An efficient solution procedure for solving higher-codimension Hopf and Bogdanov-Takens bifurcations
针对传统方法难以求解高余维Hopf和Bogdanov-Takens分岔的问题，提出高效求解方法，通过二维传染病模型验证Hopf分岔余维确定的有效性，并以单步变换实现余维3 Bogdanov-Takens分岔分析，优于经典六步方法。
2024-04-15 math.DS
Dynamics near manifolds of equilibria of codimension one and bifurcation without parameters
我们研究了流的平衡流形的正常双曲性的崩溃。与经典的分歧理论不同，我们假设在平衡流形的横向奇点处没有任何流不变的叶理。我们称之为无参数设置分岔。在本文中，我们提供了一个描述的一般系统的平衡余维一作为第一步的分类没有参数的分叉的歧管。这是通过将问题与映射的奇点理论联系起来来实现的。
2010-09-07 math.DS
Periodic perturbations of codimension-two bifurcations with a double zero eigenvalue in dynamical systems with symmetry
研究了二维对称系统在周期扰动下的分岔行为，当扰动项的频率较小时，系统表现出具有双重特征值的余维2分岔。我们将周期扰动系统转化为一个更简单的周期扰动系统，它是一个具有双零特征值和对称性的余维2分叉的规范形，并应用次调和和同宿Melnikov方法分析系统中发生的分叉。特别是，我们表明，存在横向同宿或异宿轨道，产生混沌动力学，在广泛的参数区域。借助于中心流形约化和不变流形理论，这些结果可应用于三维或更高维系统，甚至无限维系统。我们说明我们的理论进行位置和速度反馈控制时，所需的位置是周期性的时间摆。我们还用计算机工具ANSYS进行了数值计算，以证明理论结果。
2023-02-14 math.DS
Switching to nonhyperbolic cycles from codimension two bifurcations of equilibria of delay differential equations
本文研究了延迟微分方程（DDEs）中广义霍普夫（Bautin）、折叠霍普夫（fold-Hopf）、霍普夫-霍普夫（Hopf-Hopf）和跨临界霍普夫（Transcritical-Hopf）分支附近的参数相关中心流形约化。这使我们能够初始化余维一平衡的延续和循环分叉从这些余维二歧点发出。正规形系数推导出的功能解析扰动框架的对偶半群（太阳星演算）使用的Fredholm替代的基础上的归一化技术。得到的表达式给出了明确的公式，已在免费提供的数值软件包DDE-BifTool中实现。虽然我们的理论结果被证明适用于更普遍的，软件实现和例子集中在DDE与许多离散延迟。再加上DDE-BifTool的连续功能，这为研究此类DDE的动态平衡附近提供了一个强大的工具。在各种模型上证明了其有效性。
2019-03-19 math.DS
Pearling Bifurcations in the strong Functionalized Cahn-Hilliard Free Energy
官能化的Cahn-Hilliard自由能支持不同余维的相分离形态，包括余维1双层和余维2细丝形态。我们描述的线性稳定性的双层和细丝形态相关的超曲面内的强功能化标度。特别是，我们表明，珠光不稳定性，这触发快速的平面内振荡与分叉到更高的余维形态，是由功能化参数和远场化学势的空间恒定值控制的发病。至关重要的是，我们发现，发病珍珠是独立的定义超曲面的形状。
2017-11-01 math.DS
Fungal tip growth arising through a codimension-1 global bifurcation
顶端生长是真菌细胞中发生的生长阶段。在尖端生长过程中，细胞表现出连续的极端纵向生长，而其形状在质量上保持不变。单细胞真菌顶端生长的模型由弹道老化薄粘性片（BATS）模型给出，该模型由一阶微分方程的5维系统组成。BATS模型的解决方案，对应于真菌的尖端生长出现通过余维1全局分歧的2参数的解决方案。在本文中，我们推导出一个玩具模型的BATS模型。玩具模型由依赖于单个参数的一阶微分方程的2维系统给出。本文的主要成果是证明了玩具模型具有BATS模型的余维1全局分支。证明的一个重要组成部分是一个拓扑方法，使识别的歧点。最后，我们讨论了如何证明可以推广到BATS模型。
2019-09-12 math.DS
Bistable boundary conditions implying codimension 2 bifurcations
本文研究二维参数域上光滑动力系统族，证明当边界出现含两个相对折叠分岔点的S形或Z形分岔图且无其他边界分岔时，若区域内无fold-Hopf分岔，则内部必存在至少一个尖点。
2025-02-05 math.DS
Codimension-two Bifurcations Induce Hysteresis Behavior and Multistabilities in Delay-coupled Kuramoto Oscillators
滞后现象和多稳定性在耦合振子动力学中起着至关重要的作用，现在可以从余维2分岔的角度来解释。在N-Antonsen流形上，以耦合强度和时滞为分岔参数，导出了时滞耦合Kuramoto模型的完全分岔集。严格证明了系统在某些临界值处必然发生Bautin分支，从而存在周期解的鞍结分支.借助中心流形约化方法和Matlab软件包DDE-Biftool，从理论上确定了系统的Bautin点和双Hopf点的位置以及详细的动力学过程。我们发现，在这些临界点附近，最多可以共存四个相干态（其中两个是稳定的）和一个稳定的非相干态，并且系统经历周期解的Neimark-Sacker分支.最后，给出了延迟Kuramoto模型中同步跃迁的清晰描述。
2016-08-11 math.DS nlin.CD
Multicycle dynamics and high-codimension bifurcations in SIRS epidemic models with cubic psychological saturated incidence
本研究证明SIRS模型存在余维三Bogdanov-Takens分支和退化Hopf分支，揭示感染率与心理阈值控制疾病根除或持续，并数值验证三个极限环共存，为公共卫生策略提供数学基础。
2025-09-25 math.DS
Hopf points of codimension two in a delay differential equation modeling leukemia
本文继续了前两篇论文中所包含的工作，致力于研究由延迟微分方程模型白血病所产生的动力系统。在这里，我们的目标是确定退化的Hopf歧点。通过对中心流形的近似，我们计算了Hopf歧点的第一李雅普诺夫系数。我们发现，通过直接计算，在某些区域的参数空间（生物意义），点的第一个李雅普诺夫系数等于零。对于这些，我们计算的第二个李雅普诺夫系数，确定退化的Hopf分支的类型。
2012-05-17 math.DS
Simultaneous Border-Collision and Period-Doubling Bifurcations
我们揭示了一般的分段光滑连续映射的边界碰撞分岔和倍周期分岔的余维2同时发生。我们发现，在充分的非退化条件下，倍周期分岔的轨迹从边界碰撞分岔的轨迹非切向地发散。相应的倍周期解沿着从余维2点发出的曲线经历边界碰撞分叉，并且与倍周期轨迹相切。在地图的情况下，是一维的局部动力学完全分类，特别是，我们给的条件，确保混乱。
2009-05-22 math.DS
A codimension-5 Hopf bifurcation yielding 5 limit cycles in a SIRS epidemic model with nonlinear incidence rate
Western University（韦仕敦大学）；Lanzhou University（兰州大学）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文通过代数焦点化简和验证区间计算，严格证明SIRS模型在广义Hopf点可产生三、四、五个小振幅极限环，并给出余维6的代数障碍，支持五为最大余维的猜想。
2026-10-01 math.DS
Codimension-Two Bifurcations of an SIR-Type Model for COVID-19 and Their Epidemiological Implications
本文利用AUTO分析COVID-19的SIR型模型在谨慎程度与床位占用率变化下的余维二分岔，揭示后向分岔中极限环与同宿轨道的复杂转变，并提出防控策略。
2023-07-17 math.DS physics.soc-ph
Crossing-sliding bifurcations in planar $\mathbb{Z}_2$-symmetric Filippov systems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学数学学院）
本文研究了具有Z₂对称性的平面Filippov系统中的交叉-滑动分岔，通过构造转移映射和函数分解定理，系统地特征化了codimension-一和codimension-二的分岔场景，并推导了所有分岔曲线的渐进行为。
2025-12-17 math.DS
Bifurcation Analysis of the Watt Governor System
本文继续了作者在《瓦特调速器系统的\it稳定性与Hopf分支》\cite{smb}中的研究工作，重点研究了离心式瓦特调速器微分系统中的余维一Hopf分支，如Pontryagin的《\it常微分方程》\cite{pon}中所提出的。研究了余维2和3的Hopf分支，确定了相应的Lyapunov稳定性系数和分支图，说明了分支小振幅周期轨道的数目、类型和位置。结果发现在参数空间中存在一个吸引平衡点与吸引周期轨道共存的区域。
2006-08-02 math.DS
Codimension-two homoclinic bifurcations underlying spike adding in the Hindmarsh-Rose burster
从全局分叉分析的角度重新审视了神经动作电位的Hindmarsh-Rose模型。这个慢-快系统的三个parameterised微分方程可以说是最简单的减少霍奇金-赫胥黎模型能够表现出所有定性重要的不同种类的尖峰和爆裂行为。首先，在保持奇异扰动参数不变的情况下，用蛮力法计算了系统的两参数分岔图。特别值得关注的是参数制度的不规则爆裂的瓣形区域进行过渡到周期性爆裂的条形区域。每个条纹的边界表示折叠分叉，其导致平滑的尖峰添加过渡，其中每个突发中的尖峰数量增加1。接下来，数值延拓研究表明，全球结构是由各种曲线的同宿分支。特别是叶到条纹过渡是由一系列的余维2轨道和倾角翻转点，发生沿{ \em每个}同宿分支。每个分支都经历一个尖锐的转折点，因此在参数空间中近似具有相同曲线的双重覆盖。本文用二维非稳定流形和一维慢流形在奇异极限下的相互作用来解释这种急转弯。最后，一个新的本地分析进行使用近似庞加莱映射，以显示每个同宿分支上的转折点，反过来又引起倾斜翻转，产生的折叠曲线，组织的尖峰添加过渡。这种机制的影响，在其他可兴奋的系统解释穗添加行为进行了讨论。
2011-09-26 math.DS
Cascades of Global Bifurcations and Chaos near a Homoclinic Flip Bifurcation: A Case Study
研究了情形~ \textbf{C}的同宿翻转分支，其中到具有实特征值的鞍平衡点的同宿轨道从可定向变为不可定向。该分岔的余维为2，它是实鞍点同宿分岔产生（悬浮）Smale马蹄和奇异吸引子形式的混沌行为的最低余维。我们提出了一个详细的数值案例研究如何全球稳定和非稳定流形的鞍平衡和分叉周期轨道相互作用接近这样的分歧。这是理解同宿翻转分叉的一般情况的一个进步，它始于对更简单的情况\textbf{A}和\textbf{B}的研究。在Sandstede三维向量场中，我们计算了中心余维2分岔点附近的双参数分岔图中的相关分岔曲线。我们提出了有代表性的不变流形，计算与边值问题设置，无论是在相空间和相交集与一个合适的领域。通过这种方式，我们能够确定无穷多个级联的同宿分支，积累在特定的余维一异宿分支之间的平衡和各种鞍周期轨道。我们的计算证实了从理论上已知的，但也表明存在的分叉现象，没有考虑过。具体来说，我们确定的Smale-马蹄区域的参数平面，其中之一创建一个奇怪的吸引子，类似于罗斯勒吸引子的边界。一个卷绕数的计算揭示了一个复杂的整体分叉结构，在更广泛的参数平面，涉及无限多的进一步同宿翻转分叉与所谓的同宿泡沫。
2022-07-28 math.DS nlin.CD
The generic unfolding of a codimension-two connection to a two-fold singularity of planar Filippov systems
一般分歧理论是经典的光滑微分系统，建立$k$参数族的平面向量场的结果。在本研究中，我们专注于定性分析的$2$参数家庭，$Z_{α,β}$，平面Filippov系统假设$Z_{0,0}$提出了一个余维2最小集。这样的对象，被称为基本简单二重循环，其特征在于一个规则的轨迹连接一个可见的二重奇点到它自己，对于它的第一个返回映射的二阶导数是非零的。我们通过展示余维二的分岔图来分析余维二的情形。
2017-12-27 math.DS
Hopf Bifurcations in a Watt Governor With a Spring
本文继续了作者在“六角调速系统的稳定性和Hopf分支”中的研究，重点研究了六角Watt调速系统的余维一Hopf分支。研究了余维2、3、4的Hopf分支，确定了相应的Lyapunov稳定性系数和分支图，给出了分支小振幅周期轨道的数目、类型和位置。结果发现，在参数空间中存在一个开放区域，在该区域中，两个吸引周期轨道与一个吸引平衡点共存。
2008-03-04 math.CA math.DS
Chenciner bifurcation, strong resonances and Arnold tongues of a discrete time SIR epidemic model
本文研究三维离散 SIR 模型的动力学，通过分岔理论揭示余维 1 与 2 分岔（含 Chenciner 分岔、强共振）及弱共振 Arnold 舌头，并用 MatcontM 验证。
2025-06-19 math.DS
Lyapunov Coefficients for Degenerate Hopf Bifurcations
本文研究了余维1、2、3、4的Hopf分支及相应的李雅普诺夫稳定性系数。显示用计算机辅助计算得到的代数式。
2007-09-25 math.DS
Fast-slow bursters in the unfolding of a high codimension singularity and the ultra-slow transitions of classes
爆发是在各种物理和生物系统中发现的现象。例如，在神经科学中，爆发被认为在神经系统中信息传递的方式中起着关键作用。在这项工作中，我们提出了一个模型，适当调整，可以显示几种类型的突发行为。该模型包含两个在不同时间尺度上起作用的子系统。对于快速子系统，我们使用的高余维奇异的平面展开。在它的分叉图中，我们找到了正确的分叉序列的基础上爆发所需的路径。慢子系统沿着这些路径来回引导快子系统，导致突发行为。该模型是能够产生几乎所有的类突发预测系统与平面快速子系统。类之间的转换可以通过模型参数的超慢调制来获得。参数空间的详细探索允许预测可能的转变。这提供了一个单一的框架来理解物理和生物系统或模型中多种突发模式的共存。
2016-05-30 math.DS q-bio.NC
Phase portraits of (2;1) reversible vector fields of low codimension
IBILCE–UNESP（圣保罗州立大学伊比拉塞特学院）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
本文研究了具有可逆线的平面可逆向量场中码高斯零、一和二的对称奇点的相图和分支图。
2025-03-07 math.DS
Saddle-node--transcritical interactions in a stressed predator-prey-nutrient system
我们研究了跨临界和鞍结分岔的相互作用，在捕食者-猎物-营养系统，强调由存在的毒物影响猎物。由Kooi等人（{ \sl Ecol. Model.} { \bf 212}（2008），304- 318）具有捕食者密度为零的二维不变子系统。在该子系统中，一对捕食者-营养物平衡在鞍结分岔中产生，而捕食者入侵则由这对平衡中的一个的跨临界分岔来模拟。这些分歧在余维两点的相互作用，产生的周期性和异宿的捕食者-猎物-营养动力学。我们解释了为什么在使用标准检验函数时，余维2点在数值上被检测为尖点和Bogdanov-Takens点，并提出了一种新的检验函数用于余维1跨临界曲线系统。
2018-09-01 math.DS
Isola and mushroom dynamics of limit cycles and bifurcations in a predator-prey system with additive Allee effect
该研究结合解析与数值方法分析含加性 Allee 效应及广义 Holling IV 响应的捕食系统，揭示多种高阶分岔及极限环 isola、蘑菇结构，并阐明 Allee 强度对灭绝与共存的影响。
2023-11-03 math.DS
Numerical investigation of the Bautin bifurcation in a delay differential equation modeling leukemia
在以前的工作中，我们研究了Hopf退化歧点的存在性的微分延迟方程模型白血病，我们实际上发现了Hopf点的余维2所考虑的问题。如果在对应于这样一个点的参数周围，我们改变两个参数（所考虑的问题有五个参数），那么应该发生Bautin分叉。在这项工作中，我们选择了一个余维2的Hopf点所考虑的问题，并进行数值积分的歧点参数的邻域中选择的参数。结果表明，我们确实有一个Bautin分支的选择点。
2012-08-08 math.DS nlin.CD
Bifurcation Analysis of Systems with Delays: Methods and Their Use in Applications
这一章提出了一个动力系统的观点来研究时滞系统。重点是如何从分歧理论，先进的工具，例如在包DDE-BIFTOOL，可以应用到延迟微分方程（DDE）的研究中产生的应用程序，包括那些功能状态依赖的延迟。我们讨论的最新版本的DDE-BIFTOOL目前的能力。它们包括稳态、周期轨道及其余维1分叉的数值延拓，以及余维2某些分叉的检测和规范形的计算。两个较长的案例研究，概念DDE模型的厄尔尼诺现象和一个典型的标量DDE与两个状态相关的反馈条款，展示了什么样的见解，可以通过这种方式获得。
2021-08-05 math.DS
Resonance properties and chaotic dynamics of a three-dimensional discrete logistic ecological system within the neighborhoods of bifurcation points
本文研究三维离散逻辑斯蒂生态模型在分岔点附近的动力学，利用完全判别理论、分岔与规范形理论分析余维1和余维2分岔及Marotto混沌，并通过数值模拟验证理论结果。
2025-05-09 math.DS
Regularization around a generic codimension one fold-fold singularity
本文研究了平面上Filippov系统的通有折叠奇异性、它的开折和它的Sotomayor-Teixeira正则化。我们工作与一般Filippov系统，并提供了分支图的折叠折叠奇点和他们的展开，证明，在某些一般的条件下，是一个余维1嵌入子流形的集合的所有Filippov系统。研究了这种奇异性的正则化，并给出了它的分岔图。在可见-不可见的情况下，几何奇异扰动理论的使用已被用于给出展开的完整图，特别是在Filippov向量场中不存在的周期轨道的出现和消失。在线性正则化的情况下，我们证明了正则化系统等价于Krupa和Szmolyan [KrupaS 01]研究的一般慢-快系统。
2018-02-13 math.DS
A Degenerate Bifurcation Perspective on High Sensitivity in a Modified Gower-Leslie Model with Additive Allee Effect
School of Mathematics and Statistics, Guizhou University（贵州大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）
研究探讨了带加性阿勒效应的修改戈德-莱斯利模型中参数和初始种群密度的高灵敏度，揭示了退化分支在系统响应中的关键作用，并通过数值模拟验证了多稳态稳态和极限环的存在。
2026-04-09 math.DS
Bautin bifurcation in a minimal model of immunoediting
Delisi和Resigno提出了免疫监视和肿瘤形成的最简单模型之一。后来，Liu等人证明了在五个正参数的整个集合中存在定义曲面的非退化Takens-Bogdanov分支。在本文中，我们证明了存在的Bautin分支完成的情况下，可能的余维两个分支发生在这个模型。我们给出了我们的结果的解释的三个阶段的免疫编辑理论：消除，平衡和逃逸。
2018-07-03 math.DS
Two regularizations of the grazing-sliding bifurcation giving non equivalent dynamics
本文提出了两种正则化单参数分段光滑动力系统族的方法。首先，我们使用Sotomayor-Teixeira正则化，并证明了正规化的家庭有一个鞍结分支的周期轨道。然后，我们执行滞后正则化，并表明，正则家庭有混沌动力学。我们的结果表明，尽管两个正则化将给出相同的动力学在滑动模式，当相切出现的滞后过程产生混沌动力学。
2021-11-17 math.DS
Competition and Complexity in Amphiphilic Polymer Morphology
我们分析了强泛函Cahn-Hilliard方程的$H^{-1}$梯度流中余维1和余维2形态的竞争演化.在一个缓慢的时间尺度的急剧超曲面减少产生一个退化的Mullins-Sekerka演化的余维1和2超曲面，导致局部依赖于曲率耦合到动态值的空间恒定的远场化学势的几何流。余维1和余维2形态都允许两类分叉，一类导致珠光化，即界面宽度的短波长面内调制，另一类将曲率运动翻转为局部不适定的反曲率运动，从而导致指进不稳定性。我们提出了一个分岔图的形态竞争，并比较我们的结果定量模拟的整个系统和定性的自洽平均场模型和实验室实验的模拟，阐明了珍珠分叉的作用，在复杂的网络形态的发展。
2022-03-22 cond-mat.soft math.DS
Center-Manifold Reduction of Learning at Bifurcations: Interference and Rich Learning in Recurrent Neural Networks
University of Washington（华盛顿大学）
研究通过经验状态空间神经 tangent 核（sNTK）分析梯度下降在分岔点附近的动态，发现分岔点主导并简化了学习过程，通过分解sNTK揭示了高维递归系统的学习几何结构。
2026-08-19 cs.LG math.DS math.OC
From two-dimensional continuous maps to one-dimensional discontinuous maps: a novel reduction explaining complex bifurcation structures in piecewise-linear families of maps
Massey University（梅西大学）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
本文提出了一种新的降维方法，通过将二维连续分段线性映射近似为一维不连续映射，揭示了复杂分岔结构的形成机制。
2025-12-02 math.DS nlin.CD
The smallest bimolecular mass-action system with a vertical Andronov-Hopf bifurcation
本文构造并刻画了由四种反应、三个物种构成的最小双分子质量作用系统，证明其可经无限余维退化 Andronov–Hopf 分岔产生中心，并且是唯一此类系统。
2022-10-12 math.DS
Singularly Perturbed Boundary-Equilibrium Bifurcations
边界平衡点分岔（BEB）是指在参数变化的情况下，系统的平衡点与不连续点发生碰撞的现象。奇异摄动BEB是指在奇异扰动问题中出现的分支，该问题将某些$ε\to 0$限制为经历BEB的分段光滑（PWS）系统。本文利用PWS理论、几何奇异扰动理论（GSPT）和称为blow-up的几何去奇异化方法，完成了本文作者在[19]中提出的平面余维1奇异摄动BEB的分类。在推导出一个能够生成所有12个奇异摄动BEB的局部范式后，我们描述了每种情况下的展开。详细的定量结果鞍结，Andronov-Hopf，同宿和余维2 Bogdanov-Takens分叉涉及的展开和分类。每个分叉都是奇异的，因为它发生在一个区域内，该区域以系统失去光滑性的速率确定的速率收缩到零，如$ε\to 0$。在参数空间中，给出了构成两个奇摄动BEB之间边界的同宿联络的详细渐近性。最后，我们描述了一个特定的奇摄动边界节点（BN）分岔展开中产生的振荡的爆发。我们证明了PWS周期的扰动的振荡的存在，并推导出一个增长率，这是多项式在$ε$和依赖于系统失去光滑的速度。对于本文给出的所有结果，正则化PWS系统的相应结果通过极限$ε\to 0$得到。
2021-03-17 math.DS
The bifurcation diagram of cubic polynomial vector fields on $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$
本文给出了三次向量场$\dot z=z^3+ ε_1z+ε_0$族对$z\in \mathbb{C}\mathbb{P}^1$的分支图，它依赖于$ε_1,ε_0\in\mathbb{C}$的值.分叉图在$\mathbb{R}^4$中，但其圆锥结构允许在$\mathbb{S}^3$中描述参数值。结构稳定的向量场存在两个开的单连通区域，它们被对应于无穷远极点的两个分离面之间的同宿联络的分叉的曲面分开。这些分支从双奇点的余维2曲线。利用多项式向量场的Douady和Sentenac描述，解释了同宿联络的分支。
2015-06-23 math.DS
Saddle Invariant Objects and their Global Manifolds in a Neighborhood of a Homoclinic Flip Bifurcation of Case B
当三维向量场中的实鞍点平衡点发生同宿分支时，其二维不变流形以可定向或不可定向的方式闭于自身。我们感兴趣的是全局不变流形的鞍平衡和鞍周期轨道之间的相互作用的向量场接近余维2同宿翻转分歧，也就是说，之间的过渡点有一个定向或非定向的二维表面。在这里，我们专注于同宿翻转分支的情况$\textbf{B}$，其特征在于，余维2点引起一个额外的同宿分支，即，一个双同宿轨道。为了解释全局流形如何组织相空间，我们考虑Sandstede的三维向量场模型，它具有倾斜和轨道翻转分叉。我们计算整体不变流形和他们的交集与一个合适的球，通过适当的两点边值问题的延续，了解他们的作用作为吸引周期轨道的盆地的分离面。我们在相空间和球面上展示了有代表性的图像，这样我们就可以确定参数空间的不同区域和所涉及的同宿分支处的流形的拓扑性质。我们发现鞍周期轨道和平衡之间的异宿轨道，从而产生无限多的异宿轨道的区域。在Sandstede模型中存在额外的平衡点，我们将相空间压缩，以捕捉平衡点如何从无穷大出现或逃逸到无穷大。我们提出了这些分歧图的图像，在那里我们概述了不同的配置的平衡接近同宿翻转分叉的情况下$\textbf{B}$，此外，我们刻画了Sandstede的模型在无穷远的动态。
2022-07-28 math.DS
Structure of optimal gradient flows bifurcations on closed surfaces
本文研究闭曲面上具有最少奇异点数的典型梯度流分岔，分为鞍结和鞍连接两类，利用弦图作为完全拓扑不变量，并列出低亏格曲面上的所有图及逆图。
2024-08-20 math.DS
Bifurcation analysis of multiple limit cycles created in boundary equilibrium bifurcations in hybrid systems
本研究针对任意维混合系统中边界平衡点分岔（BEB）产生的多极限环问题，分析了两类余维二情形下小振幅极限环的分岔机制，给出了双参数分岔图的一般结构，并通过三维及八维模型验证了理论结果。
2024-12-09 math.DS nlin.CD
Steady-state bifurcations for three-cell networks with asymmetric inputs
研究具有非对称输入的齐次耦合细胞网络的余维一稳态分岔，基于邻接矩阵特征值结构和同步子空间存在性获得一般性结论，并对三细胞最小网络的同步破缺分岔进行分类。
2024-06-04 math.DS
Bifurcation analysis for a SIRS model with a nonlinear incidence rate
本文研究具有一般非线性发生率的 SIRS 流行病模型，通过分析平衡点存在性与稳定性，应用局部分岔理论推导多种分岔规范型，并计算焦点值确定 Hopf 分岔余维数，揭示了模型丰富的动力学行为。
2025-10-31 math.DS
Unfolding codimension-two subsumed homoclinic connections in two-dimensional piecewise-linear maps
对于分段线性映射，周期解的一维非稳定流形的分支完全包含在其稳定流形中的现象是余维2。不同于余维一同宿角，这种“包含”同宿连接可以与稳定的周期解。本文的目的是在二维空间中确定类属包容同宿联络附近的动力学性质。假设与周期解相关的特征值满足$0 < |λ| < 1 < σ< \frac{1}{|λ|}$，在双参数展开中存在无穷序列的大致三角形区域，在该区域内映射具有稳定的单轮周期解。结果适用于不连续和连续的地图，虽然这些情况下承认不同的特征对应于区域的边界的边界碰撞分叉。用Mira的不连续映射和二维边界碰撞规范形说明了结果。
2019-07-05 math.DS
Double Hopf bifurcation in delayed reaction-diffusion systems
双Hopf分岔分析可以用来揭示动力系统中某些复杂的动力学行为，如周期轨道、拟周期轨道的存在或共存，甚至混沌。本文利用中心流形约化技术和规范形方法，严格地建立了一类具有Neumann边界条件的时滞反应扩散系统余维2双Hopf分支附近规范形的算法.我们发现在歧点附近的动力学行为被证明是由12个不同的开折系统所控制的。通过两个例子来说明我们的结果：对于一个具有阶段结构的传染病模型，我们发现当扩散率和时滞变化时会出现双Hopf分支，并证明在歧点附近存在两个稳定的空间非齐次周期振荡;在扩散捕食系统中，我们从理论上证明了在双Hopf歧点附近的两个或三个环面上存在拟周期轨道，该轨道在轻微扰动后将崩溃，使系统成为一个奇怪的吸引子。
2018-11-26 math.DS
Bifurcations of transition states: Morse bifurcations
一个哈密顿系统的过渡态是一个能级的闭的、不变的、有向的、余维2子流形，它可以被两个紧致的余维1单向通量面所跨越，这两个面的并集称为分割面，局部地将能级分成两个分量，并且没有局部的交叉。为了使所有光滑扰动都能鲁棒地发生这种情况，过渡态必须是通常的双曲型。分割表面，然后有局部最小的几何通量通过它，给出了一个上限的速度在任何一个方向上的运输。已知与$\mathbb S^{2m-3}$同形的过渡态存在于刚好高于$m$自由度的哈密顿量的任何指数-1临界点的能量处，具有分割表面$\mathbb S^{2m-2}$。这里要解决的问题是，当能量或其他参数变化时，过渡态以及分界面会发生什么质的变化？我们发现有一类系统的过渡态变得奇异，然后随着超纯类的改变而恢复正常双曲性。这些是Morse分叉。考虑各种例子。首先，给出了一些简单的例子，其中过渡态连接或断开，并且分割面可以变成圆环面或其他。然后，我们展示了如何序列的Morse分岔产生各种有趣的形式的过渡态和划分表面的反应系统中，考虑一个假设的双分子反应在气相中。
2014-04-17 math-ph math.DS math.MP
Pulse-adding of Temporal Dissipative Solitons: Resonant Homoclinic Points and the Orbit Flip of Case B with Delay
数值研究了大时滞时滞微分方程（DDE）中具有非振荡尾的单脉冲周期行波分支为时间局域的双脉冲周期行波的问题.这种类型的解在应用中通常被称为时间耗散孤子（TDS），我们在这里采用这个术语。我们通过一个典型的例子表明-类似于反应扩散偏微分方程（PDE）中的行波脉冲-从具有非振荡尾部的单脉冲TDS中的两脉冲TDS的分支由对应行波帧中的真实鞍平衡的余维2同宿歧点组织。我们考虑推广的Sandstede的模型（一个原型模型，用于研究余维2同宿歧点在常微分方程）与一个额外的时移参数，并使用Auto 07 p和DDE-BIFTOOL数值计算这些歧点在所产生的DDE的展开。然后，我们解释这个模型作为行波方程的TDS在DDE与大延迟利用再现的DDE周期解。在这样做，我们确定的非定向共振同宿分支和轨道翻转分支的情况下$\mathbf{B}$作为组织中心的存在的两个脉冲TDS的DDE与大延迟。此外，我们还讨论了辅助系统中同宿分支的折叠如何限制大时滞DDE中TDS的存在区域。
2022-07-27 math.DS nlin.PS
Three forms of dimension reduction for border-collision bifurcations
本文研究边界碰撞分岔中的降维问题，证明在特征值连续条件下，系统局部不变集位于低维流形，从而减少变量分析混沌动力学，并与其他两种余维二情形比较。
2024-12-15 math.DS nlin.CD
Bistability, Bifurcations and Chaos in the Mackey-Glass Equation
数值分岔分析，特别是两个参数的延续，是用在与数值模拟相结合，以揭示复杂的动态Mackey-Glass方程的延迟接近混沌发病的中等值。特别是周期轨道的尖点分叉和由此产生的周期轨道的褶皱分支有效地将参数空间划分为不同行为的区域。尖点分岔直接导致周期轨道之间的双稳定性，并随后导致周期轨道和混沌吸引子之间的双稳定性。这导致了两种不同的机制，通过这种机制，混沌吸引子在具有周期轨道的全局分岔中被破坏，无论是内部危机还是边界危机。在参数空间的另一部分，一个亚临界周期double序列被发现会引起周期轨道和混沌吸引子之间的双稳定性。环面分岔，和余维2折叠翻转分岔也被确定，和李雅普诺夫指数计算用于确定混沌区域和吸引子维数。
2022-03-20 math.DS nlin.CD
Dynamics of generic 1-parameter perturbations of a vector field with a singular point of codimension k
Institut de Mathématiques de Toulouse, Université Paul Sabatier（图卢兹数学研究所，图卢兹第三大学）；Département de mathématiques et de statistique Université de Montréal（蒙特利尔大学数学与统计系）
本文通过构造几何模型（星形域）和分类通用族，详细描述了复向量场族在奇点展开时的局部分岔图，并与简单模型$\dot z = z^{k+1}-ε$进行比较。
2026-05-29 math.CV math.DS
Interaction of two systems with saddle-node bifurcations on invariant circles. I. Foundations and the mutualistic case
不变圆上的鞍结分岔（SNIC）是连续时间动力系统周期轨道产生或毁灭的余维一路径之一。例如，它控制着许多I类神经元从静息行为到周期性尖峰的转变。在这里，作为第一步对网络理论的这种单位的两个系统之间的弱耦合与SNIC的效果进行了分析。确定了耦合的两个关键参数，我们称之为δ_1和δ_2。本文给出了“互惠”情形δ_1 δ_2 > 0的全局分歧图。根据参数制度，可能存在静止和周期吸引子，并且可能存在环面或Cantorus类型的准周期吸引子，使得即使是这样一个简单系统的行为也非常重要。在第二篇文章中，我们将分析混合情况δ_1 δ_2 < 0，并总结本研究的结论。
2013-09-26 math.DS
Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up
利用Blowup方法研究了平面分段光滑（PWS）动力系统中余维1二重奇点的正则化问题。我们重点研究了PWS系统中可能出现的奇异鸭翼、伪均衡和极限环。利用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，我们严格地证明了奇异鸭翼是如何持续存在的，以及在正则化系统中伪平衡点的分支与平衡点的分支之间的关系.我们还表明，PWS极限环连接到正则化的Hopf分支。此外，我们展示了如何正则化可以创建另一种类型的极限环，似乎不存在于原来的PWS系统。对于这两种类型的极限环，我们表明，产生周期轨道的Hopf分支的临界性强烈依赖于精确形式的正则化。最后，我们分析的极限环的正则化的周期轨道的局部唯一的家庭和连接，如果可能的话，到极限环的PWS系统。我们用数值模拟说明了我们的分析，并展示了正则化系统如何发生鸭式爆炸现象。
2015-07-24 math.DS
Computing connecting orbits to infinity associated with a homoclinic flip bifurcation
我们考虑$\mathbb{R}^3$中二次向量场在适当参数平面上的分岔图，它具有最复杂类型的同宿翻转分岔。这种余维二分支的特征在于相关的二维流形的定向性的变化，并产生无限族的二次分支。我们表明，二级$n$ -同宿分支的曲线上积累的异宿分支涉及无穷大。我们提出了一个适应的技术被称为林的方法，使我们能够计算这样的连接轨道到无穷大。我们首先进行加权方向紧化的$\mathbb{R}^3$与随后的爆破的非双曲鞍在无穷远。然后，我们建立了两个轨道段的边值问题，从和到一个共同的二维部分：第一个是一个有限的鞍在正规坐标系中，第二个是从附近的鞍在无穷远的放大图。然后通过延拓使截面中沿固定一维方向的所谓Lin间隙为零。一旦用这种方法找到了一个连接轨道，它的轨迹就可以在参数平面上画出一条曲线。
2022-06-24 math.DS
Bifurcation of limit cycles from a non-smooth perturbation of a two-dimensional isochronous cylinder
检测非光滑向量场中极限环的产生是近年来动力系统理论和应用科学中的一个重要问题。研究了$\mathbb{R}^{3}$中二维向量场等距柱面上周期轨道的连续性的极限环分支。该方法包括非光滑向量场的正则化过程和基于Malkin分支函数的$C^{0}$扰动方法。这些结果提供了通过光滑和非光滑扰动获得圆柱出现极限环的充分条件，并首次说明了基于Malkin分支函数的一种新方法的实现.此外，还研究了与光滑扰动相比，非光滑扰动分支出的极限环个数的问题。总之，所得结果对$\mathbb{R}^{3}$中的非光滑向量场的极限环有了更好的认识，并明确了一种通过对余维为1的欧氏流形进行非光滑扰动来获得极限环的方法.
2014-04-09 math.DS
