研究了一个简单但有趣的推广指数多项式。在本文中，我考虑这些多项式的两个q-类似物，并计算它们的汉克尔行列式。
Recently I. Mezo studied a simple but interesting generalization of the exponential polynomials. In this note I consider two q-analogues of these polynomials and compute their Hankel determinants.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A theorem on shifted Hankel determinants
本文证明了JohannSchuller关于移位Hankel行列式的一个猜想。
Hankel determinants of q-exponential polynomials
给出了q-指数多项式的Hankel行列式的简单证明。
Proof of the Somos-4 Hankel Determinants Conjecture
通过考虑基本方程$x=y-y^2=z-z^3$，Somos证明生成级数$y(z)$的Hankel行列式是Somos-4数.利用Sulanke和Xin的Hankel行列式的二次变换证明了这个猜想。
Hankel determinants of Schroeder-like numbers
经过一个简短的调查施罗德数和一些推广，我称之为施罗德样数我研究了一些q-类似物，有简单的汉克尔行列式。
Some remarks about Hankel determinants which are related to Catalan-like numbers
该研究针对后移类Catalan数及相关序列，得出了其Hankel行列式的相关结果，属于组合数学领域的注记类研究。
Hankel determinants of some polynomial sequences
我们给出了Omer Egecioglu和Aleksandar Cvetkovic，Predrag Rajkovic和Milos Ivkovic的一些Hankel行列式估计的简单的新证明，并证明了对称正交多项式的矩和的类似结果.
Some remarks and conjectures about Hankel determinants of polynomials which are related to Motzkin paths
本文收集了与Motzkin路有关的某些多项式的Hankel行列式的生成函数的一些结果和图解。
Hankel determinants and shifted periodic continued fractions
Sulanke和Xin发展了一种连分数方法，用于计算对应于二次生成函数的Hankel行列式。我们用他们的方法给出了最近常虎张用直接行列式计算证明的Hankel行列式的简短证明。我们发现在计算中出现了移位周期连分数。我们还发现并证明了一些新的关于整数参数$m,q,\ell$的步集为$\{(1,1),(q,0), (\ell-1,-1)\}$的格路的Hankel行列式.再次出现移位的周期性连分数。
Shifted Hankel determinants of Catalan numbers and related results
在这篇（部分暂时性）论文中，我们给出了一个简短的概述加泰罗尼亚数序列和汉克尔行列式之间的密切关系，从正交多项式的角度来看，并表明，一个类似的情况存在更一般的序列。
Some results and conjectures about Hankel determinants of sequences which are related to Catalan-like numbers
本文研究类 Catalan 数对应容许矩阵各列序列的 Hankel 行列式，归纳计算机实验揭示的性质，并通过前置零行探讨后向移位情形。
On the automaticity of the Hankel determinants of a family of automatic sequences
Hankel行列式和自动序列是数学和理论计算机科学中广泛研究的两个经典课题。然而，这两个主题被认为是完全独立的，直到1998年，阿卢什，Peyrière，温和温证明了Thue-Morse序列的所有汉克尔行列式都是非零的。这个属性允许Bugeaud证明Thue-Morse-Mahler数的无理指数正好是2。从那时起，其他几个自动序列的汉克尔行列式，特别是折纸序列，斯特恩序列，倍周期序列，由Coons，Vrbik，Guo，Wu，Wen，Bugeaud，Fu，Han，Fokkink，Kraaikamp和Shallit研究。另一方面，已知有理幂级数的Hankel行列式最终为零，而有限域上的二次幂级数的Hankel行列式最终为周期。因此，很自然地要问，我们是否能得到关于代数级数的汉克尔行列式的类似结果。本文通过建立基数核至多为$2$的$\pm 1$ -自动序列的约化Hankel行列式模$2$的自动性，给出了这个问题的部分答案.
Some observations about Hankel determinants of the columns of Pascal triangle and related topics
本文收集了一些关于Hoggatt三角形列的Hankel行列式及其生成函数的事实和说明，这些事实和说明显然与Young tableaux和Narayana数等组合对象有关。
Hankel determinants of linear combinations of moments of orthogonal polynomials
我们证明评价汉克尔行列式的线性组合的时刻的正交多项式（或等价地，生成函数的Motzkin路径），从而推广已知的结果加泰罗尼亚数。
A q-analogue of Catalan Hankel determinants
在本文中，我们将调查的各种方法，评估汉克尔行列式，并作为一个例子，我们评估一些汉克尔行列式的q-类似的Catalan数。这里我们考虑$\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$作为加泰罗尼亚数$C_{n}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$的q-模拟，它被称为小q-雅可比多项式的矩。我们也给出了这个q-模拟的几个证明，其中我们使用格路径，正交多项式，或基本的超几何级数。我们还考虑了Schröder Hankel行列式的一个q-模拟，并利用${}_2F_{1}$的加法公式给出了Moztkin Hankel行列式的一个新证明.
Almost Product Evaluation of Hankel Determinants
大量的文献描述了用于评估汉克尔行列式的各种技术。常用的方法如Dodgson凝聚法、连分数展开法、LU分解法等在适用时都能得到乘积公式。我们提到的经典情况下的汉克尔行列式与二项式项目${3k+2 \choose k}$和那些项目${3k \choose k}$ ;这两类汉克尔行列式的产品形式评估。尚未评价中间病例${3k+1 \choose k}$。有一个很好的理由：后面这些决定因素没有产品形式评估。本文给出了${3k+1 \choose k}$的Hankel行列式的一个估计.评价是少数产品的总和，几乎是产品。该方法实际上提供了更多的，作为应用程序，我们提出了一些其他汉克尔行列式与多项式条目的评价，随着产品和几乎产品形式的评价在特殊点的突出点。
Hankel Determinants for Convolution of Power Series: An Extension of Cigler's Results
该研究将Cigler关于卡特兰数卷积幂的汉克尔行列式恒等式，推广到满足特定二次方程的一般幂级数卷积场景，并给出Motzkin数卷积幂的汉克尔行列式恒等式作为应用。
Hankel determinants of middle binomial coefficients and conjectures for some polynomial extensions and modifications
中间的二项式系数可以解释为在正高度处没有水平台阶的Motzkin路径的数目。适当的权重给出了一些很好的多项式扩展。我们确定了中间二项式系数的Hankel行列式及其生成函数，并导出了它们的多项式扩张的许多公式。最后，我们通过实验探索了中间二项式系数的一些修改，其Hankel行列式显示出有趣的模模式，并获得了一些q-模拟。
On Hankel Determinants for Dyck Paths with Peaks Avoiding Multiple Classes of Heights
对于任何整数$m\ge 2$和集合$V\subset \{1,\dots,m\}$，令$(m,V)$表示$V$模$m$中元素的同余类的并集。我们研究了在集合$(m,V)$中峰避开高度的Dyck路径数的Hankel行列式。对于偶数模$m$的偶数元素的任意集合$V$，我们用整数的等差数列的连续性给出了Hankel行列式序列的一个显式描述.有许多例子，不同的$(m,V)$与周期序列的汉克尔行列式。给出了集合$(m,V)$的一个充分条件，使得Hankel行列式序列是周期的，包括偶数模和奇数模$m$ .
Hankel determinants of backward shifts of the coefficients of a partial theta function
本文研究与部分theta函数系数后向移位的Hankel行列式相关的多项式，并在附录中给出该函数倒数的系数的简单公式。
Some experimental observations about Hankel determinants of convolution powers of Catalan numbers
本研究通过计算机实验提出了若干关于卡特兰数卷积幂汉克尔行列式的猜想，虽多数暂无证明，但仍予以公布以期学界后续证明。
Shifted Hankel determinants of Catalan numbers and related results II: Backward shifts
该研究通过前置零定义序列后向移位的汉克尔行列式，得到卡特兰数及相关数与多项式序列的相关结果，并对卡特兰数卷积幂序列提出猜想。
Hankel determinants for convolution powers of Catalan numbers
Catalan数的卷积幂的Hankel行列式$\left(\frac{r}{2(i+j)+r}\binom{2(i+j)+r}{i+j}\right)_{0\leq i,j \leq n-1}$被Rehler和Rehler与Krattenthaler考虑过。我们通过寻找移位的周期连分数来计算$r\le 31$的这些行列式，这些移位的周期连分数是在Sulanke和Xin的连分数方法的应用中产生的。其中包括一些特殊情况下的Escherichler的插图。我们还给出了这些行列式的多项式特征。同样的技术用于评估汉克尔行列式$\left(\binom{2(i+j)+r}{i+j}\right)_{0\leq i,j \leq n-1} $。得到类似的结果。
Hankel determinants of convolution powers of Catalan numbers revisited
本文利用推广的 Andrews-Wimp 定理，简洁证明了 Catalan 数卷积幂平移的 Hankel 行列式，并推广至 Narayana 多项式。
Proof of Barry's Four Hankel Determinant Conjectures
巴里对四个有理族中心变换的汉克尔变换提出四个猜想，本文在共同代数框架内，通过将汉克尔行列式解释为格拉姆行列式，利用移位首一 切比雪夫多项式基揭示矩阵结构，从而证明了这四个猜想。
The Hankel determinants for the generalized derangement polynomials of order r
本文引入r阶广义错排多项式，建立其恒等式与递推关系，并用概率方法给出相关Hankel行列式的显式表达式，进而推导错排多项式与循环错排数的Hankel行列式。
Hankel determinants of a Sturmian sequence
令$τ$为字母表$\{0,1\}$上的替换$1\to 101$和$0\to 1$。以1为前导的$τ$的不动点，记作$\mathbf{s}$，是一个Sturmian序列。我们首先用$f$ -表示给出了$\mathbf{s}$的一个特征。然后，我们证明了零的分布在行列式诱导整数格的第一象限的分区。结合这些性质，我们给出了所有$m\ge 0$和$n\ge 1$的Hankel行列式$H_{m,n}$和$\mathbf{s}$的显式值.
A sufficient condition for $(α, β)$ Somos $4$ Hankel determinants
本研究发现Xin提出的用于解决Somos 4汉克尔行列式猜想的递推系统，是$(α, β)$型Somos 4序列的充分条件，可统一证明Barry提出的4个相关猜想。
Proof of a Conjecture on Hankel Determinants for Dyck Paths with Restricted Peak Heights
对于任何整数$m\geq 2$和$r \in \{1,\dots, m\}$，令$f_n^{m,r}$表示对于某个整数$i$其峰高为$im+r$的$n$ -Dyck路径的数目。我们发现$f_n^{m,r}$的生成函数满足一个简单的代数函数方程$2$。$r=m$的情况下是特别好，我们给出了一个组合证明。利用Sulanke和Xin的连分数方法计算了$f_n^{m,r}$的Hankel行列式.我们结果的特殊情况$r=m$解决了Chien，Eu和Fu提出的一个猜想.我们还丰富了最终周期Hankel行列式序列类。
A prime sensitive Hankel determinant of Jacobi symbol enumerators
我们证明了，行列式的Hankel矩阵的奇数维n的条目是计数器的Jacobi符号，取决于行和列的指标为零，当n是复合的。如果维数是素数p，则行列式的值为p-1次多项式，它是p的幂与勒让德符号的部分和的生成多项式的乘积。行列式的符号由-1模p的二次特征决定。利用勒让德符号的基本性质、二次高斯和以及三角函数的正交性证明了该估计。
Some observations on the Rueppel sequence and associated Hankel determinants
从基于Catalan数的定义出发，我们对Rueppel序列进行了实证研究。我们使用汉克尔变换作为主要技术。通过这种变换，我们找到了与雅可比序列和折纸序列等序列的联系。我们还研究了由这个序列定义的几个数组，它们是组合学中重要的Catalan三角形的类似物。我们确定了一个序列相关的Golay-Rudin-Shapiro序列中起着根本性的作用，连接汉克尔变换的文件与经典序列。例子给出了某些特权排列中出现的莱布尼茨公式的决定因素有一个特殊的作用。
Hankel Determinants of convoluted Catalan numbers and nonintersecting lattice paths: A bijective proof of Cigler's Conjecture
本文利用反射原理、Lindström-Gessel-Viennot方法及非相交格路径的反射叠合构造，为Cigler关于卷积Catalan数Hankel行列式的猜想提供了一个双射证明。
A simple approach to some Hankel determinants
我给一些著名的汉克尔行列式和他们的q-类似物简单的初等证明。
Hankel determinants for convolution powers of Narayana polynomials
本文通过符号计算程序验证并推广了Narayana多项式卷积幂的Hankel行列式猜想，采用猜测与证明策略，利用Hankel连分数技术，最终给出简洁闭合表达式。
A curious class of Hankel determinants
我们认为汉克尔行列式的加泰罗尼亚数序列模2（解释为整数0和1）和更一般的汉克尔行列式的总和在所有的排列减少到一个单一的有符号的排列。
A Multilinear Operator for Almost Product Evaluation of Hankel Determinants
在最近的一篇论文中，我们提出了一种方法来评估某些汉克尔行列式几乎产品，即作为一个小数目的产品之和。找到几乎乘积的显式形式的技术依赖于微分卷积方程和迹计算。在迹计算中，出现了一些涉及行列式的中间非线性项，但最终只是相互抵消。本文引入一类作用于矩阵元组的多重线性算子γ，作为迹方法的一种替代。这些算子不产生多余的非线性项，并且可以很容易地与微分结合起来。纸是自含的。给出了一个用γ-算子求几乎积的例子，并给出了各种形式矩阵的γ-算子值表。我们还提出了一个明确的评估一类新的汉克尔行列式和代数。
Some determinants of path generating functions, II
我们评估汉克尔行列式矩阵的条目是生成函数的路径组成的步骤，步骤和水平步骤，具有一个固定的起点，但可变的终点。通过专门化，这些决定性评价有许多推论。特别地，一个结果是Motzkin前缀数的汉克尔行列式等于1，而不管汉克尔矩阵的大小。
Riordan Arrays and Shifted Hankel Determinants of OEIS A005773
本文通过边界分解统一两个 Riordan 阵列，得到 Motzkin 端点分布的周期三变换及按高度模 3 的路径公式，并导出第三、第四 Hankel 行列式的闭式解。
Hankel determinants of the Cantor sequence
本文给出了Cantor序列的Hankel行列式的递归方程，并证明了Hankel行列式作为二重序列是3-自动的.利用Hankel行列式证明了Cantor数即以Cantor序列为b元展开式的超越数的无理指数等于2.
Hankel determinants of harmonic numbers and related topics
本文从正交多项式的角度对Hilbert矩阵的已有结果进行了综述，并计算了调和数的Hankel行列式及相关问题。
Hankel Continued fractions and Hankel determinants of the Euler numbers
欧拉数出现在$\tan(x)+\sec(x)$的泰勒展开式中。自Stieltjes以来，偶欧拉数的连分数和奇欧拉数的Hankel行列式分别得到了广泛的研究。然而，没有（混合）欧拉数的汉克尔行列式已获得和明确的计算。其原因是欧拉数的某些汉克尔行列式为零。这意味着欧拉数的Jacobi连分数不存在。本文用Hankel连分数代替$J$ -分式，绕过了这一障碍.因此，欧拉数的汉克尔行列式的显式公式被导出，以及涉及欧拉数的汉克尔连分数和汉克尔行列式的完整列表。最后，在我们的连分数的基础上，提出了一个新的欧拉数的$q$ -模拟$E_n(q)$.我们得到了$E_n(-1)$的一个显式公式，并证明了R. J. Mathar在这些数字上。
Hankel Determinant Calculus for the Thue-Morse and related sequences
某些自动序列$f$的汉克尔行列式的评估，基于一个计算模一个素数。在大多数情况下，自动序列的Hankel行列式没有任何封闭形式的表达式，传统的方法，如$LU$ -分解和Jacobi连分数不能直接应用.我们的方法是基于一个简单的想法：每个序列$g$等于$f$模$p$的汉克尔行列式等于$f$模$p$的汉克尔行列式。然后，线索包括找到一个很好的序列$g$，其汉克尔行列式具有封闭形式的表达式。几个例子，包括一个结果说，汉克尔决定因素的Thue-Morse序列是非零的，首先证明了Allouche，Peyrière，温和温使用行列式操作。本方法大大缩短了后一结果的证明。证明了当定义$\pm 1$ Thue-Morse序列的无穷乘积中的幂$2^n$被$3^n$取代时，相应的Hankel行列式不为零.
Catalan numbers, Hankel determinants and Fibonacci polynomials
这（部分暂时）文件起源于研究汉克尔决定因素的卷积权力的Catalan数和Narayana多项式。这导致了一些汉克尔行列式签署加泰罗尼亚数的价值是倍数的斐波那契数和一些汉克尔行列式签署中央二项式系数的价值是倍数的卢卡斯数。大多数证明是计算，但我们也包括一个组合由于基督教Krattenthaler。最后，我们制定了一些建议。
Hankel Determinants of sequences related to Bernoulli and Euler Polynomials
我们评估的各种序列的汉克尔行列式有关的伯努利和欧拉数和相应的多项式的特殊值。这些结果中的一些出现的特殊情况下，汉克尔行列式的某些总和和差异的伯努利和欧拉多项式，而其他的后果的方法，使用的衍生物的伯努利和欧拉多项式。我们还获得了Hankel行列式序列的总和和差异的权力和广义伯努利多项式属于某些狄利克雷字符与小导体。最后，我们收集和组织汉克尔行列式身份众多的序列，新的和已知的，包含伯努利和欧拉数和多项式。
A special class of Hankel determinants
本文计算了某些生成函数由C-分式给出的序列的Hankel行列式，并导出了相关多项式的正交性。
Hankel Determinants for Some Common Lattice Paths
对于$\ell$的单个值，令$f(n,\ell)$表示使用步骤$(1,1)$、$(1,-1)$和$(\ell,0)$、从$(0,0)$运行到$(n,0)$并且从不在水平轴下方运行的晶格路径的数量。等价地，$f(n,\ell)$满足二次函数方程$F(x) = \sum_{n\ge 0}f(n,\ell) x^n = 1+x^{\ell}F(x)+x^2F(x)^2.$令$H_n$表示$n$由$n$ Hankel矩阵，定义使得$[H_n]_{i,j} = f(i+j-2,\ell)$。在这里，我们调查的价值观，这样的决定因素，其中$\ell = 0,1,2,3$。对于$\ell = 0,1,2$，我们可以使用Gessel-Viennot-Lindström方法。对于$\ell=3$的情况，行列式序列形成周期为14的序列，即$$ (\det(H_n))_{n \ge 1} = (1,1,0,0,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,-1,-1,-1,...)$$。对于这种情况，我们能够使用最近由Gessel和Xin引入的连分数方法。我们也应用这种技术来评估汉克尔行列式满足一定类型的二次函数方程的其他生成函数。
Hankel determinants for convolution powers of Motzkin numbers
本文通过移位周期连分数求出了$r\leq 27$的Motzkin数卷积幂的Hankel行列式，并提出了其多项式刻画猜想。
The Generating Function of Ternary Trees and Continued Fractions
Michael Somos证明了Hankel行列式的元素$\frac 1{2n+1}\binom{3n}n$计数三元树与某些平面划分和交替符号矩阵的数量之间的关系。塔姆评价这些决定表明，生成函数为这些条目有一个连分数，这是一个特殊情况下高斯的连分数的商的超几何级数。我们给出了一个系统的应用程序的连分数方法的一些类似的汉克尔行列式。我们还描述了一个简单的方法来转换行列式使用生成函数的条目。在这种方式中，我们转换索莫斯的汉克尔行列式已知的决定因素，我们得到，高达3的幂，一个汉克尔行列式的交替符号矩阵的数量。我们得到了一个组合证明，在不相交的路径，涉及的三元树的数量和更一般的行列式恒等式涉及的$r$ -ary树的数量的行列式恒等式。
An $O(n\log^2n)$ Algorithm for Computing Hankel Determinants up to Order $n$
研究计算 Hankel 行列式的算法，通过探究 Hankel 连分数与广义 Sturm 序列的关系，开发出用 \(O(n \log^2 n)\) 次算术运算计算 Hankel 行列式的新算法，并探究了广义 Sturm 序列与 Hankel 矩阵符号的联系。
A combinatorial proof of the non-vanishing of Hankel determinants of the Thue--Morse sequence
1998年，Allouche，Peyrière，Wen和Wen建立了与$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列相关的Hankel行列式总是非零的。他们的证明依赖于一组十六个递归关系。我们提出了一个替代的，纯粹的组合证明相同的结果。我们还重新证明了最近的结果Coons的非零的Hankel行列式与其他两个经典的整数序列。
Leading coefficient in the Hankel determinants related to binomial and $q$-binomial transforms
本文将二项式变换下 Hankel 行列式不变的经典结论推广至 $q$-二项式变换，研究其首项系数行为，并利用特殊二项式变换分析偶数下标 Bernoulli 多项式情形。
Hankel determinants of sums of consecutive weighted Schröder numbers
对于实数$t$，设$r_\ell(t)$为所有$t$ -长度为$\ell$的大Schröder路径的总权重，$s_\ell(t)$为所有$t$ -长度为$\ell$的小Schröder路径的总权重。对于常数$α, β$，本文通过适当的格点路径模型，导出了Hankel矩阵$\det_{1\le i,j\le n} (αr_{i+j-2}(t) +βr_{i+j-1}(t))$，$\det_{1\le i,j\le n} (αr_{i+j-1}(t) +βr_{i+j}(t))$，$\det_{1\le i,j\le n} (αs_{i+j-2}(t) +βs_{i+j-1}(t))$和$\det_{1\le i,j\le n} (αs_{i+j-1}(t) +βs_{i+j}(t))$的行列式的递推公式.
Hankel determinants of Catalan-like sequences
本文计算了源于非相交Motzkin meander加权计数的类卡特兰序列的移位汉克尔行列式，其中部分为新发现或已被提出，还应用其验证了Cigler与Krattenthaler的猜想二项式行列式恒等式。
On $t$-extensions of the Hankel determinants of certain automatic sequences
1998年，Allouche，Peyrière，Wen和Wen研究了Thue-Morse序列，证明了倍周期序列的所有Hankel行列式都是奇整数.当Hankel行列式中沿对角线的元素都乘以~ $t$时，我们称之为$t$ -扩张。然后证明了倍周期序列的每个Hankel行列式的$t$ -扩张是$t$中的多项式，其首项系数是{ \it only one}是奇整数.我们的证明利用了Bugeaud和Han开发的组合设置，这似乎非常适合于本研究，因为参数$t$计算置换的不动点的数量。最后证明了正则折纸序列的Hankel行列式的所有$t$ -扩张都是次数小于或等于$3$的$t$中的多项式.
Hankel-type determinants for some combinatorial sequences
在本文中，我们确认了Z. W. Sun关于某些组合序列的Hankel型行列式，包括Franel数、Domb数和Apéry数。对于任何非负整数$n$，定义\begin{gather*}f_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^3,\ D_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2(n-k)}{n-k}, b_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k,\ A_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2. \end{gather*}对于$n=0,1,2,\ldots$，我们证明了$6^{-n}|f_{i+j}|_{0\leq i,j\leq n}$和$12^{-n}|D_{i+j}|_{0\le i,j\le n}$是正奇数，并且$10^{-n}|b_{i+j}|_{0\leq i,j\leq n}$和$24^{-n}|A_{i+j}|_{0\leq i,j\leq n}$总是整数。
Some nice Hankel determinants
本文研究了一类序列的Hankel行列式，这类序列可以被解释为Catalan数和中心二项式系数的推广。它们遵循频繁出现零的模模式，因此正交多项式理论不适用。即使如此，我们的定理和图也显示出与Catalan数与Fibonacci多项式或中心二项式系数与Lucas多项式之间关系的某些相似性.
An interesting class of Hankel determinants
对于小$r$的汉克尔行列式$d_r(n)$的序列$\left({2n+r\choose n}\right)_{n\ge 0}$是很容易猜测，并显示出一个有趣的模块模式。对于任意的$r$和$n$，没有已知的封闭公式，但对于每个正整数$r$，特殊值$d_r(rn)$，$d_r(rn+1)$和$d_r(rn+\lfloor\frac{r+1}{2}\rfloor)$具有良好的值，这将在本文中得到证明。
Pfaffian decomposition and a Pfaffian analogue of q-Catalan Hankel determinants
受矩序列的Hankel行列式估计的启发，研究了一类Pfavian类似估计.我们证明了反对称矩阵的LU-分解类似，称为Pfweian分解。然后，我们应用这个公式来评估与一些经典的正交多项式的矩序列相关的Pfrons。特别地，我们得到了一类q-Catalan Pfrons的乘积公式。我们还建立了一个连接我们的Pfidian公式和一定的加权枚举移位反向平面分区。
Continued fractions for $q$-deformed real numbers, $\{-1,0,1\}$-Hankel determinants, and Somos-Gale-Robinson sequences
本文研究$q$-变形实数的连分数展开，发现新例子，并找到使前几个Hankel行列式仅含$-1,0,1$的无穷幂级数族，这些序列满足Somos和Gale-Robinson递推。
Hankel continued fraction and its applications
利用$f$的Jacobi连分数展开式，可以求出给定幂级数$f$的Hankel行列式.然而，Jacobi连分数的存在性要求$f$的所有Hankel行列式都非零.本文引入{ \it Hankel连分数}，对幂级数$f$，在不附加任何条件的情况下，保证了它的连续性和唯一性. Hankel行列式也可以用Hankel连分数来计算。众所周知，二次无理数的连分数展开式最终是周期的。对于幂级数，我们证明了一个类似的结果。如果有限域上的幂级数$f$满足二次函数方程，则Hankel连分数是最终周期的。作为应用，我们得到了几个自动序列，特别是定期折纸序列的汉克尔行列式。因此，我们对郭、吴和温得出的结果提供了自动证明，该结果是Coons-Vrbik推测的。
Hankel Determinants of Certain Sequences Of Bernoulli Polynomials: A Direct Proof of an Inverse Matrix Entry from Statistics
我们计算了伯努利多项式序列的Hankel行列式。这个对应的汉克尔矩阵来自于统计估计非参数回归中的方差。除了它的元素与伯努利多项式有着天然而深刻的联系外，它的一个特殊情况可以由相应的范德蒙矩阵构造出来。因此，我们不作渐近分析，而是给出了计算其逆元的一个项的直接证明。
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