巴里四个汉克尔行列式猜想的证明
Proof of Barry's Four Hankel Determinant Conjectures
AI总结：
巴里对四个有理族中心变换的汉克尔变换提出四个猜想，本文在共同代数框架内，通过将汉克尔行列式解释为格拉姆行列式，利用移位首一 切比雪夫多项式基揭示矩阵结构，从而证明了这四个猜想。
AI中文摘要：
巴里引入了整数序列的一种中心变换，并对四个有理族的中心变换的汉克尔变换提出了四个猜想。我们证明了这四个猜想。证明在一个共同的代数框架内统一：我们将汉克尔行列式解释为格拉姆行列式，并使用移位首一切比雪夫多项式的基来揭示相关格拉姆矩阵的有限带结构。
英文摘要：
Barry introduced a central transform of integer sequences and proposed four conjectures concerning the Hankel transforms of central transform of four rational families. We prove these four conjectures. The proofs are unified within a common algebraic framework: we interpret the Hankel determinants as Gram determinants and use a basis of shifted monic Chebyshev polynomials to reveal the finite-band structure of the associated Gram matrices.
