Geometric realization of PRV components and the Littlewood-Richardson cone
Ivan Dimitrov, Mike Roth
这是arXiv：0909.2280的配套论文。它主要是简要的，并侧重于代表性理论和组合方面的主要问题，在其他文章中考虑。
This is a companion paper to arXiv:0909.2280. It is mostly expository and focuses on the representation-theoretic and combinatorial aspects of the main problems considered in the other article.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A closed formula of Littlewood-Richardson coefficients
给出了Littlewood-Richardson系数的一个闭公式。
Reduction rules for Littlewood-Richardson coefficients
设G是特征为零的代数闭域上的半单代数群。本文证明了G的Littlewood-Richardson锥的每一个正则面都产生一个归约规则：给定一个计算张量积中不可约分量重数的“在该面上”的问题，该规则将其归约为一个秩较小的群上的类似问题。在A型情形中，这个结果已经被德克森和韦曼用箭袋证明过，被金、托卢和托马泽用难题证明过。这里的证明是几何和类型无关的。
A geometric Littlewood-Richardson rule
我们描述了一个明确的几何Littlewood-Richardson规则，解释为变形的交叉两个舒伯特品种，使他们打破舒伯特品种。对基场没有任何限制，所有出现的多重数都是1;这对应用程序很重要。这条规则应该被看作是皮耶里规则的推广到任意舒伯特类，通过显式同伦。它与其他Littlewood-Richardson规则有一个直接的双射，例如tableaux，Knutson和Tao的谜题。这给出了Littlewood-Richardson规则的第一个几何证明和解释。它有一个主机的几何后果，在配套文件“舒伯特归纳”。这个规则在K理论中也有一个解释，由Buch提出，它给了K理论一个扩展的谜题。该规则建议一个自然的方法来解决一个悬而未决的问题，找到一个Littlewood-Richardson规则的旗帜品种，导致一个猜想，证明是真实的5维。最后，该规则为类似的开放问题提供了方法，例如辛格拉斯曼和双旗簇的Littlewood-Richardson规则。
Cup products of line bundles on homogeneous varieties and generalized PRV components of multiplicity one
设X=G/B是一个完备旗簇，L'和L”是X上的两个线丛.考虑上积映射H^{d '}（X，L'）x H^{d”}（X，L”）--> H^{d}（X，L），其中L=L' x L”且d= d'+ d”。我们回答了关于上述映射的两个自然问题：什么时候它是不可约G-表示的非零映射？相反，给定G的一般不可约表示V'和V”，V' x V”的哪些不可约分量可能出现在上面映射的右侧？我们还给出了上的多重性出现在一个张量积的界限，并与这些考虑的边界的Littlewood-Richardson锥。
The Littlewood-Richardson rule and Gelfand-Tsetlin patterns
本文对Littlewood-Richardson规则进行了综述。使用Gelfand-Tsetlin模式作为我们分析的主要机制，我们研究了Littlewood-Richardson规则的各种组合描述的相互关系。
Pictures and Littlewood-Richardson crystals
我们将描述这组图像和利特伍德-理查森晶体之间的一一对应关系。
Horn inequalities for nonzero Kronecker coefficients
Kronecker系数和Littlewood-Richardson系数是取决于三个分区的非负整数。根据定义，这些系数是对称群的两个不可约表示的张量积分解的重数（分别为线性群）。利用经典的Littlewood-Murnaghan的结果，推广了Littlewood-Richardson的Kronecker系数，Littlewood-Richardson系数的非零性蕴涵了关于三个分拆的线性不等式，称为Horn不等式.本文将本质Horn不等式推广到Kronecker系数为非零时的三重分拆。
On the largest Kronecker and Littlewood--Richardson coefficients
我们给出了Kronecker和Littlewood-Richardson系数的新的界和渐近估计。值得注意的是，我们解决斯坦利的问题上的形状分区达到最大的克罗内克和Littlewood-理查森系数。我们将结果的渐近性的一些标准的杨tableaux的斜形状。
Box moves on Littlewood-Richardson tableaux and an application to invariant subspace varieties
Kaplansky在他1951年的著作《无限阿贝尔群》中给出了有限阿贝尔群中循环子群嵌入的同构类型的组合刻画。在本文中，我们首先使用Littlewood-Richardson表上的部分映射，将这一结果推广到有限直和的嵌入。然后，我们专注于应用到不变子空间的幂零线性算子。给出了判定表示空间中两个不可约分支是否为边界偏序的准则。
An S_3-symmetric Littlewood-Richardson rule
经典的Littlewood-Richardson系数C（lambda，mu，nu）通过指数的置换携带自然的$S_3$对称性。我们的“纸箱规则”计算这些数字透明和统一解释这六个对称性，以前制定的Littlewood-Richardson规则表现在最多的三个。
A Littlewood-Richardson rule for the MacDonald inner product and bimodules over wreath products
本文证明了$(s_{λ/μ},s_{ν/κ})_{t^k,t}$的Littlewood-Richardson型公式，$(s_{λ/μ},s_{ν/κ})_{t^k,t}$是两个斜Schur函数在正整数$k$的$q = t^k$的MacDonald内积中的配对.这种配对计数代数$C[x]/x^k$和对称群的圈积表示论中的分次分解数。
Factorization of certain Macdonald Littlewood-Richardson coefficients
我们发现并证明了某些Macdonald Littlewood-Richardson系数$c_{λμ}^ν(q,t)$的因式分解公式。即，我们考虑Kostka数$K_{μ, ν-λ}$为$1$的情况。这解决了理查德·斯坦利的一个更一般的猜想的一个特殊情况。该猜想提出了当相应的正则Littlewood-Richardson系数$c^ν_{λμ}$为$1$时，存在一个因式分解公式.
RSK type correspondence of Pictures and Littlewood-Richardson Crystals
我们提出了一个Robinson-Schensted-Knuth型之间的一对一的对应关系的图片集和一组对Littlewood-Richardson晶体。
Bidilatation of Small Littlewood-Richardson Coefficients
Littlewood-Richardson系数$c^ν_{λ,μ}$是一般线性群GL $(n, {\mathbb C})$的两个不可约表示的张量积分解中的重数。它们由长度至多为$n$的三元组$(λ, μ, ν)$来参数化。通过所谓的富尔顿猜想，如果$c^ν_{λ,μ}=1$，那么对任何$k \geq 0$，都有$c^{kν}_{kλ,kμ}= 1$。类似地，如Ikenmeyer或Sherman所证明的，如果$c^ν_{λ,μ}=2$，则对于任何$k\geq 0$，都有$c^{kν}_{kλ,kμ} = k + 1$。这里，给定一个划分$λ$，我们设置$λ(p, q) = p(qλ')'$，其中素数表示共轭划分。我们观察到，富尔顿猜想意味着，如果$c^ν_{λ,μ}=1$，那么$c^{ν(p,q)}_{λ(p,q),μ(p,q)}=1$，对任何$p, q \geq 0$。我们的主要结果是，如果$c^ν_{λ,μ}=2$，那么$c^{ν(p,q)}_{λ(p,q),μ(p,q)}$是二项式$\begin{pmatrix} p+q\\ q \end{pmatrix}$，对任何$p, q \geq 0$。
Combinatorics and geometry of Littlewood-Richardson cones
我们提出了几个直接双射之间的不同组合解释的Littlewood-Richardson系数。双射是由显式线性映射定义的，它有其他的应用。
Admissible Pictures and $U_q(gl(m,n))$-Littlewood-Richardson Tableaux
我们构造了一个自然的双射之间的一组容许图片和一组$U_q(gl(m,n))$ -Littlewood-Richardson tableaux。
Littlewood-Richardson coefficients and Kazhdan-Lusztig polynomials
证明了仿射对称群的Littlewood-Richardson系数是某些抛物型Kazhdan-Lusztig多项式在1处的值.这些q-类似物的Littlewood-Richardson多重性与以前介绍的丝带tableaux。
An algorithmic Littlewood-Richardson rule
我们引入了一个基于斜Young图算法变形的Littlewood-Richardson规则，并给出了一个具有经典规则的双射。其结果是一个直接的组合解释和证明的几何规则提出的Coskun。我们还提出了一个推论的Specht模块的中间图。
Applications of Littlewood-Richardson tableaux to computing generic extension of semisimple invariant subspaces of nilpotent linear operators
本文的主要目的是给出一个组合算法，它利用Littlewood-Richardson表计算幂零线性算子的半单不变子空间的通有扩张.此外，我们还讨论了一般扩张的几何性质及其与组合数学的联系。
A super Littlewood--Richardson type rule
本文提出了带符号字母表上超 Schur 函数的超 Littlewood--Richardson 规则，并利用超 Young 表的性质给出了相应系数的组合解释，为表示论等领域提供了应用工具。
Generalized Littlewood-Richardson coefficients for branching rules of GL(n) and extremal weight crystals
根据Derksen-Weyman在\cite{DW11}和Chindris在\cite{Chi08}中所使用的方法，我们使用非线性理论来表示$\gl(n)$对角嵌入分支规则的广义Littlewood-Richardson系数作为半不变量的权空间的维数。使用这个，我们证明他们的饱和度和调查时，他们是非零的。我们还表明，对于某些分区的相关拉伸多项式满足相同的代数作为单一的Littlewood-Richardson系数。然后，我们提供了一个多面体描述这种多重性，并表明其积极性可以计算在强多项式时间。最后，我们注意到，类似的结果持有某些其他广义Littlewood-Richardson系数。
Littlewood-Richardson Coefficient, Springer Fibers and the Annihilator Varieties of Induced Representations
本文利用几何Sakate等价证明了$GL(n,\mathbb{C})$中幂零轨道的包含关系与Littlewood-Richardson系数非零的等价性，并描述了用于研究Whittaker支撑和零化簇的空间$\mathcal{O}\cap\mathfrak{p}$的几何性质。
Induced Characters of Type D Weyl Groups and the Littlewood-Richardson Rule
对于$D$外尔群的$D_aD_b$型极大反射子群的任何普通不可约特征标，给出了其诱导特征标的Littlewood-Richardson系数分解.
Skew Littlewood-Richardson rules from Hopf algebras
本文利用霍普夫代数证明了斜Schur函数的Littlewood-Richardson规则的一个版本，它隐含了Assaf和McNamara的一个猜想.我们还建立了Schur P-函数、Q-函数和非交换带状Schur函数的斜Littlewood-Richardson规则，以及k-Schur函数、对偶k-Schur函数和辛群的仿射格拉斯曼的同调的斜Pieri规则.
Contingency tables and the generalized Littlewood-Richardson coefficients
Littlewood-Richardson系数$c^λ_{μν}$给出不可约多项式${\rm GL}_n$ -表示$F^λ_n$在多项式表示$F^μ_n\otimes F^ν_n$的张量积中的重数。本文将这些系数推广到有理表示的$r$ -倍张量积，并给出了一种利用统计列联表的模拟计算它们的新方法。我们证明了特殊情况下，我们的方法减少到计数统计列联表规定的利润率。最后，我们将结果从一般线性群推广到正交群和辛群。
Necessary conditions for the positivity of Littlewood-Richardson and plethystic coefficients
本文给出Littlewood-Richardson系数和SXP系数正性的必要条件，并推导出plethystic系数正性的必要条件，主要结果刻画了$S^μ(S^ν(V))$分解中$S^λ(V)$出现时$ν$与$λ$图形间的包含关系。
Deciding Positivity of Littlewood-Richardson Coefficients
从克努森和陶的蜂巢模型开始（在J. Amer. Math. Soc.，1999）我们将给定分区的Littlewood-Richardson系数$c_{λ,μ}^ν$（$λ,μ,ν\in N^n$）刻画为蜂窝图上达到蜂巢流的容量的数目。在此基础上，设计了一个多项式时间算法来确定$c_{λ,μ}^ν>0$。该算法简单易行，只需进行$O(n^3 \log ν_1)$算术运算和比较。我们进一步表明，实现蜂巢流的容量可以被看作是一个连通图的顶点，这导致了新的结构的见解Littlewood-Richardson系数。
The Littlewood-Richardson rule for wreath products with symmetric groups and the quiver of the category $F \wr {\bf FI}_n$
给出了圈积$F \wr S_{n}$的Littlewood-Richardson定则的一个新的证明，其中$F$是有限群.我们的证明不使用对称函数，但更基本的表示理论工具。我们还推导出一个分支规则，诱导自然嵌入的$F\wr S_{n}$到$F\wr S_{n+1}$。然后我们应用广义Littlewood-Richardson规则计算范畴$F \wr {\bf FI}_{n}$的普通代数，其中${\bf FI}_{n}$是$n$ -元集的子集之间的所有内射函数的范畴.
On a conjecture by Naito-Sagaki: Littelmann paths and Littlewood-Richardson Sundaram tableaux
证明了Naito-Sagaki关于$\mathfrak{sl}(2n,\mathbb{C})$的不可约表示限制为$\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$的分支规则的猜想的一个特例。该猜想是在某些Littelmann道路，与嵌入给出的折叠类型$A_{2n-1}$ Dynkin图。我们提出并激励一种方法的猜想一般来说，在Littlewood-Richardson Sundaram tableaux。
A Sundaram type bijection for $\mathrm{SO}(2k+1)$: vacillating tableaux and pairs consisting of a standard Young tableau and an orthogonal Littlewood-Richardson tableau
对于特殊正交群$\mathrm{SO}(2k+1)$，我们给出了摇摆表与由标准Young表和正交Littlewood-Richardson表组成的表对之间的双射.这种双射是由$\mathrm{SO}(2k+1)$的定义表示的$r$次张量幂的直和分解激发的。为了制定它，我们使用权的正交Littlewood-Richardson表，并引入新的替代表，他们在双射。此外，我们使用一个适当定义的下降集摇摆tableaux确定准对称扩展的Frobenius字符的同型组件。
A Littlewood-Richardson rule for Koornwinder polynomials
Koornwinder多项式是配备有额外五个参数和$B C_n$型外尔群对称性的$q$ -正交多项式，其由Koornwinder（1992）引入作为Askey-Wilson多项式的多元模拟。它们现在被理解为通过双仿射Hecke代数的Macdonald-Cherednik理论与$(C^\vee_n,C_n)$型仿射根系相关联的Macdonald多项式。本文给出了Koornwinder多项式的Littlewood-Richardson系数的显式公式，即产物的结构常数为不变多项式。我们的公式是自然的$(C^\vee_n,C_n)$ -类似于Yip的凹室行走公式（2012），在约化仿射根系的情况下给出。
A polynomiality property for Littlewood-Richardson coefficients
我们给出了Littlewood-Richardson系数c_{λμ} ^v的多项式性质。在矢量分拆函数的腔室复合体的锥上，系数由λ、μ和ν的多项式给出。我们给出了多项式次数的界，它取决于分区λ、μ和ν的最大允许部分数。我们首先将Littlewood-Richardson系数表示为向量分拆函数。然后，我们定义了一个超平面安排从斯坦伯格的公式，在其区域的Littlewood-Richardson系数由多项式给出，并将这种安排的室复杂的分拆函数。作为一个简单的推论，我们得到了c_{NλNμ} ^{Nν}由N中的多项式给出的一个新的证明，这部分地建立了King，Tollu和Toumazet关于c_{NλNμ} ^{Nν}是N中具有非负有理系数的多项式的猜想.
Saturation for Flagged Skew Littlewood-Richardson Coefficients
本文定义了带旗的斜 Littlewood-Richardson 系数，并证明其饱和性，推广了已有结果。
Decomposing Inversion Sets of Permutations and Applications to Faces of the Littlewood-Richardson Cone
如果$α\in S_n$是$\{1, 2, \ldots, n\}$的置换，则$α$的逆集是$Φ(α) = \{(i, j) \, | \, 1 \leq i < j \leq n, α(i) > α(j)\}$。我们描述了所有的$r$ -元组$α_1, α_2, \ldots, α_r \in S_n$，使得$Δ_n^+ = \{(i, j) \, | \, 1 \leq i < j \leq n\}$是$Φ(α_1), Φ(α_2), \ldots, Φ(α_r)$的不相交并集。使用这种描述，我们证明了某些面的Littlewood-Richardson锥是单纯的，并提供了一个算法，写下他们的生成射线集。我们还讨论了类似的问题的Weyl群的类型$B$，$C$和$D$根系提供解决方案的类型$B$和$C$。最后，我们提供了一些枚举结果，并介绍了一个有用的工具，可视化反演集。
Vanishing of Littlewood-Richardson polynomials is in P
J. DeLoera-T. McAllister和K. D. Mulmuley-H.纳拉亚南Sohoni独立证明了确定Littlewood-Richardson系数的消失具有强多项式时间计算复杂性。鉴于这些舒伯特演算数，我们证明了推广的Littlewood-Richardson多项式控制等变上同调的格拉斯曼。我们利用H的边标记tableau规则构造了一个多面体。A-A永我们的证明，然后结合饱和定理D。安德森-E Richmond-A Yong，一个读序独立性性质，E.组合线性规划的Tardos算法。
Large tensor products and Littlewood-Richardson coefficients
Littlewood-Richardson系数描述了简单李代数的不可约表示的张量积分解为不可约表示。假设因子的数量很大，人们可以在权重空间上得到一个度量。许多作者对这一限制措施进行了广泛研究。特别是，Kerov计算了相应的密度在一个特殊情况下，A型和Kuperberg给出了一个公式的一般情况。本文的目的是给出极限测度密度公式的一个简短、完备的纯李理论证明。我们的方法是基于由Littlewood-Richardson系数引起的极限测度和由张量积的重数定义的测度之间的联系。
Geometric Complexity III: on deciding positivity of Littlewood-Richardson coefficients
我们指出，显着的Knutson和陶饱和定理和多项式时间算法的LP一起有一个重要的和直接的后果，在几何复杂性理论。GLn（C）的Littlewood-Richardson系数的正性判定问题属于P问题，而且算法是强多项式的。本文的主要目的是解释这一结果的几何复杂性理论的背景下的意义。此外，还证明了一个类似的结果对任意可对称化的Kac-Moody代数也成立。
Clifford algebras and Littlewood-Richardson coefficients
本文提出利用Clifford代数技术描述等秩紧对称空间的de Rham上同调环，为计算Littlewood-Richardson系数提供了一种基于Hadamard积的新方法。
Littlewood-Richardson coefficients as a signed sum of Kostka numbers
Littlewood-Richardson（LR）系数和Kostka数出现在与$GL_n$相关的表示论和组合数学中。Kostka数可以用特殊的Littlewood-Rischardson系数表示。在本文中，我们证明了如何将LR系数表示为Kostka数的符号和，并利用该公式给出了LR系数的多项式时间算法，从而表明它们属于同一类判定问题.作为推论，我们将使用Kostant的分拆函数证明Steinberg公式。
A Littlewood-Richardson rule for Macdonald polynomials
麦克唐纳多项式是与根系相关联的正交多项式，并且在类型A的情况下，对称类型是舒尔函数、麦克唐纳球函数和杰克多项式的常见推广。我们利用凹室行走的组合学来计算双仿射Hecke代数的单项式和交织算子的乘积。由此得到了一般型Macdonald多项式的乘积公式。
A Sundaram type bijection for SO(3): vacillating tableaux and pairs of standard Young tableaux and orthogonal Littlewood-Richardson tableaux
基于特殊正交群SO（2k+1）的定义表示的第r次张量幂的直和分解，给出了一种确定同构群的Frobenius特征标的双射方法.特别是，这导致我们之间的双射摇摆tableaux和对标准的杨tableaux和正交Littlewood-Richardson tableaux，我们提出的SO（3）。此外，我们还引入了一个摆动表的下降集。由于我们的双射保持了这个下降集，我们也得到了Frobenius字符的准对称扩展。
On the Shifted Littlewood-Richardson Coefficients and Littlewood-Richardson Coefficients
本文通过给出移位 Littlewood-Richardson 系数的新解释，将 Schur Q-函数分解中的系数与经典 Littlewood-Richardson 系数联系起来，证明了对称性与不等式关系，并提出相关猜想。
The odd Littlewood-Richardson rule
在以前的工作与米哈伊尔Khovanov和亚伦劳达我们介绍了两个奇怪的类似物的舒尔功能：一个通过组合数学的杨tableaux（奇Kostka数）和一个通过奇对称化运营商。在本文中，我们介绍了第三个类似物，plasticSchur函数。我们发现，他们与先前定义的类型的舒尔函数，确认一个猜想。利用Plastic定义，我们建立了一个奇Littlewood-Richardson规则。我们还通过Knutson-Tao蜂巢模型，在多面体语言中重新构建了这条规则。
Small Littlewood-Richardson coefficients
我们发展了Littlewood-Richardson图的结构性见解，对于给定的划分λ，μ和ν，其顶点数等于Littlewood-Richardson系数c（λ，μ，ν）。这个图最早由Bürgisser和Ikenmeyer在arXiv：1204.2484中引入，并证明了它的连通性。我们的见解对于设计计算Littlewood-Richardson系数的算法是有用的：我们设计了一个精确计算c（λ，μ，ν）的算法，运行时间为O（c（λ，μ，ν）^2 poly（n）），其中λ，μ，ν是长度不超过n的分区。此外，我们还引入了一个判定c（λ，μ，ν）>= t的算法，其运行时间为O（t^2 poly（n））.甚至判定c（λ，μ，ν）是否>= 2的多项式时间算法的存在本身也是一个非平凡的新结果。我们的见解也导致了King，Tollu和Toumazet在2004年提出的一个猜想的证明，即c（λ，μ，ν）= 2意味着对所有M，c（Mλ，Mμ，Mν）= M + 1。这里，分区的拉伸是按分量定义的。
A Littlewood-Richardson rule for evaluation representations of quantum affine sl(n)
给出GL（m）型仿射Iwahori-Hecke代数的两个赋值模的诱导积的合成因子的组合刻画.利用量子仿射Schur-Weyl对偶，给出了sl（n）型量子仿射代数的两个求值模的张量积的合成因子的组合描述.
Generalised Stretched Littlewood-Richardson Coefficients
Littlewood-Richardson（LR）系数计算了给定形状和给定内容的LR表。我们证明，LR tableaux的数量弱增加，如果一个增加的形状和内容的形状和内容的另一个LR tableaux。我们还调查了LR tableaux的数量的行为，如果一个重复添加到形状的另一个形状与固定或任意的内容。这是一个广义的拉伸LR系数，其中一个重复添加相同的形状和内容本身。
Jack Littlewood-Richardson Coefficients and the Nazarov-Sklyanin Lax Operator
本文研究 Nazarov-Sklyanin 量子 Lax 算子多项式本征函数性质，通过考虑本征函数乘积推广 Kerov 公式，推导出基于分区乘法运算的 Jack Littlewood-Richardson 系数约束系统。
Littlewood-Richardson coefficients for reflection groups
本文明确地计算了半单群或Kac-Moody群G的所有Littlewood-Richardson系数，即上同调代数H^*（G/P）的结构系数，其中P是G的一个抛物子群.这些系数在枚举几何、代数组合学和表示论中具有重要意义。利用G的Cartan矩阵和外尔群给出了Littlewood-Richardson系数的计算公式。然而，如果Cartan矩阵的某些非对角项为0或-1，则公式可能包含负被加数。另一方面，如果Cartan矩阵对于所有$i,j$都满足$a_{ij}a_{ji}\ge 4$，则我们公式中的每个被加数都是非负的，这意味着所有Littlewood-Richardson系数都是非负的。我们把这个结果和其他结果推广到旗簇G/P和Bott-Samelson簇Gamma_ \ii（G）的T-等变上同调的结构系数.
About some faces of the generalized Littlewood-Richardson cone
设G是一个连通的约化代数群，H是G的一个约化闭连通子群，且都定义在特征为零的代数闭域上.我们考虑支配权对（x，y）的集合C，使得最高权x的不可约H-模是G-模中对应于y的子模。这个集合与在有理向量空间中生成的半群半群正则地一致。我们考虑由C生成的广义Littlewood-Richardson锥C'。这个圆锥是多面体的。对于C '中的任何（x'，y '），x'是支配的，因此，满足有限个（H的秩）线性不等式.我们问，如果这些不平等导致面临的余维一的C '。利用几何不变量理论的方法，我们给出了隐含肯定答案的几何判据。我们还将所得结果应用于表示论中的几个经典例子。
From orbital measures to Littlewood-Richardson coefficients and hive polytopes
与SU（n）的Littlewood-Richardson系数或与给定的最高权的容许三元组相关联的蜂巢多面体（或蜂窝多面体）的体积在一般情况下用轨道测度的卷积积的傅里叶变换表示。这个函数的几个性质-一个函数的三个不必要的积分权重或三个多重的实特征值的相关霍恩问题-是已知的。在积分的情况下，它可以被认为是Littlewood-Richardson系数的半经典近似。我们证明，它可以表示为一个有限数量的这样的系数的局部平均值。我们还将该函数与Littlewood-Richardson多项式（拉伸多项式）联系起来，即，相关蜂巢多面体的埃赫哈特多项式。几个SU（n）的例子，对于n= 2，3，.，6、明确提出。
From Littlewood-Richardson sequences to subgroup embeddings and back
令$α$、$β$和$γ$是描述有限阿贝尔$p$ -群$A$、$B$和$C$的同构类型的划分。由格林和克莱因的定理可知，存在阿贝尔群的短正合列$0\to A\to B\to C\to 0$当且仅当存在$(α,β,γ)$型的Littlewood-Richardson列。从观察到的一个序列的分区有LR属性当且仅当每个子序列的长度为2，我们证明了如何LR序列的长度为2对应于嵌入的$p^2$ -有界子群的有限阿贝尔$p$ -组。使用已知的分类所有这样的嵌入，我们得出简短的证明定理的绿色和克莱因。
From Littlewood-Richardson coefficients to cluster algebras in three lectures
这是我在北约高级研究所“对称函数2001：发展和前景的调查”（艾萨克·牛顿数学科学研究所，剑桥，英国; 2001年6月25日至7月6日）的三次演讲笔记的扩展版本。第一讲给出了A. Berenstein和作者对任何复半单李代数的广义Littlewood-Richardson系数（=张量积重数）的研究。第二堂课概述了这一结果的证明;证明的主要思想是将LR系数与规范基和总正性联系起来。第三讲介绍了簇代数，S。S。引入的一类新的交换代数。Fomin和作者试图创建一个代数框架的典型基地和总积极性。
Sums of squares of the Littlewood-Richardson coefficients and GL(n)-harmonic polynomials
我们考虑的例子，从不变理论的共轭作用的一般线性群的几个副本的$n \times n$矩阵，并检查对称函数，稳定地描述了希尔伯特级数的不变环的多级度。这个希尔伯特级数的项可以被描述为Littlewood-Richardson系数的平方和。层次的“主特化”则与$\GL_n$ -调和多项式中的$\K$ -不变子环的希尔伯特级数相关，其中$\K$表示一般线性群的乘积的块对角嵌入。我们也考虑这个希尔伯特级数的其他特化。
Geometric Proof of a Conjecture of King, Tollu, and Toumazet
在他们2004年的论文中，拉伸的Littlewood-Richardson和Kostka Coefficients，King，Tollu和Toumazet指出，如果值为2的Littlewood-Richardson系数被拉伸了N倍，则所得系数的值为N+1。这是证明使用几何方法和舒伯特微积分的推广。
A second reduction-type formula for the refined Littlewood--Richardson coefficients in type A
本文研究对称群\(S_n\)中置换及分划相关的\(A_n\)型精细化 Littlewood-Richardson 系数\(c^{\nu}_{\lambda,\mu}(w)\)，通过蜂巢模型建立其第二个约化型公式，扩展了经典系数的约化公式。
Some unexpected properties of Littlewood-Richardson coefficients
我们感兴趣的是Littlewood-Richardson系数之间的恒等式，从而比较线性群GL n（C）的不可约模的不同张量积分解.一个家庭的分区，称为近矩形的定义，我们证明了一个稳定的结果，基本上断言，分解的张量积的两个表示相关的近矩形分区不依赖于n。给定一个长度最多为n的分区$λ$，用V n（$λ$）表示相关的简单GL n（C）-模块。我们猜想，如果$λ$是近矩形的，而$μ$是任意划分的，则V n（$λ$）$\otimes$ V n（$μ$）和V n（$λ$）* $\otimes$ V n（$μ$）的分解模一个神秘的双射重合.我们证明了这一猜想，如果$μ$也是近矩形和报告几个计算机辅助计算，加强我们的猜想。
Littlewood-Richardson coefficients via mirror symmetry for cluster varieties
我证明了充分的福克-贡恰洛夫猜想成立$\mathrm{Conf}_3^\times(\widetilde{\mathcal{F}\hspace{-1.6pt}\ell})$ -配置空间的三重装饰标志在通用的位置。作为这个证明的一个关键成分，我展示了一个最大的绿色序列的初始种子的长度。在与部分极小模型$\mathrm{Conf}_3^\times(\widetilde{\mathcal{F}\hspace{-1.6pt}\ell}) \subset \mathrm{Conf}_3(\widetilde{\mathcal{F}\hspace{-1.6pt}\ell})$相关的$\mathrm{Conf}_3^\times(\widetilde{\mathcal{F}\hspace{-1.6pt}\ell})^\vee$上计算Landau-Ginzburg势$W$。相关“锥”${Ξ:=\left\{W^T \geq 0\right\} \subset \mathrm{Conf}_3^\times(\widetilde{\mathcal{F}\hspace{-1.6pt}\ell})^\vee\left({\mathbb{R}^T}\right)}$的积分点参数化$\mathcal{O}\left(\mathrm{Conf}_3(\widetilde{\mathcal{F}\hspace{…
Shifted tableau switchings and shifted Littlewood-Richardson coefficients
我们提供了两个移位的类似物的表切换过程由于Benkart，Sottile，和Stroomer，移位表切换过程和修改的移位表切换过程。它们是通过应用一系列被称为{ \em开关}的特殊设计的初等变换来执行的，并且具有一些引人注目的特性。例如，从这些算法中导出的映射是对合的，并且对于其阅读词满足晶格性质的移位Young tableaux表现得非常好。作为应用，我们给出了Schur $P$ -和$Q$ -函数恒等式的组合解释.我们还证明了移位表切换过程和移位$J$ -操作由于Worley之间的关系。
A Basis for the GL_n Tensor Product Algebra
本文主要研究$GL_n$张量积代数，它封装了$GL_n$的任意有限维不可约表示的张量积的分解.我们将描述这个代数的一个显式基。这种结构直接关系到Littlewood-Richardson系数的Littlewood-Richardson表的组合描述。在哲学上，人们可以把这种构造看作是在经典不变理论的背景下对利特尔伍德-理查森规则的重铸。
Graded Character Formula for Fusion Products of Irreducible Modules and Littlewood-Richardson Coefficients in Type $A_2$
本文研究 $\mathfrak{sl}_3$ 的 CV 模，通过正合序列和维数论证证明其与不可约模融合积同构，并推导梯度特征标公式，进而给出 LR 系数的代数刻画及 $A_2$ 型饱和定理的新证明。
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