Invariants of Knots, Embeddings and Immersions via Contact Geometry
本文综述了利用接触几何构造浸入和嵌入不变量的思想。特别是，它讨论了如何将接触流形与任何流形相关联，以及如何将勒让德子流形与嵌入或浸入相关联。然后，我们讨论了最近的工作，创建不变量的浸入和嵌入使用的Legendrian接触同源的相关Legendrian子流形。
2004-12-28 math.GT math.SG
Order One Invariants of Immersions
我们将闭可定向曲面F的浸入的所有一阶不变量分类到R^3中，其值在任意阿贝尔群G中。我们证明了对于任意F和G以及F浸入R^3的任意正则同伦类A，A上的所有一阶不变量的群同构于G^ \aleph_0 \oplus B \oplus B其中G^ \aleph_0是从基数集\aleph_0到G的所有函数的群，B={x \in G：2x=0}。我们的工作包括研究闭可定向曲面浸入R^3的有穷级不变量的基础，类似于弦图和纽结理论的1项和4项关系。
2001-03-25 math.GT
Immersions of Surfaces into Aspherical 3-Manifolds
研究了闭可定向曲面到非球面可定向三维流形的零同伦浸入的有穷级不变量。我们给出了它们的基本构造，并对所有一阶不变量进行了分类。
2005-10-27 math.GT
Finite Order q-Invariants of Immersions of Surfaces into 3-Space
给定一个曲面F，我们感兴趣的是F浸入R^3的Z/2值不变量，它们在Imm（F，R^3）中四重点判别式的补的每个连通分量上都是常数。这样的不变量被称为q不变量。给定Imm（F，R^3）中的正则同伦类A，我们用V_n（A）表示A上阶<= n的所有q-不变量的空间。证明了若F是可定向的，则对每个正则同伦类A和每个n，dim（V_n（A）/ V_{n-1}（A））<= 1.
1999-03-28 math.GT
Geometric formulas for Smale invariants of codimension two immersions
给出了（4k-1）-球面到（4k +1）-空间的浸入f的Smale不变量的三个表达式.这些公式的项是任意有向4k维流形的一般光滑映射g的几何特征，其中g限制在边界上是f在（6 k-1）-空间中的浸入正则同伦.这些公式意味着如果f和g是（4k-1）-球面到（4k+1）-空间的两个非正则同伦浸入，那么它们也是到（6 k-1）-空间的非正则同伦浸入。而且，（6 k-1）-空间中连接f到g的任何一般同伦至少有a_k（2k-1）！尖点，其中如果k是奇数，则a_k=2，如果k是偶数，则a_k=1。
2000-02-10 math.GT
The Schneiderman-Teichner invariant applied to immersions arising from link maps in $S^4$
结果表明，Schneiderman和Teichner的不变$τ$检测的例子，由于柯克的链接映射$f:S^2_+\cup S^2_-\to S^4$的限制映射$f|S^2_+:S^2_+\to S^4-f(S^2_-)$有消失墙自相交，但不是同伦的嵌入。
2015-10-15 math.GT
Fold maps and immersions from the viewpoint of cobordism
我们得到了（n+1）维流形到n维流形N上的定向简单折叠映射的协边类的完全几何不变量，它们是关于具有预定法丛的浸入的.我们计算出这个简单折叠映射的配边群同构于球面的第n-1个稳定同伦群与无限维射影空间的第n-1个稳定同伦群的直和。利用几何不变量，我们还利用浸入的配边群之间的自然同态刻画了单折叠配边群到折叠配边群的自然映射.我们还计算了简单折叠映射的有向（右-左）边群的秩。
2008-07-23 math.AT math.GT
Formulae for order one invariants of immersions and embeddings of surfaces
一个闭可定向曲面浸入到R^3中的泛1阶不变量f^U，其存在性已在[N3]中得到证实，取值于群G_U = K \oplus Z/2 \oplus Z/2，其中K是可数生成的自由阿尔贝群。f^U到K以及到第一和第二Z/2因子的投影分别表示为f^K、M、Q。在[N2]中给出了关于任意嵌入的Q值的显式公式。在目前的工作中，我们给出了一个明确的公式的值f^K的任何浸入，并为值M的任何嵌入。
2003-05-05 math.GT
Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Kervaire invariant II
引入斜框架浸入的几何$\Z/2 \oplus \Z/2$ --自相交控制的概念和$\Z/2 \oplus \Z/2$-框架浸入的自相交流形上的$\Z/2 \oplus \Z/4$ -结构（循环结构）的概念.它示出，斜帧沉浸$f:M^{\frac{3n+q}{4}} \looparrowright \R^n$，$0 < q <<n$（在$\frac{3n}{4}+ε$ -范围内）承认一个几何$\Z/2 \oplus \Z/2$ -控制，如果这个沉浸的斜帧的特征类承认一个缩回的顺序$q$，即存在一个映射$κ_0: M^{\frac{3n+q}{4}} \to \RP^{\frac{3(n-q)}{4}}$，这样，这个组合$I \circ κ_0: M^{\frac{3n+q}{4}} \to \RP^{\frac{3(n-q)}{4}} \to \RP^{\infty}$是$f$的斜帧的特征类。利用$\Z/2 \oplus \Z/2$ -控制的概念，我们证明了对于一个足够大的$n$，$n=2^l-2$，一个任意浸入的$\D_4$ -框架流形在正则配边类（模奇挠）中允许一个具有$\Z/2 \oplus \Z/4$ -结构的浸入.在最后一节中，我们提出了一种方法对Kervaire不变一问题。
2008-01-09 math.AT math.GT
Immersions of Non-orientable Surfaces
设F是闭的非可定向曲面。我们将F的浸入到R^3中的所有有限阶不变量分类，其值在任何阿贝尔群中。我们证明了它们都是泛1阶不变量的函数，我们构造为T \oplus P \oplus Q，其中T是Z值不变量，反映浸入的三重点的数量，P，Q是Z/2值不变量，其特征在于对于任何正则同伦浸入i，j：F \to R^3，P（i）-P（j）\in Z/2（分别为Q（i）-Q（j）\in Z/2）是切点的数量mod 2（分别为四重点）出现在i和j之间的任何一般正则同伦中。对于浸入i：F \to R ^3和双同态h：F \to F使得i和i \circ h正则同伦，我们证明：P（i \circ h）-P（i）= Q（i \circ h）-Q（i）=（rank（h_* - Id）+ E（\det h_**））mod 2其中h_* 是h在H_1（F;Z/2）上诱导的映射，h_** 是h在H_1（F; Q）（Q=有理数），对于0 \neq q \in Q，E（q）\in Z/2根据q是正还是负分别为0或1。
2003-10-02 math.GT
Differential 3-knots in 5-space with and without self intersections
三维球面在三维空间中浸入的正则同伦类构成无限循环群。包含嵌入的类形成索引为24的子群。一般的浸入是定期同伦的嵌入的障碍被描述在其自身的相交的几何不变量。利用自相交的几何性质构造了类属浸入的两个不变量J和St，它们类似于平面曲线的Arnold不变量.我们证明了J和St是独立的一阶不变量，并且任何一阶不变量都是它们的线性组合。作为副产品，得到了三维球面在四维空间中浸入的一些不变量。使用它们，我们发现限制的拓扑结构的自相交。
2000-02-10 math.GT
The geometric Hopf invariant and double points
一个稳定映射F的几何Hopf不变量是一个稳定的Z_2-等变映射h（F），使得h（F）的稳定Z_2-等变同伦类是F同伦于一个不稳定映射的主要障碍。本文用f的二重点集表示浸入f：M^m \to N^n的Umkehr映射F的几何Hopf不变量.本文利用几何Hopf不变量解释了浸入f在亚稳维数范围3 m <2n-1（当一般f没有三重点时）的Smale-Hirsch-Haefliger正则同伦分类.
2010-05-17 math.AT math.GT
Geodesic Planes in Geometrically Finite Manifolds
研究了含秩$1$尖点的几何有限流形中全测地平面浸入的闭包的刚性问题。我们发现，K厚复发的horocycles的关键概念失败一般在这种情况下。这个属性是在McMullen，Mohammadi和Oh最近的工作中引入的。然而，在极限集为圆填充的几何有限群的情形下，我们得到了非闭测地线平面浸入的2个密度准则，并证明了闭浸入产生了具有圆生成的基本群的曲面.我们还得到了一些结果的存在性和隔离的正常闭浸入的基本曲面。
2021-10-09 math.DS math.GT
Cobordism invariants of fold maps
本文综述了作者关于配边群、折叠映射半群和单折叠映射半群的一些结果。结果包括：通过折叠映射的配边类的几何不变量和简单折叠映射关于具有规定法丛的浸入的几何不变量建立折叠映射与浸入之间的关系，检测球面的稳定同伦群作为折叠映射的配边半群的直和项，庞特里亚金-托姆型结构-1余维fold映射的性质，并给出了fold映射为稳定可平行流形的余边流形类的估计.在最后一节中，我们推广了其中的一些结果，并证明了我们的不变量也能检测分类空间$BO(k)$的稳定同伦群作为折叠映射的配边半群的直和项。
2007-09-04 math.AT math.GT
Arnold-type Invariants of Curves on Surfaces
最近，V.Arnold将定向圆的类属浸入的奇异性和$J^{\pm}$不变量引入到$\R^2$中。在这里，这些不变量被推广到一般的情况下，一个有向圆的浸入到任意表面$F$。我们明确地描述了满足公理的所有不变量，这自然地推广了V.Arnold所使用的公理。
1999-06-18 math.DG math.GT
Plane curves in an immersed graph in $R^2$
对于圆上的任何弦图，在足够多的顶点上存在一个完全图，使得它对平面的任何一般浸入都包含一条平面闭曲线，该平面闭合曲线的弦图包含给定的弦图作为子弦图。对于六点完全图到平面的任一通有浸入，其中所有Hamilton平面曲线的平均不变量之和等于四分之一模二分之一。
2012-10-27 math.GT
A combinatorial property of generic immersions of curves
一个划分是一个相对的一般浸入的有限联合的副本单位区间在单位磁盘。划分定义了三维球体中的经典链接，如果沉浸的图像是连接的，则该链接是纤维链接。本文证明了单值的莱夫谢茨数为0。这一结果是已知的划分，这对应于真正的morsification的平面曲线平面曲线奇点。证明使用了莫尔斯函数的梯度线空间。
2000-05-21 math.AG math.GT
Immersions of the circle into a surface
我们分类浸入$f$的$S^1$在$2$ -流形$M$的初等不变量：奇偶$S(f)$的自横$C^1$ -逼近$f$的双重点的数目，和转向数$T(e\bar f)$的浸入$e\bar f:S^1\to M_f\subset\Bbb R^2$，其中$\bar f$是$f$的提升到覆盖$M_f$的$M$对应的子群$\left<[f]\right>\subsetπ_1(M)$。也就是说，浸入$f,g:S^1\to M$是正则同伦的当且仅当它们是同伦的，并且如果$M=S^2$或$\Bbb R P^2$或正规丛$ν(f)$是不可定向的，则$S(f)=S(g)$，而如果$M\not= S^2,\Bbb R P^2$和$ν(f)$，$ν(g)$具有关于同伦相容的定向$o$，$o'$，则$T(e_o\bar f)=T(e_{o'}\bar g)$，其中$e_o$是定向表面$M_f$（环或平面）在$\Bbb R^2$中的标准嵌入。事实上，对于同伦浸入$f$，$g$，$S(f)-S(g)$和$T(e_o\bar f)-T(e_{o'}\bar g)$都归结为零同伦浸入$f\# g^*$到$M$的泛覆盖的提升的转折数。这里的“浸入”$S^1\to M$是光滑的或拓扑的;我们包括一个光滑定理，这表明没有区别。我们还分类浸入$M$图的正规同伦的不变量$S(f)$和$T(e_o\bar f)$浸入$S^1$的。证…
2018-10-06 math.GT
Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Hopf invariant
我们开发了一个几何方法的稳定同伦群的领域的工作的精神Pontrjagin和Rokhlin。J.F.Adams的Hopf不变一定理的一个新证明在除15和31维以外的所有维中得到。为了证明当n>31时稳定的Hopf不变量H：n \to Z/2为零，我们应用几何拓扑的方法. Pontrjagin-Thom构造和Hirsch的压缩引理将每个α PDMATHABMN_n与闭n-流形在R^{n+k}中的框架浸入的框架有边类（对于任意给定的k>0）等同。它的自相交M投射到浸入f：M \to R^n，它由线丛κ的k个副本构成。已知H（α）= <w_1（κ）^{n-k}，[M]>. f的自相交N由具有结构群D_4的平面丛的k个副本框定。我们观察到H（α）= <w_1（i^*κ）^{n-2k}，[ \bar N]>，其中i将N的双重覆盖\bar N浸入M中.证明中最难的部分是证明，在斜框架边界类中修改f之后，分类映射g：N \to K（D_4，1）通过K（Z/4，1）因子分解，条件是n=2^l-1，l>5，n-2k=15。这是通过分析f的正则同伦类中的浸入来实现的，这些浸入近似于分类映射M \to RP^{n-k}的组成，RP^{n-k}到S ^1/（Z/4）（标准球面）的副本的连接上的投影，以及该连接在R^n中的嵌入。最后一步用四元数证明。
2009-05-07 math.AT math.GT
An explicit slice formula for surface invariants via curve invariants
Shinshu University（信州大学）
本文通过曲线不变量提出曲面不变量的显式切片公式，利用运动影片观点引入微分测度，描述曲面不变量在奇点转换中的变化，得出四重点事件中曲面不变量的变化公式。
2026-04-05 math.GT
Minimal Planes in Hyperbolic Space
给出了三维双曲空间中最小面积平面的一个一般有限性结果。此外，我们还证明了圆到双曲空间的极小浸入空间是无穷远圆到球面的浸入空间上的乘积丛的子流形。当限制到这个子流形时，丛投影映射是索引为零的Fredholm。利用这个结果，我们还证明了在无穷远处具有光滑边界曲线的极小平面空间是流形。
2003-10-13 math.AP math.DG math.GT
An Invariant for Triple-Point-Free Immersed Spheres
本文定义了2-球面到欧几里得3-空间的无三重点浸入在正则同伦下保持不变的不变量，并证明该空间有无穷多个正则同伦类。
2025-07-01 math.GT
Crossing numbers and rotation numbers of cycles in a plane immersed graph
对于Petersen图到平面中的任何一般浸入，距离为1的两条边之间的交叉点的数量是奇数。所有$5$ -循环的交叉数之和是奇数。所有$5$循环的旋转数之和为偶数。我们对$6$ -圈、$8$ -圈和$9$ -圈给出了类似的结果。对于Petersen图的任意Legendrian空间嵌入，存在一个$5$ -圈，该圈不是具有最大Thurston-Bennequin数的不结，并且该圈的所有Thurston-Bennequin数之和为$7$乘以该$5$ -圈的所有Thurston-Bennequin数之和.我们显示类似的结果为希伍德图。我们还展示了一些图的其他结果。我们刻画抽象图，有一个通用的浸入到一个平面，其所有的周期有旋转数$0$。
2022-08-30 math.GT
A State Calculus for Graph Coloring
本文讨论了平面地图四色着色问题的一种新的形式。我们给出了一些替代的方法来制定着色问题，包括重言式的扩展类似于彭罗斯的扩展，和扩展的彭罗斯的扩展计数着色的任意三次图的浸入在平面上。
2016-06-15 math.CO math.GT
