On the Topology of Weakly and Strongly Separated Set Complexes
我们研究了集合$[n]=\{1,2,...,n\}$的弱分离子集和强分离子集的图的团复形的拓扑，在删除所有锥点后，我们分别用$\hatΔ_{ws}(n)$和$\hatΔ_{ss}(n)$表示。特别地，我们发现$\hatΔ_{ws}(n)$对于$n\geq4$是可收缩的，而$\hatΔ_{ss}(n)$同伦等价于一个维数为$n-3$的球面.我们还表明，我们的同伦等价是等变的，相对于两个特定的对称性的$\hatΔ_{ws}(n)$和$\hatΔ_{ss}(n)$：一个引起的集合互补行动的子集上的$[n]$和另一个引起的行动的子集上的$[n]$取代每个$k\in[n]$由$n+1-k$。
2011-10-05 math.CO
Plücker inequalities for weakly separated coordinates in totally nonnegative Grassmannian
本文证明全非负 Grassmann 流形中弱分离 Plücker 坐标的长 Plücker 关系部分和围绕 0 振荡，并据此刻画弱可分离性，建立其与 Temperley–Lieb immanants 等对象的联系。
2024-01-25 math.CO
From weakly separated collections to matroid subdivisions
我们研究的安排略有倾斜的热带超平面，称为叶片由A。Ocneanu，在超单形$Δ_{k,n}$的顶点上，我们研究了由此产生的诱导多面体细分。我们发现，放置一个刀片上的顶点$e_J$诱导$\ell$分裂拟阵细分的$Δ_{k,n}$，其中$\ell$是循环间隔的数量在$k$元素子集$J$。我们证明了一个给定的集合的$k$元素子集是弱分离的，在这个意义上的工作的Leclerc和Zelevinsky准交换家庭的量子未成年人，当且仅当安排的刀片$((1,2,\ldots, n))$上的相应顶点的$Δ_{k,n}$诱导拟阵（事实上，一个positroid）细分。在这种方式中，我们得到一个兼容性标准（平面）多重分裂的超单形，推广规则已知的2分裂。我们研究了$(k,n) = (3,7)$的情况下，一组安排的$(k-1)(n-k-1)$弱分离点的$Δ_{k,n}$的一个扩展的例子。
2022-06-01 hep-th math.CO
The purity of set-systems related to Grassmann necklaces
研究准交换量子子式的问题，Leclerc和Zelevinsky在1998年引入了弱分离集的概念在$[n]:=\{1,\ldots, n\}$中。此外，他们还对这种对称关系的纯度，特别是对布尔立方体$2^{[n]}$的纯度提出了几点质疑。在0909.1423[math.CO]中，我们证明了布尔立方体$2^{[n]}$，离散格拉斯曼${[n]\choose r}$和其他一些集合系统的这些纯度。Postnikov和Speyer在arxiv：1109.4434中证明了一个包含Grassmann项链$\mathcal N$的正群内弱分离集合的纯度。我们把这样的集合系统表示为$\mathcal{I}nt(\mathcal N )$。本文给出了$\mathcal{I}nt(\mathcal N )$的纯性的另一种（和更短的）证明，并给出了一个更强的结果。更确切地说，我们引入了一套系统$\mathcal{O}ut(\mathcal N )$互补$\mathcal{I}nt(\mathcal N )$，在某种意义上说，并建立其纯度。并且证明了（定理3）这两个集合系统是弱分离的。作为定理3的一个推论，我们得到了与弱分离项链对有关的集合系统的纯性（命题4及推论1和2）。最后，我们提出了一个关于广义项链的内部和外部的纯性的猜想。
2013-12-11 math.CO math.RT
Combined tilings and separated set-systems
1998年，Leclerc和Zelevinsky引入了有序$n$ -元素集$[n]$的子集的弱分离集合的概念（使用这个概念来给出量子矩阵的准交换子式的组合特征）。他们证明了某些天然结构域$D\subseteq 2^{[n]}$的纯度（特别是超立方体$2^{[n]}$本身，以及固定$m$的超单纯形$\{X\subseteq[n]\colon |X|=m\}$），其中如果$D$中的所有最大弱分离集合具有相同的基数，则$D$被称为纯的。这些问题都得到了肯定的回答。在本文中，推广这些早期的结果，我们揭示了更广泛的类的纯域在$2^{[n]}$。这是由于我们的弱分离集系统，所谓的\emph{combined (polygonal) tilings}上的zonogon，这产生了一个新的见解在该地区的一个新的几何-组合模型的研究。
2016-09-17 math.CO
The Purity Conjecture in Type $C$
如果对于每个$I, J \in \mathcal{C}$，当整数$1,2,\ldots,m$排列在圆中时，存在将$I \backslash J$与$J \backslash I$分开的弦，则$k$-$\{1,2,\ldots,m\}$的元素子集的集合$\mathcal{C}$是弱分离的。哦，Postnikov和Speyer构建了弱分离集合之间的对应关系，这些集合通过包含和约化平面图而最大化，约化平面图是Postnikov定义的一类网络，它给出了m-空间中$k$ -平面的格拉斯曼图。作为一个推论，他们证明了斯科特的纯度猜想，其中指出，一个弱分离的集合是最大的包含，当且仅当它是最大的大小。本文描述了对称平面图对应的极大弱分离集，给出了Lagrangian Grassmannian上的坐标图，并证明了纯度猜想的一个对称版本.
2019-07-18 math.CO
Flips in symmetric separated set-systems
对于正整数$n$，如果$X\in S$蕴涵$X^\ast\in S$，则$n$的子集的集合$S$称为对称的，其中$X^\ast:=\{i\in [n]\colon n-i+1\notin X\}$（对合$\ast$由Karpman引入）。Leclerc和Zelevinsky证明了最大强集（分别为在$2^{[n]}$中，弱）分离的集合通过翻转或突变连接，"在存在六个（分别为（四）“三个代表”。我们给出了一个对称的模拟这些结果，通过显示，每个最大的对称强（弱）分离收集$2^{[n]}$可以从任何其他一个由一系列特殊的对称局部变换，所谓的对称翻转。当$n,r$是偶数时（其中集合$A,B\subseteq [n]$被称为$r$-分离的，如果在$[n]$中没有元素$i_0<i_1< \cdots <i_{r+1}$在$A\setminus B$和$B\setminus A$中交替出现），我们还通过对称翻转建立了$2^{[n]}$中的最大对称$r$-分离集合类的连通性.这与更高的布鲁哈特阶的对称版本有关。这些结果是我们研究相关几何对象的结果：对称菱形和组合平铺和对称立方。
2022-06-14 math.CO
The purity phenomenon for symmetric separated set-systems
令$n$为正整数。如果$X\in {\cal S}$隐含$X^\ast\in {\cal S}$，则$[n]=\{1,\ldots,n\}$的子集的集合$\cal S$被称为{ \it对称}，其中$X^\ast:=\{i\in [n]\colon n-i+1\notin X\}$。我们证明了在{ \it strong}、{ \it weak}和{ \it chord}三种分离关系中，都发生了如下的“纯性现象”：$2^{[n]}$中所有包含式最大对称分离集合具有相同的基数.这些给“对称版本”的知名结果的纯度通常强，弱和弦分离集合的子集$[n]$，并在弱分离的情况下，这延长了最近的结果由于Karpman的纯度对称弱分离集合在$\binom{[n]}{n/2}$为$n$甚至。
2022-05-01 math.CO
Arrangements of equal minors in the positive Grassmannian
本文讨论全正矩阵的等子式的排列。更准确地说，我们调查的结构之间的未成年人的平等和不平等。我们表明，安排相等的未成年人的最大价值是双射与排序集，这是较早出现在凹多面体和Gröbner基地的背景下。这种形式的极大排列对应于超单纯形的凹室三角剖分的单形;并且这种排列的数目等于欧拉数。另一方面，我们证明了在许多情况下，安排的平等未成年人的最小价值是完全弱分离集。弱分离集最初由Leclerc和Zelevinsky提出，与正格拉斯曼和相关的簇代数密切相关。然而，我们也构造了最小的未成年人的安排的例子，这些未成年人不弱分离使用链反应的突变的plabic图。
2015-02-05 math.CO
Weak Separation, Pure Domains and Cluster Distance
在证明了弱分离集合的纯度猜想之后，近年来已经揭示了各种各样的更广泛的在不同设置中的纯度的例子。在本文中，我们考虑的集合$\mathcal A_{I,J}$弱分离的两个固定集$I$和$J$。我们发现，所有最大的弱分离的集合$\mathcal W\subset\mathcal A_{I,J}$也是最大的大小，只要$I$和$J$是足够的“通用”。我们还给出了$\mathcal W$的基数关于$I$和$J$的简单公式。我们应用我们的结果来计算簇距离，并给出了在Grassmannian坐标环上的簇代数结构中簇变量之间的突变距离的下界。使用一个线性投影，涉及弱分离的八面体递归，我们也找到了确切的突变距离和聚类距离的一个家庭的集群变量。
2016-12-16 math.CO
A non-crossing standard monomial theory
第二作者介绍了非交叉tableaux，对象的非嵌套类似物是半标准的杨tableaux。我们涉及非交叉tableaux的Gelfand-Tsetlin模式，并开发了非交叉模拟的标准单项理论。Leclerc和Zelevinsky的弱分离集是非交叉tableaux的特殊情况，我们认为，非交叉tableaux可能有助于阐明弱分离集的理论。
2008-06-11 math.AC math.CO
The weak separation in higher dimensions
对于奇数$r>0$和整数$n>r$，我们引入了$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$的子集的弱$r$可分离集合的概念.当$r=1$时，这对应于Leclerc和Zelevinsky引入的弱分离概念。在本文中，由于Leclerc-Zelevinsky的结果，我们发展了一个几何方法来建立一些很好的组合性质的最大弱r-分离的集合。作为补充，我们还讨论了当$r$为偶数时的一个类似概念.
2019-07-16 math.CO
Purity and separation for oriented matroids
Leclerc和Zelevinsky在研究准交换量子旗子式的基础上，引入了强分离和弱分离集合的概念。这些概念与簇代数理论、双Bruhat细胞的组合学和完全正格拉斯曼密切相关。一个关键的特征，称为纯度现象，是每个极大的包含强（分别为，$[n]$中的子集的（弱）分离的集合具有相同的基数。在本文中，我们扩展了这些概念，并定义了$\mathcal{M}$分离集合的任何定向拟阵$\mathcal{M}$。我们表明，最大的大小$\mathcal{M}$分离的集合是在双射与细zonotopal平铺（如果$\mathcal{M}$是一个可实现的定向拟阵），或与一个元素的提升$\mathcal{M}$在一般位置（为任意定向拟阵）。我们引入了一类纯定向拟阵，它的纯现象成立：定向拟阵$\mathcal{M}$是纯的，如果$\mathcal{M}$ -分离的集合形成纯单纯复形，即，通过包含物$\mathcal{M}$分离的集合的任何最大值也是通过大小的最大值。我们密切关注几个特殊类的定向拟阵：定向拟阵秩$3$，图形定向拟阵，一致定向拟阵。在这些情况下，我们分类纯定向拟阵。秩为$3$的定向拟阵是纯的当且仅当它是正拟阵（直到重定向和重标记它的基集）。图定向拟阵是纯的当且仅当它的底层图是外平面图，即$n$ -边形的三角剖分的子图。本文利用禁子式给出了纯定向拟阵的一个简单的几何特征，并对上述拟阵类（秩$3$，图的…
2021-03-25 math.CO math.MG
Weak Separation and Plabic Graphs
Leclerc和Zelevinsky描述了准交换族的量子未成年人在一定的组合条件，称为弱分离。他们指出，所有通过包含弱分离的未成年人集合具有相同的基数，并且它们可以通过一系列突变相互关联。另一方面，Postnikov研究了格拉斯曼的完全积极性。他描述了一个分层的完全非负格拉斯曼到positroid层，并建立了他们的参数化使用plabic图。本文将弱分离性的研究与凸形图联系起来。我们将弱分离的概念推广到正粒子。我们推广了Leclerc和Zelevinsky的定理，以及Scott的相关定理，并证明了它们。证明了正拟线中的极大弱分离集与平面图是双射对应的。这种对应关系使我们能够使用组合技术的positroids和plabic图，以证明（广义）的纯度和突变的连通性。
2011-09-20 math.CO math.RT
Difference between families of weakly and strongly maximal integral lattice-free polytopes
在$\mathbb{R}^d$中的$d$维闭凸集$K$称为无格的，如果$K$的内部与$\mathbb{Z}^d$不相交.我们考虑以下两类无格多面体：$\mathbb{R}^d$中的整数无格多面体不能正确地包含在另一个整数无格多面体中的$\mathcal{L}^d$族和它的子族$\mathcal{M}^d$，它由$\mathbb{R}^d$中的整数无格多面体组成，不能正确地包含在另一个无格集合中。已知$\mathcal{M}^d = \mathcal{L}^d$适用于$d \le 3$，并且对于每个$d \ge 4$，$\mathcal{M}^d$是$\mathcal{L}^d$的适当亚家族。我们推导出一个超指数下界上的多面体的数量在$\mathcal{L}^d \setminus \mathcal{M}^d$（与标准识别的整数多面体的仿射么模变换）。
2018-07-18 math.AG math.CO math.MG
On k-neighbor separated permutations
$[n]=\{1,2 \ldots n\}$的两个置换是\textit{$k$-neighbor separated}，如果有两个元素在一个置换中是邻居，并且在另一个置换中正好被$k-2$其他元素分开。设$[n]$的最大成对$k$ -近邻分离置换数记为$P(n,k)$ .在之前的一篇论文中，作者已经确定了每个$n$的$P(n,3)$，肯定地回答了Körner、Messuti和Simonyi的问题。本文证明了对每个固定的正整数$\ell $，$$P(n,2^\ell+1) = 2^{n-o(n)}. $$，我们猜想对每个固定的偶数$k$，$P(n,k)=2^{n-o(n)}$ .我们还表明，这个猜想是渐近正确的以下意义$$\lim_{k \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{P(n,k)}=2.$$最后，我们甚至$n$，$P(n,n)= 3n/2$。
2017-11-20 math.CO
Plabic graphs and zonotopal tilings
如果不存在满足$a,c\in S-T$和$b,d\in T-S$的整数的循环有序四元组$a,b,c,d$，我们说两个集合$S,T\subset\{1,2,\dots,n\}$是弦分离的.这是Leclerc和Zelevinsky弱分离的一个弱版本。证明了两两弦分离集的每个极大包含集也是极大的。此外，我们证明了这样的集合正是顶点标签集合的细zonotopal镶嵌的三维循环zonotope。在我们的构造中，plabic图和平方移动自然地分别出现为带状镶嵌和它们的突变的水平部分。
2016-12-28 math.CO math.MG
Exact Lagrangian fillings of twist-spun torus links
本文构造了在旋转对称下保持不变的勒让德环面链环的精确拉格朗日填充，并利用组合方法将其推广到扭转纺丝环面，核心贡献是给出了对称最大弱分离集存在的充要条件。
2025-09-23 math.CO math.SG
