On the frequency of partial quotients of regular continued fractions
Ai-Hua Fan, Lingmin Liao, Ji-Hua Ma
我们考虑了$[0,1)$中的实数集，其正则连分数展开式中的部分导数具有规定的频率。它表明，豪斯多夫维数的这些集，总是有界的从下面的$1/2$，给出了一个修改的变分原理。
We consider sets of real numbers in $[0,1)$ with prescribed frequencies of partial quotients in their regular continued fraction expansions. It is shown that the Hausdorff dimensions of these sets, always bounded from below by $1/2$, are given by a modified variational principle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On certain statistical properties of continued fractions with even and with odd partial quotients
本文证明了随机无理数连续位数和连续位数更新时间的联合极限分布的一些结果，其中包括具有偶部分幂次的连分数、具有奇部分幂次的连分数以及Nakada α-展开式.
Hausdorff dimension of sets of continued fractions with bounded odd and even order partial quotients
研究奇数阶部分商为1的连分数集合的大小，证明两个此类集合的和与积均包含非空区间，并确定奇数阶部分商为1且偶数阶部分商以指数、超指数及一般正函数速率增长时集合的Hausdorff维数。
Continued fractions with large prime partial quotients
本文研究部分商为大素数的连分数实数集合，通过证明几乎素数zeta函数尾端的新渐近结果，确定了相应集合的勒贝格测度与豪斯多夫维数，推广并涵盖了多个已有经典与近期定理。
Metrical properties for the weighted products of multiple partial quotients in continued fractions
经典的Khintchine和Jarník定理是Dirichlet定理的一个推广，是丢番图逼近理论中的基本结果.这些定理是关于实数集的大小，对于这些实数集，其连分数展开式中的偏导数以一定的速率增长。最近发现实数的连分数展开式中的连续偏导数对乘积的增长与Dirichlet定理的改进有关。本文考虑几个连续的偏导数的不同次幂的乘积。也就是说，我们找到了以下集合的勒贝格测度和豪斯多夫维数：$$ {\D_{\mathbf t}}(ψ):=\left\{x\in[0, 1): \prod\limits_{i=0}^{m-1}{a^{t_i}_{n+i}(x)} \ge Ψ(n)\ {\text{for infinitely many}} \ n\in \N \right\}, $$其中$t_i\in\mathbb R_+$对所有${0\leq i\leq m-1}$，且$Ψ:\N\to\R_{\ge 1}$是正函数。
Hausdorff dimension of sets with restricted, slowly growing partial quotients in semi-regular continued fractions
本研究确定了半正则连分数中部分商受限且缓慢增长的无理数集合的豪斯多夫维数，推广了正则连分数的相关结果，通过构造非自治迭代函数系统并应用Bowen公式证明。
Metric Theory for Continued Fractions with Multiple Large Partial Quotients
本文研究连分数展开前n项中至少含有r个大偏商的实数集合，确定其Lebesgue测度和Hausdorff维数，解决了多个大偏商情形下经典极限定理失效的问题。
Hausdorff dimension of sets of continued fractions with unbounded partial quotients along subsequence
研究沿给定子序列的部分商趋于无穷的连分数集合的Hausdorff维数，证明维数由子序列的上密度决定：上密度为正时维数为1/2，上密度为零时维数为1。
Hausdorff dimension of sets of numbers whose continued fractions contain arbitrarily long arithmetic progressions
本文研究了偏商序列严格递增且包含任意长等差数列的无理数的豪斯多夫维数。
A Hausdorff dimension analysis of sets with the product of consecutive vs single partial quotients in continued fractions
我们提出了一个详细的豪斯多夫维数分析的一组实数的乘积连续的部分商在其连分数扩展以一定的速度增长，但增长的单一部分商是在一个不同的速度。我们考虑集合\begin{equation*} \FF(Φ_1,Φ_2) \defeq \EE(Φ_1) \backslash \EE(Φ_2)=\left\{x\in[0,1): \begin{split} a_n(x)a_{n+1}(x) & \geqΦ_1(n) \text{\,\, for infinitely many } n\in\N a_{n+1}(x) & <Φ_2(n) \text{\,\, for all sufficiently large } n\in\N \end{split} \right\}, \end{equation*}，其中$Φ_i:\N\to(0,\infty)$是任何函数，使得$\lim\limits_{n\to\infty} Φ_i(n)=\infty$。我们得到了一些令人惊讶的结果，包括当$\FF(Φ_1,Φ_2)$为空的情况下的各种非平凡的选择$Φ_i$的。我们的结果推广了包括[Nonlinearity，33（6）：2615--2639，2020]的主要结果在内的几个已知结果，对连分数的度量理论作出了贡献.为了获得一些结果，我们考虑一个替代的广义集，这可能是独立的利益，并计算其豪斯多夫维数。其中一个主要的…
Renewal-type Limit Theorem for Continued Fractions with Even Partial Quotients
本文证明了F. Schweiger和C. Kraaikamp和A.洛佩斯我们的主要结果是证明了以下的策略使用的雅。Sinai和C. Ulcigrai在他们的证明一个类似的更新型定理欧几里德连分数扩展和高斯地图。我们证明的主要步骤是构造一个类高斯映射的自然扩张和证明一个相关的特殊流的混合。
Metrical properties of the product of partial quotients with geometric mean in continued fractions
本文研究连分数中部分商乘积的几何平均的度量性质，分析了当指数呈线性间隔且乘积长度增长时，豪斯多夫维数的变化，发现维数随 $d$ 增大而增大，$t$ 不影响维数。
Metrical properties for continued fractions of formal Laurent series
受最近实数连分数度量理论中关于连续偏导数增长的发展的启发，我们考虑了它在形式洛朗级数领域中的类似物.设$A_n(x)$是$n$在形式洛朗级数域上的连分式展开式的第n次偏商.我们考虑$x$的集合使得$°A_{n+1}(x)+\cdots+°A_{n+k}(x)~\ge~Φ(n)$分别对无穷多个$n$和所有$n$成立，其中$k\ge1$是整数，$Φ(n)$是定义在$\mathbb{N}$上的正函数.我们用Haar测度和豪斯多夫维数来确定这些集合的大小.
Limit theorems for sums of products of consecutive partial quotients of continued fractions
设$[a_1(x),a_2(x),\ldots, a_n(x), \ldots]$是无理数$x\in (0, 1)$的连分数展开式。对连续偏导数乘积$a_n(x)a_{n+1}(x)$的增长率的研究与狄利克雷定理（1842）的改进有关。我们建立了部分和$S_n(x)= \sum_{i=1}^n a_i(x)a_{i+1}(x)$的弱大数定律和强大数定律，并从多重分形分析的角度研究了其增长率。具体来说，我们证明了以下结果：\medskip \begin{itemize} \item For any $ε>0$, the Lebesgue measure of the set $$\left\{x\in(0, 1): \left|\frac{ S_n(x)}{n\log^2 n}-\frac1{2\log2}\right|\geq ε\right\}$$tends to zero as $n$ to infinity. \item For Lebesgue almost all $x\in (0,1)$, $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{S_n(x)-\max\limits_{1\leq i \leq n}a_i(x)a_{i+1}(x)}{n\log^2n}=\frac{1}{2\log2}.$$ \item The Hausdor…
On the Lévy constants of Sturmian continued fractions
无理实数的Lévy常数定义为主收敛函数的乘子序列在其连分数展开式中的指数增长性。任何二次无理数都有一个最终周期的连分数展开式，众所周知，这意味着存在一个Lévy常数。设$a, b$是不同的正整数。如果无理实数的部分乘积序列是$\{a, b\}$上的Sturmian序列，则它有一个Lévy常数，它只依赖于$a$、$b$和Sturmian序列的斜率，而不依赖于它的截距。本文证明了部分常数序列为周期或Sturmian的无理实数的Lévy常数集等于整个区间$[\log ((1+\sqrt 5)/2 ), + \infty)$ .
On the continued fraction expansion of absolutely normal numbers
我们构造了一个绝对正规数，它的连分数展开式是正规的，因为它包含了所有具有Gauss-Kuzmin测度给出的期望渐近频率的部分同分向量的有限模式.该结构是基于谢尔宾斯基的思想，并使用混合随机变量和的大偏差定理。
Extreme value theorem for geodesic flow on the quotient of the theta group
本文研究了θ群商上测地流的极值定理，通过广义连续分数算法和谱性质推导出极值定律，描述测地线的最大咽喉游离。
Subexponentially increasing sums of partial quotients in continued fraction expansions
本文从多重分形分析的角度研究了偏导数$S\_n(x)=\sum\_{j=1}^n a\_j(x)$的和的增长率，其中$x=[a\_1(x), a\_2(x), \cdots ]$是无理数$x\in (0,1)$的连分数展开.准确地说，对于一个递增函数$φ: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$，人们感兴趣的Hausdorff维数的集合\[E\_φ= \left\{x\in (0,1): \lim\_{n\to\infty} \frac {S\_n(x)} {φ(n)} =1\right\}.\]几种情况下解决了Iommi和约旦，吴和徐，徐。我们攻击剩余的次指数情形$\exp(n^γ), \ γ\in [1/2, 1)$。我们证明了当$γ\in [1/2, 1)$，$E\_φ$有Hausdorff维数$1/2$ .因此，令人惊讶的是，维度在$φ(n)=\exp(n^{1/2})$处具有从$1$到$1/2$的跳跃。以类似的方式，最大偏商的分布也进行了研究。
The difference between the Hurwitz continued fraction expansions of a complex number and its rational approximations
对于正则连分数，若实数$x$及其有理逼近$p/q$满足$|x-p/q|<1/q^2$，则在删除$p/q$的最后一个整数的部分行列式后，剩余的部分行列式序列是$x$的前缀.在本文中，我们表明，情况是完全不同的，如果我们考虑一个复数的Hurwitz连分数展开及其有理逼近。更具体地说，我们考虑的集合$E(ψ)$的复数，这是很好地近似与给定的绑定$ψ$，并有很大不同的Hurwitz连分数展开，从他们的有理逼近。确定了这类集合的Hausdorff维数和packing维数。证明了对于任何给定的逼近界$ψ$，它的填充维数总是满的，并且它的Hausdorff维数等于复数的$ψ$ -可逼近集$W(ψ)$的Hausdorff维数.作为结果，我们还得到了经典Jarnik定理在实际情况下的一个类似。
Asymptotic statistics for finite continued fractions with restricted digits
本文研究了有限继续分数在受限数字下的渐近统计特性，通过分析特定分形集的ε-增厚大小，对Zaremba猜想进行了平均意义下的评论，并讨论了复继续分数在虚二次域上的推广。
Metrical properties of finite product of partial quotients in arithmetic progressions
本文研究实数连分数中算术级数位置部分商乘积的度量性质，确定了满足乘积增长条件的实数集合的勒贝格测度与豪斯多夫维数，并揭示高斯动力系统多重遍历平均收敛定理例外集的大小。
Natural extensions and entropy of $α$-continued fraction expansions with odd partial quotients
在一篇文章（我们将称为[BM]）的博卡和本文的第四作者，一类新的连分数扩展与奇偏导数，参数$α\in [g,G]$参数，其中$g=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$和$G=g+1=1/g$是两个黄金平均数。本文通过奇连分数展开式的部分同分项上的奇异化和插入运算，得到了[BM]的自然扩张，并证明了对于每个$α,α^*\in [g,G]$，[BM]的自然扩张是度量同构的.一个直接的后果是，所有这些自然扩张的熵是相等的$α\in [g,G]$，一个事实已经观察到[BM]。此外，它表明，这种方法可以扩展到$α$小于$g$的值，并且对于$α\in [\tfrac{1}{6}(\sqrt{13}-1), g]$的值，所有的自然扩张仍然是同构的。在本文的最后一节进一步关注的熵，作为$α\in [0,G]$的功能。结果表明，在$0$的任何邻域，我们可以找到区间上的熵是减少，区间上的熵是增加和区间上的熵是恒定的。为了证明这一点，我们使用一种称为匹配的现象。
On the law of the iterated logarithm for continued fractions with sequentially restricted partial quotients
本文研究了具有序列受限部分商的连分数，为满足特定条件的实数集合建立了重对数律，证明了其Hausdorff维数及测度性质，并基于序列迭代函数系统的强不变原理得出结果。
How many points contain homothetic copies in their Hurwitz continued fraction expansion?
研究证明复数无理数在Hurwitz连续分数展开中存在无限多个相似复制，其Hausdorff维度为1，揭示了数论展开中的多维模式形成。
On Minkowski type question mark functions associated with even or odd continued fractions
本文研究了Minkowski的问号函数$?(x)$与具有偶或奇偏导数的连分数的类似物。我们证明了这些函数是具有精确指数的Hölder连续的，并且它们线性化了高斯和法瑞映射的适当版本。
Hausdorff dimension of intersections between the Jarník sets and Diophantine fractals
研究了Jarník集与迪奥菲内分数集合交集的Hausdorff维度，证明其为满维，并指出无理数指数大于2且部分商有界的集合维度为1。
On Cross Sections to the Geodesic and Horocycle Flows on Quotients of $\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})$ by Hecke Triangle Groups $G_q$
在本文中，我们利用P. Arnoux和A.诺盖拉我们的出发点是一个连分数算法有关的组$G_q$，和横截面的horocycle流$\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})/G_q$从以前的文件。作为应用，我们得到了对称$G_q$ -Farey区间映射的自然扩张和不变测度。
Entropy quotients and correct digits in number-theoretic expansions
提供越来越好的近似实数的展开式通常与动力系统有关。虽然比较动力系统似乎很难在一般情况下，洛克斯是能够在1964年有关的相对速度近似小数和经常连分数扩展（几乎处处不在）商的熵的动力系统。他运用了连分数算子的详细知识。2001年，Dajani和Fieldsteel在\citeDajF中给出了Lochs结果的推广，描述了一个数论展开式的位数决定另一个数论展开式的位数的速率。他们的证明是基于覆盖参数，而不是特定的地图的动力学。在本文中，我们给出了一个动力学证明某些类的转换，我们明确描述的数字的数量的分布时，确定比较两个扩展的整数基础。最后，利用Lochs结果的推广，我们通过比较某个数论展开式与已知熵的展开式的收敛速度来估计其未知熵.
The Brjuno functions of the by-excess, odd, even and odd-odd continued fractions and their regularity properties
The Brjuno function was introduced by Yoccoz to study the linearizability of holomorphic germs and other one-dimensional small divisor problems . The Brjuno functions associated with various continued fractions including the by-excess continued fraction were subsequently investigated: it was conjectured that the difference between the classical Brjuno function and the even part of the Brjuno function associated with the by-excess continued fraction extends to a Hölder continuous function of the whole real line. In this paper, we prove this conjecture and we extend its validity to the more gene…
Prescribed realisation of longest runs in continued fractions
研究连分数展开中固定符号游程与整体最长游程的相互作用，构造了具有完全Hausdorff维数的无理数集，使得规定值的最长游程具有指定的渐近增长，并唯一实现整体最大值。
Quantitative longest-run laws for partial quotients
本文研究了部分商的最长连续序列统计量，通过定量混合和指数圆柱估计，推导出双对数误差界的中心常数和最终双侧界限。
$α$-Expansions with odd partial quotients
本文考虑了在奇偏导数连分式的情形下，Nakada的$α$ -连分式变换的一个类似形式.更精确地说，给定$α\in [\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1),\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)]$，我们证明了每个无理数$x\in I_α=[α-2,α)$都可以唯一地表示为$$ x= \cfrac{e_1 (x;α)}{d_1 (x;α) +\cfrac{e_2(x;α)}{d_2(x;α)+\cdots}} , $$，其中$e_i(x;α) \in \{ \pm 1\}$和$d_i(x;α) \in 2{\mathbb N} -1$由$I_α$的变换$$φ_α(x) := \frac{1}{| x|} - 2 \bigg[ \frac{1}{2| x|} +\frac{1-α}{2} \bigg]-1$$的迭代确定。我们还描述了$φ_α$的自然扩张，证明了自同态$φ_α$是正合的.
A unifying theory for metrical results on regular continued fraction convergents and mediants
本文通过重新审视 Ito 对 Farey 帐篷映射的自然扩张，建立了一个统一连分数度量理论的框架，将逼近系数极限分布、Legendre 型定理及 Lévy 定理推广等众多新旧结果统一为推论。
A Renormalization Scheme for Semi-Regular Continued Fractions
本文研究了一个重正化方案，利用它可以自然地求出一个数的所有半正则连分数。我们定义了两个映射T_slow和T_fast：这些映射是针对[0，1]中的（x，y）定义的，其中x是T_slow根据参数y开发半正则连分数表示的数。当参数y变化时，x的所有可能的半正则连分数表示的集合被双射构造。图T_fast是图T_slow的一个“加速”版本，我们证明了T_fast关于一个与勒贝格测度相互绝对连续的概率测度是遍历的.相反，T_slow不保持这样的测度，但保持了一个与勒贝格测度相互绝对连续的无限的、σ有限的测度。此外，我们生成一系列替换，这些替换生成y轨道的符号编码。在最后一节中，我们强调我们的计划可以用来生成半定期连分数明确特定的连分数算法，如中田的阿尔法连分数。
On the regularity and approximation of invariant densities for random continued fractions
本文研究随机动力系统的扰动，其相关的转移算子允许一个一致的谱间隙。我们提供了一个$k^{\text{th}}$阶近似的相关随机动力系统的不变密度。我们将所得结果应用于随机连分数。
Cross sections for geodesic flows and α-continued fractions
我们调整Arnoux的编码，在正则连分数，模曲面上的测地流，给出一个横截面，其上的返回映射是α-连分数的自然扩张的双重覆盖，对于（0，1]中的每个$α$.这个论证对于Rosen连分数和它们最近引入的α-变体是足够稳健的。
Geodesic flow on the Teichmueller disk of the regular octagon, cutting sequences and octagon continued fractions maps
在本文中，我们给出了一个几何解释的重整化算法和连分数映射，我们介绍了arxiv：0905.0871中给出的线性流的符号序列的特征，在正八边形。我们将此算法解释为八边形Teichmueller圆盘上的重整化，并解释了与Teichmueller测地流的关系。这种联系类似于Sturmian序列、连分数和模曲面上的测地流之间的经典关系。利用这种联系，我们构造了连分数映射的自然扩张和不变测度。定义了具有有限不变测度的连分数映射的加速度。
On the fast Khintchine spectrum in continued fractions
对于$x\in [0,1)$，令$x=[a_1(x), a_2(x),...]$是其具有部分连续项${a_n(x), n\ge 1}$的连分式展开。设$ψ: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$是一个函数，其中$ψ(n)/n\to \infty$为$n\to \infty$。在本文中，快速Khintchine谱，即，集合$$ E(ψ):=\Big{x\in [0,1): \lim_{n\to\infty}\frac{1}{ψ(n)}\sum_{j=1}^n\log a_j(x)=1\Big} $$的豪斯多夫维数被完全确定，而不需要对$ψ$附加任何额外的条件。
Arithmetic diophantine approximation for continued fractions-like maps on the interval
我们建立了算术性质，并提供了必要的边界的双序列的逼近系数与自然扩张的地图，导致连分数的扩张。这些地图被实现为小数部分的M $\operatorname{\ddot{o}}$比乌斯变换进行端点的单位区间为零和无穷大，扩展经典的定期和向后连分数的扩展。
Geodesic flows and slow downs of continued fraction maps
本文扩展模曲面单位切丛上测地流的截面，将偶 Farey 映射描述为偶连分数 Gauss 映射的三分支减速，推广了 Series、Heersink 及 Boca 等人的相关工作。
Tanaka-Ito $α$-continued fractions and matching
两个密切相关的家庭$α$ -连分数介绍了在1981年：由中田一方面，由田中和伊藤另一方面。作为参数$α$的函数的熵的行为已被广泛研究的Nakada的家庭，和几个结果已经获得利用称为匹配的代数特征。在这篇文章中，我们表明，匹配也发生Tanaka伊藤$α$ -连分数，和参数空间几乎完全覆盖的匹配区间。事实上，匹配条件不成立的参数集，称为分歧集，是一个零测度集（即使它有完整的豪斯多夫维数）。这一性质也被Nakada的$α$ -连分数所共有，但也有一些实质性的区别：Tanaka-Ito连分数的分支集不仅包含无穷多个有理值，而且还包含具有无界部分有理值的数。
Transcendence and normality of complex numbers via Hurwitz continued fractions
本文研究了 Hurwitz 连分数的拓扑、动力学和描述集合论性质，证明了其序列空间的闭包构成具有弱规范性质的子移位，并据此确定了 Hurwitz 正规数集的 Borel 层级秩，构造了一族有界部分商的复超越数。
Continued fractions, modular symbols, and non-commutative geometry
利用D. Mayer，我们证明了关于连分数分布的经典Gauss-Kuzmin定理的一个推广，特别是它允许人们考虑连续收敛的一些同余性质.这一结果可以应用于广义相对论中的混合宇宙模型。然后，我们研究了一些平均涉及模符号，并表明，狄利克雷级数有关的模形式的重量2可以通过集成某些功能定义的实轴上的连分数。证明了商$PGL(2,\bold{Z})\setminus\bold{P}^1(\bold{R})$是非交换模曲线，并证明了模复形可以看作是相关的交叉积$C^*$ -代数的$K_0$ -群的序列.本文是“关于连分数的分布与模符号”一文的扩充。主要的新特性是第4节关于非交换几何和模复形，第1.2.2节关于Mixmaster宇宙。
Ergodic properties of N-continued fractions
本文讨论了广义高斯变换$$T_N(x)=\{\frac{N}{x}\}.$$的一些遍历性质，推广了正则连分数的一系列结果，如Khinchin常数和Lévy常数.
Multi-scale properties of continued fraction sets
本文综述了限制连分数展开数字来自非空子集D⊂N的实数集的维数理论，涵盖Hausdorff维数、盒维数等，并讨论相关开问题。
Large deviations for denominators of continued fractions
本文给出了正则连分数展开式中$n$第次收敛的分母远离平均值$\frac{nπ^2}{12\log2}$的概率的指数上界。指数速率是最佳可能的，由与高斯变换的李雅普诺夫指数的维数谱相关的解析函数给出。
Symbolic coding for linear trajectories in the regular octagon
我们考虑一个符号编码的线性轨迹在正八边形的相对两侧确定（更一般地说，在定期2n-xm）。每一个无限的轨迹给出了一个切割序列对应的序列的侧面击中。我们给出了一个明确的特征，这些切割序列。正方形的切割序列是研究得很好的Sturmian序列，可以根据斜坡的连分数扩展进行分析。我们介绍了一个类似的连分式算法，我们使用它来连接切割序列的轨迹与其斜率。我们的连续分数扩展的斜率给出了一个显式序列的替代操作，生成切割序列的轨迹与该斜率。我们的算法可以理解的Veech组的元素的八边形平移表面的重整化。
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