Lyapunov Coefficients for Degenerate Hopf Bifurcations
Jorge Sotomayor, Luis Fernando Mello, Denis de Carvalho Braga
本文研究了余维1、2、3、4的Hopf分支及相应的李雅普诺夫稳定性系数。显示用计算机辅助计算得到的代数式。
In this paper are studied the codimensions one, two, three and four Hopf bifurcations and the pertinent Lyapunov stability coefficients. Algebraic expressions obtained with computer assisted calculations are displayed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Two delays induce Hopf bifurcation and double Hopf bifurcation in a diffusive Leslie-Gower predator-prey system
研究了一类修正的具有双时滞和扩散的Leslie-Gower捕食-食饵系统的动力学性质。通过计算稳定性开关曲线，研究了双时滞参数平面上正平衡点的稳定性以及Hopf分支和双Hopf分支的存在性.以两个时滞为分岔参数，导出了双Hopf歧点附近中心流形上的规范形，并给出了临界点附近的开折。最后，我们得到了双Hopf歧点附近的复动力学，包括2-环面上的拟周期解、3-环面上的拟周期解以及奇异吸引子的存在性.
Hopf-Hopf bifurcation and chaotic attractors in a delayed diffusive predator-prey model with fear effect
考虑到捕食者的恐惧会明显减少食饵的繁殖，本文研究了一类扩散的捕食者-食饵模型。通过引入成熟时滞作为分支参数，我们发现这使得捕食系统更加复杂，并且通常会导致Hopf和Hopf-Hopf分支。给出了通过计算中心流形上的规范形确定Hopf和Hopf-Hopf分支性质的公式。在Hopf-Hopf歧点附近，通过研究泛开折，给出了详细的分歧集。此外，我们还证明了在三环面上的拟周期轨道的存在性，当进一步改变参数时，会导致一个奇怪的吸引子。通过数值计算发现了Bautin分支的存在性，并模拟了在此Bautin歧点附近稳定的定常解和周期解的共存。
Hopf bifurcation of a delayed single population model with patch structure
本文证明了一类具有斑块结构的时滞单种群模型的Hopf分支的存在性。讨论了扩散率对系统Hopf分支的影响。特别是，如果每个补丁是有利的物种，我们表明，当扩散率趋于零时，Hopf分支值的极限是最小的“本地”Hopf分支值在所有补丁。另一方面，当扩散率趋于无穷大时，Hopf分支值趋于“平均”模型的分支值。
Unfolding a Codimension-Two, Discontinuous, Andronov-Hopf Bifurcation
我们提出了一个展开的余维2的情况下，同时发生的不连续分支和Andronov-Hopf分支的分段光滑，连续系统的自治常微分方程在平面上。我们发现的Hopf循环经历了一个放牧分叉，可能是非常短的轨道的鞍结分叉。我们推导出的标度律的分叉曲线，从余维二分叉。
Turing-Hopf bifurcation and spatio-temporal patterns of a ratio-dependent Holling-Tanner system with diffusion
研究一类具有扩散的比率依赖的Holling-Tanner方程组在Neumann边界条件下的动力学行为.给出了多分支的存在性，包括Turing-Hopf分支、Turing-Truing分支、Hopf-double-Turing分支和triple-Turing分支。其中，Turing-Hopf分岔是用规范形方法进行的。我们从理论上证明了该系统存在多种时空模式，如非定常稳态、空间非齐次周期解或拟周期解等，并给出了数值模拟来说明我们的理论结果.
The Hopf bifurcation with bounded noise
研究了一类带有界噪声的随机微分方程的Hopf-Andronov分支.我们观察到，当一个常微分方程，经历了一个Hopf分支受到有界噪声，然后发生的分歧涉及一个不连续的变化，在最小的前向不变集。
Four-dimensional Zero-Hopf Bifurcation for a Lorenz-Haken System
本文研究了R4中Lorenz-Haken系统从零Hopf分支分支出的周期轨道。所使用的主要工具是平均理论。
Nonresonant Hopf-Hopf bifurcation and a chaotic attractor in neutral functional differential equations
研究了中立型微分方程（NFDE）的非共振Hopf-Hopf奇异性.利用形式伴随理论、中心流形定理和RFDE的传统范式方法，建立了一种计算三阶范式的算法。作为一个例子，研究了具有扩展延迟反馈的Van der Pol方程。应用该算法给出了Hopf-Hopf歧点附近的开折结果。通过理论分歧图和数值例子，得到了周期解、拟周期解。Hopf-Hopf分岔图表明混沌吸引子的可能存在，这是由一系列的模拟证实。
Global Hopf bifurcation for differential-algebraic equations with state dependent delay
利用$S^1$ -等变度，建立了一类时滞依赖于状态的代数方程方程的全局Hopf分歧理论.我们应用全局Hopf分歧理论，对一类具有阈值型状态依赖时滞的基因调控动力学模型，描述了周期振荡的全局连续性.
Unfoldings of singular Hopf bifurcation
具有两个慢变量和一个快变量的一般向量场族中存在奇异Hopf分支。这种分叉的范式依赖于几个参数，范式所显示的动力学是复杂的。本文分析了这种分歧的一个标准形。给出了系统平衡点分岔和接近奇异Hopf分岔的周期轨道的扩展图。此外，参数的确定，有一个不变流形之间的相切是重要的混合模式振荡的出现在系统附近的奇异Hopf分岔。将规范形中的一个参数确定为主分叉参数，给出了主分叉参数变化时出现的分叉序列目录。这些结果被施加到估计的混合模式振荡的化学振荡模型中的发病参数。
An explicit Hopf bifurcation criterion of fractional-order systems with order 1 < α < 2
本文建立了阶数为1 < α < 2的分数阶系统的一个Hopf分岔判据，其中所有条件都用参数显式表示，而不需要求解Hopf分岔条件的相应特征多项式的根。避免了现有方法在多参数情况下由于计算复杂性而失效的问题。可以直接得到多参数的分歧超曲面。
Equivariant Global Hopf Bifurcation in Abstract Nonlinear Parabolic Equations
本文利用扭曲等变度研究抽象抛物型系统中的局部与全局对称 Hopf 分岔问题。
Hopf bifurcation for a delayed diffusive logistic population model in the advective heterogeneous environment
本文研究了一类时滞反应扩散平流方程，它模拟了平流非均匀环境中的种群动力学。得到了系统非常数正平衡态的存在性和相应的Hopf分支。引入了与平流率相关的加权内积来计算规范形，这是时滞反应扩散平流模型的Hopf分支与时滞反应扩散模型的主要区别.此外，我们还发现，在非均匀环境中，空间尺度和平流会影响到Hopf分岔。
Hamiltonian Hopf bifurcations in Gaudin models
该研究证明su(2)有理与三角Gaudin模型存在哈密顿Hopf分岔奇点，推导了六阶分岔范式以判定退化性，用四阶项区分超/亚临界分岔，还通过图示发现模型中存在更多类型的分岔。
Stability and Hopf Bifurcation in the Watt Governor System
本文研究了离心调速器与汽轮机耦合系统的李雅普诺夫稳定性和霍普夫分岔。给出了平衡态在分岔面上的物理参数和分岔周期轨道在最大临界参数下稳定的充分条件。
A Hopf bifurcation in the Kuramoto-Daido model
基于广义谱理论和中心流形约化方法，研究了Kuramoto-Daido模型在一类频率分布下的Hopf分支.推导了四维中心流形上序参数的动力系统。结果表明，随着耦合强度的增加，动力系统发生了一次Hopf分岔，证明了振子的周期两簇态的存在.
Hopf bifurcation of the Michaelis-Menten type ratio-dependent predator-prey model with age structure
本文研究了一类捕食者具有年龄结构且具有Michaelis-Menten型比率依赖功能反应的捕食者-食饵模型。利用积分半群理论和具有非稠密区域的半线性方程的Hopf分歧理论研究了该模型的动力学性质。以生物成熟期$τ$为分支参数，证明了系统存在Hopf分支.通过计算机仿真和参数的灵敏度分析，验证了结论的正确性。
Subcritical Hopf Bifurcations in the FitzHugh-Nagumo Model
结果表明，从刚性旋转螺旋波到曲折螺旋波的转变是通过一个霍普夫分岔。许多研究表明，这些分叉是超临界的，但我们目前的数值研究表明，亚临界分叉内FitzHugh-Nagumo也存在。此外，我们提出了一个证据表明，这种分歧是高度敏感的初始条件，它是可能的，以转换一个解决方案的滞后回线的其他。
A Compendium of Hopf-Like Bifurcations in Piecewise-Smooth Dynamical Systems
这封信概述了20个几何机制，其中极限环是本地创建的二维分段光滑系统的常微分方程。这些包括混合系统、Filippov系统和连续系统的边界平衡分叉，以及由折叠和添加滞后或时滞产生的极限环。的极限环的振幅和周期的标度律进行比较（经典）的霍普夫分岔。
Hopf bifurcation and periodic solutions in a coupled Brusselator model of chemical reactions
本文研究无对称性假设的耦合Brusselator化学反应模型，证明在大扩散速率下系统可发生Hopf分岔并产生周期解，并分析耦合矩阵对分岔值的影响。
Hopf bifurcation in a delayed reaction-diffusion-advection population model
本文研究了一类具有时滞效应的反应-扩散-平流模型。研究了当模型参数在椭圆算子主特征值附近时，空间非齐次正平衡态的稳定性和不稳定性以及相应的Hopf分支.结果表明，时滞可以使反应扩散平流模型的空间非齐次正平衡态不稳定，并且该模型可以通过Hopf分岔而呈现振荡模式.
Normal-normal resonances in a double Hopf bifurcation
研究了n维不变拟周期环面在双Hopf分岔过程中的稳定性损失，其中分岔时两个正常频率处于正常-正常共振。用不变量统一分析规范形近似。相应的动力学形成了原系统动力学的骨架。在这里，正常的双曲性和KAM理论都被使用。
Hopf bifurcation analysis for a mathematical model of P53-MDM2 interaction
在本文中，我们分析了一个简单的数学模型，它描述了蛋白质p53和Mdm 2之间的相互作用。对于定态，我们讨论了系统的局部稳定性和Hopf分支的存在性。选择时滞作为分支参数，研究了分支周期解的方向和稳定性。最后给出了数值算例和结论。
Perturbation of a Nonsmooth Supercritical Hopf Bifurcation
物理模型的非光滑公式很常见，特别是在气候建模中。然而，在许多这些模型中，这种建模选择几乎没有理由，并且没有数学迹象表明非光滑系统中的结果行为与类似光滑系统中出现的行为一致。我探讨这个问题，通过分析一个特定的气候例子中的光滑和非光滑的Hopf分岔之间的关系。证明了在一个极限参数的微小变化下，非光滑分岔对光滑分岔的扰动。
A degenerate Hopf bifurcation in retarded functional differential equations, and applications to endemic bubbles
研究了一类参数化时滞泛函微分方程的退化Hopf分支.具体来说，我们感兴趣的情况下，经典的Hopf分支定理的特征值交叉条件被违反。我们的方法是基于中心流形约化和庞加莱-伯克霍夫规范形式，和奇异性理论分类这种退化的Hopf分支。我们的研究结果，然后应用到最近开发的SIS模型，将延迟的行为反应。我们发现，地方病泡沫的现象，其特征在于由分支的周期性的解决方案，从地方病平衡点分叉的基本再生数R 0的某个值，然后重新连接到地方病平衡点在一个更大的值R 0，起源于一个余维2组织中心的特征值交叉条件的Hopf分支定理被违反。
Hopf and double Hopf bifurcations in a delayed lateral vibration model of footbridges induced by pedestrians
本文研究了基于行人行为的人行桥延迟侧向振动模型的动力学行为，通过分析特征方程根的分布发现仅存在 Hopf 和 double Hopf 分岔，并利用中心流形定理、分岔理论和 KAM 定理证明了周期解和准周期振动的存在性。
Toroidal normal forms for bifurcations in retarded functional differential equations I: Multiple Hopf and transcritical/multiple Hopf interaction
对于有限维分歧问题，计算具有良好对称性的规范形是可能的。通常，这些对称性可以允许规范形式部分解耦为所谓的“径向”部分和“角度”部分。径向部分的分析通常给出大量关于分叉及其展开的有价值的信息。本文研究了时滞泛函微分方程的分支问题，并利用非线性时滞微分方程重新讨论了这类径向方程的可实现性和限制问题.我们的分析使我们能够恢复和相当大的推广最近的结果由法里亚和Magalhaes和Buono和Belair。
Turing-Hopf bifurcation and spatiotemporal patterns in a ratio-dependent diffusive Holling-Tanner system with time delay
研究了具有离散时滞的扩散Holling-Tanner模型的Turing-Hopf型时空斑图。利用特征值分析和先验估计的方法，给出了$τ=0$的一个全局Turing分支定理和$τ>0$的一个局部Turing分支定理.进一步考虑退化情形，得到了Bogdanov-Takens分支和Turing-Hopf分支的存在性.利用规范形方法研究了Turing-Hopf奇点附近的显式动力学，建立了各种自组织时空模式的存在性，如两个非定常稳态（条纹模式）共存和两个空间非均匀周期解（斑点模式）共存.此外，当存在另一条与所研究的Turing分岔曲线相对接近的Turing分岔曲线时，还发现并从理论上解释了Turing-Turing-Hopf型时空斑图，即具有两个空间波数和一个时间频率的亚谐现象.
Global Dynamics of the smallest Chemical Reaction System with Hopf Bifurcation
描述了在\cite{WH1}中发现的具有Hopf分岔的最小化学反应系统解的全局行为。这个三维系统是一个竞争系统，也是一个单调循环反馈系统。Poincaré-Bendixson理论扩展到这样的系统\cite{MS,H0,HS,S}和Bendixson准则存在，以排除周期轨道\cite{LM}。
Spatiotemporal attractors generated by the Turing-Hopf bifurcation in a time-delayed reaction-diffusion system
研究了一般时滞两组分反应扩散方程的Turing-Hopf分支，给出了其规范形的一个简单而显式的计算公式.我们声明我们的公式可以通过Matlab自动化。首先，我们将Faria在2000年给出的规范形方法推广到了Hopf零奇点。然后给出了Turing-Hopf分支的规范形的显式表达式。最后，通过对规范形的进一步分析，得到了原系统在Turing-Hopf奇点附近的可能吸引子，主要包括空间非齐次稳态解、周期解和拟周期解.
Hopf bifurcation and period functions for Wright type delay differential equations
我们提出了最简单的标准，确定的方向的Hopf分支的延迟微分方程$x'(t)=-μf(x(t-1))$，参数$μ$通过临界值$μ_k$。我们给出了可能的分歧序列的完整分类。利用这些信息和Cook变换，我们得到了Hopf分支上分支极限环周期的局部估计和单调性.此外，我们展示了我们的结果与经常需要的非线性具有负Schwarzian导数的属性。
Travelling waves and their bifurcations in the Lorenz-96 model
本文用解析和数值方法研究了单尺度Lorenz-96模型的动力学。研究了正强迫参数$F$的分岔。主要的分析结果是在任何维数$n\geq4$中存在Hopf或Hopf-Hopf分支。利用循环结构的雅可比矩阵，使我们能够减少第一个李雅普诺夫系数的显式公式，从它可以确定时的Hopf分岔是次或超临界。$F>0$的第一个Hopf分支总是超临界的，并且在这个分支处产生的周期轨道具有行波的物理解释。此外，通过展开的余维2的霍普夫-霍普夫分岔，它被证明是作为一个组织中心，解释动力学，如准周期吸引子和多稳定性，这是观察到的原始洛伦兹-96模型。最后，数值研究了第一个Hopf分岔值以外的参数值区域，并利用分岔图和李雅普诺夫指数描述了通向混沌的路径.所观察到的通向混沌的路径是多种多样的，但没有像$n\rightarrow\infty$那样的清晰模式。
Double Hopf bifurcation in delayed reaction-diffusion systems
双Hopf分岔分析可以用来揭示动力系统中某些复杂的动力学行为，如周期轨道、拟周期轨道的存在或共存，甚至混沌。本文利用中心流形约化技术和规范形方法，严格地建立了一类具有Neumann边界条件的时滞反应扩散系统余维2双Hopf分支附近规范形的算法.我们发现在歧点附近的动力学行为被证明是由12个不同的开折系统所控制的。通过两个例子来说明我们的结果：对于一个具有阶段结构的传染病模型，我们发现当扩散率和时滞变化时会出现双Hopf分支，并证明在歧点附近存在两个稳定的空间非齐次周期振荡;在扩散捕食系统中，我们从理论上证明了在双Hopf歧点附近的两个或三个环面上存在拟周期轨道，该轨道在轻微扰动后将崩溃，使系统成为一个奇怪的吸引子。
Effect of leakage delay on Hopf bifurcation in a fractional BAM neural network
最近，泄漏延迟对整数阶神经网络动力学的影响得到了广泛的研究。研究表明，分数阶微积分能更准确地描述神经网络的记忆和遗传特性。研究了一类具有泄漏时滞的六神经元分数双向联想记忆（BAM）神经网络的Hopf分支的存在性。通过选取两个合适的分岔参数并分析相应的特征方程，验证了当分岔参数通过某个临界值时，时滞分数阶神经网络发生Hopf分岔。为了衡量泄漏延迟对系统Hopf分岔的影响程度，引入了散点图和部分秩相关系数（PRCCs）等灵敏度分析方法来评估分岔幅度对泄漏延迟的敏感性。数值算例说明了理论结果，并有助于我们更形象地了解泄漏延迟的影响。
Li-Yorke chaos in nonautonomous Hopf bifurcation patterns - I
利用系统线性部分的Sacker谱和Sell谱分析了一类耗散非自治动力系统的全局吸引子的特征。该模型产生了一种模式的非自治的Hopf分支，可以理解为一个推广的经典的自治。我们特别注意在歧点的动力学，显示在相应的吸引子的Li-Yorke混沌的发生的可能性，因此具有高度的不可预测性。
Zero-Hopf bifurcation in the Van der Pol oscillator with delayed position and velocity feedback
在本文中，我们考虑了传统的范德波尔振荡器与强迫依赖于延迟的反馈。延迟被认为是一个非线性函数的位置和速度，从而引起许多不同类型的分叉。特别是，我们研究了零Hopf分支，发生在某些参数值使用的方法，中心流形约化的DDE和规范形理论。我们提出了数值模拟，已准确预测的相图在零Hopf分岔，以确认我们的数值结果，并提供了一个物理理解的振荡器的延迟反馈。
Spatiotemporal Patterns Induced by Turing-Hopf Interaction and Symmetry on a Disk
针对圆盘上的等变 Turing-Hopf 分岔，本文推导三类规范形，并通过数值模拟揭示呼吸状、驻波状和旋转波状时空模式。
The stability and Hopf bifurcation of the diffusive Nicholson's blowflies model in spatially heterogeneous environment
本文考虑了空间非均匀环境中扩散速率较大的扩散Nicholson苍蝇模型。我们发现，最大人均产蛋率的平均值的死亡率的比率影响模型的动态。如果该比值小于一个临界值，则唯一的正平衡态是局部渐近稳定的。但当该比值大于临界值时，大时滞会通过Hopf分岔使唯一正定态不稳定。特别是当扩散率趋于无穷大时，第一个分支值趋于“平均”DDE模型的分支值。证明了系统的Hopf分支是向前的，并且从第一个分支值开始的分支周期解是轨道渐近稳定的，改进了Wei和Li（Nonlinear.肛门，60：1351-1367，2005）。
Hopf Bifurcation in an Oscillatory-Excitatory Reaction-Diffusion Model with Spatial heterogeneity
我们专注于定性分析的反应扩散空间异质性。该系统是著名的FitzHugh-Nagumo系统的推广，其中的兴奋性参数是空间依赖的。这种异质性允许表现出伴随的平稳和振荡现象。我们证明了霍普夫分支的存在性，并确定了中心流形的一个方程，其中解渐进演化。数值模拟说明了这一现象。
Spatiotemporal patterns near the Turing-Hopf bifurcation in a delay-diffusion mussel-algae model
研究了一类具有时滞的反应扩散贻贝-藻类系统在Neumann边界条件下的时空模式。本文是我们以前对时滞扩散贻贝-藻类模型研究的继续。得到了解的整体存在性和正性。通过分析特征值的分布，讨论了正定常平衡态的稳定性以及Hopf分支和Turing分支的存在性。通过计算中心流形上的规范形，得到了无量纲参数空间中Turing-Hopf歧点附近的动力学分类，并通过数值模拟得到了该参数空间中由空间齐次周期解、空间非齐次稳态解和空间非齐次周期解组成的时空模式.理论和数值结果都表明，Turing-Hopf分岔可以丰富种群空间分布的多样性。
Zero-Hopf bifurcation in a Chua system
零霍普夫平衡是一个孤立的平衡点，其特征值是$\pm ωi\neq 0$和$0$。一般来说，对于这样的平衡，没有理论知道何时从它分叉出一些小振幅的极限环来移动系统的参数。在这里，我们研究的零Hopf分支的平均理论。我们将这一理论应用于依赖于$6$参数的Chua系统，但是研究零Hopf分支的方法可以应用于$3$维或更高维的任何其他微分系统。本文首先证明了存在三个$4$ -参数族的Chua系统具有零-Hopf平衡。然后，利用平均理论，给出了这类零-Hopf平衡点族分支出极限环的充分条件.从其中一类可以证明$1$极限环分支，从另外两类可以证明$1$，$2$或$3$极限环同时分支.
The smallest bimolecular mass-action system with a vertical Andronov-Hopf bifurcation
本文构造并刻画了由四种反应、三个物种构成的最小双分子质量作用系统，证明其可经无限余维退化 Andronov–Hopf 分岔产生中心，并且是唯一此类系统。
The smallest bimolecular mass action reaction networks admitting Andronov-Hopf bifurcation
我们解决的问题，小，双分子，质量作用的化学反应网络（CRN）能够安德罗诺夫-霍普夫分叉（从这里简称为“霍普夫分叉”）。很容易证明，任何这样的网络必须至少有三个物种和至少四个不可逆反应，并且由于Wilhelm，以前已经知道这样一个网络的一个例子正好有三个物种和四个反应。在本文中，我们开发的理论和计算工具，充分分类的三种物质，四个反应，双分子CRNs，根据他们是否承认或禁止Hopf分支。我们证明了在一个自然等价下，有86个极小网络允许非退化Hopf分支。其中，我们能够决定哪些承认超临界和亚临界分岔。事实上，有25个网络，承认超临界和亚临界分岔，我们可以确认，所有25承认一个非退化的Bautin分岔。总共有31个网络可以容纳一个以上的非退化周期轨道。此外，这些网络中有29个承认稳定平衡与稳定周期轨道共存。因此，在这些小的双分子网络中，相当复杂的行为并不罕见。最后，我们可以使用先前开发的理论在CRN的动力学行为的继承来预测发生的Hopf分岔在较大的网络，其中包括网络，我们发现在这里作为子网络在自然的意义上。
Stability and Hopf Bifurcation in an Hexagonal Governor System With a Spring
本文研究了六角离心调速器与蒸汽机耦合系统的李雅普诺夫稳定性和霍普夫分岔。本文给出了系统平衡态和分岔周期轨道稳定的充分条件。这些条件用系统的物理参数来表示，并适用于各种余维2之外的参数。
Zero-Hopf Bifurcation of Qi hyperchaotic Systems
研究四维超混沌Qi系统的零-霍普夫分岔，利用二阶平均理论证明在参数扰动下从原点分岔出最多四个小振幅周期解，并给出初始条件解析表达式。
Fractal analysis of Hopf bifurcation at infinity
利用关于原点的几何反演，将盒维数的定义推广到欧几里得空间的无界子集的情形。另一种等价的定义是在黎曼球面上使用球极平面投影。我们研究了它的基本性质，并将其应用于无穷远处Hopf-Takens分支的研究。
Global Hopf bifurcation in networks with fast feedback cycles
自主持续振荡在生命和非生命系统中普遍存在。作为开放系统，远离热力学平衡，它们无视熵定律，该定律要求收敛到平稳性。我们提出了支持全局Hopf分支的网络环的结构条件，即非平稳时间周期解从平稳解的全局分支。具体来说，我们展示了如何单调反馈周期的线性化在固定的解决方案引起的全局Hopf分支，充分占主导地位的系数沿周期。我们包括四个例子网络，具有这样强的反馈周期的长度为3和更大的：Oregonator化学反应网络，Lotka-Volterra生态种群动力学，柠檬酸周期，和哺乳动物的昼夜基因调控网络。我们的方法中的反应动力学不限于质量作用或Michaelis-Menten类型。
Hopf bifurcation and periodic solutions in a sustainable supply chain defined by a planar system of ordinary differential equations
本研究针对描述可持续供应链产品-资源相互作用的平面无时滞常微分方程组，分析其平衡点稳定性，揭示环境容量超阈值时的超临界Hopf分岔现象，推导临界阈值并经数值模拟验证，得到周期解的相关估计。
Double Hopf bifurcation analysis in the memory-based diffusion system
以记忆扩散系数和记忆时滞为扰动参数，给出了计算记忆扩散系统双Hopf分支规范形的算法.利用所得的理论结果，研究了一类具有Holling Ⅱ型功能反应的捕食-食饵系统在双Hopf歧点附近的动力学分类.通过改变基于记忆的扩散系数和记忆时滞，我们证明了不同类型的稳定空间非齐次周期解的存在性，从一种到另一种的过渡以及具有不同空间分布的两种类型周期解的共存.
Guaranteed estimates for the length of branches of periodic orbits for equivariant Hopf bifurcation
研究了一类微分系统在Hopf歧点上周期轨道的连通分支。在假设非线性项满足球内线性估计的条件下，给出了分支中周期轨道振幅范围的可计算估计。如果估计是全局的，那么分支是无界的。结果是制定在一个等变的设置，系统可以有多个分支的周期轨道特征在于不同的对称性组。非局部分析是基于等变度方法，它允许我们处理通用和退化的Hopf分支。这一点通过实例加以说明。
Hopf bifurcations in fast/slow systems with rate-dependent tipping
我们分析了一个快/慢系统的临界流形的褶皱附近的平衡率相关的小费。在约化的同动系统中，随着速率参数的增加，我们发现了一个Hopf分支。这意味着当系统从准静态平衡状态转变为临界状态时，极限环的增长。而不是以临界速率发散的轨迹，他们继续跟踪准静态平衡的螺旋对应于一个新兴的极限环在霍普夫分岔。我们将同样的分析应用到一个受迫的van der Pol振荡器中，以表明这种现象在一个熟悉的系统中，这个极限环的增长是很好理解的。
Hopf bifurcation in a dynamic IS-LM model with time delay
本文研究了税收延迟对财政政策效果的影响。选择时滞作为分支参数，研究了分支周期解的方向和稳定性。对于时滞，我们证明了系统何时是稳定的。最后给出了一些数值例子来验证理论结果。
Zero-Hopf bifurcation in the general Van der Pol-Duffing equation
研究了一般Van der Pol-Duffing振子方程多周期解与不变环面的共存性。我们使用几个结果相关的平均方法，以分析得到我们的结果。我们还提供了数值例子，我们提供的所有分析结果。
Unfolding a Hopf bifurcation in a linear reaction-diffusion equation with strongly localized impurity existence of breathing pulses
本文针对一类多尺度反应扩散方程，结合匹配原理、奇异摄动、规范型理论和中心流形理论，推导了Hopf分岔附近的弱非线性稳定性，并数值验证了呼吸脉冲的存在性。
Equivariant Hopf Bifurcation in a Class of Partial Functional Differential Equations on a Circular Domain
本文研究圆域上具有Neumann边界条件的偏泛函微分方程的等变Hopf分支，通过等变规范型分析平衡点附近的分支性质，并用两个带离散时滞的反应扩散系统数值验证，发现了驻波、旋转波和空间齐次周期解。
Hopf Bifurcation for an SIS model with age structure
研究了一个SIS模型，在该模型中，假定感染个体具有一个感染年龄结构。该模型被制定为一个抽象的非稠密定义的柯西问题。利用积分半群理论、Hopf分歧理论和非稠密区域半线性方程的规范形理论研究了该模型的动力学性质。定性分析表明，存在一些参数值使得该SIS模型存在一个从正平衡点分叉出来的非平凡周期解。此外，给出了确定Hopf分支方向和分支周期解稳定性的显式公式。数值模拟也进行了支持我们的理论结果。
Symbolic computation of Lyapunov coefficients in a planar Bautin bifurcation
在研究动力系统的周期轨道时，经常需要计算李雅普诺夫系数。本文通过复变数变换计算了这一系数，得到了平面Bautin分叉的复规范形。通过算例验证了算法的一致性。
Zero-Hopf bifurcation in a 3-D jerk system
我们考虑由加加速度方程$\dddot{x} = -a \ddot{x} + x \dot{x}^2 -x^3 -b x + c \dot{x}$定义的三维系统，其中$a, b, c\in \mathbb{R}$。当$a=b=0$和$c < 0$时，定域在原点的平衡点是零Hopf平衡点.我们分析了当参数二次扰动时，系统在这一点上出现的零Hopf分岔，证明了当扰动参数为$0$时，系统会出现一个、两个或三个周期轨道.
Hopf Bifurcation in Asymmetric Ring Networks: Constraints on Phase Shifts
该研究针对完全非均匀最近邻耦合的一维单向环ODE网络，推导了仅由拓扑决定的Hopf分岔相移约束，从三节点推广到任意节点数，并证明仅扰动耦合项时经典Hopf分岔的非退化条件对环网络通有成立。
Pseudospectral approximation of Hopf bifurcation for delay differential equations
伪谱近似将延迟微分方程（DDE）简化为常微分方程（ODE）。接下来可以使用ODE工具来执行数值分叉分析。通过一个例子，我们表明，这产生了一个有效的和可靠的方法来定性和定量分析某些DDE。为了证实该方法，我们接下来表明，近似常微分方程的结构是让人想起沿着DDE的解决方案的翻译生成器的结构。集中在霍普夫分歧，我们然后利用这种相似性，揭示DDE和ODE分歧系数之间的联系，并证明后者收敛到前者时，尺寸接近无穷大。
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