Topology of plane algebraic curves: the algebraic approach
Alex Degtyarev
本文讨论了直纹曲面中平面六次曲线和三角曲线的分类和拓扑问题。
We discuss the principle tools and results and state a few open problems concerning the classification and topology of plane sextics and trigonal curves in ruled surfaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the topology of semi-algebraic functions on closed semi-algebraic sets
考虑定义在闭半代数集X上的半代数函数。我们给出了X的拓扑与函数的临界点的指数和函数在无穷远处的拓扑行为的关系式。当X是R^n且函数是线性的时，我们给出了应用。
Algebraically constructible functions: real algebra and topology
代数可构造函数将实代数与代数集的拓扑联系起来。在这个调查中，我们提出了一些历史，定义，性质和代数可构造函数的代数特征，并描述了局部障碍的拓扑空间同胚到一个真正的代数集。
Algebraic structures on the topology of moduli spaces of curves and maps
我们讨论选定的题目上的拓扑结构的模空间的曲线和地图，强调它们的关系与格罗莫夫-威滕理论和可积系统。
Topology of Singularities on Algebraic Loop Spaces
研究了由\emph{algebraic formal loops}空间产生的简单无穷维奇点的拓扑。我们证明，在一些简单的情况下，附近的循环上同调的闭路空间上的函数的自然模拟消失，并进一步表明，上述上同调的适当重整化版本产生一个简单的（非零）的结果。
Perverse sheaves and the topology of algebraic varieties (2015 PCMI)
另一个介绍反常层与一些练习。2015年PCMI五个讲座的扩展版本。
Topology of nonarchimedean analytic spaces and relations to complex algebraic geometry
本说明调查的基本拓扑性质nonarchimedean解析空间，在这个意义上的Berkovich，包括最近驯服的结果Hrushovski和Loeser。我们还讨论了非阿基米德解析空间的拓扑与经典代数几何之间的相互作用。
Algebraic characterizations of homeomorphisms between algebraic varieties
我们解决的问题，找到代数属性，分别是等价的，代数簇之间的态射超过一个代数闭域的特征零，是一个同胚的Zagliki拓扑和一个强拓扑，我们介绍。我们的答案涉及到代数簇之间的态射的正态化和饱和度的研究，以及在代数簇的闭点上的连续有理函数的解释。连续性指的是强拓扑，这是通常的欧氏拓扑在复杂的情况下，而它来自于理论的实封闭的域。
Some remarks about the Zariski topology of the Cremona group
对于一个代数簇$X$，我们研究了从一个代数簇到$X$的双有理映射群$\bir(X)$的代数态射的行为，并作为应用，得到了关于$\bir(X)$的所谓的Zerki拓扑与这个群的代数结构之间关系的一些见解，其中$X$是一个有理簇.
Topology of Injective Endomorphisms of Real Algebraic Sets
本文仅利用实代数集和正则态射的基本拓扑性质，证明了实代数集的任何单射正则自映射都是满射的。然后，我们证明了实代数集的芽之间的单射态射定义了这些芽的等价类上的偏序，这些等价类被连续半代数同胚划分。利用这一观察，我们推出了实代数集的任何单射正则自映射都是同胚。我们还显示了类似的本地属性。我们的结果可以推广到弧对称半代数集和内射连续弧对称态射，也可以推广到Euler半代数集和内射连续半代数态射.
Topology of algebraic varieties
设Y是光滑射影代数簇X（定义在${\mathbb C}$上）中的正规交叉因子，U是Y在X中的管状邻域.我们构造了生成$H_*(A,B)$的同调环，其中（A，B）是下列对之一：$(Y,\emptyset)$，（X，Y），（X，X-Y），$(X-Y,\emptyset)$和$(\partial U,\emptyset)$ .该构造与Deligne混合Hodge结构的$H_*(A,B,{\mathbb Q})$中的权相容。
Effective local differential topology of algebraic varieties over local fields of positive characteristics
本文研究了代数簇上局部域的微分拓扑性质，证明了隐函数定理的类比结果，并分析了光滑测度在子浸入下的行为。
Topology of maximally writhed real algebraic knots
针对 $RP^3$ 中 Viro 刚性同痕不变量取最大值的 $d$ 次实代数纽结，本文证明它们拓扑同痕并确定其具体纽结类型。
Topology of singular algebraic varieties
我将讨论许多人在将自然拓扑不变量从流形扩展到奇异空间的计划中的最新进展。交叉同调论和混合霍奇理论是这种不变量的典型例子。在过去的20年里，出现了一系列新的不变量，部分是受到弦理论的启发，比如motivic积分和奇异簇的椭圆亏格。这些理论没有以拓扑的方式定义，但它们的拓扑意义有一些有趣的暗示。
Bounds for polynomials on algebraic numbers and application to curve topology
令$P \in \mathbb{Z} [X, Y]$是具有小于$τ$的整数系数的全次数$d$的给定无平方多项式，并且令$V_{\mathbb{R}} (P) := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, P (x,y) = 0 \}$是隐式地定义为$P$的消失集的实平面代数曲线。我们给出了一个确定性的和认证的算法来计算$V_{\mathbb{R}} (P)$的拓扑结构的直线平面图$\mathcal{G}$是同位素的$V_{\mathbb{R}} (P)$。我们的分析产生上界$\tilde O (d^5 τ+ d^6)$的位复杂度，我们的算法，这符合当前记录的平面代数曲线的拓扑计算问题的界限。然而，与现有的算法相比，具有相当的复杂度，我们的方法不考虑任何坐标的变化，和返回的图$\mathcal{G}$产生的圆柱代数分解信息的曲线。我们的结果是基于两个主要成分：首先，我们推导出摊销的定量界限的根多项式的代数系数以及自适应方法计算的根，实际上利用这种摊销的多项式。我们的第二个成分是一种新的方法，用于计算所有临界点附近的曲线的局部拓扑。
On the topology of algebraic surfaces and reduction modulo p
我们观察到单连通光滑射影曲面的定向同胚类型是由它的代数结构模一个好约化的奇素数决定的。
Topology of real algebraic sets of dimension 4: necessary conditions
代数可构造函数环上的算子被用来计算四维半代数集与实代数集同胚的局部障碍。链接算子和算术算子产生$2^{43}-43$独立的示性数mod 2，推广了三维的Akbulut-King数。
The Topology of Meromorphic Loop Spaces of Smooth Curves
研究了平滑曲线的代数闭路空间的复点的拓扑。
Topology of a complex double plane branching along a real line arrangement
本文研究了沿节点实线排列分支的复仿射平面双重覆盖的拓扑，利用排列的实结构定义了拓扑2-闭链并计算了其相交数。
Algebraic Topology of Calabi-Yau Threefolds in Toric Varieties
我们计算了Gorenstein环面Fano簇中Calabi-Yau三重超曲面和完全交的上同调的积分同调（包括挠）、拓扑K理论和Hodge结构.这些方法是纯拓扑的。
Complex monodromy and the topology of real algebraic sets
利用复单值性与复共轭性的关系，研究了实解析映射的实Milnor纤维的Euler特征线。我们推出Coste和Kurdyka的结果，即实代数集的不可约代数子集的环的Euler特征是模4的一般常数。我们将这一结果推广到代数子集的有序族的迭代链。
The Simplicial EHP Sequence in A1-Algebraic Topology
我们给出了一个理解A1-代数拓扑中单纯解悬的工具：我们证明了$X \to Ω(S^1 \wedge X)\to Ω(S^1 \wedge X \wedge X)$是一个纤维序列，直到2-局部A1-代数拓扑中的同伦，其中$X = (S^1)^m \wedge G_m^{\wedge q}$具有$m>1$ .因此，存在EHP序列谱序列$$Z_{(2)} \otimes π_{n+1+i}^{A1} (S^{2n+2m+1} \wedge (G_m)^{\wedge 2q}) \Rightarrow Z_{(2)} \otimes π_{i}^{A1, s} (S^{m} \wedge (G_m)^{\wedge q}).$$
Expected topology of random real algebraic submanifolds
设X是一个n维光滑复射影流形，它具有一个充量线丛L和一个秩为k的全纯向量丛E.我们假设0< k <=n，X，E和L定义在实数上，用RX表示X的实轨迹。然后，我们估计从上到下的期望贝蒂数的消失轨迹在RX中的全纯实截面张量为L^d，其中d是一个足够大的整数。此外，给定R^n中任意具有平凡法丛的闭连通余维k子流形S，证明了E中具有L^d张量的实截面在其消失轨迹中有与d无关的正概率包含d^n个与S同构的连通分支的平方根.
Connected numbers and the embedded topology of plane curves
平面不可约曲线在Galois覆盖上的分裂数是区分平面曲线嵌入拓扑的有效方法。本文定义了分支因子与平面曲线没有公共分支的Galois覆盖的任何平面曲线的一个连通数，它类似于分裂数。本文利用连通数对Artal次$b\geq 4$的嵌入拓扑进行了分类，其中Artal次$b$是由一条光滑的$b$曲线和三条全拐切线组成的平面曲线.
From Sheaf Cohomology to the Algebraic de Rham Theorem
设X是一个光滑复代数簇，其拓扑结构为Zebriki拓扑，Y是复拓扑结构的复复流形. Grothendieck的代数de Rham定理断言Y的复系数奇异上同调可以从X上的代数微分形式层的复值计算。本文给出了一个初等证明格罗滕迪克的代数德拉姆定理，初等的意义上，我们只使用工具，从标准的教科书以及塞尔的FAC和GAGA文件。
A note on the topology of arrangements for a smooth plane quartic and its bitangent lines
本文给出了光滑四次线及其四个二重切线的排列的一个Zebraki三元组。一个关键的标准，以区分这种曲线的拓扑结构是由一个矩阵有关的高度配对的有理点所产生的三个双切线。
Applications of singularity theory in applied algebraic geometry and algebraic statistics
本文综述了拓扑学与奇点理论在研究应用代数几何和代数统计中具体优化问题的代数复杂度方面的近期应用。
On the Zariski topology of $Ω$-groups
从给定的$Ω$-群中得到的$Ω$-群的一些几何性质可以用整环和方程整环的概念来刻画。一个簇$Θ$的$Ω$ -群$H$是$Θ$中的一个方程整环，如果$H$上的代数簇的并是一个代数簇。本文给出了$Θ$中的$Ω$ -群$H$是该簇中的方程整环的充要条件.
A Compactness Criterion for Real Plane Algebraic Curves
利用定义多项式的牛顿多边形，给出实平面代数曲线紧的两组条件，一个充分条件，一个必要条件。
A Known M-Curve of Degree 8 in OSCAR
本文展示如何利用OSCAR计算机代数系统生成拓扑正确或视觉美观的实平面代数曲线图示。
Lipschitz geometry of complex plane algebraic curves
本文给出了复平面代数曲线的一个完整分类，它具有诱导的欧几里德，直到全局bilipschitz同胚。
Topology of Kempf-Ness sets for algebraic torus actions
在仿射簇上的代数群作用理论中，Kempf-Ness集的概念被用来用关于极大紧子群的商来代替范畴商。通过利用最近的成就“环面拓扑”，我们表明，一个适当的概念Kempf-Ness集存在一类代数环面行动拟仿射簇（坐标子空间安排补充）所产生的Batyrev-Cox“几何不变理论”的方法，环面品种。我们继续研究这些“环面”Kempf-Ness集的上同调。在射影非奇异环面簇的情况下，Kempf-Ness集可以描述为复空间中实二次曲面的完全交。
On the density of foliations without algebraic solutions on weighted projective planes
证明了当次数足够大时，加权射影平面上的一般全纯叶理没有代数解。我们还证明了一个类似的结果上Hirzebruch面的叶理。
Global topology of the Hitchin system
本文综述了Hitchin系统全空间上同调的几个结果和定理：复代数曲线C上半稳定秩n次d Higgs丛的模空间.出现的图像是一个动态的混合物的想法起源于理论物理学，如规范理论和镜像对称，韦尔几何算术代数几何，表示论的有限群的李型和朗兰兹对偶数论。
On the topology of real algebraic stacks
本文发展多种方法研究实Deligne-Mumford栈实轨迹的拓扑，并验证了若干情形下Smith-Thom型不等式，结合了群论、代数几何与拓扑学技术。
On the topology of hypocycloids
代数几何与物理学有许多联系：弦理论、枚举几何和镜像对称等等。特别是，在代数簇的拓扑研究中，物理学家专注于涉及对称性和非交换性的方面。在这篇文章中，我们研究了一类经典的代数曲线，内摆线，它通过分歧理论与物理学有联系。拓扑结构的一些这些曲线发挥了重要作用，弦理论，也出现在Zebraki的基础。我们计算的基本群的一些这些曲线，并表明，他们实际上是Artin群。
The Decomposition Theorem and the topology of algebraic maps
我们给出了一个有动机的介绍反常层的理论，最终在分解定理的贝林森，伯恩斯坦，德利涅和加伯。本调查的一个目标是显示理论如何自然地从用于研究代数簇的拓扑性质的经典结构发展。虽然省略了大多数证明，但我们讨论了分解定理的几种方法，指出了一些重要的应用和例子。
Weil-Poincaré series and topology of collections of valuations on rational double points
早些时候它被描述到何种程度的亚历山大多项式在几个变量的代数链接在庞加莱领域确定的拓扑结构的链接。结果表明，除了一些明确描述的情况下，亚历山大多项式的代数链接确定的组合类型的曲线的最小分辨率，因此相应的链接的拓扑结构。庞加莱球面中代数链的亚历山大多项式与相应曲线赋值集的庞加莱级数一致。后者可以定义为在$E_8$ -奇点上的因子空间上的积分。在这里，我们考虑一个类似的积分有理二重点曲面奇点在空间上的Weil因子称为Weil-Poincaré系列。我们表明，除了少数明确描述的情况下，魏尔庞加莱系列的一个集合的曲线估值的理性二重点表面奇点决定了相应的链接的拓扑结构。我们给类似的声明的集合的divisorial估值。
On the topology of moduli spaces of real algebraic curves
我们证明了与所有类型的实代数曲线相关的映射类群都是虚对偶群。我们还得到了实代数曲线模空间的轨道同伦群的一些结果。我们实现这些结果通过定义一个新的复杂的不一定可定向曲面的边界称为$\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}$ -复杂。该复合体编码了基本简单弧、边界分量和基本简单闭曲线的合痕类的相交模式。我们表明，这个复杂的同伦等价于一个无限的楔形球，它的尺寸是依赖于表面的拓扑型。
An algebraic proof of K-semistability of the projective plane
给出了射影平面的K-半稳定性的代数几何证明。
Hilbert function, generalized Poincaré series and topology of plane valuations
对于多指标滤子（比如说，在复解析簇的芽上的函数芽的环上），人们会联想到几个不变量：希尔伯特函数、庞加莱级数、广义庞加莱级数和广义半群庞加莱级数。希尔伯特函数和广义庞加莱级数是等价的，因为它们中的每一个都决定了另一个。证明了对于由平面赋值集定义的二元全纯函数芽环上的滤子，它们都等价于广义半群Poincaré级数，并确定了赋值集的拓扑，即其最小分解的拓扑.
Tempered subanalytic topology on algebraic varieties
在$\mathbb{C}$上的光滑代数簇上，建立了调和子解析和Stein调和子解析格.我们构造了在这些站点上的无穷远调和的全纯函数层，并研究了它们与正则函数的正则函数层的关系，特别证明了这些层在Zebriki开子集上是同构的。我们表明，这些数据允许定义的函子的回火和斯坦回火analytifications。我们研究了这两个函子与通常的解析函子之间的关系。我们还得到了非适当情形下的代数化结果和平坦性结果。
Asymptotic Behavior of an Implicit Algebraic Plane Curve
在本文中，我们介绍了无限分支以及逼近曲线的概念。我们提出了一些属性，使我们能够获得一个算法，比较两个隐式定义的代数平面曲线在无穷远的行为。作为一个重要结果，我们证明了如果两条平面代数曲线具有相同的渐近行为，则它们之间的Hausdorff距离是有限的。
A birational embedding of an algebraic curve into a projective plane with two Galois points
给出了代数曲线在具有两个Galois点的射影平面上的双有理嵌入存在的一个判据。作为一个应用，描述了具有两个内伽罗瓦点的平面曲线的几个新例子。
The matroid structure of vectors of the Mordell-Weil lattice and the topology of plane quartics and bitangent lines
本文将拟阵术语引入到与有理椭圆曲面相关的Zariski对的研究中，旨在简化所涉及的表达和论点。作为一个应用，我们提供了新的例子，Zki $N$ -PLE的程度相对较低。也就是说，我们证明了存在一个18度的Zagliki 102-ple。
Algebraic subgroups of the plane Cremona group over a perfect field
该研究针对完美域上平面Cremona群的代数子群问题，证明了其任意无限代数子群都含于某个极大代数子群，并通过双有理映射共轭关系完成了极大群及有理点子群的分类。
Enumerative geometry meets statistics, combinatorics and topology
我们解释了几个先验无关的数学领域之间的联系：组合数学，代数统计，拓扑学和枚举代数几何。我们的重点是离散不变量，密切相关的洛伦兹多项式的理论。加入上述领域的主要概念是矩阵的线性空间。
A criterion for the existence of a plane model with two inner Galois points for algebraic curves
给出了代数曲线的具有两个非光滑Galois点的平面模型存在性的一个判别准则，它是对关于两个光滑Galois点的Shakasawa判别准则的推广.由于这个广义准则，在伽罗瓦点的重数和顺序序列可以详细描述。
Algebraic cycles and topology of real Enriques surfaces
本文研究实Enriques曲面的拓扑性质，证明了同调类可由实代数曲线表示的充要条件，并刻画了Galois-Maximal与Z-Galois-Maximal曲面及Brauer群。
On discrete Zariski-dense subgroups of algebraic groups
我们调查的线性代数群（在复数或任何局部领域）存在子群是密集的Zerkiki拓扑，但离散的Hausdorff拓扑。例如，每个不可解的复群都存在这样的子群。
Topology, Hyperbolicity, and the Shafarevich Conjecture for Complex Algebraic Varieties
本文探讨复代数簇的双曲性、拓扑结构及沙法列夫猜想等核心问题，通过非阿贝尔霍奇理论和基本群表示等方法，揭示这些领域间的深刻联系与最新进展。
Algorithmic Semi-algebraic Geometry and Topology -- Recent Progress and Open Problems
我们给一个调查的算法计算拓扑不变量的半代数集，特别强调在设计算法计算的贝蒂数的半代数集的最新发展。除了描述这些结果，我们简要地讨论了背景，以及这些问题的重要性，也描述了算法的半代数几何的主要工具，以及代数拓扑，使这些进步成为可能。最后，我们列出一系列悬而未决的问题。
Viro theorem and topology of real and complex combinatorial hypersurfaces
在复射影空间中引入了一类组合超曲面。它们是$\C P^n$中余维为2的子流形，并且是$(\C^*)^n$中代数超曲面的拓扑“胶合”。我们的建设可以被看作是一个版本的维罗胶合定理，有关拓扑的代数超曲面的组合学的细分凸格多面体。如果一个细分是凸的，那么根据维罗定理，一个组合超曲面是一个代数超曲面的同位素。研究了由凸多胞体的非凸剖分得到的组合超曲面，证明了它们几乎是复簇，并且在实际情况下，它们满足相同的拓扑限制（同余、不等式等）.实代数超曲面
Topology of real algebraic curves near the non-singular tropical limit
在20世纪90年代，Itenberg和Haas研究了Viro拼接中的组合数据与所得到的射影平面中的非奇异实代数曲线的拓扑之间的关系。利用最近的结果Renaudineau和肖真正的代数曲线附近的非奇异热带极限，我们继续研究Itenberg和哈斯内的任何非奇异的投影复曲面。利用非奇异热带曲线上的扭边，给出了具有给定连通分支数的非奇异实代数曲线拼接的新Haas准则.得到了非奇异实代数曲线的实部为椭圆的拼接的几个充分条件。这些充分条件之一并不依赖于环境复曲面。在这种情况下，我们根据对偶剖分计算了这些曲线的奇偶椭圆的个数，并构造了Ragsdale猜想的一些新反例。
Galois covers of graphs and embedded topology of plane curves
分裂数是判别平面曲线嵌入拓扑的有效方法，它不取决于平面曲线补曲线的基本群。本文给出了分裂数的一个推广，称之为分裂图。利用分裂图的方法，对由一条平滑曲线和三条不共点直线组成的平面曲线的嵌入拓扑进行了分类，称之为Artal排列。
The Markov-Zariski topology of an abelian group
根据马尔可夫，一个阿贝尔群G的一个子集，其形式为{x in G：nx=a}，对于某个整数n和G的某个元素a，是一个初等代数集;初等代数集的有限并称为代数集。证明了阿贝尔群G的一个子集是代数的当且仅当它在G上的每一个准紧（=全有界）Hausdorff群拓扑中是闭的.阿贝尔群G的所有代数子集的族形成G上唯一的Noether T_1拓扑的闭子集的族，称为G的Zebraki拓扑或动词拓扑。我们研究这个拓扑的性质。特别地，我们证明了Zagliki拓扑总是遗传可分的和Frechet-Urysohn。对于基数至多为连续统的阿贝尔群G的可数子集族F，我们构造了G上的一个预紧度量群拓扑T，使得F的每个成员的T-闭包与它的Zapriki闭包重合.作为一个应用，我们提供了一个特征的子集G是稠密的一些Hausdorff群拓扑G，我们表明，这样的拓扑结构，如果它存在，总是可以选择，使它是预紧和度量。这为长期存在的马尔可夫问题提供了部分答案。
Affine Grassmannians in A^1-algebraic topology
设k是一个域。用Spc（k）_* 表示不稳定的、指向的动机同伦范畴，用Omega_Gm：Spc（k）_* \to Spc（k）_* 表示Gm-循环函子。对于k-群G，用Gr_G表示G的仿射格拉斯曼数。若G是迷向约化的，则我们给出了一个典范模等价Omega_Gm G = Gr_G.如果k是完美的，我们使用它来计算DM（k，Z）中的动机M（Omega_Gm G）。
Stein Domains in Banach Algebraic Geometry
本文给出了任意值基域上Stein空间拓扑的同调刻画。特别是，当工作领域的复数，我们得到一个表征通常的欧几里得（超越）拓扑结构的复杂解析空间。对于非阿基米德基域的拓扑结构，我们的特点与拓扑结构的Berkovich解析空间相关联的非阿基米德Stein代数。由于我们使用的特征是从推导几何的定义中借用的，因此这项工作应该被视为对推导解析几何基础的贡献。
On the topology of the complements of reducible plane curves via Galois covers
设${\mathcal {B}}$是可约的约化平面曲线。引入了一种新的观点，通过Galois覆盖和Alexander多项式来研究$(\PP^2, {\mathcal {B}})$的拓扑.我们证明了它的有效性，通过例子Zagliki $N$ -plets圆锥和圆锥四次配置。
Topology of complex plane curves: braid monodromy, local and global problems
研究复平面代数曲线的嵌入拓扑，探讨其历史发展中的局部和全局问题，结合辫群理论分析曲线结构。
Real deformations and complex topology of plane curve singularities
这是发表的论文。从任意具有三角形交点的实变形出发，导出了具有实分支的复平面曲线奇点的拓扑。最后给出了一个多项式映射的全局几何单值性的计算实例。
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