Optimal strong stationary times for random walks on the chambers of a hyperplane arrangement
本文研究了实超平面排列的腔室上的马尔可夫链，该模型推广了著名的例子，如Tsetlin图书馆和riffle shuffles。讨论了Tsetlin库在一般权下的截断问题，并给出了超平面排列行走的分离距离的精确公式.我们引入下界，这使得第一次研究切断超平面安排行走在一定条件下。利用类似的技巧，我们还证明了单调系统上Glauber动力学混合时间的一致下界。
2017-07-01 math.CO math.PR
Incidence Geometry in a Weyl Chamber II: $SL_n$
我们研究了对偶基本Weyl腔中与$sl_n$的第一和第二基本表示权正交的超平面的多面体几何。我们得到生成函数，枚举单位和一个固定的尺寸的面。此外，我们描述了极端光线的入射几何和分类单纯的脸。从五维时空中具有8个超荷的超对称规范理论的角度来看，平坦偏序集同构于混合库仑-希格斯分支网络。另一方面，证明了面的偏序集同构于椭圆纤维化规范代数为$sl_n$，“物质表示”为前两个基本表示之和的可裂部分分解网络.
2016-01-22 hep-th math.CO math.RT
Convex hulls of random walks, hyperplane arrangements, and Weyl chambers
我们给出了一个明确的公式的概率，凸壳的$n$步随机游走在$R^d$不包含原点，假设下，分布的增量的步行是中心对称的，并把没有质量仿射超平面。这扩展了Sparre Andersen（1949）的公式，即一维随机游走保持正值的概率。我们的结果是分布自由的，即概率不依赖于增量的分布。证明了该概率问题等价于两个几何问题之一：1）求$B_n$型Weyl腔的个数，该个数由余维$d$的$R^n$的一般线性子空间表示; 2）求$B_n$型Weyl腔的圆锥曲线固有体积.我们用超平面排列理论解决了第一个几何问题。我们方法的一个副产品是Klivans和Swartz（2011）将线性超平面布置的特征多项式的系数与构成其补充的腔室的圆锥固有体积相关联的通式的新的简单证明。我们得到类似的分布免费的结果为Weyl室的类型$A_{n-1}$（产生的概率吸收的起源的凸包的一个通用的随机游动桥），类型$D_n$，和直接产品的Weyl室（产生的吸收概率的联合凸包的几个随机游动或桥梁）。形式为$B_1\times \dots \times B_1$的乘积的最简单的情况恢复了Wendel公式（1962），该公式表示i.i.d.从中心对称分布中选择的多维样本不包含原点。我们还给出了一个渐近分析所获得的吸收概率为$n \to \infty$，在这两种情况下的固定和增加的尺寸$d$。
2017-05-30 math.CO math.MG math.PR
Random Walk in an Alcove of an Affine Weyl Group, and Non-Colliding Random Walks on an Interval
我们使用Gessel和Zeilberger引入的反射参数来计算外尔群的一个腔室中两点之间的k步行走数。我们将这种方法应用于经典仿射外尔群的凹室中的行走。在所有情况下，我们得到了k步行走次数的行列式公式。一个重要的例子是区域m>x_1>x_2>.> x_n>0，它是仿射外尔群C_n的一个重标凹室.如果每个坐标被认为是一个独立的粒子，这模型的n个非碰撞随机游动的间隔（0，m）。另一种情况是在圆上模拟n个非碰撞的随机游动。
2001-06-04 math.CO math.PR
Asymptotics of Weighted Reflectable Walks in $A_2$
本文利用多变量解析组合学方法，研究了 $A_2$ 型 Weyl 室内中心加权格点游走的渐近行为，发现了依赖权重的普适类，并识别了一种未被现有理论覆盖的奇点类型，给出了其渐近性的猜想。
2024-05-22 math.CO
Conical tessellations associated with Weyl chambers
我们考虑$d$维随机向量$Y_1,\dots,Y_n$满足一个温和的一般位置假设a.s.超平面\begin{align*} (Y_i-Y_j)^\perp\;\; (1\le i<j\le n). \end{align*}生成欧几里得$d$空间的圆锥形镶嵌，其与$A_{n-1}$类型的Weyl腔室密切相关。我们确定了这个镶嵌中的圆锥体的数量，并表明它是a.s.常数对于一个随机锥均匀随机选择从这个随机镶嵌，我们计算的期望一般一系列的几何泛函。这些包括面数，以及圆锥曲线的固有体积和圆锥曲线的quermassintegrals。在$Y_1,\ldots,Y_n$上交换的附加假设下，对于具有与$Y_1-Y_2,\ldots, Y_{n-1}-Y_n$的正壳相同分布的对偶随机锥也进行同样的处理，条件是该正壳不等于$\mathbb R^d$。所有这些期望都是免费的。类似地，我们考虑由超平面\begin{align*} (Y_i+Y_j)^\perp\;\; (1 \le i<j\le n),\quad (Y_i-Y_j)^\perp\;\; (1\le i<j\le n),\quad Y_i^\perp\;\; (1\le i\le n) \end{align*}引起的圆锥镶嵌。这种镶嵌与$B_n$型的Weyl腔密切相关。我们计算这个镶嵌中的圆锥体的数量和从这个随机镶嵌中绘制的随机圆锥体的各种…
2021-06-22 math.CO math.MG math.PR
The asymptotics of reflectable weighted walks in arbitrary dimension
Gessel和Zeilberger将反射原理推广到处理仅限于Weyl chambers的行走，在允许的步骤上有一些限制。对于那些在外尔群作用下不变的模型，它们将具有固定起点和终点的行走的计数函数表示为有理函数的Taylor级数展开中的常数项。在这里，我们专注于最简单的情况下，外尔群$A_1^d$，这对应于行走在第一orthant $\mathbb{N}^d$采取步骤从一个子集的$\{\pm1, 0\}^d$这是不变的反射下跨越任何轴。原则新颖性在这里是纳入的重量的步骤和主要结果是一个非常普遍的定理给出渐近枚举公式的散步结束的任何地方的orthant。这些公式是由多变量有理函数的奇异性分析确定的，这种方法已经成功地应用于许多相关的情况。
2019-09-17 math.CO
Normality and quadraticity for special ample line bundles on toric varieties arising from root systems
证明了由根系产生的复曲面簇上的特殊充裕线丛是射影正规的。在这里，扇形的最大锥对应于外尔腔室，并且特殊意味着丛是环面等变的，使得对应于最大外尔腔室的线丛的特征相对于该腔室是主导的。证明了相应的半群环是二次环。
2011-02-20 math.AG math.CO math.RT
The $E_6$ Restricted Hyperplane Arrangement and its $E_7$ Shadow: Weyl Transport on a Minuscule Bruhat Poset
Hamilton College（汉密尔顿学院）；Northeastern University（东北大学）
本研究通过 $E_7$ 的微小子表示输运，刻画了 $E_6$ 的 $27$ 维权诱导的限制超平面排列，确定了其腔室、极射线及完整壁架构，并揭示了表示论与三次曲面几何的深层联系。
2026-09-11 hep-th math.AG math.CO
Limiting directions for random walks in classical affine Weyl groups
设$W$是有限Weyl群，$\widetilde W$是相应的仿射Weyl群. $\widetilde W$的随机元素可以作为$\widetilde W$的凹室上的约化的随机游走而获得。根据Lam的一个定理（Ann.Prob.2015），这样的行走几乎肯定接近$|W|$许多方向中的一个。当$W$是$B_n$、$C_n$和$D_n$并且随机游走由Kac和对偶Kac标签加权时，我们计算这些方向。这解决了Lam关于$B$和$C$类型的肯定问题和关于$D$类型的否定问题。主要工具是一个组合的两行模型的一个完全不对称的简单的排斥过程称为$D^*$ -TASEP，四个参数。通过以不同的方式专门化参数，我们获得了上面提到的每个外尔群的TASEP。计算这些TASEP中的某些相关性给出了所需的限制方向。
2021-12-08 math-ph math.CO math.GR
Asymptotics for random walks in alcoves of affine Weyl groups
本文导出了仿射外尔群（它是由超平面包围的$n$维欧几里得空间中的某些区域）凹室中随机游动数目的渐近结果，从而解决了Grabiner [J. Combin.理论系列A 97（2002），285-306]。这些结果包括渐近表达式的恶性步行者的数量在一个循环，以及恶性步行者的数量在一个时间间隔。的证据离开的确切结果Grabiner [loc。cit.]，并且需要与来自对称函数理论和鞍点方法等的结果一样不同的手段。
2008-01-11 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
On components of the tensor square of a Weyl module
本文针对特定类型的单 Lie 代数，刻画了支配整权集合，证明了权的组合性质与 Weyl 模张量平方包含关系的等价性。
2024-01-04 math.CO math.RT
The freeness of Shi-Catalan arrangements
设$W$为有限外尔群，$\A$为相应的Weyl排列. $\A$的变形是通过将$H$的几个平行移动通过垂直于$H$的正根（及其整数倍）添加到每个超平面$H\in\A$而获得的仿射布置。如果每个超平面$H\in \A$的平行超平面的数目仅取决于$H$的$W$ -轨道，则我们说变形是$W$ -等变的.证明了$W$ -等变变形的锥环在Shi-Catalan条件下是自由排列的，并给出了腔室个数的计算公式.这推广了Edelman-Reiner的Yoshinaga定理。
2010-12-29 math.CO
Alcove walks, buildings, symmetric functions and representations
对于复单李代数，最高权$λ$的有限维表示的$μ$权空间的维数$K_{λμ}$与$λ$型和权$μ$的Littelmann路的数目相同。本文给出了$λ$型路的显式构造，当$K_{λμ}\ne 0$为$μ$时，给出了权$μ$。这种构造有另外的结果，它在建筑物中产生了一个明确的点，该点的腔室收缩到$λ$，扇区收缩到$μ$，并且在相应的Mirković-Vilonen相交处产生了仿射格拉斯曼的明确点。在附录中，我们讨论了建筑物和壁龛步行回缩之间的联系。
2008-07-23 math.CO math.RT
Block and Residue Exclusion in Kernel-Root Expansions for Two-Barrier Walks
针对整数上步长为 +y 和 -b 的双 barrier 游走，提出两阶段修剪方法构造核根展开，在示例中有效排除大量非必要项，提升计算效率。
2026-08-26 math.CO math.PR
Random Subwords and Billiard Walks in Affine Weyl Groups
该论文研究仿射Weyl群中随机子词对应的随机小室，证明其渐近服从球面正态分布，给出方差公式及期望Coxeter长度的渐近表达式。
2025-01-19 math.CO math.PR
