A Sharp Bilinear Estimate for the Bourgain-type Space with Application to the Benjamin Equation
Wengu Chen, Jie Xiao
本文证明了Bourgain型空间的一个尖锐的双线性估计的存在性，并给出了它在Benjamin方程Cauchy问题的最优局部适定性/不适定性中的应用。
This note shows the existence of a sharp bilinear estimate for the Bourgain-type space and gives its application to the optimal local well/ill-posedness of the Cauchy problem for the Benjamin equation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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An improved bilinear estimate for Benjamin-Ono type equations
证明了Fourier约束范数空间中的一个双线性估计及其对u_t - |D| ^αu_x + uu_x =0的Cauchy问题的应用，其中1< α<2.因此，当s >-{3/4}（α-1）和ω=1/α-1/2时，H^s（\R）\cap \dot{H}^{-ω}（\R）的局部适定性成立。这扩展到所有s \geq 0的全局适定性。
Stabilization of Dispersion Generalized Benjamin Ono
本文研究了具有周期边界条件的色散广义Benjamin-Ono方程的$L^2$适定性和稳定性.我们的证明的主要成分是一个发展的耗散规范化的Bourgain空间，它获得光滑的性质，同时从耗散和色散方程。我们将建立一个双线性估计的导数非线性使用这个空间，并证明了小数据稳定的线性可观性不等式。
The dispersion generalized Benjamin-Ono equation
本文研究色散广义Benjamin-Ono方程族的适定性，通过结合拟微分规范变换、仿微分正规形式与变系数Strichartz分析，在负指数Sobolev空间中建立了与经典端点结果一致的适定性。
Well-posedness for Stochastic Generalized Fractional Benjamin-Ono Equation
本文研究随机广义Benjamin-Ono方程的Cauchy问题。利用Bourgain空间和Fourier限制方法，在$u_{0}$是$\mathcal{F}_{0}$ -可测的假设下，证明了随机广义Benjamin-Ono方程的Cauchy问题对于初始数据$u_{0}(x,w)\in L^{2} (Ω; H^{s}(\mathbb{R}))$和$s\geq\frac{1}{2}-\fracα{4}$是局部适定的，其中$0< α\leq 1.$特别地，当$u_{0}\in L^{2}(Ω; H^{\frac{α+1}{2}}(\mathbb{R}))\cap L^{\frac{2(2+3α)}α}(Ω; L^{2}(\mathbb{R}))$时，我们证明了存在唯一的整体解$u\in L^{2}(Ω; H^{\frac{α+1}{2}}(\mathbb{R}))$和$0< α\leq 1.$
On the controllability and Stabilization of the Benjamin Equation
研究周期区域$\mathbb{T}$上Benjamin方程的能控性和能稳性。证明了Benjamin方程在具有$s\geq 0.$的$H_{p}^{s}(\mathbb{T}),$中是全局精确能控的和全局指数能稳的首先证明了紧性的传播、解在Bourgain空间中的正则性的传播和唯一的连续性，并利用它们得到了对应于一个自然反馈律的全局指数能稳性。结合全局指数稳定性和局部能控性的结果，证明了系统的全局能控性。同时，我们证明了具有不同反馈控制律的闭环系统是局部指数稳定的，且具有任意的衰减率。最后，设计了一个时变反馈律，保证了系统在任意衰减率下的全局指数稳定性。所得结果推广了我们在\cite{Vielma and Panthee}中对线性化Benjamin方程证明的结果.
Local and global well-posedness results for the Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov equation
证明了色散广义Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov方程$$ u\_t-D\_x^αu\_{x} + u\_{xyy} = uu\_x,\quad (t,x,y)\in\R^3,\quad 1\le α\le 2,$$的初值问题在赋范数$\|f\|\_{E^s} = \|\langle |ξ|^α+μ^2\rangle^s\hat{f}\|\_{L^2(\R^2)}.$的空间$E^s$，$E^{1/2}$中的局部适定性。证明是基于Ionescu，Kenig和Tataru \cite{IKT}发展的短时Bourgain空间的方法，结合新的Eschenhartz估计和修正的能量。
Physical Space Proof of Bilinear Estimates and Applications to Nonlinear Dispersive Equations (II)
本文提出一种不依赖 Bourgain 空间的物理空间方法，基于新的 div-curl 型引理证明双线性估计，并结合 Strichartz 估计，重现了二维和三维 Zakharov 系统的最佳已知局部适定性结果。
Control and stabilization for the dispersion generalized Benjamin equation on the circle
本文研究周期域$\mathbb{T}.$上色散广义Benjamin方程的能控性和镇定性首先，假设控制输入作用于所有域，证明系统在索伯列夫空间$H^{s}_{p}(\mathbb{T}),$中全局精确能控，并具有$s\geq 0.$;其次，通过在方程中添加局部阻尼项作为反馈律，证明了所得到的方程在空间$L^{2}_{p}(\mathbb{T}).$中是全局适定性和局部指数稳定的。证明全局适定性的主要因素是引入耗散归一化Bourgain空间，它允许人们从方程中存在的耗散和色散同时获得光滑性质。最后，结合不动点参数，考虑了相关半群的衰减，得到了局部指数稳定的结果。
On a bilinear Strichartz estimate on irrational tori and some application
通过引入解耦型变元\cite{bourgain2014proof}，证明了无理环面的一个双线性Schahartz型估计，恢复和推广了\cite{de2006global}的结果.作为推论，我们得到一个整体的适定性结果的立方散焦NLS在二维无理环面与无限能量的数据。
Control and Stabilization of the Benjamin-Ono equation in $L^2(\mathbb T)$
我们证明了Benjamin-Ono方程在$L^2(\T)$中的控制和镇定性，这是初值问题适定的最低正则性.这个问题已经在\cite{LinaresRosierBO}中提出，其中使用了更强的稳定项（这使得方程在控制区中为抛物线型）。在这里，我们采用了一个更自然的稳定项有关的$L^2$规范。此外，通过证明$L^2$中的一个能控性定理，证明了大时间内的全局能控性。我们的分析强烈依赖于双线性估计证明\cite{MolinetPilodBO}和一些新的扩展，这些估计建立在这里。
Physical Space Proof of Bilinear Estimates and Applications to Nonlinear Dispersive Equations
本文通过物理空间中的新型div-curl引理和Strichartz估计，简化了修正KdV和修正BO方程在临界Sobolev空间中的局部适定性证明。
Bilinear space-time estimates for linearised KP-type equations on the three-dimensional torus with applications
一个双线性估计的Bourgain空间与线性化Kadomtsev Petviashvili型方程的三维环面。作为结果，时间局部化的线性和双线性时空估计这个方程。色散广义KP-II方程的局部和全局适定性的应用进行了讨论。特别证明了当$s \ge \frac12$和$\e > 0$满足时，在各向异性索伯列夫空间$H^s_xH^{\e}_y(\T^3)$中，原KP-Ⅱ方程的周期边值问题是局部适定的.
Well-posedness issues for the generalized Benjamin--Bona--Mahony equation
本文研究了一维广义Benjamin-Bona-Mahony方程的适定性问题，证明了在不同正则性阈值下的局部和全局适定性结果，以及流映射的连续性问题。
Local well-posedness for the quadratic Schrodinger equation in two-dimensional compact manifolds with boundary
本文研究了二维紧致黎曼流形$(M, g)$上的二次非线性最小二乘问题，其中$ \partial M \neq \emptyset$。利用J.Jiang在\cite{JIANG}中证明的二维紧致流形上Schr dinger算子的双线性和梯度双线性Schr hartz估计，得到了一个新的演化双线性估计.因此，使用Bourgain空间，我们得到了一个局部适定性结果，为给定的数据$u_0\in H^s(M)$时，$s> \frac{2}{3}$在这样的流形。
Strichartz and Multi-linear Estimates for the One-dimensional Periodic Dysthe equation
本文给出了环面上线性化一维周期Dysthe方程解的Schehartz估计，即解的$L^6_{x,t}(\mathbb{T}^2)$模关于初值的估计和解的$L^4_{x,t}(\mathbb{T}^2)$模关于Bourgain空间模的估计.本文还提出了其他结果，如双线性和三线性估计的局部适定性的一维周期Dysthe方程在适当的Bourgain空间，和不适定性的结果在索伯列夫空间。
Global well-posedness below the charge norm for the Dirac-Klein-Gordon system in one space dimension
我们证明了全局适定性低于收费标准（即，Dirac旋量的$L^2$范数）的Dirac-Klein-Gordon方程组（DKG）在一维空间中。自适应的方法，由于布尔增益，我们分裂的高频率部分的初始数据的旋量，并利用非线性平滑效应来控制的演变的高频部分。为了证明非线性平滑，我们依赖于DKG系统的零结构，以及Bourgain-Klainerman-Machedon空间中的双线性估计。
On KP-II type equations on cylinders
本文在$\T \times \R$和$\T \times \R^2$上研究了Kadomtsev-Petviashvili II方程的广义色散形式。我们首先证明双线性的Eschhartz型估计，只依赖于域的尺寸，但不分散。他们的类似物在Bourgain空间，然后被用来作为证明的主要工具的双线性估计的非线性项的方程，从而局部适定性的柯西问题。
An inverse theorem for the bilinear $L^2$ Strichartz estimate for the wave equation
波方程的一个标准双线性$L^2$ Eschenhartz估计是布尔甘和克莱纳曼-马切登的$X^{s,b}$空间理论的基础，它（粗略地说）断言，如果波方程的两个有限能量解在频率空间的光锥的横向区域中得到支持，那么它们的乘积在时空$L^2$中有一个定量的边界。在本文中，我们考虑这个估计的\emph{inverse problem}：如果两个波的乘积有大的$L^2$范数，这告诉我们什么波本身？粗略地说，主要的结果是低频波从有限数量的光线中散射出去。这一结果将被用于即将出版的论文\cite{tao:heatwave4}的作者对全球正则性问题的波映射。
Long time dynamics for defocusing cubic NLS on three dimensional product space
本文研究三维积空间上离焦立方NLS的长时间动力学。首先，我们应用Bourgain-Demeter \cite{BD}中的解耦方法来建立双线性的Eschhartz估计。此外，我们证明了三维积空间上的散焦，三次NLS的整体适定性与粗糙的初始数据（$H^s$，$s>\frac{5}{6}$）的基础上的I-方法和双线性估计。最后讨论了与弱湍流现象密切相关的高Sobolev范数问题的增长性。
The nonlinear Quadratic Interactions of the Schrödinger type on the half-line
本文研究了耦合薛定谔方程{具有二次非线性项，出现在非线性光学中}在射线上的初边值问题。我们得到的局部适定性的数据{在索伯列夫空间}具有低的正则性，通过使用一个强制问题的全线上的存在的一个强制项，以应用Bourgain的傅立叶限制方法。在这项工作中的关键点是新的双线性估计的经典Bourgain空间$X^{s,b}$与$b<\frac12$，连同双线性估计的适应Bourgain空间，将用于处理的非线性部分的解决方案的痕迹。在这里，色散关系的理解是这些估计的关键点，其中规则性的集合强烈地依赖于常数$a$测量缩放衍射幅度指数。
Bilinear Strichartz estimates for the Zakharov-Kuznetsov equation and applications
本文研究Zakharov-Kuznetsov方程{方程} \label{ZK0} \partial_t u+ \partial_x Δu+u \partial_x u=0 . {equation}我们证明了相关的初值问题在$H^s(\mathbb R^2)$中对于$s>\frac12$是局部适定的，在$H^1(\mathbb R\times \mathbb T)$和$H^s(\R^3) $中对于$ s>1$是全局适定的.我们的主要新成分是一个双线性的Burgain的空间，它允许控制出现在\eqref{ZK0}的非线性的高低频率的相互作用的上下文中的Eschhartz估计。在$\mathbb R^2$的情况下，我们还需要使用Carbery，Kenig和Ziesler关于齐次色散算子的锐Eschhartz估计的最近结果。最后，为了证明$ \R^3 $中的整体适定性结果，我们需要使用Koch和Tataru引入的原子空间。
Global well-posedness for dissipative Korteweg-de Vries equations
本文研究了耗散KdV方程$u_t+u_{xxx}+|D_x|^{2α}u+uu_x=0$，$0<α\leq 1$的适定性.在Bourgain型空间中得到了一个最优双线性估计，该估计在$H^s(\R)$，$α\leq1/2$的$s>-3/4$和$α>1/2$的$s>-3/(5-2α)$中具有全局适定性.
An improved maximal inequality for 2D fractional order Schrödinger operators
本文证明了$\a>1$阶Schr dinger算子的局部极大不等式是从$H^s(\R^2)$到$L^2$有界的，对任何$s>\frac38$ .这改进了Sjölin关于分数阶薛定谔方程解的正则性的结果.我们的方法受到Bourgain在$\a=2$情况下的论证的启发。从$\a=2$到一般$\a>1$的推广面临三个基本障碍：缺少Lee约化引理、缺少符号的代数结构和在主定理的推导中不适用伽利略变换。我们绕过这些困难，通过建立一个新的减少引理在我们的处置和分析所有的可能性，在使用分离的部分，以获得类似的双线性$L^2-$估计。为了补偿伽利略不变性的缺乏，我们求助于泰勒展开的相位函数。在\cite{ref Bourgain Guth}中的Bourgain-Guth不等式也被重建，以控制分数阶薛定谔方程的解.
Multilinear weighted convolution of $L^2$ functions, and applications to non-linear dispersive equations
由Beals，Bourgain，Kenig-Ponce-Vega，Klainerman-Machedon等人使用的$X^{s,b}$空间是研究非线性色散方程低正则性的基本工具。它是特别感兴趣的，以获得双线性或多线性估计涉及这些空间。通过Plancherel定理和对偶性，这些估计归结为估计一个加权卷积积分的分量函数的$L^2$规范。本文系统地研究了$L^2$上的加权卷积估计。因此，我们得到尖锐的双线性估计的KdV，波，和薛定谔$X^{s,b}$空间。
Global well-Posedness for a higher-order Benjamin-Ono-Schrödinger system in the energy space
研究高阶Benjamin-Ono-Schrödinger系统的Cauchy问题，通过引入修正能量泛函和Bourgain空间中的双线性估计，证明了系统在能量空间中的局部适定性，并在小初值下得到全局适定性。
Embedding estimates and fractional smoothness
一个简短的内在证明的Bourgain-Brezis-Mironescu定理与高阶梯度形式的扩展。这个论点说明了作用的功能几何和傅里叶分析获得嵌入估计。作为经典Aronszajn-Smith公式的推广，得到了分数阶嵌入的新的Hausdorff-Young不等式.这些结果包括双线性分数嵌入所建议的朗道碰撞算子等离子体动力学。
A higher dispersion KdV equation on the half-line
利用Fokas统一变换方法（UTM）研究了在限制Bourgain空间中具有粗糙数据和解的$m$阶色散KdV方程在射线上的初边值问题（ibvp）.因此，这项工作的Fokas方法的实施，早期使用的KdV的射线上的光滑的数据和解决方案，在经典的Hadamard空间，包括功能，是连续的时间和Sobolev的空间变量，更一般的Bourgain空间框架的色散方程的射线上的粗糙数据。所需的空间和所需的估计出现在线性水平上，特别是在线性纯IBVP的估计中，其中具有强迫和初始数据为零但非零边界数据。利用强迫线性ibvp的Fokas解公式所定义的迭代映射，结合该映射在修正的Bourgain空间中引入的双线性估计，建立了非线性ibvp对于索伯列夫空间中的粗糙初值和边界数据的适定性，该空间具有与该方程在整条直线上的初值问题相同的最优正则性.
The Cauchy problem for the periodic Kadomtsev--Petviashvili--II equation below $L^2$
本文通过新的$L^4$-Strichartz估计和双线性Strichartz估计，解决了周期性KP-II方程在负Sobolev正则性初始数据下的Cauchy问题。
On the Radius of Analyticity for a Korteweg-de Vries-Kawahara Equation with a Weakly Damping Term
本文研究了解析Gevrey空间中一类Korteweg-de Vries-Kawahara型方程的Cauchy问题。通过在解析Bourgain空间中使用线性、双线性和三线性估计，我们建立了该问题的局部适定性。通过使用一个近似的守恒律，我们将其推广到一个整体的结果，以这样一种方式，解析解的半径是一致有界的一个固定的正数以下的所有时间。
Local well-posedness for the nonlinear Dirac equation in two space dimensions
二维空间中三次非线性Dirac方程的Cauchy问题对于H^s中的数据是局部适定的，其中s > 1/2。在Bourgain-Klainerman-Machedon型空间中给出的证明依赖于d 'Ancona-Foschi-Selberg以前对Dirac-Klein-Gordon系统使用的非线性的零结构以及Selberg和Foschi-Klainerman对波动方程的双线性Schlhartz型估计。
Low-regularity well-posedness for a mixed-sign quadratic Dirac equation on $N$-star metric graphs
研究非紧$N$-星度量图上混合符号二次狄拉克方程的柯西问题，利用Bourgain空间和混合符号双线性估计，在算子Sobolev空间$H_D^s(G)$中证明了$s>-1/8$时的局部适定性及爆破替代。
Invariant measures for the Nonlinear Schrodinger equation on the disc
研究了在$\R^2$的单位圆盘上NLS流下Gibbs测度的不变性.为此，我们构造的动力学的相空间有限的Sobolev正则性和加权Wiener测度不变的NLS流。次立方非线性相互作用的测度密度相对于维纳测度是可积的。在低正则性的Bourgain空间中得到了动力系统的存在性。关键成分是自由演化的双线性Eschhartz估计。我们分析中的双线性效应源于贝塞尔函数的简单性质和贝塞尔函数级数的估计。
Low regularity well-posedness for the one-dimensional Dirac - Klein - Gordon system
在一维空间中证明了Dirac - Klein - Gordon方程的局部适定性，其中Dirac部分属于H^{-{1/4}+ε}，Klein - Gordon部分属于H^{{1/4}-ε}（0 < ε< 1/4），以及整体适定性，如果狄拉克部分属于电荷类L^2，而克莱因-戈登部分属于H^k，其中0 < k < 1/2。证明使用一个空的结构，在检测的d 'Ancona，Foschi和Selberg和双线性估计的Bourgain-Klainerman-Machedon型空间的非线性。
Polynomial Growth of high Sobolev Norms of solutions to the Zakharov-Kuznetsov Equation
我们考虑二维空间中的Zakharov-Kuznetsov方程。如果s $\ge$ 1，则已知具有初始数据u\_0 $\in$ H s的解u是全局的。证明了对任意整数s $\ge$ 2，u（t）H s在t中至多多项式增长，且t是大的倍数.这一结果与波湍流以及（ZK）的解如何将能量转移到高频有关。它的灵感来自于Staffilani关于非线性Schr{<$}dinger Korteweg-de-Vries方程的类似结果。主要成分是适当的双线性估计的背景下，布尔甘的空间。
Bilinear Strichartz estimates and almost sure global solutions for the nonlinear Schr{ö}dinger equation
本文通过谐振子的 Bourgain 型双线性估计、lens 变换及 Kato 型光滑估计，构造超临界非线性 Schrödinger 方程在随机初值下的几乎必然全局解。
Sharp ill-posedness and well-posedness results for dissipative KdV equations on the real line
本文研究了广义KdV-Burgers方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \partial_tu+\partial_x^3u+L_pu+u\partial_xu=0, u(0,\,x)=u_0(x). \end{array} \right. \end{equation*}的Cauchy问题，其中$L_p$是耗散的乘子算子.使用Besov-Bourgain空间，我们建立了一个双线性估计，并遵循Molinet，L。& Vento，S.（2011）我们证明了索伯列夫空间$H^{-p/2}(I\!\!R)$的尖锐的整体适定性和尖锐的不适定性在$H^s(I\!\!R)$当$s<-p/2$与$p \geq 2$ .
Bilinear estimates for Schrödinger equation with repulsive inverse-square potential and its application
本文通过物理空间方法建立带斥性平方反比势的薛定谔方程的双线性Strichartz估计，并利用Bourgain高低频分解，首次证明标度临界势下三次NLS在径向数据$s>11/13$时的全局适定性。
Sharp local well-posedness of the two-dimensional periodic nonlinear Schrödinger equation with a quadratic nonlinearity $|u|^2$
研究二维环面$\mathbb{T}^2$上具有二次非线性项$|u|^2$的非线性薛定谔方程（NLS）.虽然相关的$L^3$ -Eschhartz估计是已知的，只有一个衍生物的损失，我们证明了局部适定性的二次NLS在$L^2(\mathbb{T}^2)$，从而解决了一个开放的问题，三十年以来Bourgain（1993）。考虑到负索伯列夫空间中的不适定性，这个结果是尖锐的。我们建立了一个重要的双线性估计分别研究非共振和近共振的情况下。作为推论，我们得到了一个三线性版本的$L^3$ -Eschhartz估计没有任何衍生损失。
On The Local Well-Posedness for Some Systems of Coupled KdV Equations
利用Kenig，Ponce和Vega的理论，证明了Hirota-Satsuma系统在Sobolev空间$H^s(\mathbb{R}) \times H^{s}(\mathbb{R})$中的局部适定性.引入Bourgain型空间$X_{s,b}^a$ for $a\not =0$，$s,b \in \mathbb{R}$，通过建立新的混合双线性估计，得到了Gear-Grimshaw系统在$H^s(\mathbb{R})\times H^s(\mathbb{R})$ for $s>-3/4$中的局部适定性，该估计涉及两个Bourgain型空间$X_{s,b}^{-α_-}$和$X_{s,b}^{-α_+}$，分别适用于$\partial_t+α_-\partial_x^3$和$\partial_t+α_+\partial_x^3$，其中$|α_+|=|α_-|\not = 0$ .
On the low regularity of the fifth order Kadomtsev-Petviashvili I equation
我们考虑五阶Kadomtsev-Petviashvili I（KP-I）方程为$\partial_tu+α\partial_x^3u+\partial^5_xu+\partial_x^{-1}\partial_y^2u+uu_x=0,$，而$α\in \mathbb{R}$ .引入一个插值能量空间$E_s$来研究五阶KP-I方程的初值问题的适定性.我们得到了五阶KP-I方程在$0<s\leq1$中IVP的局部适定性。为了获得局部适定性，我们提出了一个双线性估计的Bourgain空间的框架内的能量空间。它主要取决于并元分解的Lahartz估计、五阶色散平滑效应和最大估计。关键词：五阶KP-I方程，Bourgain空间，并矢分解的Schmidhartz估计，色散平滑效应，极大估计。
A note on the refined Strichartz estimates and maximal extension operator
本文分为两个部分。在第一部分中，我们推广了Du，Guth，Li和Zhang在最近的一篇论文中的一些结果，得到了一类更一般的相函数。主要方法是Bourgain-Demeter的$l^2$解耦定理和尺度归纳法。第二部分证明了具有正主曲率的超曲面的极大扩张算子的一些正结果。主要的方法是Du和Zhang的精确$L^2$估计和Wolff和Tao的双线性方法。
Well-posedness of Boussinesq Equation with Linear Restoring Force
针对带线性恢复力的n维Boussinesq方程，在修正Sobolev和Bourgain空间中建立了首个局部适定性结果，通过双线性和三线性估计处理二次和三次非线性。
Tensor products and Correlation Estimates with applications to Nonlinear Schrödinger equations
我们证明新的相互作用Morawetz型（相关性）估计在一个和两个维度。在第二个维度的估计对应于非线性对角模拟布尔增益的双线性细化的Eschenhartz。对于二维情形，我们用两种不同的方法给出一个证明。首先，我们按照原来的方法林和施特劳斯，但适用于张量积的解决方案。然后，我们证明证明使用换向器向量算子作用于方程的守恒律。这种方法可以推广到所有维度的相关估计。在一维中，我们使用高斯-维尔斯特拉斯求和方法作用于守恒律。然后，我们将二维估计应用到非线性薛定谔方程，并导出了Nakanishi的$H^1$散射结果的直接证明，对于每一个$L^{2}$ -超临界非线性。我们还证明了散射的能量空间以下的某一类$L^{2}$ -超临界方程。
$L^2({\mathbb R}) $-Unconditional well-posedness for low dispersion fractional KdV equations
研究显示低色散分数KdV方程在$ L^2({\mathbb R}) $中具有无条件全局良好性，尽管其本质与KdV方程不同，采用改进的双线性估计和能量方法证明了该性质。
Low regularity solutions of two fifth-order KdV type equations
Kawahara方程和修正的Kawahara方程是五阶KdV型方程，并且已经被导出来模拟许多物理现象，例如重力毛细波和等离子体中的磁声传播。利用$s>-\frac74$建立了Kawahara方程在$H^s({\mathbf R})$中初值问题的局部适定性，利用$s\ge-\frac14$建立了修正Kawahara方程在$H^s({\mathbf R})$中初值问题的局部适定性.为了证明这些结果，我们通过陶\cite{Tao2001}的$[k; Z]$乘子范数方法得到了Kawahara方程的并元块的基本估计，并利用它在适当的Bourgain空间中得到了新的双线性和三线性估计。
Small-speed solitary-wave stability and global well-posedness for a Bessel-regularized Airy equation
本研究针对带一阶贝塞尔正则化的Airy方程，证明了小速度下孤立波的轨道稳定性，建立了相关动力学框架并验证了稳定性准则的非退化性与斜率条件。
Well-posedness and ill-posedness of the 3D generalized Navier-Stokes equations in Triebel-Lizorkin spaces
本文研究了三维广义不可压Navier-斯托克斯方程（gNS）在Triebel-Lizorkin空间$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$中的Cauchy问题，该空间具有$(α,r)\in(1,5/4)\times[2,\infty]$和$q_α=\frac{3}{α-1}$ .我们的工作建立了依赖于$r=2$或$r>2$的适定性和不适定性的{ \it二分法}。具体地，通过结合$L^{q_α}_x L^2_T$中新的端点双线性估计和Triebel-Lizorkin空间的分数半群刻画，证明了gNS在$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$中对于$r=2$的适定性.另一方面，对于任何$r>2$，我们表明，解决方案的gNS可以开发{ \it范数膨胀}的意义上说，任意小的初始数据在空间$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$可以导致相应的解决方案，成为任意大后，任意短的时间。特别地，Triebel-Lizorkin空间的这种二分法对于经典的N-S方程也是成立的，即\，\，$α=1$。因此，Triebel-Lizorkin空间框架自然地提供了著名的Koch-Tataru的$BMO^{-1}$适定工作和Bourgain-Pavlović的$\dot{B}_\infty^{-1,\infty}$不适定…
The Cauchy problem for higher-order modified Camassa-Holm equations on the circle
本文研究了周期环境下具有低正则性数据的浅水型方程\begin{eqnarray*} u_{t}+\partial_{x}^{2j+1}u + \frac{1}{2}\partial_{x}(u^{2})+ \partial_{x}(1-\partial_{x}^{2})^{-1}\left[u^{2}+\frac{1}{2}u_{x}^{2}\right]=0 \end{eqnarray*}的Cauchy问题. Himonas and Misiolek（Communications in偏微分方程，23（1998），123-139.）利用标准的Fourier限制范数方法证明了该问题在H^{s}（\mathbf{T}）中对于小初始数据是局部适定的，其中s \geq - \frac{j}{2} +1，j \in N^{+}.据我们所知，当s<- \frac{j}{2} +1时，没有关于该问题适定性的结果。本文首先证明了当s<- \frac{j}{2} +1时，在标准Bourgain空间中与方程的非线性项有关的双线性估计是无效的.然后证明了周期浅水型方程的Cauchy问题在H^{s}（\mathbf{T}）中的局部适定性，满足-j+ \frac{3}{2} < s<- \frac{j}{2} +1，j \geq 2.新颖之处在于我们引入了一些新的函数空间，并给出了新空间之间的一个有用的关…
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